空间群
第十一讲—空间群(3)资料讲解
+ ,- -, + +, - - ,+
+ ,- -, + +, - - ,+
+ ,- -, + +, - - ,+
俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置 (右)对称元素分布
8 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z;
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. 1 a mmm 0,0,0.
{R|} {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
点式空间群：由全部作用于同一个公共点
上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。
۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。
۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与
空间群点群相同的位置对称性
点对称条件
1(E)或1(i)
晶系
第十一讲—空间群(3)
第九讲 空间群(I)：点式空间群
晶体的宏观外形可视作一个连续整体的有限图形，而晶体 微观结构是不连续排列的原子在三维空间的无限展开。晶体 宏观对称性是晶体结构(原子排列对称性)即微观对称的反映。
点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对 称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。
空间群：结晶学空间群就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的所有几何对称操作的集合，
它构成数学意义上的群。
第十讲 空间群(II)：非点式对称操作
点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
点群空间群和晶体结构介绍
空 间 群 可 分 为 230种
点式空间群(symmorphic space Group)
对称操作全部作用于同一个公共点上的，不包含任何一个比初基平移还要小的
平移τ。
73种
非点式空间群(Nonsymmorphic space Group)
157种
对称操作全部作用于同一个公共点上的，至少包含一个比初基平移还要小的平 移τ。
滑移面 由镜面和平移组合产生的对称元素称为滑移反映面，简称滑移面。滑移面的基本操作可表示为{m·t}， 其对称群为{m·t}p，P=0，±1，±2……。
晶体中有3种不同的滑移面，即轴向滑移、对角线滑移（又称n滑移）和金刚石滑移。 所有滑移中，都是经镜面操作后再平移单胞周期的某一分数的距离。和螺旋轴的操作相同，镜面和 平移两步操作的先后次序是不重要的。
以合适的取向放到阵点上的含义 如果希望每个阵点都具有正交对称性，那么放置物体时就必须使它的镜面和2次轴沿单胞某一轴方
向放置。这样导出的晶体结构，才会既有平移对称性又能使任何一个阵点都有C2v-mm2 的对称性。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。
图 (a)是正交点阵的阵点上放上对称性 为C2v-mm2的物体的空间群的俯视图。
附图1
除了上述两种点群，我们不可能再增加任何对称操作而使 物体仍属于三斜晶系，所以，属于三斜晶系的晶类只有两种。 Ci-1点群的对称操作最多(不严格地说它具有最高的对称性)，称 这种点群为该晶系的全对称点群。
附图1
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的正规点系的数目和点群具有对称操作 的数目相同，即与点群的阶数相同。
讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。 3.1 群的概念和基本性质
第十一讲—空间群(3)1
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群
m[001]
|
1 2
,
1 2
,
0
r
金刚石滑移
空间群推导
点群
点阵 点阵对称性和点群的协调性
点式空间群 能否替换
用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群
非点操作的位置
5种平面点阵
矩形 (a≠b, 90°)
平面群：
pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
• 立方结构的晶体，其原子一般位于高对称 的位置上，如Au，Al等金属单质
平面群（自学）
• 10种平面点群，13种点式平面群 • 有滑移面非点式对称操作，17种平面群
国际表
提供的信息的是： 1. 空间群的国际符号 2. Schoenflies符号 3. 晶系 4. 晶类 5。一般等效点图： 单胞的投影，包含所有等效点位置。
一般等效位置 确定单胞内的原子数及位置
商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点 系
点阵类型加一般等效点系描述空间群
等效位置确定商群的对称性及所属的晶系 由点阵类型便知道平移群的对称性
国际表中对称操作的表示
对称操作的分类及几何符号
由对称操作的矩阵求对应的几何符号
1，查表确定对应点对称操作 2，确定对称元素的取向和位置 a，反映 b，纯旋转 c，旋转倒反
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
符号的意义：第一个字符表示布拉菲点阵， 后面的表示对称性，符号的顺序与轴的选 取有关
空间群的两个重要内容：一般等效位置的坐 标，相对特定原点的全部对称元素
空间群与点群的关系：
• 俯视图 • 矩阵
空间群的描述
• 一般等效位置及对称元素
空间群
滑移反射
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行与镜面的方向平移
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;
• 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平 移分量为对角线一半;
• 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移， 平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或面心 点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所 以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
Wyckoff位置 （2）
• 多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安 置一个特定原子在该位置，经过空间群的所 有对称操作，总共会产生多少个原子。 • 记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英 文字母顺序指定的位置标记。 • 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处 具有的对称元素。
空间群的描述
• 俯视图 • 矩阵 • 一般等效位置及对称元素
熊夫利推导230个空间群
• （1） 推导73个点式空间群 • （2） 分析可能的滑移面和螺旋轴 • （3) 把各种可能的布拉菲格子和h个点式 或非点式对称操作结合起来，推导可能的 非点式空间群
三斜晶系
单胞俯视图
新的反演中心是-1和单位平移操作组合而得
Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一个在y = 0， 另一个在y = ½ 位置。 通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z
第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0
或½ )，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
在非对称基元内任何一点不会再有对称 相关的位置
空间群
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
第十三讲—空间群(5)
正 交 222, mm2, mmm P
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
P 21 21 21
No.
19
½
+
_
P 212121 4 D2
¼ ¼ ¼
+
¼ ¼
½+
_
½+ ½
_
+
+
¼
Origin halfway between three pairs of non-intersecting screw axes
Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
二次螺旋轴
平行于纸面
c/2 a/2或b/2 无
4 6
四次反演轴
六次旋转轴
三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴
c/3
2c/3 无
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
3
6
六次反演轴
对称面符号
符号 对称面
图示符号
垂直于投影面 平行于投影面
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
m a, b
反映面 (镜面)
轴滑移面
c n d
对角滑移面 (网)
230种空间群
空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。
点群表示晶体外形上的对称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。
空间群一共230个，它们分别属于32个点群。
晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围，而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。
属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。
230种晶体学空间群的记号
Ci
I
2m
2m P P P I
m 1m P
m2 m2
m
3m 3m I P
Pm Im m
1 三斜晶系
2 单斜晶系
3 斜方晶系
4 四方晶系
为2，
为⊥m，5 三方晶系
6 六方晶系
(191) P6/mmm 7 等轴晶系。
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目录
1历史
2空间群的要素
2.1元素，固定点
2.2翻译
2.3滑翔飞机
2.4螺旋轴
2.5一般公式
3空间群的符号
4空间群的分类系统
5在其他维度的空间群
5.1比贝尔巴赫的定理
5.2在小尺寸的分类
5.3双组与时间逆转
6在3维空间群表
7参考
8外部链接
历史
在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。
费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Schönflies（1891年）和巴洛（1894）列举。
这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Schönflies通信过程中发现的230种空间群。
元素的空间群
在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。
在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。
所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。
固定点的元素
空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。
翻译
翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。
有14种布拉维晶格可能。
空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。
空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。
有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。
数。
国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。
编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。
国际符号或赫尔曼Mauguin符号。
赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。
它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。
首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。
未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。
这些符号是相同的点群，此外滑翔飞机和螺旋轴，上述。
例如，石英的空间群为P3121，显示，它表现出原始的图案（即每单位细胞）围绕一个三重螺
旋轴和一个双重的旋转轴，的。
请注意，它并没有明确包含晶系，虽然这是独一无二的每一个空间组（在P3121的情况下，它是三角）。
在国际短符号的第一个符号（在这个例子中第31号）表示，沿轴次要（A和B）的对称性，沿主要的轴（C轴三角案件）第二（在这种情况下2）和第三个符号，在另一个方向的对称性。
在三方的情况下，还存在空间群P3112。
在这个空间的双重轴沿a和b -轴，但以一个方向旋转30度。
1935年和2002年之间略有一些空间群的国际符号和国际短期符号被改变，所以几个空间群有4种不同的的使用国际符号。
霍尔符号。
一个明确的起源与空间组符号。
旋转，平移和轴方向的符号被明确分开和反转中心是明确的定义。
建设和符号的格式，使得它特别适合于对称信息的计算机生成。
例如，第3组号码有三个霍尔符号：P 2Y（P 1 2 1），P 2（1 2），P 2X（2 1 1）。
Schönflies符号。
与给定的点群空间群编号1，2，3，... ...（在他们的国际电话号码的顺序相同），这个数字是增加一条，作为一个点群Schönflies符号标。
例如，3至5组号码的点群为C2 Schönflies符号C12，C22，C32。
舒勃尼科夫符号
2D：Orbifold符号和3D：Fibrifold符号。
顾名思义，orbifold符号描述orbifold，欧几里德空间的商空间群，而不是空间群发生器。
据介绍Conway和瑟斯顿，不使用外数学。
空间群的一些与他们有关的几个不同fibrifolds的，所以有几种不同的fibrifold符号。
Coxeter符号- 空间上和点对称群，代表纯反射Coxeter群modications。
[编辑]空间groupsThere的分类系统（至少）10个不同的方式分为类空间群。
一些这些之间的关系，下表中所述。
每个分类系统的完善它下面的。
（晶体），空间群类型（230）在三个方面。
两个空间群，被视为空间的仿射变换组的子组，具有相同的空间群类型，如果他们是一个方向保护的仿射变换的共轭。
在三维空间，仿射空间组11，有没有保存地图从它的镜像组的方向，因此如果一个区分这些每个分割镜像组分为两种情况。
因此，有54 11 = 65空间群类型，保持方向。
仿射空间群类型（219）在三个方面。
两个空间群，被视为空间的仿射变换组的子组，具有相同的仿射空间群类型，如果他们是一个仿射变换下的共轭。
仿射空间群类型是由底层的空间群的抽象组。
在三维空间中，有54仿射空间群类型保持方向。
算术水晶类（73）在三个方面。
这些都是由点群与点组翻译分组行动。
换句话说算术水晶类对应到一般线性群GLN（Z）在整数的有限子群共轭类。
空间群被称为symmorphic（或分割）如果有一个点，比如，所有的对称性是一个固定这一点和翻译的对称性的产品。
等价，空间群为symmorphic，如果它是一个其翻译亚群的点群的半直积。
有73 symmorphic空间群，正是在每个算术水晶类。
也有157 nonsymmorphic空间与不同数目的算术水晶类组类型。
（几何）水晶类（32）在三个方面。
是由点组：由翻译分组的商晶格，空间群的晶体类。
两个空间是相同的晶体类，当且仅当他们的点群，这是GL2亚群（Z）在较大的组GL2（Q）的共轭。
布拉维羊群（14日在三个层面）。
这些是由底层的布拉维点阵式。
这些对应于晶格点群共轭类GL2（z），其中晶格点群是一群修复晶格点的基础
晶格对称性，包含的点群。
水晶系统。
（7）在三个方面水晶系统晶格系统专案的修改，使其兼容的分类，根据点群。
他们不同于晶体家庭六方晶系列是分裂成两个子集，称为三方和六方晶系。
三角晶系菱形格子系统，六方晶系小于六角形晶格系统，其余的水晶系统和晶格系统是相同的。
莱迪思系统（7三个层面）。
空间群晶格系统是由晶格点群共轭类GL2（Q）的大组（GL2（Z）的一个子群）。
在三维空间中的晶格点群可以有7种不同的订单2，4，8，12，16，24，或48之一。
六方晶系列被分成两个子集，称为菱形和六角形晶格系统。
水晶的家庭（6）在三个方面。
空间群的点群并不完全确定其晶格系统，因为偶尔有两个相同的点群空间群，可能会在不同的晶格系统。
水晶家庭形成晶格系统通过合并两个晶格系统，每当发生这种情况，这样的空间群的晶体家庭是其晶格系统或点群确定。
在3个维度中，只有两个格子，得到合并在这样的家庭，这是六方晶家庭相结合的六角形，菱形格子系统。
6，在3维晶体的家庭被称为三斜，单斜，orthorhombal，四方，六角，和立方。
水晶家庭常用的晶体，他们有时也被称为晶系的通俗读物。
康威，弗里德里希，德尔加多和Huson等。
（2001年）给了另一个空间群的分类，称为fibrifold符号，根据相应orbifold的fibrifold结构。
他们分为还原和不可约组219仿射空间。
还原组分为17类17组壁纸对应，其余35组不可约立方米组相同，并分别归类。
[编辑]在其他维度的空间群[编辑]比贝尔巴赫的theoremsIn n维仿射空间群，或比贝尔巴赫集团，是一个n维欧几里德空间具有结构紧凑的根本域等距的离散子群。
比贝尔巴赫（1911年，1912年）证明，任何此类组翻译分组包含n个线性独立的翻译，是一个自由交换子群有限指数，也是独特的最大正常交换子群。
他还表明，在任何尺寸ñ有只有有限数量的可能性空间群的基本组的同构类，而且该组的欧氏空间上的行动是唯一的仿射变换的共轭。
这希尔伯特第18问题的答案的一部分。
Zassenhaus（1948年）表明，相反的任何组的锌是一个有限群作用的延伸，忠实是一个仿射空间群。
结合这些结果表明，在n维仿射变换，以共轭分类空间群本质上是相同的分类组锌扩展有限忠实组的同构类。
承担该组等距行为是比贝尔巴赫定理必不可少的;不定理推广到欧氏空间的仿射变换的离散cocompact组。
由3维海森堡整数组的3维欧氏空间上确定的实数Heisenberg群的翻译，给出一个反例。
这是一个空间的仿射变换的离散cocompact组，但不包含一个分组Z3的。