电磁场试题A及答案

2010-2011 学年第 1 学期末考试试题（A 卷）
电磁场与电磁波
使用班级： 08050641X-3X
一、简答题（30分，每题6分）
1 根据自己的理解，解释什么是场？标量场？矢量场？并举例说明。

场是某一物理量在空间的分布；
具有标量特征的物理量在空间的分布形成标量场；如电位场、温度场。

具有矢量特征的物理量在空间的分布形成矢量场；如电场、磁场。

2写出电流连续性方程，并说明其意义。

()()t
t r t r J ∂∂-
=⋅∇,,ρ
电荷守恒定理
3 写出坡印廷定理，并说明各部分的意义。

⎰
⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅⨯-V
V S V
V t d d )2121(d d d )(J E B H D E S H E
等式左边表示通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。

等式右边第一项表示单位时间内体积V 中所增加的电磁能量
等式右边第二项表示单位时间内电场对体积V 中的电流所做的功； 在导电媒质中，即为体积V 内总的损耗功率。

4 根据自己的理解，解释镜像法的基本原理。

用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将边界面移去，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。

5 写出麦克斯韦方程组，并说明每个方程的意义。

麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场 麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线 麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场
⎪⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD B t B E t D J H
二、计算题（每题10分，共50分）
1 求标量场3
2
yz xy u +=在点()1,1,2-M 处的梯度，以及在矢量z y x e e e l
-+=22方向的方
向导数。

()
22232yz e z xy e y e z
u e y u e x u e u z y x z y x +++=∂∂+∂∂+∂∂=∇
在点M 处的梯度为
z y x e e e u
33--=∇
矢量z y x e e e l
-+=22的单位矢量为
z y x l e e e e
3
13232-+=
因此，u 在l 方向的方向导数为
3
1-=⋅=∂∂l M
e gradu l
u
2 在直角坐标系下证明矢量恒等式()0=⨯∇⋅∇A。

3 求矢量场()z y x e e e xyz A
++=在点()2,3,1M 处的旋度以及在这点绕方向
()z y x n e e e e
++=3
1的环流面密度。

()()()xz yz e yz xy e yx xz e xyz xyz xyz z y x e e e A z y x z
y x -+-+-=∂∂∂∂∂∂=⨯∇
()
z y x e e e A 432,3,1+--=⨯∇
()()3
13143=++⋅+--z y x z y x
e e e e e e
4 电荷按体密度()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=2201a r r ρρ分布于一个半径为a 的球形区域内，其中0ρ为常数。

试计
算球内外的电场强度。

解：电场明显具有球面对称性， 0D
沿半径方向且大小只是r 的函数。

球的电荷总量为
当 a r ≥时，以球心到场点的距离为半径作一球面（高斯面），应用 高斯定律的积分形式，得
()
3
0024202
0158d 4d 4a r a r r r r r Q a
a
ρππρπρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-==⎰⎰Q
S D s
=⋅⎰
d 023002215
84a D r ρπ
π=
当 a r ≤ 时，应用高斯定律得
5 题目同题4，求球内外的电场能量。

25
20202
02
020220158d 421d 21d 21επρπεεεa r r D V D V E W a a a
e ====⎰⎰⎰
∞∞∞
2
3
002152r
a D ρ=r
a r r S D r s d 4d 0242001⎰⎰⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⋅πρ ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=5530012
5344a r r D r πρπ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=3300153a r r D ρ2
03
02152r a E ερ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=330
0153a r r E ερ
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=
===⎰⎰⎰
1052225632d 421d 21d 213702
020
2
01
002010200
a a a r r D V D V E W a a a
e επρπεεε
三、计算题（20分）
已知无界理想媒质()0,,900===σμμεε中正弦均匀平面电磁波的频率
Hz 108
=f ，电场强度3
34πj jkz y jkz x e
e e e E +--+= 。

求：（1）平面波的传播方向； （2）波的极化方式；
（3）均匀平面电磁波的相速度p v 、波长λ、相位常数k 和波阻抗η。

（4）电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；
（5）与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。

解：（1）沿z 方向传播； （2）椭圆极化； （3）s m v p /10911
80
0==
=
εμμε
()m f
v p 1==
λ
()m rad v k p
/2πω
μεω==
=
)(40Ω==
πε
μ
η （4）⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=⨯=+--3
3411π
ηηj jkz x jkz y z e e e e E e H ()()
()
m V z t e z t e e
E t E y x t j /)3
2102cos(3)2102cos(4Re 8
8πππππω+-⨯+-⨯== ()()
()
m A z t e z t e e H t H y x t
j /)2102cos(101)32102cos(403Re 8
8πππππππω-⨯++-⨯-== （5）()()2/165
*Re 21m W e H E S z
av π
=⨯= ()W S S P S
av av π165
d =⋅=⎰。