空间群
空间群
目录1历史2空间群的要素2.1元素，固定点2.2翻译2.3滑翔飞机2.4螺旋轴2.5一般公式3空间群的符号4空间群的分类系统5在其他维度的空间群5.1比贝尔巴赫的定理5.2在小尺寸的分类5.3双组与时间逆转6在3维空间群表7参考8外部链接历史在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。
费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Schönflies（1891年）和巴洛（1894）列举。
这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Schönflies通信过程中发现的230种空间群。
元素的空间群在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。
在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。
所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。
固定点的元素空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。
翻译翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。
有14种布拉维晶格可能。
空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。
空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。
有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。
数。
国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。
编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。
国际符号或赫尔曼Mauguin符号。
赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。
它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。
首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。
未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。
第十一讲—空间群(3)1
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群平移群
A8
D3
F2 D4
A6
A7
F3
F6
A1
y
D1 A4
F5
F1
F4 D2 A3
A2
x
D'1
晶体旳一切空间群操作能够表为：
r Ri i tn r
其中i=1,2,……h，h为空间群旳阶，而转动操作（真转动和非真转
动）Ri旳集合（i=1,2,…… h'）则构成一种点群，叫做空间群旳点
群。
一般用：G
{I };
{IC3
z
},{IC
1 3
z
};
{IC2 y },{IC2C },{IC2D };
4.2.5 二维空间群
三维 七个晶系 14种布拉菲格子
二维 四个晶系 5种布拉菲格子
晶系
单胞
点群 • 点群 空间群数
旳阶
斜形 • 简朴斜形
矩形 • 简朴矩形 • 有心矩形
C1
1
2
C2
2
C1h
2
4
C2v
三维晶体都有一种晶格，原子能够在格点上，也能够不在格点
上，如金刚石晶体旳原胞图如下：
z A8
z
A7
A5
A8
A5
A6
F3
F2
A7
A6
F6
y
F4
y
A4
A3
A1
A1
A2
x
其中，在A1~A8立主体构成常用元胞， 各点有一种碳原子，在六个面心位置
上：F1~F6也各有一种碳原子，在四
个对角线旳
1 4
处：D1~D4也各有一种
基矢：晶体学原胞 t1 ai t2 aj
第五章 空间群简介 2014
的一维不可约表示，不同
对
应不同表示（
数目= N）。
（平移群不可约表示的正交关系）
也有
（平移群不可约表示的完全关系；平移群特 征标的正交关系）
固体物理中两个重要关系式
6
二、空间群（Space group）
转动平移算符 ：
（R：点操作，
z
：空间中任一矢量） 所有可能的转动平移算符
组成的集合构成群，称为广
体的空间群（230 种） 。
是晶体空间群群元，有
是晶格平移群群元，有
10
对电子能带波函数
，n ：能带指标，有
则有：
晶体倒易空间中，
格点与
格点能量值相同。
11
因此，只需研究倒易空间1/4或1/8象限内的格点。
R
义空间群，是无限群。
y
广义：不针对任何实际物体。 狭义空间群特指晶体空间群。
O x
7
1. 封闭性
2. 单位元 3. 逆元 4. 结合律
8
◆ 平移群 {
证：
} 是广义空间群的正规子群。
有：左陪集 = 右陪集
9
晶体空间群（简称空间群）：
保持晶体的晶格结构（布拉菲格子）及其所占空
间位置不变的所有转动平移操作的集合，称为该晶
第五章 空间群简介
一、布洛赫（Bloch）定理与平移群
Bloch 定理：
：晶格平移矢量，
：波矢量。
• Bloch 定理可由群论导出。
1
原胞（晶格中反映周期性的体积最小的结构单元）由正
格子基矢表示 。格点表示为
原胞体积： 引入倒格子基矢：
正-倒格子基矢间关系：
数学上，正格矢与倒格矢表示的空间没有本质区别。
空间群
m[001]
|
1 2
,
1 2
,
0
r
金刚石滑移
空间群推导
点群
点阵 点阵对称性和点群的协调性
点式空间群 能否替换
用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群
非点操作的位置
5种平面点阵
矩形 (a≠b, 90°)
平面群：
pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
• 立方结构的晶体，其原子一般位于高对称 的位置上，如Au，Al等金属单质
平面群（自学）
• 10种平面点群，13种点式平面群 • 有滑移面非点式对称操作，17种平面群
国际表
提供的信息的是： 1. 空间群的国际符号 2. Schoenflies符号 3. 晶系 4. 晶类 5。一般等效点图： 单胞的投影，包含所有等效点位置。
一般等效位置 确定单胞内的原子数及位置
商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点 系
点阵类型加一般等效点系描述空间群
等效位置确定商群的对称性及所属的晶系 由点阵类型便知道平移群的对称性
国际表中对称操作的表示
对称操作的分类及几何符号
由对称操作的矩阵求对应的几何符号
1，查表确定对应点对称操作 2，确定对称元素的取向和位置 a，反映 b，纯旋转 c，旋转倒反
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
符号的意义：第一个字符表示布拉菲点阵， 后面的表示对称性，符号的顺序与轴的选 取有关
空间群的两个重要内容：一般等效位置的坐 标，相对特定原点的全部对称元素
空间群与点群的关系：
• 俯视图 • 矩阵
空间群的描述
• 一般等效位置及对称元素
空间群
滑移反射
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行与镜面的方向平移
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;
• 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平 移分量为对角线一半;
• 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移， 平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或面心 点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所 以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
Wyckoff位置 （2）
• 多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安 置一个特定原子在该位置，经过空间群的所 有对称操作，总共会产生多少个原子。 • 记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英 文字母顺序指定的位置标记。 • 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处 具有的对称元素。
空间群的描述
• 俯视图 • 矩阵 • 一般等效位置及对称元素
熊夫利推导230个空间群
• （1） 推导73个点式空间群 • （2） 分析可能的滑移面和螺旋轴 • （3) 把各种可能的布拉菲格子和h个点式 或非点式对称操作结合起来，推导可能的 非点式空间群
三斜晶系
单胞俯视图
新的反演中心是-1和单位平移操作组合而得
Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一个在y = 0， 另一个在y = ½ 位置。 通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z
第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0
或½ )，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
在非对称基元内任何一点不会再有对称 相关的位置
空间群k点选择
空间群k点选择全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：空间群是晶体学中研究的一个重要内容，它揭示了晶体结构的对称性和周期性。
在空间群的描述中，k点的选择是十分关键的，它不仅影响到晶体的简并度和性质，还可以用来计算材料的电子结构和光学性质。
空间群k点选择的问题也成为了晶体学中一个重要的研究方向。
在实际计算中，我们通常使用第一布里渊区（First Brillouin Zone）来代表晶体的全波矢空间。
在这个区域内，我们需要选择一组关键的k 点来描述晶体的能带结构和电子态密度分布。
这些k点的选择不仅要考虑到空间群的对称性，还要满足计算精度和效率的要求。
在实际计算中，选择合适的k点是至关重要的。
我们需要考虑到空间群的对称性在k点选择中的作用。
空间群包含了平移、旋转、镜面反射等一系列操作，而这些操作会对能带结构和电子性质产生影响。
在选择k点时，我们需要考虑到空间群的对称元素，并在合适的位置上选择k点来描述晶体的对称性。
我们还需要考虑到计算的精度和效率。
在实际计算中，我们通常会使用密度泛函理论来描述材料的电子结构，这就需要在k点网格中选取足够密集的点来积分波函数和能量。
如果选择的k点太稀疏，就会导致计算的误差增大；反之，选择的点太多，又会增加计算的时间和成本。
在选择k点时，需要平衡计算的精度和效率，选择一个既满足计算需求又具有代表性的k点网格。
在实际应用中，我们还需要考虑到晶体的特殊性质和应用需求。
不同的晶体结构会对k点的选择产生不同的影响，有些晶体可能需要更多的k点来描述其能带结构和性质，而有些晶体则可以通过较少的k点来近似描述。
在选择k点时，需要根据具体的晶体结构和应用需求来确定合适的数量和位置。
第二篇示例：空间群K点选择是凝聚态物理中一个非常重要的概念。
在固体中，晶体结构是由晶格和原子组成的，而晶格的对称性又决定了固体的物理性质。
空间群是描述晶体的对称性的数学理论，而K点则是描述晶体中的电子结构的关键点。
空间群
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
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空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。
点群表示晶体外形上的对称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。
空间群一共230个，它们分别属于32个点群。
晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围，而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。
属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。
230种晶体学空间群的记号Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups晶系(Cry stal syste m) 点群(Pointgroup)空间群(Space group) 国际符号(HM)圣佛利斯符号(Schfl.)三斜晶系1 C1 P1Ci P单斜晶系2 P2 P21 C2m Pm Pc Cm Cc2/m P2/mP21/mC2/m P2/c P21/C C2/c正交晶系222 P222P2221P21212P212121C2221C222 F222 I222I212121 mm2Pmm2Pmc21Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2Pmn21Pba2 Pna21 Pnn2Cmm2Cmc21Ccc2Amm2Abm2Ama2Aba2 Fmm2 Fdd2Imm2Iba2 Ima2mmmPmmmPnnn Pccm Pban Pmma Pnna Pmna Pcca Pbam PccnPbcmPnnmPmmnPbcn Pbca PnmaCmcmCmca CmmmCccmCmmaCccaFmmmFdddImmmIbam Ibca Imma四方晶系4 P4 P41 P42 P43 I4 I41P I4/m P4/m P42/mP4/n P42/n I4/m I41/a422 P422P4212P4122P41212P4222P42212P4322P43212I422 I41224mm P4mmP4bmP42cmP42nmP4cc P4ncP42mcP42bcI4mm I4cmI41mdI41cd2m P2mP2cP21mP21cPm2Pc2Pb2Pn2Im2 I c2I2mI2d4/m mm P4/mmmP4/mccP4/nbmP4/nncP4/mbmP4/mncP4/nmmP4/nccP42/mmc P42/mcmP42/nbcP42/nnmP42/mbcP42/mnmP42/nmcP42/ncmI4/mmmI4/mcmI41/amdI41/acd三方晶系3 P3 P31 P32 R3P R32 P312 P321 P3112P3121P3212P3221R32 3m P3m1P31mP3c1 P31c R3m R3cmP1mP1cPm1P c1RmR c六方晶系6 P6 P61 P65 P62 P64 P63P6/m P6/mP63/m622 P622P6122P6522P6222P6422P63226mmP6mmP6ccP63cmP63mcm2Pm2Pc2P2mP2c6/mmmP6/mmmP6/mccP63/mcmP63/mmc立方23 P23 F23 I23 P213 I213晶系m Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 Im3 Pa3 Ia3432 P432 P4232F432F4132I432P4332P4132I41323m P3mF3mI3m P3nF3cI3dm m PmmPnnPmnPnmFmmFmcFdmFdcImm Ia d1 三斜晶系(Triclinic)点群空间群对称要素方位关系1 1 (1) P12 -1 (2) P-12 单斜晶系(Monoclinic) b为唯一轴点群空间群对称要素方位关系3 2 (3) P2(4) P21(5) C2b为2次轴或21螺旋轴4 m (6) Pm(7) Pc(8) Cm(9) Cc b为⊥m5 2/m (10) P2/m(11) P21/m(12) C2/m(13) P2/c(14) P21/c(15) C2/c b为2+⊥m3 斜方晶系(Orthohombic) 三个方位：a，b，c点群空间群对称要素方位关系6 222 (16) P222(17) P2221(18) P21212(19) P212121(20) C2221(21) C222(22) F222(23) I222(24) I212121 abc皆为27 mm(mm2)(26) Pmc21 (27) Pcc2 (28) Pma2 (29) Pca21 (30) Pnc2 (31) Pmn21 (32) Pba2 (33) Pna21 (34) Pnn2 (35) Cmm2 (36) Cmc21(37) Ccc2 (38) Amm2 (39) Abm2 (40) Ama2 (41) Aba2 (42) Fmm2 (43) Fdd2 (44) Imm2 (45) Iba2 (46) Ima2a 为⊥m ，b 为⊥m ，c 为2（两两垂直的对称面交线为2）。
8 mmm (47) Pmmm (48) Pnnn (49) Pccm (50) Pban (51) Pmma (52) Pnna (53) Pmna (54) Pcca (55) Pbam (56) Pccn (57) Pbcm (58) Pnnm (59) Pmmn (60) Pbcn (61) Pbca (62) Pnma (63) Cmcm (64) Cmca (65) Cmmm (66) Cccm(68) Ccca(69) Fmmm(70) Fddd(71) Immm(72) Ibam(73) Ibca(74) Immaabc皆为2+⊥m4 四方晶系(Tetragonal) 三个方位：c，a，a+b点群空间群对称要素方位关系9 4 (75) P4(76) P41(77) P42(78) P43(79) I4(80) I41 c为410 -4 (81) P-4(82) I-4 c为-411 4/m (83) P4/m(84) P42/m(85) P4/n(86) P42/n(87) I4/m(88) I41/ac为4 +⊥m。
偶次轴+垂直对称面，可以产生对称中心。
12 42(422) (89) P422(90) P4212(91) P4122(92) P41212(93) P4222(94) P42212(95) P4322(96) P43212(97) I422(98) I4122c为4，垂直于c轴有4个2 (即a为2，a+b为2)13 4mm (99) P4mm(100) P4bm(101) P42cm(102) P42nm(103) P4cc(104) P4nc(105) P42mc(106) P42bc(107) I4mm(108) I4cm(109) I41md(110) I41cdc为4，同时c轴包含4个m (a为⊥m，a+b为⊥m)14 -42m (111) P-42m (112) P-42c (113) P-421m (114) P-421c (115) P-4m2 (116) P-4c2 (117) P-4b2 (118) P-4n2 (119) I-4m2 (120) I-4c2(121) I-42m(122) I-42d两种定位：1）-42m (上)：c为-4，a为2，a+b为⊥m。
2）-4m2(下)：c为-4，a为⊥m，a+b为2。
15 4/mmm (123) P4/mmm(124) P4/mcc(125) P4/nbm(126) P4/nnc(127) P4/mbm(128) P4/mnc(129) P4/nmm(130) P4/ncc(131)P42/mmc(132)P42/mcm(133) P42/nbc(134) P42/nnm(135) P42/mbc(136)P42/mnm(137) P42/nmc(138) P42/ncm(139) I4/mmm(140) I4/mcm(141) I41/amd(142) I41/acdc为4+⊥m，a为2+⊥m，a+b为2+⊥m。
5 三方晶系点群空间群对称要素方位关系16 3 (143) P3(144) P31(145) P32(146) R3c方向为3次轴或3次螺旋轴(P为六方原始格子，R为菱面体格子，下同)17 -3 (147) P-3 (148) R-3c为-318 32 (149) P312(150) P321(151) P3112(152) P3121(153) P3212(154) P3221(155) R32两种定位：1) 321：c为3，a为2，2a+b方向无(左图)2) 312：c为3，a方向无，2a+b为2 (右图)19 3m (156) P3m1 (157) P31m (158) P3c1 (159) P31c (160) R3m (161) R3c两种定位：1) 3m1：c为3，a为⊥m，2a+b方向无(上图)2) 31m：c为3，a方向无，2a+b为⊥m (下图)(实际为a包含对称面)20 -3m (162) P-31m(163) P-31c(164) P-3m1(165) P-3c1(166) R-3m(167) R-3c两种定位：1) -3m1：c为-3，a为2+⊥m，2a+b方向无(上图)2) -31m：c为-3，a方向无，2a+b为2+⊥m (下图) (实际为a包含对称面)6 六方晶系(Hexagonal) 三个方位：c，a，2a+b点群空间群对称要素方位关系21 6 (168) P6 (169) P61 (170) P65 (171) P62 (172) P64 (173) P63c为622 -6(174) P-6c为-6（即为3+⊥m）23 6/m (175) P6/m (176) P63/mc为6+⊥m24 62(622) (177) P622(178) P6122(179) P6522(180) P6222(181) P6422(182) P6322c为6，a为2，2a+b为225 6mm (183) P6mm(184) P6cc(185) P63cm(186) P63mcc为6，a为⊥m，2a+b为⊥m （6次轴包含6个对称面）26 -62m (187) P-6m2(188) P-6c2(189) P-62m(190) P-62c两种定位：1) -62m：c为-6(即3+⊥m)，a为2，2a+b为⊥m (上图)2) -6m2：c为-6(即3+⊥m)，a为⊥m ，2a+b 为2(下图)27 6/mmm (191) P6/mmm(192) P6/mcc(193)P63/mcm(194)P63/mmcc为6+⊥m，a为2+⊥m，2a+b为2+⊥m7 等轴晶系点群空间群对称要素方位关系28 23(195) P23 (196) F23 (197) I23 (198) P213 (199) I213c:2 a+b+c:329 m3(200) Pm-3 (201) Pn-3 (202) Fm-3 (203) Fd-3 (204) Im-3 (205) Pa-3 (206) Ia-3c ：2+⊥m a+b+c: -330 43（432） (207) P432 (208) P4232 (209) F432 (210) F4132(211) I432(212) P4332 (213) P4132 (214) I4132c ：4 a+b+c ：3 a+b ：231 -43m(215) P-43m (216) F-43m (217) I-43m (218) P-43n (219) F-43c (220) I-43dc：4 a+b+c：3 a+b：⊥m32 m3m (221) Pm-3m (222) Pn-3n (223) Pm-3n (224) Pn-3m (225) Fm-3m (226) Fm-3c (227) Fd-3m (228) Fd-3c (229) Im-3m (230) Ia-3d。