2021年九年级数学中考一轮复习--圆综合复习【含答案】
∵ 以 t 为直径的⊙ 交边 t 于 h， ∴ ∠ ht = 90∘， ∴ △ th 是直角三角形，
（2）连接 h， ∵ h 切⊙ 于点 h，
∴ h ⊥ h，
∵ ∠ tt = ∠ t ，
∴ △ tt ∽△ t ，
∴
t tt
=
t，
t
∴ t 2 = tt × t，
即 t 2 = h × t；
∵
=，
∴ ∠ =∠ ，
∵ D = t，
∴ ∠ = ∠t，
∴ ∠ = ∠t = ∠ ，
∴ ∠ t = ∠ + ∠ = 2∠t，
∵ ht 切⊙ 于 ，
∴ ∠ t = 90∘，
BE＝BF； （2）解：∵BC＝BD＝3，
而 CE＝4， ∴BE＝
＝
＝5，
∵AC＝
，AD＝
，
而 BC＝BD， ∴AC＝AD， 设 AC＝
AD＝x，在 ຫໍສະໝຸດ t△ADE 中，x2+82＝（x+4）2，解得 x＝6，
即 AC＝6，
在 Rt△ACB 中，AB＝
＝3 ，
即⊙O 的直径为 3 ．
24.
25. 证明：连接 ，
C．15°
D．15°或 105°
5.如图，已知圆心角∠BOC＝100º，则圆周角∠BAC 的大小是（ ）
A. 50º
B. 100º
C. 130º
D. 200º
6. 已知 ⊙ O 的半径为 5，点 P 到圆心的距离为 3，则点 P 与 ⊙ O 的位置关系是（ ） A.点 P 在 ⊙ O 上 B.点 P 在 ⊙ O 内 C.点 P 在 ⊙ O 外 D.无法确定
，
∴△ADB∽△ODC，∴AD：OD=AB：OC，∴AD•OC=OD•AB=r•2r=2r2，即 2r2=8，故 r=2．
23． （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∵B 是 的中点，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴BC＝BD，
在△BCE 和△BDF 中
，
∴△BCE≌△BDF（ASA）， ∴
∵ 为t 的中点，
∴ ∠ = ∠t ，
∵
=，
∴ ∠t = ∠ ，
∴ ∠ =∠ ，
∵ h⊥ ，
∴ ∠h = 90∘，
∴ ∠ + ∠h = 90∘，即∠
+ ∠h = 90∘，
∴
⊥ ht，
∴ ht 为半圆 的切线；
t 2 = h × t，
理由是：过 作 t ⊥ t 于 t，连接 ，
∵ 为t 的中点，
∴ ∠ = ∠t ，
∵ h⊥ ，
∴ h // ，
∵
=t ，
∴ h = th．
22. 证明：①连接 OD．∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC 与△ODC 中，
，∴△OBC≌△ODC（SAS），∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴DC 是⊙O 的切线； ②解：连接 BD．∵在△ADB 与△ODC 中，
11. 如图，点 A、B 在⊙ O 上，弧 AB 的度数是120∘，则∠OAB 的大小为________ ∘．
12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O 的半径为
．
13.如图，AB 是半圆 O 的直径，∠BAC=350，则∠D 的大小是________度。
14. △ ABC 内接于圆 O，且 AB = AC，圆 O 的半径等于 6cm，O 点到 BC 距离等于 2cm，则 AB 长为________cm．
∴ ∠t + ∠ t = 90∘，
∴ ∠t = 30∘，∠ t = 60∘，
∵ h = t = 3，
在
△ t 中，
=
t sin60∘
=
3
3
=
2，
2
即⊙ 的半径是 2．
24.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，半径 OD⊥AC 于点 E，过点 D 的切线与 BA 延长线 交于点 F． （1）求证：∠CDB=∠BFD；
（2）若 AB=10，AC=8，求 DF 的长．
25. 如图，AB 为⊙ O 的直径，AC 是⊙ O 的一条弦，D 为弧 BC 的中点，过点 D 作 DE ⊥ AC， 垂足为 AC 的延长线上的点 E，连接 DA、DB． （1）求证：DE 是⊙ O 的切线； （2）试探究线段 AB、BD、CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）延长 ED 交 AB 的延长线于 F，若 AD = DF，DE = 3，求⊙ O 的半径．
A．（5，2）
B．（2，3）
） C．（1，4）
D．（0，0）
10.如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD 于点 E，连
接 CE，作 BF⊥CE，垂足为 F，则 tan∠FBC 的值为（ ）
A. 1 ； B. 2 ； C. 3 ； D. 1
2
5
10
3
二、填空题
7．如图所示，在半径为 10cm 的⊙O 中，弦 AB＝16cm，OC⊥AB 于点 C，则 OC 的长为（ ）
cm．
A．5
B．6
C．7
D．8
8.如图，⊙O 的弦 AB＝8，M 是 AB 的中点，且 OM＝3，则⊙O 的半径等于（
A. 8
B. 4
C. 10
） D. 5
9．如图，△ABC 外接圆的圆心坐标是（
15．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝4，C，D 是圆周上的点，且∠CDB＝30°，则 BC
的长为
．
16.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不 知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，CE=1 寸，AB=10 寸，求直径 CD 的长”．（1 尺=10 寸） 则 CD=________．
（1）猜想△ ABE 是________三角形； （2）求证：EB = EC． 22.AB 为⊙O 直径，BC 为⊙O 切线，切点为 B，CO 平行于弦 AD，作直线 DC． ①求证：DC 为⊙O 切线； ②若 AD•OC=8，求⊙O 半径 r．
23．如图，AB 是⊙O 的直径，B 是 的中点，弦 AC、DB 的延长线交于点 E，弦 AD、CB 的延长线交于点 F． （1）求证：BE＝BF； （2）若 BD＝3，CE＝4，求⊙O 的直径．
A. 60
B. 48
C. 60π
D. 48π
3. 点 O 是△ ABC 的外心，点 I 是△ ABC 的内心，若∠BIC = 145∘，则∠BOC 的度数为（ ）
A.110∘
B.125∘
C.130∘
D.140∘
4．半径为 2 的⊙O 中，两条弦 AB＝2
A．45°或 60°
B．105°
，AC＝2，∠BAC 的度数为（ ）
一、选择题 1. D 2. D 3. D 4． D．
5.
A
6. B
7． B．
8. D
9． A．
10. D
二、填空题
答案
11. 30∘． 12． 3 ． 13. 125 14. 4 6或 4 3 15． 2． 16. 26 寸 17. 300π．
18. 2 2
三、解答题 19. 解：作 CD ⊥ AB 于 D， 在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得 AB = 10，则 CD = 6 × 8 ÷ 10 = 4.8； ①当 r < 4.8 时，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 相离； ②当 r = 4.8 时，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 相切； ③当 r > 4.8 时，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 相交．
∵ h ⊥ h， t ⊥ t，
∴ h = t，∠h = ∠ tt，
∵
、 、t、 四点共圆，
∴ ∠h = ∠ tt，
在△ h 和△ tt 中
∠h = ∠ tt ∠h = ∠ tt
h= t ∴ △ h ≅△ tt ，
∴ h = tt，
∵ t 是⊙ 的直径， t ⊥ t，
∴ ∠ t = ∠ tt = 90∘，
三、解答题 19. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠C = 90∘，AC = 6，BC = 8，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有何位置关系？为什么？
20.已知：如图，MN、PQ 是⊙O 的两条弦，且 QN=MP, 求证：MN= PQ．
21. 在△ ABC 中，以 AB 为直径的⊙ O 交边 BC 于 E，ED 切⊙ O 于点 E，且 ED 垂直 AC，垂 足为 D，
17. 如图是小明学习时使用的图锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为 ________cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）
18.如图，AB 是⊙O 的弦，AB=4，点 C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°．若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则 MN 长的最大值是________．
2021 年九年级数学中考一轮复习--圆综合复习
一、选择题 1. 下列说法中正确的是（ ） A.平分弦的直径平分弦所对的弧 B.圆内接正六边形，一条边所对的圆周角是30∘ C.相等的圆周角所对的弧也相等 D.若两条平行直线被一个圆截得的线段长度相等，则圆心到这两条直线的距离相等
2.已知圆锥的底面半径为 6，母线长为 8，圆锥的侧面积为（ ）
2020--2021学年中考数学一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理(含答案)
一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理一．选择题1．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A 于点D，则CD长为（）A．5 B．4 C．D．23．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．44．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝∠BOD，则⊙O的半径为（）A．4B．5 C．4 D．35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．5 D．36．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．27．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果半径为4，那么⊙O的弦AB长度为（）A．2 B．4 C．2D．48．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF ＝，则BF的长为（）A．B．1 C．D．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（）A．B．C．6 D．10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，则AB的长为（）A．9B．C．11 D．15二．填空题11．若过⊙O内一点M的最长弦为10，最短弦为6，则OM的长为．12．已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，CD＝10，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为．13．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE＝18，CD＝PQ ＝24，则OM的长为．15．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．三．解答题16．如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆上两点，且AC＝CD＝DB，AB＝10cm （1）求AC的长度；（2）证明CD∥AB．17．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．18．如图①，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角两边分别交于A，B和C，D四点．（1）求证：AB＝CD；（2）若角的顶点P在圆上，如图②，其他条件不变，结论成立吗？（3）若角的顶点P在圆内，如图③，其他条件不变，结论成立吗？19．如图，直线l：y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去．求：（1）点B1的坐标和∠A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度．20．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接OA，如图：∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴AC＝AB＝8cm，在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），故选：D．2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．3．解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．4．解：∵∠BAC＝∠BOD，∴＝，∴AB⊥CD，∵AE＝CD＝8，∴DE＝CD＝4，设OD＝r，则OE＝AE﹣r＝8﹣r，在Rt△ODE中，OD＝r，DE＝4，OE＝8﹣r，∵OD2＝DE2+OE2，即r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5．故选：B．5．解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故选：C．6．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r﹣2，∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2．故选：D．7．解：如图；过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA；则AD＝BD，由折叠的性质得：OD＝CD，在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；根据勾股定理得：AD＝＝＝2，∴AB＝2AD＝4；故选：D．8．解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直径，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍弃）．∴BF＝，故选：A．9．解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故选：A．10．解：连接OP，OQ，∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝12，∴PH+QI＝18﹣12＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+6＝15，故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB，最短的是垂直平分直径的弦CD，已知AB＝10，CD＝6，则OD＝5，MD＝3，由勾股定理得OM＝4．故答案为：4．12．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝12﹣5＝7；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF+OE＝17．∴AB与CD之间的距离为7或17．故答案为7或17．13．解：∵CD⊥OB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案为8．14．解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF＝PQ＝12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD＝PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE＝OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF＝OE＝18﹣x，在直角△OPF中，x2＝122+（18﹣x）2，解得x＝13，则MF＝OF＝OE＝5，∴OM＝5．故答案为：5．15．解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB＝2，∴AE＝，PA＝2，∴PE＝1．∵点D在直线y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD+DC＝2+．故答案为：2+．三．解答题（共5小题）16．解：（1）连接OC，OD，∵AB为⊙O的直径，AB＝10cm，∴OA＝OB＝5cm．∵AC＝CD＝DB，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5cm；（2）∵由（1）知∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC、△COD与△BOD均是等边三角形，∴∠A+∠ACD＝180°，∴CD∥AB．17．（1）解：连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，∵AD⊥OB，在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连结CF，如图，∵AD⊥OB，∴弧AB＝弧DB，∵∠EAB＝∠EBA，∴弧BD＝弧AF，∴弧AB＝弧AF，∴OA⊥BG，∴BG＝FG，∴∠OAH＝∠OBG，在△OAH和△OBG中，，∴△OAH≌△OBG（AAS），∴AH＝BG，∴BF＝2AH．18．解：（1）相等．如图：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OA，OC，OB，OD．AG＝BG，CH＝DH，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH．在Rt△OBG和Rt△ODH中，由HL定理得：△OBG≌△ODH，∴GB＝HD，∴AB＝CD；（2）点P在圆上，结论成立：顶点P在圆上，此时点P，A，C重合于点A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴AG＝GB，AH＝HD，∵∠EAO＝∠DAO，∴OG＝OH．在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，∴AG＝AH，∴AB＝AD．即点P在圆上，结论成立．（3）顶点P在圆内，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG＝GB，CH＝HD，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH，∴GB＝HD，∴AB＝CD．即点P在圆内，结论成立．19．解：（1）∵直线的解析式y＝x，∴tan∠A1OB1＝＝，∴∠A1OB1＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝，OA2＝OB1＝2，∴B1（1，）．（2）连接A 4B 3，作OH ⊥A 4B 3于H ．由题意OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝4，OA 4＝8，∵OA 4＝OB 3，OH ⊥A 4B 3，∴∠A 4OH ＝∠A 4OB 3＝30°，∴OH ＝OA 4•cos30°＝8×＝4．20．解：（1）如图1中，连接OB ，OC ．设BF ＝EF ＝x ，OF ＝y ．∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ，∴∠CEF ＝∠BFO ＝90°∴AF ＝BF ＝x ，DE ＝EC ＝2， 根据勾股定理可得：， 解得（舍弃）或，∴BF ＝4，AB ＝2BF ＝8．（2）如图2中，作CH ⊥AB 于H ．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．。
备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合(一)
备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合（一）1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是cm，⊙M与直线CD的位置关系是；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．2．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点O在AB上，以O为圆心，OB为半径画⊙O，分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，AH⊥BC，垂足分别为F、H．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）①设OB＝2，求EC的长；②设OB＝t，求FC的长（用含t的代数式表示）．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）连结AD，交BE于点G，若△AGE≌△DGF，且AB＝2，求AE的长．4．已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．5．定义：如图①，⊙O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．（1）如图①，设射线OP与⊙O交于点A，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且OP'＝PA，求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）如图②，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，过点P'作P'B⊥OP，交⊙O于点B，连接PB，求证：PB为⊙O的切线；（3）如图③，在Rt△CDE中，∠E＝90°，CE＝6，DE＝8，以CE为直径作⊙O，若点P为CD边上一动点，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段OP'长度的取值范围是．6．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是，的中点，连结DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：△DFC∽△CGE；（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；（3）如图2，连结AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．7．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（1）若等腰△ABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；（2）如图1，△ABC中，AB＝3，AC＝8，BC＝9．小明发现这个△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．他的证明方法如下：证明：在BC上取点D，使得BD＝1，连结AD．（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连结AC，AD与BE相交于点F，G，＝＝，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．①求证：四边形CDEF是平行四边形；②若BF＝1，设AB＝x，y＝，求y关于x的函数关系式．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．9．如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结CA．（1）若∠ACD＝30°，求劣弧AB的度数；（2）如图2，连结BO并延长交⊙O于点G，BG交AC于点F，连结AG．①若tan∠CAE＝2，AE＝1，求AG的长；②设tan∠CAE＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．10．如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求PA•AE的最大值．参考答案1．解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，当t＝1时，AP＝3，AQ＝4，∵AB＝6，BC＝8，∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，∴PQ＝＝5，∴⊙M的半径为cm，∵MN∥BQ，M是PQ的中点，∴PN＝BN，∴MN是△PQB的中位线，∴MN＝BQ＝×4＝2，∴MK＝8﹣2＝6＞，∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；故答案为：，相离；（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，∴圆心M在对角线BD上，由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，故M运动路径为OB＝BD，由勾股定理得：BD＝＝10，则圆心M的运动路径长是5cm；故答案为：5；②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴PM＝＝FM＝5﹣t，△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，∵EF＝FM+ME，∴5﹣t+3﹣t＝6，解得：t＝；（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，∴∠APD＝∠NPQ，∵∠A＝90°，DG⊥PG，∴AD＝DG＝8，∵PD＝PD，∴Rt△APD≌Rt△GPQ（HL），∴PG＝AP＝3t，∵PQ＝10﹣5t，∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，∴3t2﹣10t+8＝0，（t﹣2）（3t﹣4）＝0，解得：t1＝2（舍），t2＝．2．证明：（1）如图1，连结OE，∵OE＝OB，∴∠B＝∠OEB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，∴∠OEF＝∠EFC，∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，∴∠OEF＝90°，∴EF⊥OE，∵点E在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；（2）①如图2，连结OE，∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC．∴＝，∴＝，∴BE＝，∴EC＝6﹣＝；②∵AB＝AC，∴BH＝BC，∵BC＝6，∴BH＝3，由①知：＝，即＝，∴BE＝，∴EC＝6﹣，∵AH⊥BC，EF⊥AC，∴∠AHB＝∠EFC＝90°，∵∠OBE＝∠C，∴△ABH～△EFC，∴＝，∴＝，∴FC＝﹣．3．（1）证明：如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°，∴AD⊥BC，AE⊥BE，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵BO＝OA，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴OD⊥BE．（2）∵△AGE≌△DGF，∴AE＝DF，∵AO＝OB，FO∥AE，∴EF＝FB，∴OF＝AE＝DF，∵AB＝2，∴OD＝AB＝1，∴DF＝OD＝，∴AE＝DF＝．4．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝AD．（2）AB+AC＝AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD．∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，∴AB+AC＝AD；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，∴＝．5．（1）证明：由已知得OP•OP'＝r2，∵OP'＝PA，∴PP'＝PA+AP'＝OP'+P'A＝r，∴，∴点P'为线段OP的一个黄金分割点；（2）证明：∵P'B⊥OP，∴∠OP'B＝90°，∵OP•OP'＝r2，∴，∴△P'OB∽△BOP，∴∠OBP＝∠OP'B＝90°，∴PB⊥OB，∴PB为⊙O的切线；（3）解：如图③，过点O作OH⊥CD于H，连接OD，∵CE＝6，∴⊙O的半径为3，即r＝3，∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，∴OP•OP'＝32＝9，∴OP'＝，∵OH≤OP≤OD，∵∠CEB＝90°，CE＝6，DE＝8，∴CD＝10，∵sin∠C＝＝＝，∴OH＝OC＝，由勾股定理得：OD＝＝＝，∵OP＝，OH≤OP≤OD，则≤OP'≤．故答案为：≤OP'≤．6．解：（1）∵点D是的中点，∴，∵点E是的中点，∴，∴∠CDE＝∠BCG，∴△DFC∽△CGE；（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，∴∠CFG＝∠CGF，∵CF＝CG，∵∠ACB＝60°，∴△CFG是等边三角形，如图1，过点C作CH⊥FG于H，∴∠DHC＝90°，设FH＝a，∴∠FCH＝30°，∴FG＝CF＝2a，CH＝a，∵DF＝3，∴DH＝DF+FH＝3+a，∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝，∴tan∠CDE＝，在Rt△CHD中，tan∠CDE＝＝，∴＝，∴a＝1，∴FG＝2a＝2；（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，∴∠AEB＝∠DAE，∴BE∥AD，设BE与AD的距离为h，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE，∵D，E分别是，的中点，∴CD＝AD，BE＝CE，∴S△ABE＝•S△ADE，过点D作DM⊥AC于M，∵，∴AD＝CD，∴AC＝2CM，由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，∴∠DFM＝60°，∴∠MDF＝30°，设MF＝m，则DM＝m，DF＝2m，∵＝x，∴CF＝x•DF＝2mx，∴CG＝CF＝2mx，由（1）知，△DFC∽△CGE，∴，∴＝，∴S△ABE＝•S△ADE＝S△ADE，∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝S△ADE，∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，过点A作AN⊥DF于N，∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，∴AN＝＝＝（x+1）m，过点C作CP⊥FG，由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．7．解：（1）设等腰三角形的顶角∠A为2x，则等腰三角形的底角为90°﹣x，∵等腰△ABC是“差倍角三角形”，∴90°﹣x﹣2x＝2•2x或2x﹣（90°﹣x）＝2（90°﹣x），∴x＝或x＝54°，∴∠A＝2x＝或∠A＝2x＝108°，∴顶角∠A的度数为或108°；（2）如图1，在BC上取点D，使得BD＝1，连结AD，∴CD＝BC﹣BD＝8，∵AC＝8，∴CD＝AC，∴∠CAD＝∠ADC，∵AB＝3，AC＝8，BC＝9，∴＝＝，＝，∴，∵∠ABD∽△CBA，∴∠BAD＝∠C，∴∠ADC＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CAD＝∠ADC，∴∠BAC﹣∠C＝∠ADC，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠C，∴∠BAC﹣∠C＝B+∠C，∴∠BAC﹣∠B＝2∠C，∴△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（3）①∵＝＝，∴∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE，设∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE＝α，∵△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”，∴∠BAE﹣∠ABE＝2∠AEB，∴α+∠CAD+α﹣∠ABE＝2α，∴∠CAD＝∠ABE，∴，∴DE∥AC，∵，∴CD∥BE，∴四边形CDEF是平行四边形；②∵∠BAF＝∠AEB，∠ABF＝∠EBA，∴△ABF∽△EBA，∴＝＝，∴BE＝＝＝x2，∴EF＝BE﹣BF＝x2﹣1，∵四边形CDEF是平行四边形，∴CD＝EF＝x2﹣1，∵，∴AE＝CD＝x2﹣1，∴AF＝＝＝，过点B作BM⊥AC于M，EN⊥AC于N，∴BM∥EN，∴△BFM∽△EFN，∴＝，∴BM＝EN，过点G作GH⊥AE于H，∵∠BAC＝ACB＝∠AEG＝∠EAG，∴△ABC∽△AGE，∴，∴＝＝，∴＝，∴y＝＝＝•＝•＝．8．解：（1）如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴OD＝AO，∴OD＝，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝＝π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x＝，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，∴，∴AE＝×2＝．9．解：（1）如图1，连接OA，OB，∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的度数是120°；（2）①∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝1，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝2，∴CE＝2，设OE＝x，则OC＝2﹣x＝OB，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，即（2﹣x）2＝x2+1，解得：x＝，∴OE＝，∵OG＝OB，AE＝BE，∴OE是△AGB的中位线，∴AG＝2OE＝；②∵BG是⊙O的直径，∴∠BAG＝90°，∵∠BAG＝∠BEO＝90°，∴OC∥AG，∴∠C＝∠GAC，∵∠GFA＝∠OFC，∴△GAF∽△OCF，∴，∵，且GF+BF＝2OG，∴OG＝•GF，∵OF＝OG﹣GF，∴OF＝，∴＝，如图3，连接OA，∵OA＝OC，AG＝2OE，∴＝＝，∵tan∠CAE＝＝x，∴CE＝x•AE＝OA+OE，∴AE＝，Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，∴OA2＝OE2+（）2，即OA2＝OE2+（OA2+2OA•OE+OE2），两边同时除以OA2，得：1＝（）2+（+1）2，设＝a，则原方程变形为：a2+（a2+2a+1）﹣1＝0，（1+）a2++﹣1＝0，（a+1）[（1+）a+（﹣1）]＝0，∴a1＝﹣1（舍），a2＝，∴＝，∴＝，∴y＝﹣．10．（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠PAF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠PAF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠PAF＝∠PAB，∴△ACE∽△APB，∴，∴PA•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴PA•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时PA•AE＝×＝80．。
20201年九年级中考数学考点综合复习 圆 相关知识点解答题专项
【圆】相关知识点解答题专项集锦（含解析）1．已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝30°，连接AC．（Ⅰ）如图①，求∠A的大小；（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，∠BCE＝120°，BE＝8，求CE的长2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠BCD＝∠A．（2）将△ADC折叠，使AD与DC边重合，折痕DE分别交AC，BC于点E，F．当CE＝1时，求EF的长．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC 于E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝5，BE＝3，求图中阴影部分的面积．4．如图，点C是⊙O外一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为点D，连接CO并延长交⊙O于点B，连接BD并延长与BC的垂线CA交于点A．（1）求证：CD＝AC；（2）若EC＝ED，⊙O的半径是3，求AC的长．5．在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），C（6，2）．（1）请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；（2）请找出一个点D，使得直线CD与⊙M相切，并写出点D的坐标．6．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）7．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．8．如图，点P在⊙O外，M为OP的中点，以点M为圆心，以MO为半径画弧，交⊙O于点A，B，连接PA；（1）判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）连接AB，若OP＝9，⊙O的半径为3，求AB的长．9．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝，求图中阴影部分的面积．10．如图，⊙O的半径为4，点E在⊙O上，OE⊥弦AB，垂足为D，OD＝2．（1）求AB的长；（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），直接写出∠ACB的度数．参考答案1．解：（Ⅰ）连接OC，如图①：∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴∠COB＝90°﹣∠D＝60°，∴∠A＝∠COB＝30°；（Ⅱ）连接OC交BE于点F，如图②：由（1）得：∠COB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∵∠BCE＝120°，∴∠ECF＝∠BCE﹣∠OCB＝120°﹣60°＝60°，∵∠E＝∠A＝30°，∴∠CFE＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OC⊥BE，∴EF＝BE＝×8＝4，∵cos E＝，∴CE＝＝＝＝．2．（1）证明：连接OC，如图：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A；（2）解：由折叠的性质得：∠CDE＝∠ADE，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDE，即∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝1，∵∠ACB＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CE＝．3．解：（1）连接OA．∵AD∥OC，∴∠AOC +∠OAD ＝180°，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝2×45°＝90°，∴∠OAD ＝90°，∴OA ⊥AD ，∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线；（2）∵AO ＝CO 且∠AOC ＝90°，∴∠ACO ＝∠CAO ＝45°，即∠B ＝∠ACE ，∵∠CAE ＝∠BAC ，∴△AEC ∽△ACB ， ∴＝，∴AC 2＝AE •AB ＝40，∴AC ＝2，在Rt △AOC 中，∵2OA 2＝AC 2＝40，∴AO ＝CO ＝2，S 阴影＝S 扇形OAC ﹣S △AOC ＝﹣×（2）2＝5π﹣10．4．（1）证明：∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝90°，∴∠ADC ＝180°﹣∠ODC ﹣∠BDO ＝180﹣90°﹣∠BDO ， ∵OB ＝OD ，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADC＝90°﹣∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B，∴∠ADC＝∠A，∴CD＝AC；（2）∵⊙O的半径是3，∴OD＝OE＝3，∵∠ODC＝90°，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠DEO＝2∠EDC，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED＝2∠EDC，∴3∠EDC＝90°，∴∠EDC＝30°，∴∠ODE＝60°，∴△EDO是等边三角形，∴DE＝OE＝3，∴OC＝2OD＝6，∴CD＝＝3，∴AC＝CD＝3．5．解：（1）如图1，连接AB、BC，作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，由图形可知：这点的坐标是（2，0），∴圆弧所在圆的圆心M点的坐标是（2，0）；（2）如图2，连接MC，过C作CD⊥CM，交x轴于D，则直线CD与⊙M相切，过C作CE⊥MD于E，∵MC⊥CD，CD⊥MD，∴∠MCD＝∠CED＝90°，∵∠MCE＝∠EDC＝90°∠CME，∴△MCE∽△CDE，∴＝，∵点M的坐标为（2，0），点C的坐标为（6，2），∴ME＝OE﹣OM＝6﹣2＝4，CE＝2，∴＝，∴ED＝1，∴OD＝7，∴点D的坐标为（7，0）．6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）．（2）解：连接OF，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．7．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴△PAD∽△PCB；（2）解：∵△PAD∽△PCB，∴＝，∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，∴＝，解得：PD＝4或6．8．解：（1）PA是⊙O的切线，理由如下：如图，连接OA，∴OP是⊙M的直径，点A是⊙M上一点，∴∠OAP＝90°，即OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）设⊙O与OP的交点为N，AB与OP的交点为E，连接AN，AM，BM，∵MA＝MB，OA＝OB，∴OP是线段AB的垂直平分线，∴AB⊥OP，AE＝BE，∵OP＝9，OA＝3，∴AP＝＝6，＝OA•AP＝AE•OP，∴S△OAP∴OA•AP＝AE•OP，∴3×6＝9AE，∴AE＝2，∴AB＝4．9．解：（1）直线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OB，∵CP＝CB，OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∴∠A+∠APO＝∠CBP+∠OBA，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠CBP+∠OBA＝∠A+∠APO＝180°﹣90°＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB过O，∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）∵∠AOP＝90°，∠A＝30°，OP＝，∴AP＝2OP＝2，AO＝＝＝3，即OB＝3，∵∠A＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝120°，∵∠AOC＝90°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣90°＝30°，∴OC＝2BC，由勾股定理得：OC2＝CB2+OB2，即BC2＝（2BC）2+32，解得：BC＝，∴阴影部分的面积S＝S△OBC ﹣S扇形OBD＝3×﹣＝﹣π．10．解：（1）连接OA，∵弦AB⊥OE，∴AD＝BD＝AB，∠ODA＝90°，∴AD2+OD2＝OA2∴AD2＝42﹣（2）2＝4，∴AD＝2，∴AB＝4；（2）分两种情况讨论：情况一，在优弧上，连接OA，OB，如图1，∵OD＝2，OA＝4，∴cos∠AOD＝＝＝，∴∠AOD＝30°，∴∠AOB＝60°，∴，情况二，在劣弧上，∠ACB＝180°﹣30°＝150°，综上所述，∠ACB＝30°或150°．。
2021年九年级数学中考一轮复习 圆综合填空压轴题 提升专题训练
2021年九年级数学中考一轮复习圆综合填空压轴题培优提升专题训练（附答案）1．如图：已知⊙O的半径为6，E是⊙O上一个动点，以BE为边按顺时针方向作正方形BEDC，M是弧AB的中点，当E在圆上移动时，MD的最小值是．2．如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO ＝5，则AB2+AD2的最小值为．3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝75°，对角线BD＝2，则四边形ABCD面积的最小值为．4．如图，已知△OAB是等腰直角三角形，OA＝OB＝，点E是AB上一点，且∠AOE＝15°，以O为圆心，OE的长为半径画弧，与△OAB的三边分别交于点C、F、D，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．5．已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，A点在抛物线上，且以BC为直径的圆经过点A，A在x轴上方，则点A的横坐标为．6．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长．7．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，作直线BC，连接AB，AC，若∠P＝80°，则∠C＝°．8．已知⊙O的直径AB为4cm，点C是⊙O上的动点，点D是BC的中点，AD延长线交⊙O 于点E，则BE的最大值为．9．如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，以AB为直径在△ABC另一侧作半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD 与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，cos∠B＝，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△AB'C，P为线段AB上的动点，以点P为圆心，P A长为半径作⊙P，当⊙P与△A′B′C的一边所在的直线相切时，⊙P的半径为．11．如图，四边形ABDC内接于半圆O，AB为直径，AD平分∠CAB，AB﹣AC＝4，AD＝3，作DE⊥AB于点E，则BE的长为，AC的长为．12．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若∠CPE ＝30°，则EP的长为．13．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO＝，以线段BC为直径作⊙M交线段AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y＝ax2+bx+e，直线与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F，当EF＝BD时，则m的值为．14．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接PD，BC＝6，DP＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于．15．如图，⊙O的直径AB的长12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DE⊥AB于点E，OC ⊥DF于点C，连接CE，AF，则sin∠AEC的值是，当CE的长取得最大值时AF 的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，若点E的坐标是（﹣3，﹣1），则点F的坐标是．17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos B＝，BC＝3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，P A为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC 于点E．设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE ∥CF时，则AP的长为．18．矩形ABCD的边AB＝4，边AD上有一点M，连接BM，将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，N恰好落在CD上，过M、D、N作⊙O，⊙O与BC相切，Q为⊙O上的动点，连BQ，P为BQ中点，连AP，则AP的最小值为．19．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE 为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．20．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是．21．平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH ＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．22．如图，AB是以点O为圆心的圆形纸片的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝10，BE＝3．将阴影部分沿着弦AC翻折压平，翻折后，弧AC对应的弧为G，则点O与弧G所在圆的位置关系为．23．如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的圆O分别交BC，CD于点E，F．若AB＝13，BC＝14，CE＝9，则线段EF的长为．24．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，将扇形OAB绕边OB的中点D 顺时针旋转90°得到扇形O'A'B'，弧A'B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为．25．如图所示，已知AB＝10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰三角形BPN，连接PD，DN，则△PDN的面积的最大值是．26．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点．将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点E．若∠OCD ＝45°，OC＝+1，则扇形AOB的半径长是．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M，N分别为AD，AC上的动点（不含端点），AN＝DM，连接点M与矩形的一个顶点，以该线段为直径作⊙O，当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时，线段DM的长为．参考答案1．解：如图，连接MO，延长MO交⊙O于T，连接BT，OE，BD．∵M是弧AB的中点，AB是直径，∴MT⊥AB，∵OB＝OT＝6，∴∠OBT＝∠OTB＝45°，∴BT＝OB，∵四边形BCDE是正方形，∴∠EBD＝∠OBT＝45°，BD＝BE，∴∠OBE＝∠TBD，＝＝，∴△TBD∽△OBE，∴＝＝，∴TD＝OE＝6，∵DM≥TM﹣TD，∴DM≥12﹣6，∴DM的最小值为12﹣6．故答案为：12﹣6．2．解：如图，连接OA．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AM＝MC＝BM＝MD，∠BAD＝90°，∴AB2+AD2＝BD2，∴BD的值最小时，AB2+AD2的值最小，∵AM≥OM﹣OA，OM＝5，OA＝3，∴AM≥2，∴AM的最小值为2，∴BD的最小值为4，∴AB2+AD2的最小值为16，故答案为16．3．解：如图，连接AC，∵AB＝CB，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，将△DBC绕点B顺时针旋转60°得△HBA，连接DH，则BD＝BH＝2，∠HBD＝60°，∴△HBD是等边三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝S△BDH﹣S△ADH，∵BD＝2，是定值，∴S△BDH是定值，∴当△ADH的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，∵∠ADC＝75°，∠ABC＝60°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣75°﹣60°＝225°，∴∠DAH＝360°﹣∠BAD﹣∠HAB＝360°﹣225°＝135°，∵点A在定圆⊙O（△ADH的外接圆）上运动，当O、A、B共线时，△ADH的面积最大，此时，OB⊥DH，设OA交DH于K，则HK＝KD＝1，∵AH＝AD，∴∠AHD＝∠ADH＝22.5°，在HK上取一点F，使FH＝AF，则△AKF是等腰直角三角形，设AK＝FK＝x，则AF＝FH＝x，∴1＝x+x，∴x＝﹣1，∴△ADH面积的最大值＝×2×（﹣1）＝﹣1，∴四边形ABCD的面积的最小值＝×22﹣（2﹣2）＝﹣+1．故答案为：﹣+1．4．解：如图，连接OF．作OH⊥EF于H．由题意：∠AOE＝∠FOB＝15°，∠EOF＝90°﹣15°﹣15°＝60°，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝，∴AB＝2，∵OH⊥AB，OA＝OB，∴AH＝BH，∴OH＝AB＝，∠EOH＝∠FOH＝30°，∴OF＝＝2，∴S阴＝（S△AOB﹣2•S扇形EOC﹣S△EOF）+（S扇形OEF﹣S△OEF）＝××﹣2×﹣×22+﹣×22＝3+﹣2．故答案为3+﹣2．5．解：对于抛物线y＝﹣x2+2x+8，令y＝0，得到x2﹣2x﹣8＝0，解得x＝﹣2或4，不妨设B（﹣2，0），C（4，0），A（m，﹣m2+2m+8），由题意（m﹣1）2+（﹣m2+2m+8）2＝9，∴（m﹣1）2﹣32+（m+2）2•（m﹣4）2＝0，∴（m﹣4）（m+2）+（m+2）2•（m﹣4）2＝0，∴（m+2）（m﹣4）[1+（m+2）（m﹣4）]＝0，∴（m+2）（m﹣4）（m2﹣2m﹣7）＝0，解得m＝﹣2或4或1±2，∵点A在x轴的上方，∴点A的横坐标为1±2．6．解：连接BM，则AB＝BE＝BM，设BM＝R，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝BE，∠B＝∠BCD＝90°，∵DM＝VE，∴CM＝BC，∵的长为2π，∴＝2π，解得：R＝4，即BM＝BE＝CD＝AB＝4，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，BC＝CM＝2，∴CE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．7．解：连接OA，∵过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，∴∠C＝AOB＝50°，故答案为：50．8．解：如图，以OB为直径作⊙K，当直线AE切⊙K于D时，BE的值最大．∵AE是⊙K的切线，∴DK⊥AE，∴∠ADK＝90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ADK＝∠AEB，∴DK∥BE，∴＝，∴＝，∴BE＝，故答案为．9．解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，∵AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，∴AB＝6，∴O′A＝OA＝3，延长BC交⊙O于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠E＝90°，设⊙O′与BC相切于点G，则∠O′GB＝90°，∴∠E＝∠O′GB，∴AE∥O′G，∵∠ABC＝30°，AB＝6，∴AE＝O′G＝3，∴四边形O′AEG为平行四边形，∴AO′∥BE，∴∠O′AB＝∠ABC＝30°，作O′M⊥AF于M∵O′A＝3，∠O′AB＝30°，∴AM＝MF＝，∴AF＝2AM＝．故答案为：．10．解：①当⊙P与△A′B′C的A′B′边所在的直线相切时，即：⊙P′所在的位置，设切点为H点，圆的半径为R，BC＝3，cos∠B＝，则sin∠B＝＝sin∠AB′H，则AC＝A′C＝4，BC＝CB′＝3，AB′＝AC﹣B′C＝1，sin∠AB′H＝＝＝，则R＝，②当⊙P与△A′B′C的A′C边所在的直线相切时，即：⊙P′′所在的位置，同理，可得：R＝；故：答案为：或．11．解：如图，作DF⊥AC交AC的延长线于F．∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵∠DAC＝∠DAB，∴＝，∴CD＝DB，∵∠F＝∠DEB＝90°，∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），∴CF＝BE，∵∠F＝∠AED＝90°，AD＝AD．DF＝DE，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF＝AE，∵AB﹣AC＝AE+EB﹣（AF﹣CF）＝2BE＝4，∴BE＝2，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AE•AB，设AE＝x，则有：63＝x（x+2），解得x＝7或﹣9（舍弃），∴AE＝7，∴AB＝AE+BE＝9，∵AB﹣AC＝4，∴AC＝5，故答案为2，5．12．解：如图，连接AC，AE，∵AB＝BC＝4，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E为BC的中点，∴BE＝CE＝2，AE⊥BC，∠EAC＝30°，∴AC是以CE为弦的圆的直径，设圆心为O，当⊙O与CD边交于P1，则∠EP1C＝30°，∵∠ECP1＝105°，∴∠P1EC＝45°，过C作CH⊥P1E于H，∴EH＝CH＝CE＝，∴P1H＝HC＝，∴P1E＝+；当⊙O与AD交于P2，A（P3），∵AD∥CE，∴∠ECP2＝∠AP2C＝90°，∴四边形AECP2是矩形，∴P2E＝AC＝4，P3E＝P2C＝2，当⊙O与AB交于P4，∵∠AP4C＝90°，∠EP4C＝30°，∴∠BP4E＝60°，∴△BP4E是等边三角形，∴P4E＝BE＝2，综上所述，若∠CPE＝30°，则EP的长为或4或2或2，故答案为：或4或2或2．13．解：∵tan∠ABO＝＝，且A（1，0），∴OB＝2，即：点B的坐标为（0，2）．点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y＝ax2+bx+e上，∴，解得：b＝﹣，a＝，∴x＝﹣＝．∵EB＝﹣（1+m），FB＝﹣m，EF＝FB﹣EB＝1，∴线段EF的长是定值1．∴BD＝EF＝1．如图所示，连接CD∵BC为直径∴∠CDB＝90°∴∠CDA＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO∴△CAD∽△BAO∴＝A（1，0），B（0，2），C（m，0），∴AB＝，AC＝1﹣m，AO＝1∵BD＝1∴AD＝﹣1∴＝∴1﹣m＝5﹣∴m＝故答案为：．14．解：∵∠ADC＝90°，P是AC中点，∴AC＝2DP＝8，又∵BC＝6，∴AB＝10，则CD＝＝＝，∴BD＝＝，如图1，若⊙O与CD相切，则⊙O的半径r＝BD＝；如图2，若⊙O与CP相切，则BO＝OE＝r，AO＝10﹣r，由OE⊥AC知OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝；如图3，若⊙O与DP所在直线相切，切点F，则OF⊥DP，即∠OFD＝∠ACB＝90°，OB＝OF＝r，∴OD＝BD﹣BO＝﹣r，∵∠ODF＝∠ADP＝∠A，∴△ODF∽△BAC，∴＝，即＝，解得r＝；综上，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于或或，故答案为：或或．15．解：如图1，连接OD，∴DO＝AB＝6，∵OC⊥DF，∴∠OCD＝90°，CD＝CF＝DF＝2，在Rt△OCD中，根据勾股定理得，OC＝＝4，∴sin∠ODC＝＝＝，∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°＝∠OCD，∴点O，C，D，E是以OD为直径的圆上，∴∠AEC＝∠ODC，∴sin∠AEC＝sin∠ODC＝，如图2，∵CE是以OD为直径的圆中的弦，CE要最大，即：CE是以OD为直径的圆的直径，∴CE＝OD＝6，∠COE＝90°，∵∠OCD＝∠OED＝90°，∴四边形OCDE是矩形，∴DF∥AB，过点F作FG⊥AB于G，易知，四边形OCFG是矩形，∴OG＝CF＝2，FG＝OC＝4，∴AG＝OA﹣OG＝4连接AF，在Rt△AFG中，根据勾股定理得，AF＝＝4，故答案为，4．16．解：过点P作AP⊥EF交EF于点A，连接PE，设OP＝x，∵⊙P与x轴相切于原点O，∴OP⊥OE，∵平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，∴四边形APOB是矩形，∴AB＝OP＝x，∵点E的坐标是（﹣3，﹣1），∴AP＝OB＝3，AE＝AB﹣BE＝x﹣1，在Rt△ABE中，32+（x﹣1）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝4，∵AF＝AE，∴EF＝8，∴BF＝EF+BE＝9，∴点F的坐标是（﹣3，﹣9）．故答案为（﹣3，﹣9）．17．解：如图，连接CF，过点P作PG⊥AC于G，设P A＝x．在Rt∠ACB中，∵ACB＝90°，BC＝3，cos B＝＝，∴AB＝5，AC＝＝＝4，∵PG⊥AD，∴AG＝DG＝P A•cos∠BAC＝x，∴AD＝x，CD＝4﹣x，∵∠ABC+∠A＝90°，∠PEC+∠CDE＝90°，∵∠A＝∠PDA，∴∠ABC＝∠PEC，∵∠ABC＝∠EBP，∴∠PEC＝∠EBP，∴PB＝PE，∵点Q为线段BE的中点，∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，∴PF＝CD，当点P在边AB的上时，x＝4﹣x，x＝，当点P在边AB的延长线上时，x＝x﹣4，x＝，综上所述，当PE∥CF时，AP的长为或．18．解：设⊙O与BC的交点为F，连接OB、OF，如图1所示．∵△MDN为直角三角形，∴MN为⊙O的直径，∵BM与⊙O相切，∴MN⊥BM，∵将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，∴MB＝MN，∴△BMN为等腰直角三角形，∵∠AMB+∠NMD＝180°﹣∠AMN＝90°，∠MBA+∠AMB＝90°，∴∠NMD＝∠MBA，且BM＝NP，∠A＝∠NMD＝90°，∴△ABM≌△DMN（AAS），∴DM＝AB＝4，DN＝AM，设DN＝2a，则AM＝2a，OF＝4﹣a，BM＝＝2，∵BM＝MP＝2OF，∴2＝2×（4﹣a），解得：a＝，∴DN＝2a＝3，OF＝4﹣＝，∴⊙O半径为，如图2，延长BA，使AH＝AB＝4，连接HQ，OH，过O作OG⊥AB于G，∵AB＝AH，BP＝PQ，∴AP＝HQ，HQ∥AP，∴当HQ取最小值时，AP有最小值，∴当点Q在HO时，HQ的值最小，∵HG＝4+4﹣＝，GO＝3+4﹣2＝5，∴OH＝＝＝，∴HQ的最小值＝﹣＝，∴AP的最小值为，故答案为：．19．解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，BC＝AB2＝，∠DCG＝90°，∵CG＝BG＝，∴DG＝＝＝，∵BE是直径，∴∠BHE＝∠BHC＝90°，∵BG＝GC，∴HG＝BC＝，∵DH≥DG﹣HG，∴DH≥﹣＝，∴DH的最小值为．故答案为．20．解：对于抛物线y＝x2﹣x﹣1，令x＝0，得到y＝﹣1，∴C（0，﹣1），令y＝0，x2﹣x﹣1＝0，解得x＝5或﹣，∴A（﹣，0），B（5，0），∵PQ是切线，∴PQ⊥BQ，∴∠PQB＝90°，∴PQ＝＝，∴PB的值最小时，PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当BP′⊥AC于P′时，BP′的值最小，∵OA＝，OC＝1，∴tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，∴BP′＝AB•sin30°＝6×＝3，∴PQ的最小值＝＝，故答案为．21．解：设PB交⊙O于点N，连接P A，延长PB、AC交于点M，∵AB是直径，PH⊥CB∴∠ANP＝90°＝∠ACB＝∠H，∴MC∥PH，由圆的对称性可得，P A＝PB，∠BPO＝∠APO＝∠APB，∵∠BPH＝2∠BPO，∴∠BPH＝∠APB，∴△PHB≌△PNA（AAS），∴PN＝PH＝15，由MC∥PH得，∠HPB＝∠M＝∠APM，∴AM＝AP＝PB，∵AN⊥PM，∴PM＝2PN＝30，由△PHB∽△MCB，∴＝＝，设MC＝a，BC＝b，MB＝c，则HB＝24﹣b，PB＝30﹣c，∴＝＝，∴＝＝sin M＝sin∠HPB，∴cos∠HPB＝在Rt△PHB中，PH＝15，∴PB＝＝＝25，HB＝sin∠HPB•PH＝20，∴BC＝24﹣20＝4，MB＝30﹣25＝5，则MC＝＝3，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝AM﹣MC＝25﹣3＝22，∴tan∠BAC＝＝＝，故答案为：．22．解：过O作OM⊥AC，交⊙O于F，交弧G于H，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴OA＝OB＝OG＝OD＝5，∵BE＝3，∴OE＝2，在Rt△OED中，由勾股定理得：CE＝＝＝，在Rt△AEC中，AC＝＝＝，∵OF⊥AC，∴AM＝AC＝，由勾股定理得：OM＝＝＝，由折叠得：弧G所在圆与圆O是等圆，∴弧G所在圆的半径为5，∴MH＝FM＝5﹣，∵5﹣＜，∴FM＜OM，∴O在G所在圆外，故答案为：点在圆外．23．解：如图，连接AE，AF．∵BC＝14，CE＝9，∴BE＝BC﹣EC＝14﹣9＝5，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝12，∴AC＝＝＝15，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝13，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠AFE＝∠ACB，∴∠AFE＝∠DAC，∵∠AEF＝∠ACD，∴△AFE∽△DAC，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为．24．解：延长EO交O'A'于P，则由∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，D为OB中点，可得S阴影OPO′＝12﹣＝1﹣；∵O′P＝OE，∠EPO'＝90°，∴cos∠EO'P＝，∴∠EO'P＝60°，EP＝∴S阴影A′PE＝S扇形O′A′E﹣S△O′PE＝﹣××1＝﹣∴S阴影═1﹣+﹣＝1﹣+．故答案为1﹣+．25．解：连接AD，作NM⊥PB于M，∵六边形APCDEF是正六边形，∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，∴∠ADE＝60°，∴∠ADP＝30°∴PD＝P A，∵DP⊥AB，NM⊥PB∴PD∥MN，∴PM就是△PDN的PD边的高，设P A＝x．则PB＝10﹣x，∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，∴PM＝PB＝（10﹣x），∴S△PDN＝PD•PM＝×x×（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+（0＜x＜10），∴△PDN的面积的最大值为：．故答案为：．26．解：作O关于CD的对称点F，连接CF、EF，如图1所示：则EF为扇形AOB的半径，由折叠的性质得：∠FCD＝∠OCD＝45°，FC＝OC＝+1，∴∠OCF＝90°，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠COF＝45°，OF＝OC＝+，∴∠EOF＝∠AOB﹣∠COF＝75°，∵折叠后的图形恰好与半径OB相切于点E，∴∠OEF＝90°，∴∠OFE＝15°，∵cos∠OFE＝＝cos15°＝，如图2所示：∴EF＝OF×cos15°＝（）×＝2+；故答案为：2+．27．解：如图1中，当点N在CM为直径的圆上时，设DM＝AN＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝＝10，∵∠MAN＝∠DAC，∠ANM＝∠ADC＝90°，∴△ANM∽△ADC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴DM＝如图2中，当点N在BM为直径的圆上时，设BC与圆的交点为H，连接MH，NH．设DM＝AN＝y．∵BM是直径，∴∠MHB＝90°，∴∠MHC＝∠D＝∠DCH＝90°，∴四边形CDMH是矩形，∴CH＝DM＝y，∵∠NCH＝∠BCA，∠CHN＝∠CAB，∴△CNH∽△CBA，∴＝，∴＝，解得y＝，∴DM＝，故答案为或。
中考第一轮复习数学人教版九年级上册第24章 圆 难题训练 附答案
2021年中考第一轮复习数学人教版九年级上册第24章圆难题训练一．选择题（共18小题）1．如图，已知弦AB与弦CD交于点P，且P为AB的中点，延长AC、DB交于点E，若AC＝2，BD＝3，则CE+BE＝（）A．9B．3+4C．10D．62．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC 的最大值是（）A．2B．C．D．3．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（）A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤84．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，F在AC上，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（）A．BD＝CD B．四边形DHEF为矩形C．＝2D．BC＝2CE5．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时，EC＝EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（）A．5B．4C．3D．26．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE ＝BF，，OE＝1，则BC的长为（）A．2B．3C．4D．57．如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：A、B、C、D四珠顺次连接成为一个菱形，且AB＝BD．乙：A'、B'、C'、D'四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为a，其它客观因素都相同．则对于下列说法：①甲的行距比乙的小；②甲的行距为；③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积面积相同；④甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．48．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（）A．3B．2C．+1D．不能确定10．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（）A．B．C．D．﹣11．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（）A．3B．4C．5D．612．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（）A．B．C．4D．513．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连接AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A 从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．B．C．D．14．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE ＝1，EF＝，则BF的长为（）A．B．1C．D．15．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣116．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．17．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．18．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（共10小题）19．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，M，N是BC边上两个动点，若AB，AC边上分别存在点P，Q使得∠MPN＝∠MQN＝60°，则线段MN的最小值为．20．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH ＝60°，则线段EH长．21．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为弧AC上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为4，则PN+MN的长度的最大值是．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上，⊙P与x轴交于A、C两点，当⊙P与y轴相切时，AC的长度是．23．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．24．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P 为圆心，P A为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为．26．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．27．如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D 在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是．28．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是．三．解答题（共10小题）29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，点F在BC上，且BF＝DF．（1）求证：DF是半圆O的切线；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．30．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．（1）求证：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．31．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，且CD＝3，试求阴影部分的面积．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C 作CG∥BD交AD的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长．33．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若BE＝8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．35．如图在⊙O中，AB为直径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于点C，且BP＝PC，PE⊥AC于E．求证：PE是⊙O的切线．36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若OE＝3，AO＝5，求AC的长．37．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．38．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．2021年中考第一轮复习数学人教版九年级上册第24章圆难题训练参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，已知弦AB与弦CD交于点P，且P为AB的中点，延长AC、DB交于点E，若AC＝2，BD＝3，则CE+BE＝（）A．9B．3+4C．10D．6【分析】设EC＝a，EB＝b．证明△P AC∽△PDB，可得＝＝＝，推出可以假设P A＝PB＝3k，则PC＝2k，PD＝k，再证明△EAB∽△EDC，可得＝＝，构建方程组，求出a，b即可．【解答】解：设EC＝a，EB＝b．∵∠APC＝∠DPB，∠A＝∠D，∴△P AC∽△PDB，∴＝＝＝，∴可以假设P A＝PB＝3k，则PC＝2k，PD＝k，∴CD＝k，AB＝6k，∵∠E＝∠E，∠A＝∠D，∴△EAB∽△EDC，∴＝＝，∴＝＝，可得a＝，b＝，∴EC+EB＝a+b＝10，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC 的最大值是（）A．2B．C．D．【分析】延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论．【解答】解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，∵CB⊥l，∴∠DBC＝90°，∵BD＝BC，∴∠CDB＝45°，∵⊙O与直线l相切于点A，∴OA⊥l，∴∠OAD＝90°，∴∠AED＝45°，连接OC，则OC⊥DE，在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得OE＝＝，∴AD＝AE＝AO+OE＝1+．则AB+BC的最大值是+1．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．3．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（）A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤8【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论．【解答】解：（1）当点O2在点O1的右侧时，当⊙O2向右移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，则O2M＝4，又∵∠AO2O1＝30°，∴O1O2＝2•O2M＝8，当⊙O2继续向右移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2＝6﹣4＝2，所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；（2）当点O2在点O1的左侧时，根据圆的对称性可知，2≤x≤8，故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，F在AC上，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（）A．BD＝CD B．四边形DHEF为矩形C．＝2D．BC＝2CE【分析】根据圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定等矩形逐一判断即可．【解答】解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，故A正确；∵DF与⊙O相切，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∴∠EHD＝90°，∴四边形DHEF为矩形，故B正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∴AE＝BE，∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∵＝，∴＝2，故C正确；∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，即∠BCE＝67.5°，∴∠EBC＝22.5°，∴sin∠EBC＝sin22.5°＝≠．故D错误．故选：D．【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定，解决本题的关键是掌握圆的切线．5．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时，EC＝EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD＝PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误．②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误．③由∠BOC＝60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误．④证明∠EFC＝∠ECF＝45°，可判断正误；⑤由∠CBF＝∠CPB＝30°，∠DFB＝∠FBP+∠BPF，∠CBP＝∠FBP+∠CBF推出∠DFB＝∠CBP，可判断正误．【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图，∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BAH＝30°，∵BD与半圆O相切于点B．∴∠ABD＝90°，∴∠H＝60°，∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，∴∠ABP＝15°，∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，∴∠PDB不一定等于∠ABD，∴PB不一定等于PD，故①错误；②∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵直径AB＝8，∴OB＝OC＝4，∴的长度＝＝π，故②正确；③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，∵BE⊥OC，∴∠OBE＝∠CBE＝30°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝60°，故③错误；④∵＝，∴∠ABP＝15°，∵∠ABD＝90°，∠DBE＝60°，∴∠PBF＝15°，∵∠BPC＝30°，∴∠CFE＝∠FPb+∠FBP＝45°，∵∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴EC＝EF，故④正确，⑤∵∠CBF＝∠CPB＝30°，∠DFB＝∠FBP+∠BPF，∠CBP＝∠FBP+∠CBF，∴∠DFB＝∠CBP，故⑤正确，故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用．6．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE ＝BF，，OE＝1，则BC的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．利用全等三角形的性质证明AE＝CJ＝BF＝BH，CT＝BH．EH＝BH，再利用勾股定理求出EC，BC即可．【解答】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．∵AB⊥CD，∴＝，∵＝，∴＝，∴OC⊥AF，∴∠AJO＝∠CEO＝90°，∵∠AOJ＝∠COE，OA＝OC，∴△AJO≌△CEO（AAS），∴OJ＝OE，∴AE＝CJ，∵AB是直径，∴∠F＝∠CJT＝90°，∵AE＝BF，∴BF＝CJ，∵∠CTJ＝∠BTF，∴△CTJ≌△BTF（AAS），∴CT＝BT，∵TH⊥AB，CD⊥AB，∴TH∥CE，∴EH＝BH，∵＝，∴∠TBF＝∠TBH，∵∠F＝∠THB＝90°，BT＝BT，∴△BTF≌△BTH（AAS），∴BF＝BH，∵AE＝BF，∴AE＝BH，∵OA＝OB，∴OE＝OH＝1，∴EH＝BH＝2，∴AE＝BH＝2，∴AB＝6，OC＝OB＝3，∴EC＝＝＝2，∴BC＝＝＝2，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7．如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：A、B、C、D四珠顺次连接成为一个菱形，且AB＝BD．乙：A'、B'、C'、D'四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为a，其它客观因素都相同．则对于下列说法：①甲的行距比乙的小；②甲的行距为；③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积面积相同；④甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意求出甲乙的行距，阴影部分的面积即可判断．【解答】解：∵甲的株距为a，行距为a，乙的行距为a，∴甲的行距比乙的小，故①②正确，∵甲阴影部分的面积＝2×a2﹣π•（）2＝a2﹣，乙的阴影部分的面积＝a2﹣π•（）2＝a2﹣，∴甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少，故③错误，④正确．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，等边三角形的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2020÷8＝252…4，所以∁i的坐标与C4的坐标相同．【解答】解：由题意旋转8次应该循环，∵2020÷8＝252…4，∴∁i的坐标与C4的坐标相同，∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，∴C4（1，﹣），∴顶点∁i的坐标是（1，﹣），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（）A．3B．2C．+1D．不能确定【分析】如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．利用全等三角形的性质证明DE＝DF，AE＝CF，推出DA+DC＝2DF，求出DF即可解决问题．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDE＝∠BDF，∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB，∴△BDE≌△BDF（AAS），∴BE＝BF，DE＝DF，∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF，∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL），∴AE＝CF，∴AD+DC＝DE+AE+DF﹣CF＝2DF，∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝，∴BF＝BD＝，∴DF＝＝＝，∴DA+DC＝3，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（）A．B．C．D．﹣【分析】如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．解直角三角形求出CH，OH，根据OC≥OH﹣CH求解即可．【解答】解：如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．∵∠B＝30°，∴∠TOA＝60°，∵OT＝OA，∴△OTA是等边三角形，∴OT＝OA＝AT＝5，∵OH⊥AT，∴TH＝AH＝，OH＝＝＝，∵AC⊥BM，∴∠ACT＝90°，∴CH＝，∵OC≥OH﹣CH＝﹣，∴OC的最小值为＝﹣．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（）A．3B．4C．5D．6【分析】设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，根据正方形和矩形的性质得到OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，∴EG⊥BC，∵∠C＝90°，∴EG∥AC，∴∠FGE＝∠A，∵∠GFO′＝∠C＝90°，∴△O′FG∽△BCA，∴，∴＝，∴O′G＝，∴EG＝，∵GE∥AC，∴△BGE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴BE＝3，∴OO′＝HE＝BC﹣CH﹣BE＝8﹣1﹣3＝4，∴⊙O平移的距离为4，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（）A．B．C．4D．5【分析】如图，当点B与A重合时，连接CD．证明OE＝AC，此时OE的值最大．【解答】解：如图，当点B与A重合时，连接CD．∵BD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴CD是直径，∵OE⊥AD，∴AE＝ED，∵OC＝OD，∴OE＝AC＝4，此时OE的值最大，最大值为4∴OE的最大值为4，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，属于中考常考题型．13．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连接AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A 从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．B．C．D．【分析】过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F，求两个弓形的面积之差即可；【解答】解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD•sin60°＝10×＝5，S弓形ABD＝﹣×10×5＝π﹣25，当∠A＝60°时，过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，∠D'OF'＝60°，D'F'＝5，S弓形AD′＝﹣×10×5＝π﹣25，∴S＝π﹣25﹣（π﹣25）＝π．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE ＝1，EF＝，则BF的长为（）A．B．1C．D．【分析】如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．利用全等三角形的性质证明CJ＝BF，OJ＝OF，设BF＝CJ＝x，OJ＝OF＝y，构建方程组解决问题即可．【解答】解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC 交AD于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直径，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍弃）．∴BF＝，故选：A．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣1【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，∴∠OAT＝∠P AG＝30°，∴∠OAP＝∠TAG，＝＝∴＝，∴△OAP∽△TAG，∴＝＝，∵OP＝2，∴TG＝2，∵OG≤OT+GT，∴OG≤1+2，∴OG的最大值为1+2，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．16．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．【分析】如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．只要证明△EFB是等腰直角三角形，即可推出EF＝BF＝1，再利用勾股定理求出EC即可解决问题；【解答】解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．∵∠AOD＝∠BOE，∴＝，∴AD＝BE＝，∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝1，在Rt△ECF中，EC＝＝＝，∵△OCE是等腰直角三角形，∴OC＝＝．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，CN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD 为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二．填空题（共10小题）19．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，M，N是BC边上两个动点，若AB，AC边上分别存在点P，Q使得∠MPN＝∠MQN＝60°，则线段MN的最小值为．【分析】如图1，在BC边上取点M、N，以MN为边作等边三角形△MNG，并作△MNG 外接圆⊙O，则所对圆周角＝∠MGN＝60°，⊙O交AB、AC于P、Q时，易知∠MPN ＝∠MQN＝60°，则⊙O与△ABC有交点，且半径最小时MN可取得最小值，推出⊙O 与AB、AC相切时MN最小，如图2．【解答】解：如图1，在BC边上取点M、N，以MN为边作等边三角形△MNG，并作△MNG外接圆⊙O，则所对圆周角＝∠MGN＝60°，⊙O交AB、AC于P、Q时，易知∠MPN＝∠MQN＝60°，则⊙O与△ABC有交点，且半径最小时MN可取得最小值，∴⊙O与AB、AC相切时MN最小，如图2，此时OP⊥AB，OP＝r，OQ⊥AC，OQ＝r，∴圆心O在∠BAC角平分线上，即在△ABC底边上的高AD上，∴BD＝CD＝6，AD＝8，连接MO，NO，PO，圆心角∠MON＝2∠MPN＝120°，MO＝NO＝OP＝OQ，∴∠MOD＝60°，设半径为r，则，，∵∠ADB＝∠APO＝90°，∠BAD＝∠BAD，∴△APO∽△ADB，∴，即，解得，则．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．20．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长．【分析】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG ∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，∴四边形ABPN是平行四边形，∴PN＝AB＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，∴△ANG是等边三角形，∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠PCG＝∠DHC，∵∠CPG＝∠D，∴△CPG∽△HDC，∴＝，∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．21．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为弧AC上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为4，则PN+MN的长度的最大值是4+2．【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝2，∴AC＝4，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝2，∵CP＝PB，CN＝DN，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为4，∴PM+MN的最大值为4+2．故答案为：4+2．【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上，⊙P与x轴交于A、C两点，当⊙P与y轴相切时，AC的长度是﹣1．【分析】根据一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出OA和OB的长，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，根据平行线分线段成比例定理，设PD＝PC＝x，则BD＝2x，作PE⊥OA于点E，可得四边形OEPD是矩形，PD＝OE＝x，PE ＝OD＝x，4﹣2x，AE＝CE＝OA﹣OE＝2﹣x，根据勾股定理可得x的值，再根据垂径定理可得AC的长．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，如图，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，∴PD⊥OB，∵OA⊥OB，∴PD∥OA，∴＝＝，设PD＝PC＝x，则BD＝2x，∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2x，作PE⊥OA于点E，∴四边形OEPD是矩形，∴PD＝OE＝x，PE＝OD＝4﹣2x，∴AE＝CE＝OA﹣OE＝2﹣x，∴PC2＝PE2+CE2，∴x2＝（4﹣2x）2+（2﹣x）2，解得x＝，∵＞2，不符合题意舍去，∴x＝，∵PE⊥AC，根据垂径定理，得AC＝2AE＝2（2﹣x）＝4﹣（5﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了切线的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、垂径定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．23．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为32．【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝16，则AB的最大长度为32．【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（6，8），∴OC＝＝10，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为6，∴OP＝OA＝OB＝16，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为32，故答案为32．【点评】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键．24．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P 为圆心，P A为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是＜AP＜或AP＝．【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断；【解答】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，设AP＝x，则BP＝5﹣x，PE＝x，∵⊙P与边BC相切于点E，∴PE⊥BC，∵AB⊥AC，∴AC⊥PE，∴AC∥PF，∴＝，∴＝，∴x＝，AP＝；如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．．S平行四边形ABCD＝2××3×4＝5PE，PE＝，观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、B、C三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝．故答案为：＜AP＜或AP＝．【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，属于中考常考题型．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为5．【分析】如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．证明∠ACT＝45°，求出AT即可解决问题．【解答】解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．。
2021年中考九年级数学一轮专题复习：圆 压轴题综合练习(三)()
2021年中考九年级数学一轮专题复习：圆压轴题综合练习（三）1、如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证：（1）∠PBC =∠CBD; （2）BC2=AB·BD2、如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．3、如图，⊙O中，点C为的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．4、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD ⊥AM，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB 的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若CD的长．6、如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．7、如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．8、已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ,以 BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D作DE ⊥AC 于点E ,交BC 的延长线于点F 。
（1）求证：AD =BD ；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若⊙O 的半径为3，sin ∠F =53，求DE 的长。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：圆的有关性质(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习中考真题演练：圆的有关性质（附答案）1．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8D．﹣72．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D（mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000D．4×1023．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2B．C．3D．4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm5．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（）A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定6．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°7．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．108°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°9．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°10．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是．11．如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积为．12．AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM ＝2，则弦AB的长为．13．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．14．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）15．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm．16．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝度．17．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．19．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．20．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：△OAC≌△OBD．21．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．22．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．23．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．24．如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．（1）求证：N为BE的中点．（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．25．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．26．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27．如图，在▱ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A、E、C、F四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．参考答案1．解：连接AC，由题意得，BC＝OB+OC＝9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC＝9，在Rt△AOC中，AO＝＝2，∵a＜0，∴a＝﹣2，故选：A．2．解：根据图形可知，两圆相切，过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200 PO＝R﹣50根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2解得：R＝200∴D＝2R＝400＝4×102．故选：D．3．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．4．解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．5．解：如图；以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE；∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB；∵∠DAC＝∠CBE，∴∠DAC＝∠CEB；∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；∴AD＝DE；∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，∴AC+BC＞BD+AD；故选：C．6．解：连接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦AC的中点，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，∴∠OED＜20°+x，∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，∵∠CED＜∠ABC＝40°，∴20°＜∠CED＜40°故选：C．7．解：∵∠ACB＝54°，∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，故选：C．8．解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．9．解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选：B．10．解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A'重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A'对应的实数是π．故答案为：π．11．解：S阴＝πab．故答案为：πab．12．解：∵OM⊥AB，∴AM＝BM，若∠OAM＝30°，则tan∠OAM＝，∴AM＝6，∴AB＝2AM＝12；若∠AOM＝30°，则tan∠AOM＝，∴AM＝2，∴AB＝2AM＝4．故答案为：12或4．13．解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．14．解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，∴AB＝2AC＝20≈69（步）；而的长＝≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了15步．故答案为15．15．解：如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD＝AB，由图知，AB＝16﹣4＝12cm，CD＝2cm，∴BD＝6，设圆的半径为r，则OD＝r﹣2，OB＝r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2＝AD2+OD2，∴r2＝36+（r﹣2）2，∴r＝10cm，故答案为10．16．解：连接OA、OB、OC、OD，∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．17．解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．18．解：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝∠ADE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．19．解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为：20．20．证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵在△OAC和△OBD中：，∴△OAC≌△OBD（SAS）．21．（1）证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE，∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，在△BED和△CEF中，，∴△BED≌△CEF（ASA），∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，∴△AEC∽△CED，∴＝，设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴42＝x（10﹣x），解得：x＝2或x＝8（舍去）在Rt△CED中，CD＝＝＝2．22．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小桥所在圆的半径为5m．23．证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∵AO＝BO，∴AD＝BE．24．（1）证明：∵AD⊥PC，∴∠EMC＝90°，∵点P为的中点，∴，∴∠ADP＝∠BCP，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，∵，∴∠BDP＝∠ADP，∴∠DEN＝∠DBN，∴DE＝DB，∴EN＝BN，∴N为BE的中点；（2）解：连接OA，OB，AB，AC，∵的度数为90°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝8，∴AB＝8，由（1）同理得：AM＝EM，∵EN＝BN，∴MN是△AEB的中位线，∴MN＝AB＝4．25．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．26．解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′•OA＝42，而r＝4，OA＝8，∴OA′＝2，∵OB′•OB＝42，∴OB′＝4，即点B和B′重合，∵∠BOA＝60°，OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，∴A′B′＝4sin60°＝2．27．证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．∴∠AEC+∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四点共圆；（2）由（1）可知，∠AEC＝90°，则AC是直径，设AC、BD相交于点O；∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心，OB＝OD，∴OM＝ON，∴OB﹣OM＝OD﹣ON，∴BM＝DN．。
九年级数学专题复习圆综合复习
总复习圆综合复习【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角． 要点进阶：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点进阶：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点进阶：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点进阶：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点进阶：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 要点进阶：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．考点六、四点共圆 1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆． 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质例1． BC为O的弦，∠BOC=130°，△ABC为O的内接三角形，求∠A的度数.【变式】如图，∠AOB＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50B ．80或50C ．130D ．50 或130类型二、与圆有关的位置关系例2．如图，已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）例3．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A,B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？A BO【变式】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，2sin3ABC∠=，求BF的长．类型三、与圆有关的计算例4．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）类型四、与圆有关的综合应用例5．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．【变式】已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．例6．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是；（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .一、选择题1．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜22．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )A．132+B．2 C．323+D．152+3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交第2题第3题第5题4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( )A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )A．19 B．16 C．18 D．206．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB的最小值为( )A．22B．2 C．1 D．27．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______．8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．第7题第8题第9题9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，OA与OC关于点O中心对称，则AB、BC、CO、OA所围成的面积是________cm2．10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm．11．将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm．第10题第11题12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn；④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是．13．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）证明：BC是⊙O的切线；（2）若DC=4，AC=6，求圆心O到AD的距离；（3）若，求的值．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；(2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．(1)证明：AF平分∠BAC；(2)证明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．(1)证明：直线PB是⊙O的切线；(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；(3)求sin∠OPA的值．。
备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合(切线证明、长度与面积问题)
备考2021年中考一轮复习数学几何压轴专题：圆的综合练习一：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC 于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB＝4，且点E是的中点，求DF的长为；②取的中点H，当∠EAB的度数为30°时，求证：四边形OBEH为菱形．2．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．3．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C，D，E均在⊙O上（不与A，B重合），EA 的延长线交DC的延长线于点F，过点A作⊙O的切线AG交DF于点G，连接AC，AD，DE，DB．（1）求证：∠DAG＝∠FCA．（2）填空：①当DB＝，△ACG是等腰直角三角形；②当DB＝，四边形ODCA是平行四边形．4．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC的度数．（2）求证：△PCM为等边三角形．（3）若PA＝1，PB＝3，求△PCM的面积．5．以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D．（1）如图1，过点D作⊙O的切线交AC于E，若点E为线段AC中点，求证：AC与⊙O相切．（2）在（1）的条件下，若BD＝6，AB＝10，求△ABC的面积．（3）如图2，连OC交⊙O于E，BE的延长线交AC于F，若AB＝AC，CE＝AF＝4，求CF的长．练习二：6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点F．连接AE．（1）求证：AE平分∠CAD；（2）连接DF，交AE于点G，若⊙O的直径是12，AE＝10，求EG的长；（3）连接CD，若∠B＝30°，CE＝2，求CD的长．7．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D、E、F．（1）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，求证：内切圆半径r＝（a+c﹣b）（2）若AD交圆于P，PC交圆于H，FH∥BC，求∠CPD；（3）若r＝3，PD＝18，PC＝27，求△ABC各边长．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O．AC为直径，AC、BD交于E，＝．（1）求证：AD+CD＝BD；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，求证：EA2+CF2＝EF2；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB、BC的垂线垂足分别为G、H，连GH、BO交于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O半径．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且BE＝2，CD＝8，点G是⊙O上一动点，连结AD，AG，GD，BC．（1）求直径AB的长；（2）若G是上任意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中添加线段或字母），并说明理由；（3）当△ADG和△CEB相似时，求此时AG的长．10．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则＝；（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当＝时，求的值．练习三：11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．12．P是以AB为直径的半圆上一动点（P与A、B不重合），O为圆心，CO⊥AP，OC、BC与AP分别相交于D、E两点，AB＝12．（1）若∠ABC＝35°，求∠PAB的度数；（2）若AP平分线段BC，求弦AP的长度；（3）是否存在点P，使△PBC的面积为整数，如果存在，这样的P点有几个？（直接写出结果，不需写出解题过程．）13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．14．定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形（1）求美角∠C的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为2，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD＝AC．15．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若＝，求的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若＝k，求的值．（用含k的式子表示）参考答案1．解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴∠ADF＝∠BDG＝90°∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°∴∠DAF＝∠DBG∵∠ABD+∠BAC＝90°∴∠ABD＝∠BAC＝45°∴AD＝BD∴△ADF≌△BDG（ASA）；（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE＝∠DAE∵FD⊥AD，FH⊥AB∴FH＝DF，∵sin∠ABD＝＝sin45°＝，∴，即BF＝FD，∵AB＝4，∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，∴，∴＝4﹣2．故答案为：4﹣2．②证明：如图3，连接OH，EH，OE，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，∴∠ABE＝60°，∵点H是的中点，∴∠AOH＝∠HOE＝60°，∵OH＝OE＝OB，∴△OEH和△OBE都是等边三角形，∴OB＝OH＝HE＝BE，∴四边形OBEH为菱形．2．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCA＝∠OCB，∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∴CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AD⊥CD∴∠ADC＝∠ACB＝90°又∵∠DCA＝∠B∴△ACD∽△ABC∴＝，即＝，∴AC＝4，即AC的长为4；（3）解：AC＝BC+EC；理由如下：在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵∠DAB＝45°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（SAS），∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴△EFC为等腰直角三角形．∴CF＝EC，∴AC＝AF+CF＝BC+EC．3．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵AG是⊙O的切线，∴∠OAG＝90°，即∠DAG+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠DAG，∵四边形ACDB是⊙O的内接四边形，∴∠DCA+∠DBA＝180°，又∵∠DCA+∠FCA＝180°，∴∠FCA＝∠DBA，∴∠DAG＝∠FCA；（2）解：①如图1所示：∵△ACG是等腰直角三角形，∴CG＝AG，AG⊥CG，∴∠CAG＝∠GCA＝45°，∵AG是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠CDA＝∠CAG＝45°，∴点D与点C重合，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝×4＝2，故答案为：2；②如图2所示：连接OC，∵四边形ODCA是平行四边形，∵OA＝OD，∴平行四边形ODCA是菱形，∴OC＝OA＝AC，∴△OAC是等边三角形，∴∠BAD＝∠OAC＝×60°＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴DB＝AB＝×4＝2，故答案为：2．4．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°；（2）∵∠BPC＝∠BAC＝60°，∵CM∥BP，∴∠PCM＝∠BPC＝60°，又由（1）得∠APC＝60°，∴△PCM为等边三角形；（3）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM＝∠BCP+∠PCA，∴∠BCP＝∠ACM，在△BCP和△ACM中，，∴△BCP≌△ACM（SAS），∴CM＝CP，AM＝BP＝3，∴CM＝PM＝1+3＝4，作PH⊥CM于H，在Rt△PMH中，∠PMH＝60°，PM＝4，∴PH＝2，∴S △PCM＝PH•CM＝×4×2＝4．5．证明：（1）连接OD，OE，AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵点E为线段AC中点，∴AE＝EC，∴AE＝DE，在△ODE与△OAE中，∴△ODE≌△OAE（SSS），∴∠ODE＝∠OAE，∵⊙O的切线交AC于E，∴∠ODE＝90°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AC，即AC与⊙O相切；（2）如图1，连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝8，∵tan∠ABD＝，∴∴AC＝，∴S△ABC＝×AC×AB＝＝；（3）如图，作FH∥AB交OC于H，设半径为r△FEH为等腰三角形∵AC＝AB＝2r∴CF＝2r﹣4∵△CFH∽△OAC∴∴HF＝r﹣2∴EH＝r﹣2∴HC＝4﹣（r﹣2）＝6﹣r∵△CFH∽△OAC∴∴∴r＝1±∴r＝1+∴CF＝2r﹣4＝2﹣26．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵BC是⊙O切线∴OE⊥BC∴∠OEB＝90°，且∠ACB＝90°∴OE∥AC∴∠CAE＝∠AEO∴∠CAE＝∠EAO∴AE平分∠CAD（2）连接DE，∵AD是直径∴∠AED＝90°，∵AD＝12，AE＝10∴DE＝＝2∵∠EDF＝∠EAC＝∠EAD，∠AED＝∠AED ∴△DEG∽△AED∴∴DE2＝AE×EG∴44＝10×EG∴EG＝4.4（3）如图，过点D作DP⊥BC于点P∵∠B＝30°，∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°，AB＝2AC∵AE平分∠CAB∴∠CAE＝∠BAE＝30°∴∠B＝∠EAB＝30°∴AE＝BE，∵∠CAE＝30°，CE＝2，∠ACB＝90°∴AE＝2CE＝4，AC＝CE＝6，∴AB＝2AC＝12∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，AE＝4∴DE＝4，AD＝8∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4∵PD⊥BC，∠B＝30°，BD＝4∴PD＝2，PB＝2，∴CP＝CE+BE﹣PB＝2+4﹣2＝4在Rt△CDP中，CD＝＝27．解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE ∴∠B＝∠ODB＝∠OFB＝90°∴四边形BDOF是矩形∵OD＝OF＝r∴矩形BDOF是正方形∴BD＝BF＝r∴AE＝AF＝AB﹣BF＝c﹣r，CE＝CD＝BC﹣BD＝a﹣r∵AE+CE＝AC∴c﹣r+a﹣r＝b整理得：r＝（a+c﹣b）（2）取FH中点O，连接OD∵FH∥BC∴∠AFH＝∠B＝90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH＝∠ODB＝90°∴∠CPD＝∠DOH＝45°（3）设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于点G，连接PG，过O作OM⊥PD于M ∴∠OMD＝90°∵PD＝18∴DM＝PD＝9∵BF＝BD＝OD＝r＝，∴OM＝∴tan∠MOD＝∵DG为直径∴∠DPG＝90°∴OM∥PG，∠G+∠ODM＝90°∴∠G＝∠MOD∵∠ODB＝∠ADB+∠ODM＝90°∴∠ADB＝∠G∴∠ADB＝∠MOD∴tan∠ADB＝＝tan∠MOD＝3∴AB＝3BD＝3r＝∴AE＝AF＝AB﹣BF＝设CE＝CD＝x，则BC＝+x，AC＝+x ∵AB2+BC2＝AC2∴解得：x＝∴BC＝12，AC＝15∴△ABC各边长AB＝，AC＝，BC＝8．解：（1）延长DA至W，使AW＝CD，连接WB，∵＝，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AB＝BC，∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠WAB＝180°，∴∠BCD＝∠WAB，在△BCD和△BAW中，，∴△BCD≌△BAW（SAS），∴BW＝BD，∴△WBD是等腰直角三角形，∴AD+DC＝DW＝BD；（2）如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，则α+β＝45°，过B作BE的垂线BN，使BN＝BE，连接NC，在△AEB和△CNB中，，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°，∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN，∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）得EA2+CF2＝EF2，∴EA2+CF2＝EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形COMH＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∴AE＝3，CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），∴（3）2+[（k+3）]2＝[（8k﹣3）]2，整理，得7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1，∴AB＝12，∴AO＝AB＝6，∴⊙O半径为6．9．解：（1）如图1，连接OC，设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，∵BE＝2，∴OE＝r﹣2，∵直径AB⊥CD，∴CE＝CD＝4，在Rt△OEC中，根据勾股定理得，OC2﹣OE2＝CE2，∴r2﹣（r﹣2）2＝16，∴r＝5，∴AB＝2r＝10，即：直径AB的长为10；（2）∠AGD＝∠ABC＝∠ADC，理由：∵直径AB⊥CD，∴，∴∠ABC＝∠AGD（等弧所对的圆周角相等），∵∠ADC＝∠ABC，∴∠AGD＝∠ABC＝∠ADC；（3）∵CD⊥AB，∴∠BEC＝90°，由（2）知，∠AGD＝∠CBE，∵△ADG与△CEB相似，∴∠ADG＝∠BEC＝90°或∠DAG＝∠BEC＝90°，①当∠ADG＝90°时，∴AG是⊙O的直径，∴点G和点B重合，此时，AG＝AB＝10；②当∠DAG＝90°时，∴DG是⊙O的直径，DG＝10，如图2，在Rt△BEC中，BE＝2，CE＝4，∴BC＝＝2，∵△DAG∽△CEB，∴，∴，∴AG＝2，即：当△ADG和△CEB相似时，AG的长为10或2．10．解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC＝AB，在等腰直角三角形DAB中，DA＝DB＝AB，∴DA+DB＝AB＝CD，∴＝；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，∴∠NBC＝∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，∵AC＝BC，∴∠BDC＝∠CDA＝∠DAM＝45°，∴AM＝DA，DN＝DB，∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），即DA+DB＝DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB＝DC＝t，∴（t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣m2，∴S△ADB＝DA•DB＝t2﹣m2，∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则HE＝GE，四边形DHEG为正方形，由（1）知，∴AC＝BC，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∵，设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，∴△ABD∽△PBA，∴，∴，∴DB＝16，∴AD＝＝12，设NE＝ME＝x，∵S△ABD＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，∴×12×16＝×12•x+×16•x，∴x＝，∴DE＝HE＝x＝，又∵AO＝AB＝10，∴＝×＝．11．（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，∴＝，∴AB•CP＝BD•CD．（3）解：∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，∴BD＝CD＝，∵AB•CP＝BD•CD．∴PC＝＝．12．解：如图连接BP，CP，OP，（1）∵∠ABC＝35°，∴∠AOC＝2∠ABC＝70°，∵CO⊥AP，∴∠PAB＝90°﹣70°＝20°；（2）∵AB是圆的直径，∴BP⊥AP，∵CO⊥AP，∴OC∥BP，∠CDE＝∠BPE＝90°，∵CE＝BE，∠CED＝∠BEP，∴△BPE≌△CDE，∴CD＝BP，∵AO＝BO，OC∥BP，∴2OD＝BP，∴CD＝2OD，∵OC＝AB＝6，∴OD＝2，BP＝4，由勾股定理可得，AP＝＝＝8；（3）∵OC∥BP，∴S△BPC＝S△BOP，∵OB＝6，∴当点P到OB距离为，，…，6时，S△BPC为整数，∴这样的P点有35个．13．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠BAD＝180°，∵∠C＝2∠BAD，∴∠C＝120°，∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°；（2）如图1连接OC，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC＝60°，∵OB＝OC＝OD，∴△BOC和△DOC都是等边三角形，∴OB＝OC＝OD＝BC＝DC，∴四边形OBCD是菱形，（3）如图2，连接OA，过点A作BO的垂线交BO的延长线于点N，∵∠BOD＝120°，OB＝OD，∴∠ODM＝30°，∵∠BOM＝∠DOM，∴OM⊥BD，∴OM＝r，DM＝r，∴BD＝2DM＝r，∴，∵∠ODA＝45°，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∵∠BOD＝120°，∠AOD＝90°，∴∠AOB＝150°，∴∠AON＝30°，∴AN＝OA＝r，∴S△AOB＝r2，∴△ABD的面积为r2+r2+r2＝（+）r2．14．解：（1）∵四边形ABCD是圆美四边形，∴∠C＝2∠A，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝120°；（2）由（1）知，∠A＝60°，如图1，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，∴∠E＝∠A＝60°，∵⊙O的半径为2，∴DE＝2×2＝4，在Rt△DBE中，BD＝DE•sin E＝4×＝6；（3）如图2，在CA上截取CF＝CB，由（1）知，∠BCD＝120°，∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴BC＝BF，∠BFC＝60°，∴∠AFB＝120°，∠AFB＝∠BCD，在△ABF和△BCD中，，∴△ABF≌△DBC（AAS），∴AF＝DC，∴AC＝CF+AF＝BC+CD．15．解：（1）∵BC＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠CDB＝∠COB＝30°，∵OC＝OD，点E为CD中点，∴OE⊥CD，∴∠GED＝90°，∴∠DGE＝60°；（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3∵∠COB＝60°∴OH＝＝1，∴HF＝OH＝，HB＝OB﹣OH＝2，在Rt△BHF中，BF＝＝，由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，∴∠OGB＝∠OCB，∵∠OFG＝∠CFB，∴△FGO∽△FCB，∴，∴GF＝，∴；（3）过点F作FH⊥AB于点H，设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1，∵∠COB＝60°，∴OH＝，∴HF＝，HB＝OB﹣OH＝k+，在Rt△BHF中，BF＝，由（2）得：△FGO∽△FCB，∴，即，∴GO＝，过点C作CP⊥BD于点P∵∠CDB＝30°∴PC＝CD，∵点E是CD中点，∴DE＝CD，∴PC＝DE，∵DE⊥OE，∴．。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练9：二元一次方程组(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：二元一次方程组（附答案）1．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种2．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．2种B．3种C．4种D．5种3．某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（）A．360B．480C．600D．7204．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（）A．B．C．D．5．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（）A．B．C．D．6．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km 7．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）A．1，11B．7，53C．7，61D．6，50 8．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（）A．21cm B．22cm C．23cm D．24cm9.为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是．10．若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝．11．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b＝．12．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．13．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分．若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为．14．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为．15．在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？16．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加a%．求a的值．17．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．参考答案1．解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得10m+20n+30＝200，整理得m+2n＝17，∵m、n都是正整数，0＜2n＜17，∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；当C种奖品个数为2个时，根据题意得10m+20n+60＝200，整理得m+2n＝14，∵m、n都是正整数，0＜2n＜14，∴n＝1，2，3，4，5，6；∴有8+6＝14种购买方案．故选：D．2．解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据题意得：15x+25y＝200，化简整理得：3x+5y＝40，得y＝8﹣x，∵x，y为正整数，∴，，∴有2种购买方案：方案1：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；方案2：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．故选：A．3．解：设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，则阿郁身上的钱有（3x+7y﹣240）元或（7x+3y+240）元．由题意，可得3x+7y﹣240＝7x+3y+240，化简整理，得y﹣x＝120．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下：（7x+3y+240）﹣10x＝3（y﹣x）+240＝3×120+240＝600（元）．故选：C．4．解：设绳长x尺，木长为y尺，依题意得，故选：B．5．解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：故选：B．6．解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：，解得：．∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．或者：设AC＝ykm即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C回到A．从A到C，甲、乙两车都行驶了AC，即乙车行驶ykm，也即甲车注入燃料量可行驶ykm，注入后甲车剩余油量可行驶ykm（刚好返回A地），所以对于甲车，y+y+y＝210，所以y＝70．从乙车角度，从C出发是满燃料，所以AB为：105+70÷2＝140（km）．故选：B．7．解：设有x人，物价为y，可得：，解得：，故选：B．8．解：设多摞一个碗，增高kcm，一个碗的高度是bcm由题意得，，解得：，则11只饭碗摞起来的高度为：×10+＝23（cm）．更接近23cm．故选：C．9．解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27（元），∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，∴乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72（元）．甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1+30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6+2×27＝60（元）．设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，由题意，得45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），45×0.06x＝60×0.04y，＝．故答案为：．10．解：将代入方程组，得：，①+②，得：4a﹣4b＝7，则a﹣b＝，故答案为：．11．解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，∴，解得，∴a+b＝5，故答案为5．12．解：根据题意得：．故答案为：．13．解：设艾美所在的球队胜x场，负y场，∵共踢了8场，∴x+y＝8；∵每队胜一场得2分，负一场得1分．∴2x+y＝14，故列的方程组为，故答案为．14．解：设“△”的质量为x，“□”的质量为y，由题意得：，解得：，∴第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝2×4+2＝10；故答案为：10．15．（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，根据题意列方程组，得．解得，．答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据题意，得10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，解得：m≤＝11．∵m为正整数，∴m＝11．所以，最多能购买消毒液11瓶．16．解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得，，解得：，答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+a%），解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝10，答：a的值为10．17．解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据题意得：，解得：．答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．（2）设购买a头牛，b只羊，依题意有3a+2b＝19，b＝，∵a，b都是正整数，∴①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买5头牛，2只羊11 / 11。