三角函数的图像与性质练习题

.三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A组1.下列函数图象相同的是()A. y= sin x 与 y=sin(x+ π)B.y= cos x 与 y= sin -C.y= sin x 与 y=sin( -x)D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B .答案 :B2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 ()A.0B.1C.2D.3解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点.答案 :B3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是()解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B.答案 :B4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于()A. 或B.或C.或D.或解析 :如图 :由图象可知 ,x=或.答案 :A5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是()A. B. C. D.解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - .画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 .∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈.答案 :C6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个.解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点.答案 :37.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是.解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为答案 :8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 )解析 :y=sin x-1 的图象是将y=sin x 的图象向下平移 1 个单位 ,没改变形状 ,y=- cos x 的图象是作了对称变换 ,没改变形状,与 y= sin x 的图象形状相同 ,∴①③完全相同 .而②y=| sin x|的图象 ,④y==| cos x|的图象和⑤y=-=| sin x|的图象与 y= sin x 的图象形状不相同 .答案 :①③9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积 .解: 观察图可知 :图形 S1与 S2 ,S3与 S4是两个对称图形,有 S1=S 2,S3=S 4,因此函数 y= 2cos x 的图象与直线y= 2 所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC 的面积 .因为 |OA|= 2,|OC|= 2π,所以 S 矩形OABC = 2×2π= 4π.故所求封闭图形的面积为4π.10.作出函数y=- sin x,x∈ [ -π,π]的简图 ,并回答下列问题.(1)观察函数图象 ,写出满足下列条件的 x 的区间 :①y> 0;②y< 0.(2) 直线 y= 与函数 y=- sin x,x∈ [-π,π]的图象有几个交点?解:列表 :x -π- 0πsin0 -101 0x-sin0 1 0-10x描点作图 :(1)根据图象可知,①当 y>0 时 ,x∈(-π,0);②当 y<0 时 ,x∈(0, π).(2)在简图上作出直线y= ,由图可知有两个交点.B组1.函数f( x)=-cos x 在 [0,+ ∞)内()A. 没有零点B. 有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点解析 :数形结合法 ,令 f(x)=-cos x= 0,则= cos x.设函数 y=和y= cos x,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=-cos x 在 [0,+ ∞)内有且仅有一个零点.答案 :B2.已知f( x)= sin,g(x)= cos - ,则 f(x)的图象 ()A. 与 g(x)的图象相同B.与 g(x)的图象关于y 轴对称C.向左平移个单位,得g(x)的图象D.向右平移个单位,得g( x)的图象解析 :∵f(x)= sin=cos x,g( x)=cos -= sin x,∴f(x)的图象向右平移个单位 ,得 g(x)的图象 .由y=sin x 和 y= cos x 的图象知 ,A,B,C 都错 ,D 正确 .答案 :D3.在(0,2π)内,使sin x> cos x成立的x的取值范围是()A. B.C. D.解析 :如图所示 (阴影部分 )时满足 sin x> cos x.答案 :C4.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是.解析 :画出 y= sin x,x∈ [0,2 π]的草图如下 :因为 sin,所以 sin=- ,sin- =- .即在 [0,2 π]内 ,满足 sin x=-的是x=或x=.可知不等式sin x<-的解集是.答案 :5.(2016河·南南阳一中期末) 函数 y=-的定义域是.解析 :由题意 ,得∴∈-∈∴2kπ+ ≤ x≤ 2kπ+ π,k∈Z.故函数 y=-的定义域为∈,k Z.答案 :,k∈Z6 利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是.解析 :y=2sin x 的部分图象如图.当x= 时 ,y max= 2,当x= 时 ,y min= 1,故y∈ [1,2] .答案 :[1,2]7.画出正弦函数y= sin x(x∈R)的简图 ,并根据图象写出:(1)y≥时 x 的集合 ;(2)- ≤y≤时 x 的集合 .解:(1) 画出 y=sin x 的图象 ,如图 ,直线 y= 在[0,2 π]上与正弦曲线交于两点,在[0,2π]区间内,y≥时 x 的集合为.当 x∈R时 ,若 y≥ ,则 x 的集合为∈.(2) 过-两点分别作x 轴的平行线 ,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点- ( k∈Z ),- (k∈Z )和点(k∈Z ),(k∈Z ), 那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当 - ≤ y≤时x的集合为-∈∈.8.作出函数y= 2+ sin x,x∈ [0,2π]的简图 ,并回答下列问题:(1)观察函数图象 ,写出 y 的取值范围 ;(2)若函数图象与 y= -在 x∈ [0, π]上有两个交点 ,求 a 的取值范围 .解:列表 :x0π2πsin x 0 1 0 - 1 02+sin23212x描点、连线 ,如图 .(1)由图知 ,y∈ [1,3] .--(2)由图知 ,当 2≤< 3 时 ,函数图象与y=在[0,π]上有两个交点,即-5<a≤ -3.正弦函数、余弦函数的性质(一 )A 组1.函数f( x)=- 2sin的最小正周期为()A.6B.2πC.πD.2解析 :T== 2..答案 :D2.下列函数中,周期为的是()A. y= sinB. y=sin 2xC.y= cosD.y= cos(-4x)解析 :对 D, y=cos(-4x)=cos 4x,∴T=,故选 D.答案 :D3.(2016四·川遂宁射洪中学月考)设函数 f(x)= sin- ,x∈R,则 f(x)是 ()A. 最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数解析 :因为 f(x)= sin- =- cos 2x,所以 f(-x)=- cos 2(-x) =- cos 2x=f (x), 所以 f(x)是最小正周期为π的偶函数 .答案 :B4.已知函数f(x)= sin,g(x)= sin的最小正周期分别为T1,T2,则 sin(T1+T 2)= ()A. -B. -C.D.解析 :由已知 T∴= sin=- sin, sin(T11 =,T2 =+T 2)= sin=- .答案 :B5.(2016浙·江金华一中月考) 设 f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数 ,且有则 f -= ()f(x)=-A. B. -C.0D.1解析 :因为 f(x)是定义域为R 且最小正周期为2π的函数 ,所以 f -=f -=f.又因为 0≤ ≤ π,所以 f -=f= sin.答案 :A6.函数y= 4sin(2x+π)的图象关于对称 .解析 :y=4sin(2 x+ π)=- 4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称 .答案 :原点.7.函数y= sin(ω> 0)的最小正周期为π,则ω=.解析 :∵y= sin的最小正周期为T=,∴,∴ω=3.答案 :38.若f(x)(x∈ R)为奇函数,且f(x+ 2)=f (x),则f(4)=.解析 :∵f(x+ 2)=f (x),∴f(x)的周期为T= 2.∴f(4)=f (0) .又 f(x)( x∈R)为奇函数 ,∴f(0)= 0.∴f(4)= 0.答案 :09.判断函数f(x)= cos(2π-x) -x3sin x 的奇偶性 .解: 因为 f(x) = cos(2π-x)-x3sin x= cos x-x3sin x 的定义域为R,f(-x)= cos(-x)- (-x)3 sin (-x)= cos x-x3sin x=f (x), 所以 f( x)为偶函数 .10.若函数f(x)是以为周期的偶函数 ,且 f=1,求 f -的值 .解: ∵f(x)的周期为,且为偶函数 ,∴f -=f -=f -=f.而 f=f - =f - =f= 1,∴f -= 1.B组1.下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()解析 :显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而 A,C 中每经过一个单位长度,图象重复出现 .B 中图象每经过 2 个单位 ,图象重复出现 .所以 A,B,C 中函数是周期函数,D 中函数不是周期函数.答案 :D2.函数y= cos(k> 0)的最小正周期不大于2,则正整数 k 的最小值应是 ()A.10B.11C.12D.13解析 :∵T=≤ 2,∴k≥ 4π.又 k∈Z,∴正整数 k 的最小值为 13.答案 :D3.将函数y=sin x的图象向左平移个单位,得到函数y=f( x)的图象 ,则下列说法正确的是()A. y=f (x)是奇函数B.y=f (x)的周期为πC.y=f (x)的图象关于直线x= 对称D.y=f (x)的图象关于点-对称解析 :y=sin x 的图象向左平移个单位,得y=f (x)= sin= cos x 的图象 ,所以 f(x)是偶函数 ,A 不正确;f(x)的周期为2π,B 不正确 ;f(x)的图象关于直线x=k π(k∈Z )对称 ,C 不正确 ;f(x)的图象关于点(k∈Z )对称 ,当 k=- 1 时 ,点为-,故 D 正确 .综上可知选 D.答案 :D4.若函数f(x)是以π为周期的奇函数,且当 x∈ -时,f(x)= cos x,则f -= ()A. B. C.- D.-解析 :∵f(x)的最小正周期是π,∴f -=f -=f.又 f(x)是奇函数 ,∴f=-f - =- cos - =- .答案 :C5.定义在 R 上的偶函数f(x)满足 f(x)=f (x+ 2),当 x∈ [3,4] 时 ,f(x)=x- 2,则有下面三个式子:①f<f;②f<f;③f(sin 1) <f (cos 1).其中一定成立的是.(填序号 )解析 :当 0≤ x≤ 1 时 ,3≤ -x+ 4≤ 4,f(-x+ 4)=-x+ 4-2=-x+ 2,∴f[- (x-4)]=f (x-4)=f (x)=-x+ 2,∴f(x)在[0,1] 上是减函数 .∵1> sin∴f <f,f(sin 1) <f (cos> cos > 0,1> sin 1> cos 1> 0,1> cos > sin > 0, 1),f>f.答案 :②③6.已知函数y= sin x+ |sin x|.(1)画出这个函数的简图 ;(2)这个函数是周期函数吗 ?如果是 ,求出它的最小正周期 . 解:(1) y= sin x+ |sin x|∈∈=∈-∈函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次 ,故函数的最小正周期是2π.7.定义在 R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f( x)=sin x.(1)求当 x∈ [- π,0] 时 ,f(x)的解析式 ;(2)画出函数 f(x)在 [ -π,π]上的简图 ;(3)求当 f(x)≥时 x 的取值范围 .解:(1) ∵f(x) 是偶函数 ,∴f(-x) =f (x).∵当 x∈时,f(x)= sin x,∴当x∈ -时,f(x)=f (-x)= sin(-x)=- sin x.又当 x∈ - -时,x+π∈,f(x) 的周期为π,∴f(x)=f (π+x )= sin(π+x )=- sin x.∴当x∈ [ -π,0]时,f(x)=- sinx.(2)如图 .(3)∵在 [0,π]内 ,当 f(x)= 时 ,x=或 ,∴在 [0,π]内 ,f(x)≥时 ,x∈.又 f(x) 的周期为π,∴当f( x)≥ 时,x∈,k∈Z.正弦函数、余弦函数的性质(二 )A组1.函数y=| sin x|的一个单调增区间是()A.-B.C. D.解析 :画出 y=| sin x| 的图象即可求解.故选 C.答案 :C2.(2016·建三明一中月考福) y=cos - (-π≤ x≤ π)的值域为 ()A. -B.[ -1,1]C. -D. -解析 :因为 -π≤ x≤ π,所以 -.所以 - ≤cos -≤ 1,y=cos- (-π≤ x≤ π)的值域为-.答案 :C3.函数f( x)= 3sin在下列区间内递减的是()A. -B.[ -π,0]C.-D.解析 :令 2kπ+ ≤ x+ ≤ 2kπ+ ,k∈Z可得 2kπ+ ≤ x≤ 2kπ+ ,k∈Z,∴函数 f(x)的递减区间为,k∈Z .从而可判断,∴在 x∈时,f(x)单调递减.答案 :D4.函数f( x)= 2sin- (ω> 0)的最小正周期为4π,当 f(x)取得最小值时,x 的取值集合为()A.-∈B.∈C.-∈D.∈解析 :∵T=∴∴- .由x- =2kπ- (k∈Z ),得 x= 4kπ- (k∈Z ).=4π,ω= . f(x)= 2sin答案 :A已知函数f(x)= sin -,x∈R,下列结论错误的是()5.A. 函数 f(x)的最小正周期为2πB.函数 f(x)在区间上是增函数C.函数 f(x)的图象关于 y 轴对称D.函数 f(x)是奇函数解析 :f(x)= sin - -=- sin - =- cos x,∴周期 T= 2π,∴选项 A 正确 ;f(x)在上是增函数,∴选项B正确;定义域是 R ,f(-x)=- cos(-x)=- cos x=f (x),∴f(x)是偶函数 ,其图象关于 y 轴对称 ,∴选项 C 正确,选项 D 错误.答案 :D6.函数y= sin |x|+ sin x的值域是.解析 :∵y= sin |x|+ sin x=∴-2≤y≤ 2.答案 :[ -2,2]7.函数y= cos x在区间[ -π,a]上为增函数,则a的取值范围是.解析 :∵y= cos x 在[ -π,0] 上为增函数 ,又在 [-π,a]上递增 ,∴[ -π,a][ -π,0].∴a≤ 0.又∵ a>- π,∴- π<a ≤ 0.答案 :(-π,0]8.若函数f(x)= sinωx(0<ω< 2)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=.解析 :由题意知函数f( x)在 x= 处取得最大值 ,∴= 2kπ+ ,ω= 6k+ ,k∈Z .又 0<ω< 2,∴ω= .答案 :已知函数f(x)= sin (x∈R ,ω> 0)的最小正周期为π.9.(1) 求 f(x)在上的值域,并求出取最小值时的x 值 ;(2)求 f(x)的单调递增区间 .解: 由已知得=π,ω= 1,∴f(x)= sin.(1)当 x∈时,≤ 2x+.∴-≤ sin≤ 1.∴f( x)值域为-.当 2x+时,f(x)取最小值-,∴x= 时 ,f(x)取最小值 .(2)令 2kπ- ≤2x+ ≤ 2kπ+ (k∈Z),得kπ- ≤ x≤ kπ+ (k∈Z ).∴f(x)的递增区间为-(k∈Z) .10.已知函数f(x)= 2asin+a+b 的定义域是,值域是 [-5,1], 求 a,b 的值 .解: ∵0≤ x≤ ,∴≤2x+.∴- ≤sin≤ 1.∴a> 0 时,-解得-a< 0 时 ,-解得-因此 a= 2,b=- 5 或 a=- 2,b= 1.B组1.若0<α<β< ,a=sin,b=sin,则()A. a<bB. a>bC.ab< 1D.ab>解析 :∵0< α< β< ,∴ < α+ < β+.而正弦函数 y=sin x 在 x∈上是增函数 ,∴sin< sin.∴sin sin,即 a<b.答案 :A2.若a为常数,且a> 1,0≤x≤2π,则函数y= sin2x+ 2asin x的最大值为()A.2 a+ 1B.2a- 1C.-2a-1D.a2解析 :令 sin x=t ,则 -1≤ t ≤1,原函数变形为y=t 2+2at= (t+a )2-a2.∵a> 1,∴当 t= 1 时 ,y max = 12+2a×1= 2a+ 1,故选 A .答案 :A3.函数y= cos-的单调递增区间是()A.,k∈ZB.-,k∈ZC.,k∈ZD.-,k∈Z解析 :函数 y= cos -= cos-,令2kπ-π≤ 2x- ≤ 2kπ,k∈Z,得kπ- ≤ x≤ kπ+ ,k∈Z,故单调递增区间为-,k∈Z .答案 :B4.函数y= 2sin- -cos( x∈R)的最小值为.解析:∵-,∴y= 2sin --cos= 2cos-cos= cos.∴y min=- 1.答案 :-15.若函数f(x)= sinωx(ω> 0)在区间-上单调递增,则当ω取最大值时,函数f( x)=sinωx的周期是.解析 :令 2kπ- ≤ ωx≤ 2kπ+ 可得≤ x≤∴时 ,f(x)在 -上递增 ., k= 0又∵f(x)在 -上递增,--∴解得 0<ω≤ .∴ω的最大值为∴周期 T=..答案 :6.对于函数f(x)=给出下列四个命题 :①该函数是以π为最小正周期的周期函数;②当且仅当x= π+k π(k∈Z )时 ,该函数取得最小值-1;③该函数的图象关于直线x=+ 2kπ(k∈Z )对称 ;④当且仅当2kπ<x< +2kπ(k∈Z )时 ,0<f (x)≤.其中正确命题的序号是.解析 :画出 f(x)在一个周期 [0,2π]上的图象 ..由图象知 ,函数 f(x)的最小正周期为 2π,在 x= π+2kπ(k∈Z )和 x= + 2kπ(k∈Z)时 ,该函数都取得最小值 ,为 -1,故①②错误 .由图象知 ,函数图象关于直线x= + 2kπ(k∈Z) 对称 ,在 2kπ<x< + 2kπ(k∈Z) 时,0<f (x)≤,故③④正确 .答案 :③④7.已知函数y= sin -.(1)求函数的周期 ;(2)求函数在 [ -π,0] 上的单调递减区间 .解:y=sin -可化为y=- sin- .(1)周期 T== π.(2)令 2kπ- ≤2x- ≤ 2kπ+,k∈Z ,得 kπ- ≤ x≤kπ+,k∈Z ,所以 x∈R时,y= sin-的单调递减区间为-∈,k Z.从而 x∈[ -π,0]时 ,y=sin -的单调递减区间为- --.8.已知函数f( x)= sin(ωx+φ)其中ω> 0,|φ|<,若函数 y=f (x)的图象与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线 x= 是函数 y=f (x)图象的一条对称轴.(1)求ω的值 ;(2)求 y=f (x)的单调递增区间 ;(3) 若 x∈ -,求 y=f (x)的值域 .解:(1) 因为函数 y=f (x) 的图象与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T= π,所以ω= = 2.(2)因为直线 x= 是函数 y=f (x)图象的一条对称轴,所以 2× + φ=k π+ ,k∈Z ,φ=k π+,k∈Z.又|φ|< ,所以φ= .所以函数的解析式是y= sin.令 2x+-,k∈Z ,.解得 x∈-,k∈Z .所以函数的单调递增区间为-,k∈Z .(3)因为 x∈ -,所以 2x+-.所以 sin-,即函数的值域为-.正切函数的性质与图象A组1.当x∈-时,函数y=tan |x|的图象()A. 关于原点对称B. 关于 y 轴对称C.关于 x 轴对称D.没有对称轴解析 :∵x∈ -,f(-x) =tan |-x|= tan |x|=f (x),∴f( x)为偶函数 ,即 y=tan |x|的图象关于 y 轴对称 .答案 :B2.(2016河·北衡水二中月考)函数f(x)= tan -的单调递减区间为 ()A.-,k∈ZB.-,k∈ZC.-,k∈ZD.( kπ,(k+ 1)π),k∈Z解析 :因为 f(x)= tan - =- tan -,所以原函数的单调递减区间就是函数y= tan -的单调递增区间.故 kπ- ≤x- ≤ kπ+ ,k∈Z ,kπ- ≤ x≤kπ+ ,k∈Z .所以原函数的单调递减区间是-,k∈Z.答案 :B.3.函数f( x)= tan ax(a> 0)的图象的相邻两支截直线y= 所得线段长为2,则 a 的值为 ()A. B. C.π D.1解析 :由已知得 f(x)的周期为 2,∴ = 2.∴ a= .答案 :A4.函数f( x)=-的奇偶性是 ()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析 :f(x)的定义域为∈ ,--=-f (x) .∴f(-x)=---∴f(x)是奇函数 .答案 :A5.下列图形分别是①y=| tan x|;②y= tan x;③y= tan(-x);④y=tan |x|在x∈-内的大致图象 ,那么由 a 到 d 对应的函数关系式应是 ()A. ①②③④B. ①③④②C.③②④①D.①②④③解析 :y=tan(-x)=- tan x 在 -上是减函数,只有图象d符合,即d对应③.答案 :D6.已知函数y= 3tan的最小正周期是,则ω=.解析 :由题意知 ,T=,∴ω=±2.答案 :±2.7.函数y= 3tan的对称中心的坐标是.解析 :由 x+,k∈Z,得 x=,k∈Z ,即对称中心坐标是-(k∈Z ).答案 :-(k∈Z)8.满足tan≥ -的x的集合是.解析 :把 x+ 看作一个整体,利用正切函数的图象可得kπ- ≤ x+ <k π+ ,k∈Z ,解得 kπ-≤ x<kπ+ ,k∈Z .故满足tan≥ -的x的集合是-∈.答案:-∈9.求函数y=tan-的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.解: 由 4x- ≠kπ+ ,得 x≠,∴所求定义域为∈,值域为R ,周期 T= .又 f没有意义,f -=tan-- =0,∴f(x)是非奇非偶函数 .令 - +k π< 4x-+k π,k∈Z ,解得<x<,k∈Z .∴f(x)的单调递增区间是-( k∈Z),不存在单调递减区间.10.已知函数f(x)= 2tan(ω> 0),y=f (x)的图象与直线y= 2 的两个相邻交点的距离等于2π,求 f( x)的单调递增区间.解:由题意知 ,函数 f(x)的周期为 2π,则= 2π,由于ω> 0,故ω= .所以 f(x)= 2tan..再由 kπ-x+<k π+ ,k∈Z ,得2kπ- <x< 2kπ+ ,k∈Z ,即函数 f(x)的单调递增区间为211.求函数y=- tan x+ 4tan x+1,x∈-解:∵- ≤ x≤ ,∴ -1≤ tan x≤ 1.令tan x=t ,则 t∈ [-1,1] .∴y=-t 2+ 4t+ 1=- (t-2)2 +5.∴当 t=- 1,即 x=-时,y min=- 4,当 t= 1,即 x= 时 ,y max = 4.故所求函数的值域为[- 4,4].1.函数y=的定义域为 ()A.∈∈B.∈∈C.∈∈D. ∈-∈有意义解析 :由题意知有意义且∈即且∈∈得且∈答案 :A-,k∈Z .的值域 .B 组故 x≠ (k∈Z ).2.函数f( x)= tan- 与函数 g(x)= sin-的最小正周期相同,则ω= ()A.±1B.1C.±2D.2解析 :∵函数 g(x)的周期为 = π,∴= π,∴ω= ±1.答案 :A.°3.设a= lo tan 70° ,b= lo sin 25° ,c=,则有 ()A. a<b<cB. b<c<aC.c<b<aD.a<c<b解析 :∵tan 70° > tan 45° = 1,∴ a= lo tan 70° < 0.又∵0<sin 25° < sin 30° = ,∴b= lo sin 25° > lo= 1.°而 c=∈ (0,1),∴b>c>a.答案 :D4.已知函数y= tan ωx 在 -内是减函数,则ω的取值范围为.解析 :由题意可知ω< 0,又--.故-1≤ ω<0.答案 :-1≤ ω< 05.已知y= 2tan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω=,φ=.解析 :由题图可知 ,当 x= 时 ,y=2,即 2tan= 2,tan= 1,即ω+ φ=k π+(k∈Z ).①又直线 x= 为它的一条渐近线 ,∴ω+ φ=k π+(k∈Z ),②而ω> 0,| φ|< ,由①②可得-答案 :2-6.方程-tan x= 0在 x∈ -内的根的个数为.解析 :分别画出 y=与y=tan x在x∈ -内的图象,如图..易知 y=与y=tan x在相应区间内有 2 个交点 ,原方程有 2 个根 .答案 :27.函数f( x)= tan(3x+φ)图象的一个对称中心是,其中 0<φ< ,试求函数 f(x)的单调区间 .解: 由于函数 y=tan x 的对称中心为,其中 k∈Z ,则 + φ=,即φ=.由于 0< φ< ,所以当 k= 2 时 ,φ= .故函数解析式为f(x)= tan.由于正切函数y=tan x 在区间-(k∈Z )上为增函数 ,则令 kπ- < 3x+ <k π+ ,解得<x<,k∈Z ,故函数的单调增区间为-,k∈Z.没有单调减区间.8.设函数f(x)= tan-.(1)求函数 f(x)的定义域、周期和单调区间 ;(2)求不等式 -1≤ f(x)≤的解集 ;(3)作出函数 y=f (x)在一个周期内的简图 .解:(1) 由+k π(k∈Z),得 x≠ + 2kπ,∴f(x)的定义域是∈∈ .∵ω= ,∴周期 T= = 2π.由 -+k π<+k π(k∈Z),得 -+2kπ<x< + 2kπ(k∈Z).∴函数 f(x)的单调递增区间是-(k∈Z )..(2)由 -1≤ tan -,得 - +k π≤+k π(k∈Z ),解得 + 2kπ≤x≤ + 2kπ(k∈Z ).∴不等式 -1≤ f(x)≤的解集是∈ .(3)令=0,则 x= .令,则 x= .令=- ,则 x=- .∴函数 y= tan -的图象与x 轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=- ,x= .从而得函数y=f (x)在区间-内的简图(如图所示).函数 y=Asin(ωx+φ)的图象A组1.把函数y=cos x的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍 ,然后将图象沿x 轴负方向平移个单位长度 ,得到的图象对应的解析式为 ()A. y= sin 2xB. y=- sin 2 xC.y= cosD.y= cos解析 :y=cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y= cos 2x的图象;再把 y= cos 2x 的图象沿 x 轴负方向平移个单位长度,就得到y= cos 2= cos的图象.即 y=- sin 2x 的图象 .答案 :B2.某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)( A> 0,ω> 0)在一个周期内的简图时,列表如下 :ωx+ φ0π2πxy0 20 -20则有 ()A. A= 0,ω=,φ= 0B. A= 2,ω= 3,φ=C.A= 2,ω= 3,φ=-D.A= 1,ω= 2,φ=-解析 :由表格得 A= 2,,∴ω= 3.∴ωx+ φ= 3x+ φ.当 x=时 ,3x+ φ= + φ= 0,∴φ=- .答案 :C3.将函数f(x)= sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度 ,所得图象经过点,则ω的最小值是()A. B.1 C. D.2解析 :把 f(x)= sin ωx 的图象向右平移个单位长度得 y= sin- 的图象.又所得图象过点,∴sin-= 0.∴sin∴=k π(k∈Z ).= 0,∴ω= 2k(k∈Z).∵ω> 0,∴ω的最小值为2.答案 :D4.把函数y= sin- 的图象向左平移个单位 ,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2 倍 ,横坐标不变 ,得到函数 g(x)的图象 ,则函数 g( x)为 ()A. 最大值为的偶函数B.周期为π的偶函数C.周期为 2π,且最大值为 2 的函数D.最大值为 2 的奇函数解析 :y=sin-y= sin-= sin 2xy= 2sin 2x,即 g( x)= 2sin 2x,故 g(x)的最大值为 2,周期 T= π,g(x)为奇函数 ,故选 D.答案 :D5.(2016四·川成都石室中学期中)为了得到函数y= 3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin的图象上所有的点 ()A. 向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析 :函数 y= 3cos 2x= 3sin= 3sin,把函数 y= 3sin的图象上所有的点向左平移个单位长度 ,可得函数 y= 3cos 2x的图象 .答案 :D6.把y= sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍 ,得到的图象 .解析 :将 y= sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得 y= sin 3x的图象 ,纵坐标再缩短为原来的倍得到 y= sin 3x的图象 .答案 :y= sin 3x7.已知函数f(x)= sin( ω> 0) 的最小正周期为π,为了得到 g(x)= sin的图象 ,只需将 y=f (x)的图象上 .解析 :∵f(x)的最小正周期为π,∴ = π.∴ω= 2.∴f(x)= sin.又 g(x)= sin= sin,∴只需将 y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 4 倍 ,纵坐标不变 ,得到 g(x)= sin的图象 .答案 :所有点的横坐标伸长为原来的 4 倍 ,纵坐标不变8.设函数f(x)= cosωx(ω>0),将y=f (x)的图象向右平移个单位长度后 ,所得的图象与原图象重合 ,则ω的最小值等于.解析 :将 f(x)的图象向右平移个单位长度得 g(x) =f- = cos-=cos-的图象,则 - ω=2kπ(k∈Z ),∴ω=- 6k(k∈Z).又ω> 0,∴ k< 0(k∈Z),∴当 k=- 1 时 ,ω有最小值 6.答案 :69.将函数y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位所得的曲线是y= sin x 的图象 ,试求 y=f (x)的解析式 .解: 将 y= sin x 的图象向右平移个单位得 y= sin -的图象 ,化简得 y=- cos x.再将 y=-cos x 的图象上的横坐标缩短为原来的倍 (纵坐标不变 )得 y=- cos 2x 的图象 ,所以 f( x)=- cos 2x.10.(2016湖·北武汉十一中期末)已知函数 f(x)= 3sin,x∈R .(1)用五点法作出 y=f( x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;(2) 请说明函数y=f (x)的图象可以由正弦函数y= sin x 的图象经过怎样的变换得到.解:(1) 列表 :2x+ 0π2πx-f(x) 0 3 0- 3 0简图如下 :(2)将函数 y= sin x 图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍得到 y= 3sin x 的图象 ,再将得到的图象向左平移个单位长度得到y= 3sin的图象,最后将得到的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的得到y= 3sin的图象.B组1.给出几种变换:(1)横坐标伸长到原来的 2 倍 ,纵坐标不变 ;(2)横坐标缩小到原来的倍 ,纵坐标不变 ;(3)向左平移个单位长度 ;(4)向右平移个单位长度 ;(5)向左平移个单位长度 ;(6)向右平移个单位长度 .则由函数y=sin x 的图象得到 y= sin的图象 ,可以实施的方案是 ()A.(1) → (3)B.(2) → (3)C.(2) → (4)D.(2) → (5)解析 :由 y= sin x 的图象到 y= sin的图象可以先平移变换再伸缩变换,即 (3) → (2);也可以先伸缩变换再平移变换 ,即 (2)→ (5) .答案 :D2.(2016河·北唐山一中期末)把函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 ),再将图象上所有的点向右平移个单位 ,所得图象关于y 轴对称 ,则φ的一个可能值为 ()A. B. C. D.解析 :函数 y= sin(4x+ φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )可得函数y= sin(2x+ φ)的图象 ,再将图象上所有的点向右平移个单位,可得函数y= sin-= sin-的图象,若此函数图象关于 y 轴对称 ,则 - + φ=k π+ ,k∈Z ,所以φ=k π+ ,k∈Z ,当 k=- 1 时 ,有φ= .故选 B .答案 :B3.把函数y=3sin(ωx+φ)(ω> 0,|φ|≤ π)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 ),所得图象的解析式为y=3sin x,则 ()A. ω= 2,φ=B. ω= 2,φ=-C.ω= ,φ=D.ω= ,φ=-解析 :y=3sin( ωx+ φ)的图象向左平移个单位,得到y=3sin= 3sin的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ,得到 y= 3sin= 3sin x 的图象 ,则即-答案 :B4.函数y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的 3 倍 ,再将图象向右平移 3 个单位长度 ,所得图象的函数解析式为.解析 :y=sin x y= 3sin x y= 3sin (x-3)= 3sin- .答案 :y=3sin-5.先把函数y= 2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度 ,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变 ,得到的图象对应的函数解析式是.解析 :把 y= 2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度 ,得函数 y= 2sin= 2sin= 2cos 2x 的图象 ,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y= 2cos 4x 的图象 .答案 :y=2cos 4x6.函数y= cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后 ,与函数 y= sin的图象重合 ,则φ=.解析 :函数 y= cos(2x+ φ)( -π≤ φ< π)的图象向右平移个单位 ,得平移后的图象对应的函数解析式为y= cos-= cos(2x+ φ-π), 而函数 y= sin= cos-,由函数 y= cos(2x+ φ)(- π≤φ< π).的图象向右平移个单位后与函数 y=sin的图象重合 ,得 2x+ φ-π= 2x+,解得φ=,符合-π≤ φ< π,故答案为 .答案 :7.已知函数y=cos.求 :(1)函数的周期及单调递减区间 ;(2) 函数的图象可由y= cos x 的图象经过怎样的变换得到 ?解:(1) ∵ω= 2,∴T== π.由2kπ≤2x+ ≤ 2kπ+ π,k∈Z ,得 kπ- ≤x≤ kπ+,k∈Z.∴函数的周期为π,单调递减区间为-,k∈Z .(2)将函数 y=cos x 的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y= cos,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得y= cos的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍 ( 横坐标不变 ), 即得 y=cos的图象.8.设函数f(x)= sin-(ω> 0)的最小正周期为π.(1)求ω;(2) 若 f,且α∈ -,求 tan α的值 ;(3)完成下面列表 ,并画出函数 y=f (x) 在区间 [0,π]上的图象 .列表 :x0πy -11描点连线 :.解:(1) ∵函数 f(x)= sin-(ω> 0)的最小正周期为π,∴∴ω= 2.= π,(2)由 (1) 知 ,f(x)= sin-.由 f,得 sin α=∴±. , cos α=又- <α< ,∴cos α= ,∴tan α= .(3)由 y= sin-知:x0πy- -1 0 1 0 -故函数 y=f (x)在区间 [0,π]上的图象是 :。