(二)点群、单形及空间群
名词解释
点群：一个结晶多面体所有的全部宏观对称要素的集合，称为该结晶多面体的点群。
对称型：晶体结构中所有点对称要素（对称面、对称中心、对称轴和旋转反伸轴）的集合称为对称型，也称点群。
空间群：空间群：指在一个晶体结构中所存在的一切对称要素的集合。
它由两部分组成，一是平移轴的集合（也就是平移群），另外是除平移轴之外的所有其他对称要素的集合（与对称型相对应）。
无规则网络假说：凡是成为玻璃态的物质和相应的晶体结构一样，也是由一个三度空间网络所构成。
这种网络是由离子多面体（三角体或四面体）构筑起来的。
晶体结构网是由多面体无数次有规律重复构成，而玻璃中结构多面体的重复没有规律性。
网络形成体：单键强度大于335KJ/mol的氧化物，可单独形成玻璃。
网络变性（改变）体：单键强度小于250KJ/mol的氧化物，这类氧化物不能形成玻璃，但是能改变网络结构。
从而使玻璃性质改变。
正尖晶石；二价阳离子分布在1／8四面体空隙中，三价阳离子分布在l／2八面体空隙的尖晶石。
反型尖晶石：二价阳离子分布在八面体空隙中，三价阳离子一半在四面体空隙中，另一半在八面体空隙中的尖晶石。
萤石结构（CaF2）：F-填充在八个小立方体中心，8个四面体全被占据，八面体全空（有1+12*1/4=4个八面体空隙，其中有12个位于棱的中点，为4个晶胞所共用，1个位于体心) 。
可塑性：粘土与适当比例的水混合均匀制成泥团，该泥团受到高于某一个数值剪应力作用后，可以塑造成任何形状，当去除应力泥团能保持其形状，这种性质称为可塑性。
弗伦克尔缺陷：如果在晶格热振动时，一些能量足够大的原子离开平衡位置后，挤到晶格的间隙中，形成间隙原子，而原来位置上形成空位，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。
Frenkel缺陷的特点是：①间隙原子和空位成对出现；②缺陷产生前后，晶体体积不变。
网络形成剂：这类氧化物单键强度大于335KJ/mol，其正离子为网络形成离子，可单独形成玻璃。
液相独立析晶：是在转熔过程中发生的，由于冷却速度较快，被回收的晶相有可能会被新析出的固相包裹起来，使转熔过程不能继续进行，从而使液相进行另一个单独的析晶过程，就是液相独立析晶。
点群空间群
[111]
[100]([010])
[110] [110] [001]
[010]
a
2a+b
[001]
[100]
[210]
空间群
利用空间群信息,可以确定原子,离子,分子,原子团的具体排 列位置!尤其对于确定未知相的晶体结构具有重要意义!
空间群的国际符号符号格子类型123pnmapnma第一章晶体几何学基础第六节微观对称与空间群晶系三个位所表示的方向依次列出等轴cabcab001111110四方cabab001100010110斜方abc100010001单斜b010三斜任意方向任意方向三或六方ca2ab001100210123123第一章晶体几何学基础第六节微观对称与空间群空间群利用空间群信息可以确定原子离子分子原子团的具体排列位置
第一章
晶体几何学基础
第五节
晶系与32 晶系与32点群 32点群
7个晶系的划分和 晶体学点群 个晶系的划分和32晶体学点群 个晶系的划分和
第一章
晶体几何学基础
第五节
晶系与32 晶系与32点群 32点群
第一章
晶体几何学基础
第五节
晶系与32 晶系与32点群 32点群
第一章
晶体几何学基础
第六节
微观对称与空间群
空间群的符号 包含了空间格子类型, 对称元素及其相互之间的关系。 包含了空间格子类型, 对称元素及其相互之间的关系。 国际符号分两个部分：前半部分是平移群的符号， 国际符号分两个部分：前半部分是平移群的符号，即布拉 维格子的符号，按格子类型的不同而分别用字母P 维格子的符号，按格子类型的不同而分别用字母P、R、I、 等表示之。后半部分则是其他对称要素之集合的符号， C、F等表示之。后半部分则是其他对称要素之集合的符号， 类似于点群符号的表达, 但有的被微观对称要素取代。 类似于点群符号的ห้องสมุดไป่ตู้达, 但有的被微观对称要素取代。 空间群的国际符号
《结晶学及矿物学》复习要点
结晶学一、基本概念：1.晶体（crystal）的概念：内部质点在三维空间周期性重复排列构成的固体物质。
这种质点在三维空间周期性地重复排列称为格子构造，所以晶体是具有格子构造的固体。
2对称型（class of symmetry）晶体宏观对称要素之组合。
（点群，point group）3.空间群：一个晶体结构中，其全部对称要素的总和。
也称费德洛夫群或圣佛利斯群。
4.单形（Simple form）：一个晶体中，彼此间能对称重复的一组晶面的组合。
即能借助于对称型之全部对称要素的作用而相互联系起来的一组晶面的组合。
5.双晶：两个以上的同种晶体，彼此间按一定的对称关系相互取向而组成的规则连生晶体。
6.平行六面体：空间格子中按一定的原则划分出来的最小重复单位称为平行六面体。
是晶体内部空间格子的最小重复单位，是由六个两两平行且相等的面网组成。
7.晶胞：能充分反映整个晶体结构特征的最小结构单元，其形状大小与对应的单位平行六面体完全一致。
8．类质同像：晶体结构中某种质点为性质相似的他种质点所替代，共同结晶成均匀的单一相的混合晶体，而能保持其键性和结构型式不变，仅晶格常数和性质略有改变。
9.同质多像：化学成分相同的物质，在不同的物理化学条件下，形成结构不同的若干种晶体的现象。
10.多型：一种元素或化合物以两种或两种以上层状结构存在的现象。
这些晶体结构的结构单元层基本上是相同的，只是它们的叠置次序有所不同。
二、晶体的6个基本性质1、均一性（homogeneity）：同一晶体的任一部位的物理和化学性质性质都是相同的。
2、自限性（property of self-confinement）：晶体在自由空间中生长时，能自发地形成封闭的凸几何多面体外形。
3. 异向性（各向异性）异向性(anisotropy)：晶体的性质随方向的不同而有所差异。
4. 对称性（property of symmetry）：晶体的相同部分（如外形上的相同晶面、晶棱或角顶，内部结构中的相同面网、行列或质点等）或性质，能够在不同的方向或位置上有规律地重复出现。
点群、空间群和晶体结构PPT45页
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
点群、空间群和晶体结构
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道
点群格子及空间群
单面 平行双面 轴双面 反映双面 斜方柱 斜方四面体 斜方单锥 斜方双
对称型符号
对称特点 对 称 型 种 类
圣弗利斯 符号
国际符号
晶类名称
9．L4
C4
4
10．L44L2
D4
42
有一个 L4或L4i
11．L4PC 12．L44P 13．L44L25PC
C4h
4/m
C4v
4mm
D4h
4/mmm
14．L4i
Oh5
226
228
Oh8
229
Oh9
230
Oh10
P31 m P3 c 1 P31 c R3 m R3 c
P23 F23 I23 P213 I213 Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 Im3 Pa3 Ia3 P432 P4232 F 432 F4132 I 432 P4332 P4132 I 4132 P-43m F-43m I-43m P-43n F-43c I-43d Pm3m Pn3n Pm3n Pn3m Fm3m Fm3c Fd3m Fd3c Im3m Ia3d
对称型符号
对称特点 对 称 型 种 类
圣弗利斯 符号
国际符号
晶类名称
28．3L24L3
T
29．3L24L33PC
Th
有四个L3 30．3L4i 4L36P
Td
31．3L44L36L2
O
32．3L44L36L29PC
Oh
23 m3 -43m 43 m3m
五角三四面体 偏方复十二面体 六四面体 五角三八面体 六八面体
C6
6
D6
62
C6h
6/m
26．L66P
名词解释50716
点群：一个结晶多面体所有的全部宏观对称要素的集合，称为该结晶多面体的点群。
对称型：晶体结构中所有点对称要素（对称面、对称中心、对称轴和旋转反伸轴）的集合称为对称型，也称点群。
空间群：空间群：指在一个晶体结构中所存在的一切对称要素的集合。
它由两部分组成，一是平移轴的集合（也就是平移群），另外是除平移轴之外的所有其他对称要素的集合（与对称型相对应）。
无规则网络假说：凡是成为玻璃态的物质和相应的晶体结构一样，也是由一个三度空间网络所构成。
这种网络是由离子多面体（三角体或四面体）构筑起来的。
晶体结构网是由多面体无数次有规律重复构成，而玻璃中结构多面体的重复没有规律性。
网络形成体：单键强度大于335KJ/mol的氧化物，可单独形成玻璃。
"网络变性（改变）体：单键强度小于250KJ/mol的氧化物，这类氧化物不能形成玻璃，但是能改变网络结构。
从而使玻璃性质改变。
正尖晶石；二价阳离子分布在1／8四面体空隙中，三价阳离子分布在l／2八面体空隙的尖晶石。
反型尖晶石：二价阳离子分布在八面体空隙中，三价阳离子一半在四面体空隙中，另一半在八面体空隙中的尖晶石。
萤石结构（CaF2）：F-填充在八个小立方体中心，8个四面体全被占据，八面体全空（有1+12*1/4=4个八面体空隙，其中有12个位于棱的中点，为4个晶胞所共用，1个位于体心) 。
可塑性：粘土与适当比例的水混合均匀制成泥团，该泥团受到高于某一个数值剪应力作用后，可以塑造成任何形状，当去除应力泥团能保持其形状，这种性质称为可塑性。
-弗伦克尔缺陷：如果在晶格热振动时，一些能量足够大的原子离开平衡位置后，挤到晶格的间隙中，形成间隙原子，而原来位置上形成空位，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。
Frenkel缺陷的特点是：①间隙原子和空位成对出现；②缺陷产生前后，晶体体积不变。
网络形成剂：这类氧化物单键强度大于335KJ/mol，其正离子为网络形成离子，可单独形成玻璃。
液相独立析晶：是在转熔过程中发生的，由于冷却速度较快，被回收的晶相有可能会被新析出的固相包裹起来，使转熔过程不能继续进行，从而使液相进行另一个单独的析晶过程，就是液相独立析晶。
点群空间群和晶体结构
点群空间群和晶体结构晶体是由原子、分子或离子组成的固态物质。
在结晶过程中，这些粒子以一种有序的方式排列，形成了晶体的特定结构。
晶体结构的研究是固体科学的重要分支之一，可以帮助我们理解固体的物理、化学性质以及它们在各种应用中的作用。
点群是空间中对称性的一种表示方式。
点群描述了一个结构中的元素在一组操作下保持不变的方式。
这些操作可以是旋转、翻转或镜像。
常见的点群包括旋转群、镜面群和反演群。
每个点群由一组操作组成，这些操作在结构中的每个点上施加时，都可以保持结构的不变性。
点群对于确定晶体结构的对称性非常重要，因为它可以帮助我们预测晶体的物理性质，例如电学性、磁学性、光学性等。
空间群是点群在三维空间中的扩展。
它描述了一个晶体结构在所有操作下的对称性。
空间群由点群以及平移操作组成。
平移操作使得结构在空间中移动，形成了无穷多的平行结构。
这些平行结构可以通过空间群中的平移操作进行描述。
空间群的数量非常庞大，目前已知有230个不同的空间群。
每个空间群都有一个唯一的编号和名称，用于标识它的对称性。
晶体结构是晶体中离子、原子或分子的排列方式。
不同的晶体结构由不同的元素组成，以及不同的点群和空间群类型。
它们可以由晶体学的X射线衍射实验来确定。
X射线衍射会产生一种特殊的模式，称为衍射图样。
通过对衍射图样进行分析，可以确定出晶体中的原子或离子的位置，从而推断出晶体的结构。
晶体结构是固体科学的基础，它们在材料科学、化学、凝聚态物理学等领域中有着广泛的应用。
通过对晶体结构的研究，可以优化材料的性能，设计新型材料，解释物质的性质，并探索新的应用领域。
总而言之，点群、空间群和晶体结构是固体晶体学中的重要概念。
它们描述了晶体的对称性以及晶体中原子、离子或分子的排列方式。
通过对晶体结构的研究，我们可以了解晶体物质的性质和行为，并为材料科学和应用领域提供基础性的知识。
晶体点群、空间群简要归纳
晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。
对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。
这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。
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------来源网络，仅供参考 (二)点群、单形及空间群 点群：晶体可能存在的对称类型
。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，称32种点群
1 m m m 2 3 2 3 2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。其余类推 同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。如错误！未指定书签。，
对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。 理想晶体的形态―单形和聚形： 单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。32种对称型总共可以导出
47种单形，如错误！未指定书签。，错误！未指定书签。，错误！未指定书签。所示 聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。大量的晶体
形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态 空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。属于同一
表1- 3 32种点群及所属晶系 晶 系 三 斜 单 斜 正 交 四 方 菱 方 六 方 立 方
对 称 要 素
2 2 2 2 4 6 2/m 3
2/m 2/m 2/m 2/m 4/m 3m 6/m 4 3 m
4 2 m 3 2 6 2 m 4 3 2
4 m m 3 2/m 6 m m 4/m 3 2/m
4 2 2 6 2 2 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m ------来源网络，仅供参考
点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4 国际通用的空间群符号及其所代表的意义为： P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。 F：代表面心格子。 I：代表体心格子。 C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。 A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。 R：代表三方原始格子。 其它符号：意义与前述相同 表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表 空间群符号 P1 P1 Pm Pc Cm Cc P2 P21 C2 Pm2 Pm12 Cm2
点群符号 1 m 2 2/m 晶 系 三斜晶系 单斜晶系 晶 族 低级晶族 续表1- 4 空间群符号 Pc2 Pc12 Cc2
Pmm2 Pmc21 Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2 Pmn21
点群符号 2/m mm2 晶 系 单斜晶系 正交晶系 晶 族 低级晶族 续表1- 4 空间群符号 Pba2 Pna21 Pnn2 Cmm2 Cmc21 Ccc2 Amm2 Abm2 Ama2 Aba2 Fmm2 点群符号 mm2 晶 系 正交晶系 晶 族 低级晶族 ------来源网络，仅供参考
续表1- 4 空间群符号 Fdd2 Imm2 Iba2 Ima2 P222 P2221 P21212 P212121 C2221 C222 点群符号 mm2 222 晶 系 正交晶系 晶 族 低级晶族 续表1- 4 空间群符号 F222 I222 I212121 Pm2m2m2 Pn2n2n2 Pc2c2m2 Pb2a2n2 Pm12m2a2
点群符号 222 晶 系 正交晶系 晶 族 低级晶族 续表1- 4 空间群符号 Pn2n12a2 Pm2n2a12 Pc12c2a2 Pb12a12m2 Pc12c12n2 Pb2c12m12 Pn12n12m2
点群符号 晶 系 正交晶系 晶 族 低级晶族 续表1- 4 空间群符号 Pm12m12n2 Pb12c2n12 Pb12c12a12 Pn12m12a12 Cm2c2m12 Cm2c2a12
点群符号 晶 系 正交晶系 晶 族 低级晶族 续表1- 4 空间群符号 Cm2m2m2 Cc2c2m2 Cm2m2a2 Cc2c2a2 Fm2m2m2 Fd2d2d2
点群符号 晶 系 正交晶系 晶 族 低级晶族 续表1- 4 空间群符号 Im2m2m2 Ib2a2m2 Ib12c12a12 Im12m12a12
P4 I4 P4 P41 P42 P43
点群符号 4 晶 系 正交晶系 四方晶系 晶 族 低级晶族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 I4 I41 Pm4 Pm24 Pn4 Pn24 Im4 Ia14
P42m P42c P421m ------来源网络，仅供参考
点群符号 4 42m
晶 系 四方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 P421c P4m2 P4c2 P4b2 P4n2 I4m2 I4c2 I42m I42d
点群符号 42m
晶 系 四方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 P4mm P4bm P42cm P42nm P4cc P4nc P42mc P42bc I4mm I4cm 点群符号 4mm 晶 系 四方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 I41md I41cd P422 P4212 P4122 P41212 P4222 P42212 P4322 P43212 点群符号 4mm 422 晶 系 四方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 I422 I4122 Pm4m2m2 Pm4c2c2 Pn4b2m2 Pn4n2c2 Pm4b12m2 Pm4n12c2
点群符号 422 晶 系 四方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 Pn4m12m2 Pn4c12c2 Pm24m2c2 Pm24c2m2 Pn24b2c2 Pn24n2m2 Pm24b12c2 Pm24n12m2
点群符号 晶 系 四方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 Pn24m12c2 Pn24c12m2 Im4m2m2 Im4c2m2 Ia14m2d2 Ia14c2d2
P3 P31 P32 R3 P3 R3
点群符号 3 晶 系 四方晶系 三方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 ------来源网络，仅供参考
空间群符号 P3m1 P31m P3c1 P31c R3m R3c P312 P321 P3112 P3121 P3212 P3221 R32 P31m2
点群符号 3m 32 晶 系 三方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 P31c2 P3m21 P3c21 R3m2 R3c2 P6 P6 P61 P65 P62 P64 P63 Pm6 Pm36
点群符号 6 晶 系 三方晶系 六方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 P6m2 p6c2 P62m P62c P6mm P6cc P63cm P63mc P622 P6122 P6522 P6222 P6422 P6322 点群符号 62m 6mm 622 晶 系 六方晶系 晶 族 中级晶族 续表1- 4 空间群符号 Pm6m2m2 Pm6c2c2 Pm36c2m2 Pm36m2c2 P23 F23 I23 P213 I213 Pm23 Pn23 Fm23
点群符号 23 m
23
晶 系 六方晶系 等轴晶系 晶 族 中级晶族 高级晶族 续表1- 4 空间群符号 Fd23 Im23 Pa123 Ia123
P43m F43m I43m P43n F43c I43d P432 P4232 F432
点群符号 m2
3
43m 432
晶 系 等轴晶系 晶 族 高级晶族 续表1- 4 空间群符号 F4132 I432 P4332 P4132 I4132 Pm43m2 Pn43n2 Pm243n2 Pn243m2 Fm43m2 Fm43c2
点群符号 432 m
43m2
晶 系 等轴晶系 晶 族 高级晶族 续表1- 4 ------来源网络，仅供参考
空间群符号 Fd143m2 Fd143c2 Im43m2 Ia143d2
点群符号 m43m2
晶 系 等轴晶系 晶 族 高级晶族 1.1.3.2.htm