(精品)空间群
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空间群1平移群
§4.3 布洛赫定理
4.3.1 倒格矢
为晶了体讨点论阵方基便矢ai ·，abij引i入21倒,2,点i3j 阵按，下倒i列, j点关= 阵1系, 的2式, 基3定矢义为的b：i i 1,2,3 是由
{IC2Z 0}({ h 0}); { d1 0}({IC2xy 0}),{ d 2 0}({IC2xy 0});
{C4
z
}及{C
1 4
z
};
{S
4
}({IC4
z
}),{S
1 4
}({IC
1 4
z
});
{C2x }及{C2y };
{ v1 }({IC2y }),{ v2 }({IC2x });
六角密积结构的空间群D6h4（P63/mmc) 简单六角结构固体学原胞基矢为：
矢，只是次序重排了一下。
∴
E
Rtn
E
tn
∴平移群是空间群的正规子群
其实，正因为Rtn必须仍是格矢，所以R所属的旋转轴度数只
能是1, 2, 3, 4, 6。
了R所由属于的点点群群操，作就R对有一tn 定及其的基性矢质（a1,Ratn2必, a须3 是施格加矢了）严，格如的果限制确，定
那么，和可能的三十二个点群配合的基矢或基胞（即可能的晶格 排列）只能有十四种（属七个晶系）叫做14种布拉菲晶格 ( Bravais Lattice )。
a1
ck
a2 ai
a3
a 2
i
3 2
aj
为了实用，定义第四个矢量：
a4
a2
a3
a 2
i
3 2
aj
六角密积格子是由两个简单六角 格子相互移动而套构成的，平 移矢量为：
空间群
目录1历史2空间群的要素2.1元素，固定点2.2翻译2.3滑翔飞机2.4螺旋轴2.5一般公式3空间群的符号4空间群的分类系统5在其他维度的空间群5.1比贝尔巴赫的定理5.2在小尺寸的分类5.3双组与时间逆转6在3维空间群表7参考8外部链接历史在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。
费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Schönflies（1891年）和巴洛（1894）列举。
这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Schönflies通信过程中发现的230种空间群。
元素的空间群在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。
在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。
所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。
固定点的元素空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。
翻译翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。
有14种布拉维晶格可能。
空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。
空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。
有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。
数。
国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。
编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。
国际符号或赫尔曼Mauguin符号。
赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。
它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。
首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。
未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。
第十一讲—空间群(3)资料讲解
+ ,- -, + +, - - ,+
+ ,- -, + +, - - ,+
+ ,- -, + +, - - ,+
俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置 (右)对称元素分布
8 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z;
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. 1 a mmm 0,0,0.
{R|} {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
点式空间群：由全部作用于同一个公共点
上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。
۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。
۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与
空间群点群相同的位置对称性
点对称条件
1(E)或1(i)
晶系
第十一讲—空间群(3)
第九讲 空间群(I)：点式空间群
晶体的宏观外形可视作一个连续整体的有限图形，而晶体 微观结构是不连续排列的原子在三维空间的无限展开。晶体 宏观对称性是晶体结构(原子排列对称性)即微观对称的反映。
点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对 称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。
空间群：结晶学空间群就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的所有几何对称操作的集合，
它构成数学意义上的群。
第十讲 空间群(II)：非点式对称操作
点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
第十一讲—空间群(3)1
的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
第五章 空间群简介 2014
的一维不可约表示，不同
对
应不同表示（
数目= N）。
（平移群不可约表示的正交关系）
也有
（平移群不可约表示的完全关系；平移群特 征标的正交关系）
固体物理中两个重要关系式
6
二、空间群（Space group）
转动平移算符 ：
（R：点操作，
z
：空间中任一矢量） 所有可能的转动平移算符
组成的集合构成群，称为广
体的空间群（230 种） 。
是晶体空间群群元，有
是晶格平移群群元，有
10
对电子能带波函数
，n ：能带指标，有
则有：
晶体倒易空间中，
格点与
格点能量值相同。
11
因此，只需研究倒易空间1/4或1/8象限内的格点。
R
义空间群，是无限群。
y
广义：不针对任何实际物体。 狭义空间群特指晶体空间群。
O x
7
1. 封闭性
2. 单位元 3. 逆元 4. 结合律
8
◆ 平移群 {
证：
} 是广义空间群的正规子群。
有：左陪集 = 右陪集
9
晶体空间群（简称空间群）：
保持晶体的晶格结构（布拉菲格子）及其所占空
间位置不变的所有转动平移操作的集合，称为该晶
第五章 空间群简介
一、布洛赫（Bloch）定理与平移群
Bloch 定理：
：晶格平移矢量，
：波矢量。
• Bloch 定理可由群论导出。
1
原胞（晶格中反映周期性的体积最小的结构单元）由正
格子基矢表示 。格点表示为
原胞体积： 引入倒格子基矢：
正-倒格子基矢间关系：
数学上，正格矢与倒格矢表示的空间没有本质区别。
第十一讲—空间群(3)
点群
三 斜 1(C1), 1(Ci)
布拉菲点阵
P
2(C2)或2(m)
单 斜 2(C2), m(C1h), 2/m(C2h)
两个2(C2)或2(m) 正 交 222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h)
P, B P, C, I, F
4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35)
2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
62m (Li63L23P)
y
y
x
x
6m2 (Li63P3L2)
P3m1 (C31v, No. 156)
+
+
,
,++
,
+
+
,
,++
,
P31m (C32v, No. 157)
+
+
+
+
+
+
,
,++
,
+
+
,
,++
,
{R|} {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
点式空间群：由全部作用于同一个公共点
上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。
۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。
۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与
空间群点群相同的位置对称性
点对称条件
1(E)或1(i)
晶系
俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置 (右)对称元素分布
第十一讲—空间群(3)
点式操作t = = 0
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t = = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群： 结晶学空间群 就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的 所有 几何对称操作 的 集合 ，
它构成数学意义上的群。
第十讲
空间群(II)：非点式对称操作
r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc
Байду номын сангаас
点对称操作：r’ = Rr
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
Conditions limiting possible reflections
General: hkl: No conditions 0kl: k + l = 2n hkl: l = 2n Special: hkl: h + k = 2n; l = 2n hkl: h + k + l = 2n
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t = = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群： 结晶学空间群 就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的 所有 几何对称操作 的 集合 ，
它构成数学意义上的群。
第十讲
空间群(II)：非点式对称操作
r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc
Байду номын сангаас
点对称操作：r’ = Rr
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
Conditions limiting possible reflections
General: hkl: No conditions 0kl: k + l = 2n hkl: l = 2n Special: hkl: h + k = 2n; l = 2n hkl: h + k + l = 2n
空间群
滑移反射
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行与镜面的方向平移
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;
• 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平 移分量为对角线一半;
• 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移， 平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或面心 点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所 以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
Wyckoff位置 （2）
• 多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安 置一个特定原子在该位置，经过空间群的所 有对称操作，总共会产生多少个原子。 • 记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英 文字母顺序指定的位置标记。 • 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处 具有的对称元素。
空间群的描述
• 俯视图 • 矩阵 • 一般等效位置及对称元素
熊夫利推导230个空间群
• （1） 推导73个点式空间群 • （2） 分析可能的滑移面和螺旋轴 • （3) 把各种可能的布拉菲格子和h个点式 或非点式对称操作结合起来，推导可能的 非点式空间群
三斜晶系
单胞俯视图
新的反演中心是-1和单位平移操作组合而得
Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一个在y = 0， 另一个在y = ½ 位置。 通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z
第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0
或½ )，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
在非对称基元内任何一点不会再有对称 相关的位置
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(69) Fmmm
(70) Fddd
(71) Immm
(72) Ibam
(73) Ibca
(74) Imma
abc 皆为 2+⊥m
4 四方晶系 (Tetragonal) 三个方位：c，a，a+b
230 种晶体学空间群的记号
Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups 点群
晶系 (Cry stal syste m)
三斜 晶系
(Point
group)
国际 符号 (HM )
圣佛 利斯 符号 (Sch fl.)
1
C1
Ci
空间群(Space group)
P
P6/m
P622
P6m m P m2 P6/m mm P23
P63/ m P612 2
P6cc
P c2 P6/m cc F23
P652 2 P63c m P 2m P63/ mcm I23
P622 2 P63m c P 2c P63/ mmc P213
P632 P6422
2 I213
晶系 m 432
3m m m
Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 Im3
P423
F413
P432
F432
I432
2
2
P
F
F
I 3m P 3n
3m 3m
3c
Pm Pn Pm Pn Fm
m
nn
m
m
Ia d
Pa3 Ia3
P433 P413 I413
2
2
2
I
3d
Fm Fd Fd Im
cm c
m
1 三斜晶系(Triclinic) 点群
空间群
11
(1) P1
2 -1
(2) P-1
2 单斜晶系(Monoclinic) b 为唯一轴
点群
空间群
对称要素方位关系 对称要素方位关系
32
(3) P2 (4) P21 (5) C2
b 为 2 次轴或 21 螺旋轴
4m
(6) Pm (7) Pc (8) Cm (9) Cc
b 为⊥m
5 2/m
(10) P2/m (11) P21/m (12) C2/m (13) P2/c (14) P21/c (15) C2/c
P42/n P412 12
P42n m
P 21c
P4/nn c P42/ mbc
I4/m I41/a
P422 P432 P432
P4222
I422
12 2
12
P42m P42b
P4cc P4nc
I4mm
c
c
P
P
P
P
I
m2 c2 b2 n2 m2
P4/m bm P42/ mnm
P4/m nc P42/n mc
abc 皆为 2
(25) Pmm2 (26) Pmc21
(27) Pcc2 (28) Pma2
(29) Pca21
(30) Pnc2
(31) Pmn21
(32) Pba2
(33) Pna21
(34) Pnn2
(35) Cmm2
(36) Cmc21 7 mm(mm2) (37) Ccc2
(38) Amm2 (39) Abm2
P1 P
2
P2 P21 C2
单斜 晶系 m
2/m 222
mm2 正交 晶系
mm m
Pm Pc Cm Cc
P2/m
P222 Pmm 2 Pnn2
Fdd2 Pmm m Pccn Cmm m Imma
P21/ m P222 1 Pmc 21 Cm m2 Imm 2
Pnnn
Pbc m Ccc m
C2/m P212 12 Pcc2 Cmc2 1 Iba2
Pccm
Pnnm Cmm a
P2/c P212 121 Pma2
Ccc2
Ima2
Pban Pmm n Ccca
P21/C C2/c
C222 C222
1
Pca21 Pnc2
Amm Abm
2
2
Pmma Pnna Pbcn Pbca Fmm
Fddd m
F222 I222
Pmn2 1 Ama 2
Pba2 Aba2
(40) Ama2
(41) Aba2
(42) Fmm2
(43) Fdd2
(44) Imm2
(45) Iba2
(46) Ima2
a 为⊥m，b 为⊥m，c 为 2（两两垂直的对称面 交线为 2）。
(47) Pmmm
(48) Pnnn
(49) Pccm
(50) Pban
(51) Pmma (52) Pnna
空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。点群表示晶体外形上的对 称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。空间群一共 230 个，它们分 别属于 32 个点群。晶体结构的对称性不能超出 230 个空间群的范围，而其外形的对称性和 宏观对称性则不能越出 32 个点群的范围。属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间 群。
Pmna Pcca
Pnma
Imm m
Cmc m
Ibam
I2121 21 Pna21 Fmm 2
Pbam Cmca Ibca
四方 4 晶系
P4 P41 P42 P43 I4
I41
P
I
4/m 422
4mm
2m
4/m mm
3
三方 晶系 32
3m m
6
6/m 六方 晶系 622
6mm m2 6/m mm 立方 23
b 为 2+⊥m
3 斜方晶系(Orthohombic) 三个方位：a，b，c
点群
空间群
对称要素方位关系
6 222
(16) P222 (17) P2221 (18) P21212 (19) P212121 (20) C2221 (21) C222 (22) F222 (23) I222 (24) I212121
P4/m
P422
I4122 P4m m
I4cm
P 2m
I c2
P4/m mm P42/ mcm 源自41/a mdP42/ m P421 2
P4b m I41m d P 2c I 2m P4/m cc P42/ nbc I41/a cd
P4/n
P412 2
P42c m
I41cd
P 21m I 2d P4/nb m P42/n nm
(53) Pmna (54) Pcca
(55) Pbam
8 mmm
(56) Pccn (57) Pbcm
(58) Pnnm
(59) Pmmn
(60) Pbcn (61) Pbca
(62) Pnma (63) Cmcm
(64) Cmca
(65) Cmmm
(66) Cccm
(67) Cmma
(68) Ccca
P4/n mm P42/n cm
P4/nc c I4/m mm
P42/ mmc I4/mc m
P3 P31 P32 R3
P
R
P312
P3m1 P 1m
P321
P31 m P 1c
P3112
P3c1 P m1
P312 1 P31c
P c1
P322
P3212
R32
1
R3m R3c
R Rc
m
P6 P61 P65 P62 P64 P63