东北三省三校一模联考数学(文)试题
2019年东北三省三校第一次联合考试文科数学试题___含答案
2019年东北三省三校高三第一次联合模拟考试文科数学答案一． 选择题1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD二．填空题13. 3 14. 乙 15. 30 16. 4π三．解答题17．解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226π=++=++f x x x x …………………2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x ， …………………4分 ∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； …………………6分（Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A…………………8分 由余弦定理，2222cos =+-a b c bc A ，∴2642=+-c c ，即2220--=c c又0>c ，∴1=c …………………10分∴1sin 2∆==ABC S bc A …………………12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件M设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为A,B,C,D ,其中A 表示近视的学生, 随机抽取2名,所有的可能有AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6种情况, 其中事件M 共有3种情况, 即AB,AC,AD, 所以()3162==P M故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12． …………………4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：KMFGDCBA P近视 …………………8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.…………………12分19. 解:（Ⅰ）（方法一）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = …………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，∴PG BG ⊥ ∴1124422PBG S BG PG ∆=⋅=⨯⨯= ∵13AG GD =∴3332442BDG BCG S S ∆∆=⋅=⨯= …………………4分设点D 到平面PBG 的距离为h , ∵D PBG P BDG V V --= 1133PBG BDG S h S PG ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅, 11344332h ∴⋅⋅=⋅⋅32h ∴= …………………6分 （方法二）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = ………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD ∵平面PBG平面=A B CD B G在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ， 则DK ⊥平面PBG∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离 …………………4分223434322===∴=BC AD GD BC 在∆DKG 中，DK =DG sin 45︒=23∴点D 到平面PBG 的距离为23…………………6分 （Ⅱ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC 于M ，连结FM ，又因为DF ⊥GC ,DM DF D = ∴GC ⊥平面F M D ，⊂FM 平面F M D ∴GC ⊥FMPG ⊥平面ABCD ，⊂GC 平面ABCD ∴PG ⊥GC∴FM ∥PG由GM ⊥MD 得：3cos452GM GD ︒==…………………10分 32312PF GM FC MC ∴=== …………………12分20. 解：（Ⅰ）24y x =焦点为(1,0)F ，则1(1,0)F -，2(1,0).F122a PF PF =+=解得1,1a c b ===，所以椭圆E 的标准方程为22 1.2x y += …………............4分 （Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,).A x y B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(1)220,t y ty ++-= 易知0.∆>则1221222,12.1t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.........6分 ()()111212121211(2)(2)F A F B x x y y ty ty y y ⋅=+++=+++=221212222(1)2()41t t y y t y y t -++++=+．因为111F A F B ⋅=，所以22221t t -=+1，解得213t =． ……..................8分 联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty ++-=，()2810t ∆=+>设3344(,),(,)C x y B x y ，则3423422,21.2t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩….....…….........10分112341273F CDS F F y y∆=⋅-===….....…….........12分21. 解：（Ⅰ）当ea=时，()e ext x x=-，'()e ext x=-， .....….................1分令'()0=t x则1=x列表如下：所以()(1)e e0极小值==-=t x t. ......….......…....5分（Ⅱ）设()()()ln e e ln exF x f x g x x a ax x a=-+-+=-+-+，(1)≥x1'()e xF x ax=-+，(1)≥x设1()e xh x ax=-+，2221e1()exxxh xx x⋅-'=-=， ...........…........7分由1x≥得，21,x≥2e10->xx，'()0>h x，()h x在(1,)+∞单调递增，即()F x'在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a'=+-，①当10e a+-≥，即1a e≤+时，(1,)x∈+∞时，()0F x'>，()F x在(1,)+∞单调递增,又(1)0F=，故当1x≥时，关于x的方程()ln e=()f x xg x a+--有且只有一个实数解. ..........9分②当10e a+-<，即1a e>+时，由（Ⅰ）可知e x ex≥，所以11'()e,'()0xa a e eF x a ex a F e ax x e e a a=+-≥+-≥⋅+-=>，又11ae e>+故00(1,),()0ax F xe'∃∈=，当(1,)x x∈时，()0F x'<，()F x单调递减，又(1)0F=，故当(]01,x x∈时，()0F x<，在[)01,x内，关于x的方程()ln e=()f x xg x a+--有一个实数解1.又(,)x x∈+∞时，()0F x'>，()F x单调递增，且22()ln1a aF a e a a a e e a=+-+->-+，令2()1(1)xk x e x x=-+≥，'()()2x s x k x e x ==-,()220'=-≥->x s x e e ,故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k >1当时，∴>x'()0，>k x ()∴k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0>>k a k ，故()0F a >，又0aa x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x . 又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.综上，1a e ≤+. ........................12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩ ……..................2分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=. …….................4分 （Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ…….................7分1212OA OB +=+=+=ρρρρ…….................8分1cos 2θ∴=±满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π， 则1tan 3k θ==或3-. …….................10分 23．解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-. .…….................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21164()22121x y y z ≥+-+= …….................8分 等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得。
2019年三省三校一模考试文科数学试卷(含答案)
一． 选择题1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD二．填空题13. 3 14. 乙 15. 30 16. 4π三．解答题17．解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)126π=++=++f x x x x …………………2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x ， …………………4分 ∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； …………………6分 （Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A …………………8分由余弦定理，2222cos =+-a b c bc A ，∴2642=+-c c ，即2220--=c c又0>c ，∴1=c …………………10分 ∴1sin 2∆==ABC S bc A…………………12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件M设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为A,B,C,D ,其中A 表示近视的学生,随机抽取2名,所有的可能有AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6种情况,其中事件M 共有3种情况, 即AB,AC,AD,所以()3162==P M 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12． …………………4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表： 近视 …………………8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.…………………12分19. 解:（Ⅰ）（方法一）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = …………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，∴PG BG ⊥∴1124422PBG S BG PG ∆=⋅=⨯⨯= ∵13AG GD = ∴3332442BDG BCG S S ∆∆=⋅=⨯= …………………4分 设点D 到平面PBG 的距离为h ,∵D PBG P BDG V V --= 1133PBG BDG S h S PG ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅, 11344332h ∴⋅⋅=⋅⋅32h ∴= …………………6分K M F GD C B A P（方法二）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = ………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG∴平面PBG ⊥平面ABCD ∵平面PBG 平面=ABCD BG 在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ， 则DK ⊥平面PBG∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离 …………………4分223434322===∴=BC AD GD BC 在∆DKG 中，DK =DG sin 45︒=23 ∴点D 到平面PBG 的距离为23 …………………6分 （Ⅱ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC 于M ，连结FM ，又因为DF ⊥GC , DM DF D = ∴GC ⊥平面FMD ，⊂FM 平面FMD ∴GC ⊥FMPG ⊥平面ABCD ，⊂GC 平面ABCD ∴PG ⊥GC∴FM ∥PG由GM⊥MD 得：3c o s 452GM G D ︒== …………………10分 32312PF GM FC MC ∴=== …………………12分 20. 解：（Ⅰ）24y x =焦点为(1,0)F ，则1(1,0)F -，2(1,0).F122a PF PF =+= 解得,1,1a c b ==，所以椭圆E 的标准方程为22 1.2x y += …………............4分 （Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,).A x y B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220,t y ty ++-= 易知0.∆>则1221222,12.1t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.........6分 ()()111212121211(2)(2)F A F Bx x y y t y t y y y ⋅=+++=+++ =221212222(1)2()41t t y y t y y t -++++=+． 因为111F A FB ⋅=，所以22221t t -=+1，解得213t =． (8)分 联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty ++-=，()2810t ∆=+> 设3344(,),(,)C x y B x y ，则3423422,21.2t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩….....…….........10分112341273F CD S F F y y ∆=⋅-=== ….....…….........12分21. 解：（Ⅰ）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-， (1)分令'()0=t x 则1=x 列表如下：......3分所以(极小值==t x . (5)（Ⅱ）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)≥x1'()e x F x a x=-+，(1)≥x 设1()e x h x a x =-+，2221e 1()e x x x h x x x ⋅-'=-=， ...........…........7分 由1x ≥得，21,x ≥2e 10->x x ，'()0>h x ，()h x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增, 又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解. ..........9分②当10e a +-<，即1a e >+时，由（Ⅰ）可知e x ex ≥， 所以11'()e ,'()0x a a e e F x a ex a F e a x x e e a a =+-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e>+ 故00(1,),()0a x F x e'∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =， 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥， '()()2x s x k x e x ==-,()220'=-≥->x s x e e ,故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k > 1当时，∴>x'()0，>k x ()∴k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0>>k a k ，故()0F a >， 又0a a x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x .又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.综上，1a e ≤+. (12)22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩ (2)分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=. …….................4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ…….................7分1212OA OB +=+=+=ρρρρ (8)分 1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π， 则1tan k θ==…….................10分23．解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-. .…….................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21164()22121x y y z ≥+-+= …….................8分 等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得。
高三数学2024年东北三省三校联考一模数学答案
2024年高三第一次联合模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题12. 3274四.解答题15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'（2）22()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'()0f x '<则22(2sin sin 1)0x x −+−< 10'即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<即1sin 2x >解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66k k k Z ππππ++∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥4'111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又平面平面且11DB ADD A ∴⊥平面6' 111AA ADD A ⊂又平面1DB AA ∴⊥7'（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为2833111111111()3ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++1111111112831()33DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴=++ 1283128333DD ∴=,解得：11DD = 9'如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−11'设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则有140230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩所以(0,1,23)n =13'平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|1313m n m n m nθ⋅=<>=== 15'17.解：（1）由图估计甲班平均分较高3'（2）由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分； 乙班中有34的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则1113(),(),(),(),2224P A P A P B A P B A ==== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅1131522428=⨯+⨯=7'11()()()222()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯==== 8'13()()()324()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====9'所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23,55(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,310'30643101(0)6C C P X C === 11'21643101(1)2C C P X C === 12'12643103(2)10C C P X C ===13'03643101(4)30C C P X C ===14'所以X 的分布列为:15'18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=,M N 两点在双曲线C 上22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a+−∴=+− 2'22OQ MNb k k a∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=又21,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2213y x −=4'（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+联立22222470,1656720330y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则121272,2x x x x +==− 8'11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++72()2502=⨯−++=EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−45334533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨−=−+⎩⎪=⎪+⎩点P 在双曲线C 上， 22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+22222244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③又2222445530,30x y x y −=−=，245452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，245453(1)32x x y y λλ+∴−=④ 联立2222230(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨=+⎩2222231033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩245452263,3131mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥14',A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<由④式得：245453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=22245453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ+∴−+++=⑦将⑤⑥代入⑦得：222222363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ−+∴−++=−− 22263(1)312n m λλ−+∴=−121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=⋅⋅∠=221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭15'令11(),[,2]3h λλλλ=+∈ 221(1)(1)1()1,[,2]3h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫'∴∈<⎪⎢⎣⎭，()h λ单调递减(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增10()[2,]3h λ∴∈， 16'3AOB S ∆∴∈⎦17'19.（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+6' (83)(43)S n S n ∴+=+7'（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=(60)2I ∴= 10'（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，……，I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511n=1=9×20+C 92×21+C 93×22+⋯C 99×2813'=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×292=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1216'=(1+2)9−12=984117'。
2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)
在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
又 x (x0, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 单调递增，
且 F (a) ea ln a a 2 a e ea a 2 1 ，令 k(x) ex x2 1(x 1) ，
∵ PG ⊥平面 ABCD ， PG 平面 PBG ∴平面 PBG ⊥平面 ABCD ∵平面 PBG 平面 ABCD BG
在平面 ABCD 内，过 D 作 DK ⊥ BG ，交 BG 延长线于 K ，
则 DK ⊥平面 PBG
∴ DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离
…………………4 分
2a PF1 PF2 2 2.
解得 a 2, c 1, b 1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 y2 1. 2
…………............4 分
（Ⅱ）由已知，可设直线 l 方程为 x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 ).
x ty 1
联立
x
2
y2
3
得 (t2 1) y2 2ty 2 0,
解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 1 BG GC PG 32
8 3
∴ PG 4
…………………2 分
∵ PG ⊥平面 ABCD ， BG 平面 ABCD ，∴ PG BG
∴ SPBG
1 2
BG PG
1 2
24
4
∵ AG 1 GD 3
∴ SBDG
3 4
SBCG
32 4
3 2
设点 D 到平面 PBG 的距离为 h ,
∵VDPBG VPBDG
2024年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考数学试题及答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
2019年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(文科)-解析版
2019年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数（1-i ）（3+i ）的虚部是（ ）A. 4B. −4C. 2D. −2 2. 若集合A ={x |-1≤x ≤2}，B ={x |log 3x ≤1}，则A ∩B =（ ）A. {x|−1≤x ≤2}B. {x|0<x ≤2}C. {x|1≤x ≤2}D. {x|x ≤−1或x >2}3. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，|a⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|3a ⃗ +b ⃗ |=（ ） A. √5 B. √17 C. √19 D. √214. 设直线y =x -√2与圆O ：x 2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，且|AB |=2√3，则圆O 的面积为（ ）A. πB. 2πC. 4πD. 8π 5. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+a 10=16，a 8=11，则S 7=（ ）A. 30B. 35C. 42D. 566. 已知α∈（0，π2），tan （α+π4）=-3，则sinα=（ ）A. 2√55B. √55C. 45D. 357. 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为4，第二次输入的x 的值为5，记第一次输出的a 的值为a 1，第二次输出的a 的值为a 2，则a 1-a 2=（ ）A. 0B. −1C. 1D. 28. 设a =（57）37，b =（37）57，c =（37）37，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. b <c <aC. a <c <bD. c <a <b9. 已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是（ ）A. m ⊥n ，n ⊂αB. m//β，α⊥βC. n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD. α∩β=n ，α⊥β，m ⊥n10. 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x ，y ），其中满足不等式y ＞√1−x 2的数对（x ，y ）共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ）A. 7825B. 7225C. 257D. 22711. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （-√5，0），点A 的坐标为（0，2），点P 为双曲线右支上的动点，且△APF 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √512. 若函数f （x ）=e x -ax 2在区间（0，+∞）上有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），则实数a 的取值范围是（ ） A. a ≤e2B. a >eC. a ≤eD. a >e2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件：{x +2y −1≤0x −y −2≤0x ≥−1，则z =2x +y 的最大值是______．14. 甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是______．15. 等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3=8a 1+3a 2，a 4=16，则S 4=______．16. 四面体A -BCD 中，AB ⊥底面BCD ，AB =BD =√2，CB =CD =1，则四面体A -BCD 的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 设函数f （x ）=sin （2x -π6）+2cos 2x ．（Ⅰ）当x ∈[0，π2]时，求函数f （x ）的值域；（Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f （A ）=32，a =√6，b =2，求△ABC 的面积．18. 世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累计户外暴露时间 （单位：小时） [0，7） [7，14） [14，21） [21，28） 不少于28小时 近视人数 21 39 37 2 1 不近视人数3375253（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？近视 不近视足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P （K 2≥k 0） 0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.82819. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，P 在平面ABCD 上的射影为G ，且G 在AD 上，且AG =13GD ，BG ⊥GC ，GB =GC =2，E 是BC 的中点，四面体P -BCG 的体积为83．（Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成的角余弦值； （Ⅱ）求点D 到平面PBG 的距离；（Ⅲ）若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PFFC 的值．20. 已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，点P （-1，√22）在椭圆E 上，且抛物线y 2=4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 2作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆x 2+y 2=a 2+b 2相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1时，求△F 1CD 的面积．21. 已知函数f （x ）=e x （e 为自然对数的底数），g （x ）=ax （a ∈R ）．（Ⅰ）当a =e 时，求函数t （x ）=f （x ）-g （x ）的极小值；（Ⅱ）若当x ≥1时，关于x 的方程f （x ）+ln x -e =g （x ）-a 有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围． 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosαy =√3sinα（α为参数），直线l 的方程为y =kx ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若|OA |+|OB |=2√3，求k 的值．23. 已知函数f （x ）=|x -4a |+|x |，a ∈R ．（Ⅰ）若不等式f （x ）≥a 2对∀x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设实数m 为（Ⅰ）中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足4x +2y +z =m ，求（x +y ）2+y 2+z 2的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵（1-i）（3+i）=4-2i．∴复数（1-i）（3+i）的虚部是-2．故选：D．再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：B={x|0＜x≤3}；∴A∩B={x|0＜x≤2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．3.【答案】C【解析】解：∵向量，的夹角为60°，||=1，||=2，∴==1，则|3+|====，故选：C．由已知结合向量数量积的定义可求，然后根据向量数量积的性质|3+|=，展开后可求．本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础试题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=a2的圆心为（0，0），半径r=|a|，圆心到直线y=x-的距离d==1，又由弦长|AB|=2，则有a2=1+（）2=4，则圆O的面积S=πa2=4π；故选：C．根据题意，求出圆O的圆心与半径，求出圆心O到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得a2=1+（）2=4，结合圆的面积公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a10=16，a8=11，∴，解得a1=，d=，∴S7=7a1+==35．故选：B．利用等差数列通项公式列方程组，能求出a1=，d=，由此再利用等差数列前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵利用两角和的正切公式得tan （）==-3，∴tanα=2．∵α∈（0，），∴．再根据sin2α+cos2α=1，解得．故选：A．利用两角和的正切公式求出tanα，再结合角的范围及同角三角函数基本关系即可求出sinα．本题考查两角和的正切公式，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】解：当输入的x值为4时，b=2，第一次，不满足b2＞x，不满足x能被b整数，故输出a=0；当输入的x值为5时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；即第一次输出的a的值为a1的值为0，第二次输出的a的值为a2的值为1，则a1-a2=0-1=-1．故选：B．根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由函数y=（）x为减函数，可知b＜c，由函数y=x为增函数，可知a＞c，即b＜c＜a，故选：B．根据指数函数和幂函数的单调性即可求出．本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：当n⊥β，m⊥β时，m∥n，当n⊥α时，m⊥α，即充分性成立，即m⊥α的一个充分条件是C，故选：C．根据空间直线和平面垂直的判定定理以及性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的位置关系是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y ＞的数对（x，y）共有11个，即从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y≤的数对（x，y）共有100-2×11=78个，由几何概型中的面积型可得：=，所以π==，故选：A．由不等式表示的平面区域得：不等式y ＞的平面区域为正方形内位于第一，二象限圆x2+y2=1外的区域，由几何概型中的面积型得：=，即π==，得解本题考查了几何概型中的面积型，及不等式表示的平面区域，属中档题11.【答案】D【解析】解：由|AF|==3，三角形APF的周长的最小值为8，可得|PA|+|PF|的最小值为5，又F'为双曲线的右焦点，可得|PF|=|PF'|+2a，当A，P，F'三点共线时，|PA|+|PF'|取得最小值，且为|AF'|=3，即有3+2a=5，即a=1，c=，可得e==．故选：D．由题意可得|AF|=3，可得|PA|+|PF|的最小值为5，由双曲线的定义可得|PA|+|PF'|+2a的最小值为5，当A，P，F'三点共线时，取得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：f′（x）=e x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则y=e x和y=2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y=2ax和y=e x相切时切点是A（m，e m），则y′=e x，y′|x=m=e m，故y-e m=e m（x-m），即y=e m x+（1-m）e m=2ax，故（1-m）e m=0，解得：m=1，故A（1，e），故2a=e，a=，故直线y=2ax和y=e x相交时，a ＞，故选：D．求出函数的导数，问题转化为y=e x和y=2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y=2ax和y=e x相切时切点是A（m，e m），求出临界值，求出a的范围即可．本题考查了切线方程，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．13.【答案】3【解析】解：作出x，y满足约束条件：对应的平面区域如图：（阴影部分），由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A （，），代入目标函数z=2x+y得z=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】乙【解析】解：①设会弹钢琴的是甲，则甲、乙说的是真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是甲，②设会弹钢琴的是乙，则丙说的是真话，与题设相符，故会弹钢琴的是乙，③设会弹钢琴的是丙，则乙、丙说的时真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是丙，综合①②③得：会弹钢琴的是乙，故答案为：乙先理解题意，再进行简单的合情推理，逐一进行检验即可得解．本题考查了进行简单的合情推理，属简单题．15.【答案】30【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q ），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】4π【解析】解：如图，在四面体A-BCD中，AB⊥底面BCD，AB=BD=，CB=CD=1，可得∠BCD=90°，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥A-BCD的外接球的半径为1．其表面积为4π×12=4π．故答案为：4π．由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x-π6）+2cos2x=√32sin2x+12cos2x+1=sin（2x+π6）+1，…………………（2分）∵x∈[0，π2]，∴π6≤2x +π6≤7π6，…………………（4分）∴1 2≤sin（2x+π6）+1≤2，∴函数f（x）的值域为[12，2]；…………………（6分）（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+π6）+1=32，∴sin（2A+π6）=12，∵0＜A＜π，∴π6＜2A+π6＜13π6，∴2A+π6=5π6，即A=π3，…………………（8分）由余弦定理，a2=b2+c2-2bc cos A，∴6=4+c2-2c，即c2-2c-2=0，又c＞0，∴c=1+√3，…………………（10分）∴S△ABC=12bc sin A=12×2×(1+√3)×√32=32+√32．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）+1，由已知可求范围≤2x+≤，利用正弦函数的性质可求其值域．（Ⅱ）由已知可求sin（2A+）=，可求范围＜2A+＜，从而可求A=，由余弦定理解得c的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A，则P（A）=C31C11C42=12故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12．（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：近视不近视足够的户外暴露时间4060不足够的户外暴露时间6040所以K2的观测值k2=200×(40×40−60×60)2(40+60)×(60+40)×(40+60)×(60+40)=8.000＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．【解析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式计算可得；（Ⅱ）先得2×2列联表，再根据表格中数据计算k2，再根据临界值表作答．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】解：（I ）由已知V P−BGC =13S △BCG ⋅PG =13⋅12BG ⋅GC ⋅PG =83，∴PG =4．在平面ABCD 内，过C 点作CH ∥EG 交AD 于H ，连接PH ，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角．在△PCH 中，CH =√2，PC =√20，PH =√18，由余弦定理得，cos ∠PCH =√1010，∴异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值为√1010．（II ）∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ，则DK ⊥平面PBG ∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离．∵BC =2√2∴GD =34AD =34BC =32√2．在△DKG ，DK =DG sin45°=32，∴点D 到平面PBG 的距离为32．（III ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连接MF ， 又因为DF ⊥GC ，∴GC ⊥平面MFD ，∴GC ⊥FM ．由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM ∥PG ； 由GM ⊥MD 得：GM =GD •cos45°=32． ∵PFFC =GMMC =3212=3，∴由DF ⊥GC 可得PFFC =3．【解析】（1）先利用等体积法求出PG 的长，在平面ABCD 内，过C 点作CH ∥EG 交AD 于H ，连接PH ，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角，在△PCH 中利用余弦定理求出此角即可； （2）在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ，则DK ⊥平面PBG ，DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离，在△DKG 利用边角关系求出DK 长；（3）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连接MF ，先证明FM ∥PG ，然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可．本题主要考查四棱锥的有关知识，以及求异面直线所成角的问题，以及分析问题与解决问题的能力．简单几何体是立体几何解答题的主要载体，特别是棱柱和棱锥．20.【答案】解：（Ⅰ）y 2=4x 焦点为F （1，0），则F 1（-1，0），F 2（1，0），2a =|PF 1|+|PF 2|=2√2解得a =√2，c =1，b =1，所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为x =ty +1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 2+y 2=3x=ty+1得（t 2+1）y 2+2ty -2=0 易知△＞0， 则y 1+y 2=-2t t 2+1，y 1y 2=-2t 2+1，所以F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1+1）（x 2+1）+y 1y 2=（ty 1+2）（ty 2+2）+y 1y 2=（t 2+1）y 1y 2+2t （y 1+y 2）+4=2−2t 2t 2+1 因为F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， 所以2−2t 2t 2+1=1，解得t 2=13．联立{x =ty +1x 22+y 2=1，得（t 2+2）y 2+2ty -1=0 易知△=8（t 2+1）＞0，设C （x 3，y 3），B （x 4，y 4），则y 3+y 4=-2t t 2+2，y 1y 2=-1t 2+2，∴|y 3-y 4|=√(y 3+y 4)2−4y 3y 4=√8(1+t 2)t 2+2∴△F 1CD 的面积S =12|F 1F 2|•|y 3-y 4|=√8(1+t 2)t 2+2=√8×4373=4√67 【解析】（Ⅰ）y 2=4x 焦点为F （1，0），则F 1（-1，0），F 2（1，0），2a=|PF 1|+|PF 2|=2，求解a ，b 即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用联立 可得（t 2+1）y 2+2ty-2=0，通过韦达定理以及向量的数量积推出解得t 2=．联立，得（t 2+2）y 2+2ty-1=0．设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），利用韦达定理，求解三角形的面积．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积计算公式，把面积比转化为长度比是解题的关键，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）当a =e 时，t （x ）=e x -ex ，t ′（x ）=e x -e ，………（1分）令t ′（x ）=0，则x =1，x ，t ′（x ），t （x ）的变化列表如下： x （-∞，1） 1 （1，+∞） t ′（x ） - 0 + t （x ）单调递减极小值单调递增………（3分）所以t（x）极小值=t（1）=e-e=0……………（5分）（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）+ln x-e+a=e x-ax+ln x-e+a，（x≥1），F′（x）=e x-a+1x，（x≥1），设h（x）=e x-a+1x ，h′（x）=x2⋅e x−1x2，………（7分）由x≥1得，x2≥1，x2e x-1＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，即F′（x）在（1，+∞）单调递增，F′（1）=e+1-a，①当e+1-a≥0，即a≤e+1时，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（1，+∞）单调递增，又F（1）=0，故当x≥1时，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有且只有一个实数解…（9分）②当e+1-a＜0，即a＞e+1时，由（Ⅰ）可知e x≥ex，所以F′（x）=e x+1x -a≥ex+1x-a，F′（ae）≥e•ae+ea-a=ea＞0，又ae＞1e=1，故∃x0∈（1，ae），F′（x0）=0，当x∈（1，x0）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，又F（1）=0，故当x∈（1，x0]时，F（x）＜0，在[1，x0）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解1．又x∈（x0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，且F（a）=e a+ln a-a2+a-e＞e a-a2+1，令k（x）=e x-x2+1（x≥1），s（x）=k′（x）=e x-2x，s′（x）=e x-2≥e-2＞0，故k′（x）在（1，+∞）单调递增，又k′（1）＞0，故x＞1时，k′（x）＞0，k（x）在（1，+∞）单调递增，故k（a）＞k（1）＞0，故F（a）＞0，又a＞ae＞x0，由零点存在定理可知，∃x1∈（x0，a），F（x1）=0，故在（x0，a）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解x1，又在[1，x0）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解1．综上，a≤e+1…（12分）【解析】（Ⅰ）代入a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合方程的解的个数确定a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵{x=√3cosα+2y=√3sinα，∴x2-4x+y2+1=0所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0．（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R，θ1∈[0，π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得ρ2-4ρcosθ1+1=0，设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2．ρ1+ρ2=4cosθ1，ρ1ρ2=1＞0，△=16cosθ12-4＞0 ∴|QA|+|QB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1+ρ2|=2√3∴cosθ1=±√32满足△＞0∴θ1=π6或5π6∴l的倾斜角为π6或5π6，则k=tanθ1=√33或-√33．【解析】（Ⅰ）先消去α得C的普通方程，再化成极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R，θ1∈[0，π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入C的极坐标方程，利用韦达定理可求得．本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．23.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x-4a|+|x|≥|x-4a-x|=4|a|，所以a2≤4|a|，解得：-4≤a≤4．故实数a的取值范围为[-4，4]；（Ⅱ）由（1）知，m=4，即4x+2y+z=4，根据柯西不等式（x+y）2+y2+z2=121[（x+y）2+y2+z2]•[42+4+1]≥121[4（x+y）-2y+z]2=1621等号在x+y4=y−2=z即x=87，y=-821，z=421时取得．所以（x+y）2+y2+z2的最小值为1621．【解析】（Ⅰ）根据基本不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）根据柯西不等式的性质求出代数式的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式，考查基本不等式以及柯西不等式的性质，是一道常规题．。
东北三省三校2019-2020学年高三第一次联合模拟考试数学(文)试题(教师版)
三省三校2019——2020 (上)第一次内考卷文科数学一、选择题:本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,4B =，则U A B =I ð（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}1,2,3 D. {}1,3【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出{}1,3,5U B =ð，再与集合A 求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}2,4B =，所以{}1,3,5U B =ð， 又{}1,2,3A =，所以{}1,3=U A B I ð. 故选：D【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基础题型. 2.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ） A. 存两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.B. 存在一条直线a ，//,//a a αβ.C. 存在一条直线a ，,//β⊂a a a .D. 存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a . 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A 选项，如图：,a b 为异面直线，且,,//,//a b a b αββα⊂⊂，在β内过b 上一点作//c a ，则β内有两相交直线平行于α，则有//αβ；故A 正确；对于B 选项，若//,//a a αβ，则a 可能平行于α与β的交线，因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；对于C 选项，若,//β⊂a a a ，则α与β可能平行，也可能相交，故C 错；对于D 选项，若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ，则α与β可能平行，也可能相交，故D 错. 故选：A【点睛】本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A.15B. 5C. 4D.14【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果. 【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=， 所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若sin 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 2a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 23- B. 13- C.13 D.23【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到cos2=a ，再根据二倍角公式，以及诱导公式，即可得出结果.【详解】由sin 22a π⎛⎫+=⎪⎝⎭，得cos 2=a ，221cos 2cos 12123∴=-=⨯-=-⎝⎭a a ， 31sin cos 23πα⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭a .故选:C【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.5.已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()(0)x xf x e f e '-=+⋅，则()1f =（ ）A. 2eB. 12e e+ C. 3 D.103【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，得出1(0)2'=f ，求出1()2-=+xx f x e e ，进而可求出结果. 【详解】由题意，()(0)-''=-⋅xxf x e f e ，所以0(0)(0)1(0)'''=-⋅=-f e f e f ， 因此1(0)2'=f ，所以1()2-=+xx f x e e ，故()112=+f e e. 故选：B【点睛】本题主要考查由导数的方法求参数，以及求函数值的问题，熟记导数的计算公式即可，属于基础题型.6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若101010112a a =，则111213120202222log log log log a a a a ++++的值为（ ） A. 2 021 B. -2021 C. 1 010 D. -1010【答案】D 【解析】 【分析】根据题中数据，以及等比数列的性质，得到122201********* =a a a a a a =⋯=，再由对数的运算法则，得到111213120202222log log log log a a a a ++++112320202log =⋅⋅a a a a ，进而可求出结果.【详解】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若101010112a a =，可得122201*********=a a a a aa=⋯=，则111213120202222log log log log a a a a ++++()101011232020122log log 21010a a a a =⋅⋅==-.故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，以及对数的运算，熟记等比数列的性质，以及对数运算法则即可，属于常考题型.7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A. ()()0.63(3)log 132f f f -<-<B. ()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C. ()()0.632log 13(3)ff f <-<-D. ()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 8.数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究陌数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2()()21x x f x -=-.的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先由函数解析式，得到22()()()2121----==≠--xx x x f x f x ，推出()f x 不是偶函数，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果.【详解】因为函数22()()2121-==--x x x x f x ，所以22()()()2121----==≠--xx x x f x f x ， 因此函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A 、C 选项；又因为9(3)7=f ，16(4)15=f ，所以(3)(4)f f >，而选项B 在0x >时是递增的，故排除B. 故选：D【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的基本性质，灵活运用排除法处理即可，属于常考题型. 9.已知偶函数()f x 的图象经过点()1,3--，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(2)30f x -+<成立的x 的取值范围为（ ）A. ()3,+∞B. ()1,3C. ()(),13,-∞⋃+∞D. []1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点()1,3-也在函数图象上，函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，将不等式化为(|2|)(1)-<f x f ，根据函数单调性，即可得出结果.【详解】根据题意，()f x 为偶函数， 且经过点()1,3--，则点()1,3-也在函数图象上， 又当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，因为(2)30f x -+<，所以(2)3(|2|)(1)|2|1f x f x f x -<-⇒-<⇒-> 解得1x <或3x >. 故选：C【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.10.已知实数x ，y 满足10220220x y x y x y --⎧⎪-+-⎨⎪+-⎩………，若目标函数()0z ax y a =+>最大值为5，取到最大值时的最优解是唯一的，则a 的取值是（ ）A.14 B.13C. 12D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数z ax y =+为y ax z =-+，则y ax z =-+表示斜率为a -的直线，且0a -<，结合图像，以及题中条件，即可得出结果.【详解】由不等式组10220220x y x y x y --⎧⎪-+-⎨⎪+-⎩………，即为10220220x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………，作可行域如图:目标函数z ax y =+可化为y ax z =-+，因为y ax z =-+表示斜率为a -的直线，且0a -<，由图象可知当y ax z =-+经过点C 时，z 取到最大值，这时满足C 坐标满足22010x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩，C 点坐标为()4,3，代人z ax y =+得到12a =. 故选:C【点睛】本题主要考查由最优解求参数的问题，通常需作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型.11.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若b =且ABC ∆的面积为)2224=-+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到1sin cos 22ac B ac B=-，求出23B π=，再由(222222cos ()==+-=+-b a c ac B a c ac ，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，又)222=+-S a c b ， 1sin cos 2∴=ac B B ，因此tan B =23B π=. 所以(22222222()32cos ()()()44+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c …，即223()4a c +… 2()16a c ∴+…，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.12.如果定义在R 上的函数()f x 满足:对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+,则称()f x 为“M 函数”.给出下列函数:①221y x x =-++；②3112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭；③xx y ee -=- ；④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩其中为“M 函数”的是（ ） A. ①② B. ②③C. ①②③D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中条件，得到函数()f x 是定义在R 上的减函数，逐项判断所给函数单调性，即可得出结果. 【详解】∵对于任意给定的不等实数12x x ，，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦恒成立， 即函数()f x 是定义在R 上的减函数.①2221(1)2y x x x =-++=--+，则函数在定义域上不单调.②函数3112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭是由1,312ty t x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭复合而成，根据同增异减的原则，函数单调递减，满足条件. ③根据指数函数单调性可得：xx y e e -=-为减函数，满足条件.④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩.当0x >时，函数单调递增，当0x <时，函数单调递减，不满足条件.综上满足“M 函数”的函数为②③， 故选:B【点睛】本题主要考查函数单调性的判定，熟记函数单调性的定义，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()y f x =是偶函数，当0x >时，()31xf x =-，则31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=.______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.【详解】因为0x >时，()31xf x =-，且函数()y f x =是偶函数，所以()()3log 23331log log 2log 23112⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭f f f . 故答案为：1【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型. 14.若关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3，则a =_______. 【答案】3-或2 【解析】【分析】先由题意得到关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3，进而可求出结果. 【详解】因为关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3， 所以关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3， 所以有2236a a +=⨯=，解得：3a =-或2a =. 故答案为：3-或2【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型. 15.设D 为ABC ∆所在平面内一点，4BC CD =，若24AD AB AC λμ=+，则λμ+=__________.【答案】92【解析】 【分析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到1544AD AB AC =-+，再由题意确定λμ，的值，即可得出结果.【详解】如图所示，由4BC CD =，可知，B 、C 、D 三点在同一 直线上，图形如右:根据题意及图形，可得: 1115()4444=+=+=+-=-+AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC ，24AD AB AC λμ=+，124544λμ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得: 125λμ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则19522λμ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭故答案为：92【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.16._____．【答案】27【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心'O ，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上．，∴32BM =，12O M '=，1BO '=，∴AO '=设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<．由三角形相似得：12r =h =，圆柱的体积()2212V r h r r π=-，∵()3212112327r r r r r ++-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-即13r =时取等号．∴圆柱的最大体积为27．故答案为27．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.已知命题:[2,1]p x ∀∈--，不等式2a x x <-恒成立；命题q :函数[1,)x ∀∈+∞，2141--x a x …； (1)若命题p 为真，求a 的取值范围；(2)若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1a <-；（2）(),1-∞-.【解析】【分析】（1）根据p 为真，得到[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<-⎪⎝⎭即可，根据函数单调性，求出2=-y x x 的最小值，进而可求出结果； （2）若q 为真命题，根据题意得到2max 141x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭…，由函数单调性，求出1y x x=-在[1,)+∞上的最大值，进而可求出结果. 【详解】(1) 若p 为真，即[2,1]x ∀∈--，不等式2a x x <-恒成立; 只需[2,1]x ∈--时，min 2a x x ⎛⎫<-⎪⎝⎭即可， 易知：函数2=-y x x 在[2,1]--递减，所以2=-y x x 的最小值为1-， 因此1a <-.(2)若q 为真命题，则2max 141x a x ⎛⎫--⎪⎝⎭…， 易知：1y x x=-在[1,)+∞上单调递减，所以min 0y =； 因此2410a -…，故12-a …或12a …，因为命题p q ∧是真命题，所以p ，q 均为真命题，故a 满足112a a <-⎧⎪⎨-⎪⎩…或112a a <-⎧⎪⎨≥⎪⎩ 解得：1a <-，因此实数a 的取值范围是(),1-∞-.【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.18.已知函数2()sin 2cos 1,264x x f x x π⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】(1)4π,5114,4()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)最小值为， 3x π=. 【解析】【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果；（2）由2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得,0236x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】(1)因为2()sin 2cos 1sin cos cos sin cos 26426262x x x x x f x πππ⎛⎫=--+=--⎪⎝⎭3cos 22223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为2412T ππ==. 由322,2232x k k k πππππ+-+∈Z 剟，得51144,33ππππ++∈k x k k Z 剟故函数()f x 的单调递减区间为5114,4()33ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . (2)因为2,,,033236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以当236x ππ-=-即3x π=时，min ()36f x f ππ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为，此时3x π=. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，,PD DC AD PC =⊥.(1)求证：AC AP =；(2)若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离.【答案】(1)证明见解析；（2. 【解析】【分析】 （1）取PC 中点M ，连接AM ，DM ，根据线面垂直的判定定理，得出PC ⊥平面ADM ，进而可得AC AP =；（2）过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ，根据线面垂直的判定定理，证明PH ⊥平面ABCD ，推出⊥PH CH ；设h 为点B 到平面PAC 的距离，根据P ABC B ACP V V --=，结合题中数据，即可求出结果.【详解】(1)取PC 中点M ，连接AM ，DM ，∵PD DC =，且M 为PC 中点，DM PC ∴⊥∴AD PC ⊥，AD DM D =I ，PC ∴⊥平面ADM ，AM ⊂平面ADM ，PC AM ∴⊥，∵M 为PC 中点，AC PA ∴=；(2)过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ，∵平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，PH ⊂平面APD ，PH AD ⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，CH ⊂Q 平面ABCD ，PH CH ∴⊥，∵PD DC =，AD AD =，AC AP =，∴∆≅∆ADP ADC ，∴120∠=∠=ADC ADP ，∴4===PD AD DC，==AC APPH CH PC ===设h 为点B 到平面PAC 的距离，由于P ABC B ACP V V --=，可得1133∆∆⋅=⋅ABC ACP S PH S h ，1442∆=⨯⨯=ABC S12ACP S ∆=⨯=7=h . 即点B 到平面PAC. 【点睛】本题主要考查证明线段相等，以及求点到平面的距离，熟记线面垂直的判定定理，性质定理，以及等体积法求点到平面的距离即可，属于常考题型.20.已知数列的前n 项和n S 满足2,n n S a n n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 1n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1) 21n n a =-；（2）1n n T n =+. 【解析】【分析】（1）根据2n n S a n =-，求出11a =；再得到2n ≥时，112(1)n n S a n --=--，两式作差得到数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，进而可得出结果；（2）由（1）的结果，根据裂项相消的方法，即可求出数列的和.【详解】(1)由题可知2n n S a n =-，①当1n =时，1112a a +=，得11a =，当2n ≥时，112(1)n n S a n --=--，②①-②，得121n n a a -=+，所以()1121n n a a -+=+所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，故21n n a =-.(2)由(1)知()22log 1log 2n n n b a n =+==，则11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 12233411111111111111223341n n n T b b b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1111n n T n n =-=++. 【点睛】本题主要考查由递推公式求通项公式，以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.21.已知函数()(2)e 2x f x ax x =+--，其中2a >-.(1)当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；(2)若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)max ()0f x =，min ()ln 21f x =-；（2）21a -<≤-.【解析】【分析】（1）由0a =得()22=--x f x e x ，对其求导，得到()21'=-x f x e ，解对应不等式，求出单调区间，进而可求出最值；（2）先由2(1)10f e'-=-<得到函数()f x 不可能在R 上单调递增，由题意，得到()f x 在R 上单调递减，推出()0f x '≤恒成立；令()()(2)1x g x f x ax a e '==++-，用导数的方研究其单调性，进而可求出结果. 【详解】(1)当0a =时，()22=--x f x e x ，所以()21'=-xf x e .由()0f x '>解得ln 2x >-，由()0f x '<解得ln 2x <-.故函数()f x 在区间[]1,ln 2--上单减，在区间[]ln 2,0-上单增. min ()(ln 2)ln 21f x f ∴=-=-,2(1)10,(0)0-=-<=f f e，max ()(0)0∴==f x f ；(2) 因为2(1)10f e'-=-<，所以函数()f x 不可能在R 上单调递增. 所以，若函数()f x 为R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0f x '≤恒成立.由(0)10f a '=+…可得1a ≤-，故()0f x '≤恒成立的必要条件为21a -<≤-.令()()(2)1x g x f x ax a e '==++-，则()(22)x g x ax a e '=++.当21a -<≤-时，由()0g x '>，可得22x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭， 由()0g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭， ()g x ∴在2,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.上单调递增，在22,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 故22max 2()21a g x g ae a --⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭令22()1a h a ae--=--，下证:当21a -<≤-时，22()10a h a ae --=--…. 即证221a e a---…，令22t a --=，其中(]1,0∈-t ，则112t a -=+， 则原式等价于证明:当(]1,0∈-t 时，12t e t +…. 由(1)的结论知，显然成立.综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减.【点睛】本题主要考查求函数最值，以及由函数单调性求参数的问题，灵活运用导数的方法求函数单调性，即可研究其最值等，属于常考题型.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选- -题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .(1)求1C 的极坐标方程；(2)若直线2C 与曲线1C 相交于M ，N 两点，求MN .【答案】(1) 22cos 40ρρθ--=；(2)【解析】【分析】 （1）根据曲线1C 的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入()2215x y -+=，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】(1)曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为普通方程为: ()2215x y -+=，转换为极坐标方程为: 22cos 40ρρθ--=. (2)直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .转换为参数方程为: 22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 把直线的参数方程代入22(1)5x y -+=，得到: 240t -=，(1t 和2t 为M ，N 对应的参数)，故: 12t t +124t t ⋅=-， 所以12||MN t t =-==【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.选修4-5:不等式选讲23.已知()|1||1|f x x ax =+++.(1)当1a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) 33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(,2][0,)-∞-⋃+∞. 【解析】【分析】（1）先由1a =-得|1||1|3++-≥x x ，分别讨论1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况，即可得出结果；（2）先由题意，得到当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -…或0a ≥恒成立，进而可求出结果.【详解】(1)当1a =-时，不等式()3f x ≥可化简为|1||1|3++-≥x x .当1x <-时，113x x --+-≥，解得32x -…，所以32x -… 当11x -≤<时，113x x ++-≥，无解；当1x ≥时，113x x ++-≥，解得32x ≥，所以32x ≥； 综上，不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax +≥.由不等式的性质得11ax +≤-或11ax +≥，即2ax ≤-或0ax ≥.当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -…或0a ≥恒成立; 则2a ≤-或0a ≥.综上，所求a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.。
2024届东北三省三校(哈师大、辽宁省实验中学、东北师大)高三下学期第一次联合模拟考试语文试题及答案
哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试语文试卷材料一：自古以来，中华文明在继承创新中不断发展，在应时处变中不断升华，在世界上影响深远，有力推动了人类文明发展进程。
中华文明在对外传播中向世界贡献了深刻的思想体系、丰富的科技文化艺术成果、独特的制度创造，为人类文明进步作出了突出贡献注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。
每一种文明都扎根于自己的生存土壤，凝聚着一个国家、一个民族的非凡智慧和精神追求，都有自己存在的价值。
中华文明有着一贯的处世之道，有着鲜明的价值导向，有着永恒的精神气质，有着内在的生存理念。
独特的文化传统、独特的历史命运、独特的基本国情，注定了我们必然要走适合自己特点的发展道路，也决定着增强中华文明传播力影响力的重要原则就是坚守中华文化立场。
不同的文化立场深刻影响着实践主体看待文化问题的角度和方式。
在坚守中华文化立场中增强中华文明传播力影响力，就要坚守中国特色社会主义文化发展方向，坚定文化自信、培育文化之根、筑牢文化之魂。
尤其在讲好中国故事、传播好中国声音上，要更加注重展示中国之路、中国之治、中国之理背后的思想力量和精神力量，让世界全方位、多角度了解博大精深的中华文化。
文明因交流而多彩，文明因互鉴而丰富。
习近平总书记指出：“文明交流互鉴，是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力。
”深化文明交流互鉴，要以海纳百川、开放包容的广阔胸襟，融合世界各民族文化精粹，广泛开展同各国的文化交流、学习借鉴世界一切优秀文明成果。
从历史上的佛教东传，到近代以来的马克思主义和社会主义思想传入中国，再到改革开放以来全方位对外开放，中华文明始终在兼收并蓄中历久弥新。
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东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． １．已知集合2{0,},{30},A b B x Z x x ==∈-<若,AB ≠∅则b 等于（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 1或2=（ ）Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．)i Ｄ．1i +３． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“cos2cos2A B <”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件４．向量a,b 满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ）Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．23６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）A ．3 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．2７．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上 任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）Ａ． []1,4 Ｂ． []1,3 Ｃ． []2,1- Ｄ． []1,1-８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．6Ｂ．3９． 已知数列{}n a 满足*312ln ln ln ln 32()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅⋅=∈-，则 10a =（ ）Ａ．26e Ｂ． 29e Ｃ．32e Ｄ．35e10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于１，则输入的t 值不能是下面的（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．(),2-∞ Ｂ．(],2-∞ Ｃ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ Ｄ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 12．函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为（ ）Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．若等差数列{}n a 中，满足46201020128a a a a +++=，则2015S =_________．14．若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．15．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点为1P ，则11PA PB -=____． 16．若函数()f x 满足: （ⅰ）函数()f x 的定义域是R ； （ⅱ）对任意12,x x ∈R 有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=；（ⅲ）3(1)2f =. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 是偶函数；③对任意12,n n ∈N ，若12n n <，则12()()f n f n <；④ 对任意x R ∈，有()1f x ≥-.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →→<⋅≤设→AB 和→AC 的夹角为θ． （Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的值域．18．（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量（3/g m μ）DCBAFE图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证: //CF 平面AED ；(Ⅱ)若AE =ABCDEF 的体积V .20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 过点(1,2)P 分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交1C 于,A B 两点(点,A B 异于点P ),若120k k +=，且直线AB 与圆2:C 221(2)2x y -+=相切，求△PAB 的面积.21．（本题满分12分）已知实数a 为常数，函数2ln )(ax x x x f +=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线过点Ａ)2,0(-，求实数a 值； （Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点1212,()x x x x <．①求证：021<<-a ；②求证： 1()0f x <，21)(2->x f ． 请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号．22．（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，在ABC ∆中，90=∠ABC ，以AB 为直径的圆O交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）求证：AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅.23．（本题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值.24．（本题满分10分）选修4-5: 不等式选讲设函数|2||12|)(+--=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(>x f ；（Ⅱ）若R x ∈∃0，使得m m x f 42)(20<+，求实数m 的取值范围.CD M OB E A东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试文科数学试题参考答案一、选择题 二．填空题13． 4030 14．－6 15．－16 16． ②③④ 三.解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， ……4分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． ……6分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． ……8分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的值域是]3,2[ ……12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）1001550003.0=∴=⨯x x35100104015=∴=+++y y……2分008.05010040=⨯007.05010035=⨯002.05010010=⨯DCBAFE (5)分（Ⅱ）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1,2,3, 空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分其中事件A “其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分所以事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是107)(=A P . ……12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明： ABCD 是菱形，//BC AD ∴.又⊄BC 平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，//BC ∴平面ADE .……2分又BDEF 是正方形，//BF DE ∴.BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，//BF ∴平面ADE . ……4分BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC BF B =， ∴平面BCF //平面AED .由于CF ⊂平面BCF ，知//CF 平面AED . ……6分 (Ⅱ)解：连接AC ，记AC BD O =.ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，且BO AO =．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥.DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D =，∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF -的高. (9)（3/g m μ）由ABCD 是菱形，60BCD ∠=，则ABD ∆为等边三角形，由AE =则1AD DE ==，AO =，1BDEF S =，136BDEF BDEF V S AO =⋅=，23BDEF V V ==. (12)分20．（本小题满分12分）解: (Ⅰ) 设动圆圆心坐标为(,)x y ，半径为r ，由题可知2222222(2)42x y r y x x r⎧-+=⎪⇒=⎨+=⎪⎩； ∴动圆圆心的轨迹方程为24y x = ……4分(Ⅱ) 设直线1l 斜率为k ,则12:2(1);:2(1).l y k x l y k x -=--=--点P （1,2）在抛物线24y x =上22448402(1)y xky y k y k x ⎧=∴⇒-+-=⎨-=-⎩ 设1122(,),(,)A x y B x y ,0>∆恒成立，即(),012>-k 有1≠k118442,2,,P P kky y y y kk--∴==∴=代入直线方程可得212(2)k x k -= (6)分同理可得 2222(2)42,k kx y k k++==- ……7分 212221242421(2)(2)ABk ky y k k k k k x x k +----===-+--- ……9分 不妨设:AB l y x b =-+. 因为直线AB 与圆C=解得3b =或1, 当3b =时, 直线AB 过点P ,舍 当1b =时, 由2216104y x x x y x=-+⎧⇒-+=⎨=⎩；32,||8AB ∆===P 到直线AB 的距离为d =PAB 的面积为. (12)分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知:/()ln 12(0)f x x axx =++> ,切点(1,)P a ……1分切线方程:(21)(1)y a a x -=+- ,把(0,2)- 代入得:1a = ……3分 （Ⅱ）①证明：依题意:/()0f x = 有两个不等实根1212,()x x x x <设()ln 21g x x ax =++ 则:/1()2(0)g x a x x=+> (ⅰ)当0a ≥ 时: /()0g x > ,所以()g x 是增函数,不符合题意; ……5分 (ⅱ)当0a < 时:由/()0g x =得:102x a =->max )(x g =()ln()022g a a -=-> ,解得:02a -<< ……8分（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）方法一：当0>x 且0→x 时-∞→x ln ，112→+ax ，∴当0>x 且0→x 时-∞→)(x g )(x g ∴在1(0,)2a-上必有一个零点． 当a x 21->时，设x x x h -=ln )(，xx x x x h 22211)(/-=-=4>∴x 时，024ln )4()(<-=<h x h 即x x <ln4>∴x 时，1221ln )(++<++=ax x ax x x g设x t =，12122++=++t at ax x 由0a <，+∞→x 时，0122<++t at0)(<∴x g )(x g ∴在1(,)2a-+∞上有一个零点 综上，函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．方法二2ln )(ax x x x f +=有两个极值点,即/()ln 12(0)f x x ax x =++>有两个零点,即xx a 1ln 2+=-有两不同实根. 设x x x h 1ln )(+=,2/ln )(x xx h -=,当0)(/>x h 时，10<<x ；当0)(/<x h 时，1>x当1=x 时)(x h 有极大值也是最大值为1)1(=f 12<-∴a ，2->a 0)1(=eh ，故)(x h 在()1,0有一个零点当1>x 时，01ln 0ln >+∴>x x x 且011ln lim lim ==++∞→+∞→xx x x x 1>∴x 时1)1()(0=<<h x h0,02<∴>-∴a a综上函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．② 证明： 由①知:/(),()f x f x 变化如下:)由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,又/(1)(1)210f g a ==+> ,故211x x << ……10分所以：21)1()(,)1()(21->=><=<a f x f a f x f即1()0f x <，21)(2->x f ． ……12分22.选修4-1: 几何证明选讲证明：（Ⅰ）连结OE .∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点， ∴AC OD 21//=，∴EOD AEO BOD A ∠=∠∠=∠,. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠.……2分在EOD ∆和BOD ∆中，∵OB OE =，BOD EOD ∠=∠，OD OD =，∴EOD ∆≌BOD ∆， ……4分 ∴90=∠=∠OBD OED ，即ED OE ⊥.∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. ……5分 （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .∵EOD ∆≌BOD ∆，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.∵DB DE ,是圆O 的切线，∴DB DE =.∴222DE DB DE BC DE =⋅=⋅. ……7分 ∵OF AB OD AC 2,2==，∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，∴DF DM DE ⋅=2，∴AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅ ……10分 23.选修4-4: 坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . ……2分FCD MOB EA由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ， ∴直线l 的普通方程为03=--m y x . ……5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ， 整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+， ……7分 又直线l 过点)0,(m P ，由上式及t 的几何意义得1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m 的值为1或21+或21-. 10 分24.选修4-5: 不等式选讲解：（Ⅰ）当2-<x 时，3221|2||12|)(+-=++-=+--=x x x x x x f ，0)(>x f ，即03>+-x ，解得3<x ，又2-<x ，∴2-<x ；当212≤≤-x 时，13221|2||12|)(--=---=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即013>--x ，解得31-<x ，又212≤≤-x ，∴312-<≤-x ；当21>x 时，3212|2||12|)(-=---=+--=x x x x x x f ，0)(>x f ，即03>-x ，解得3>x ，又21>x ，∴3>x . (3)分综上，不等式0)(>x f 的解集为),3(31,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- . ……5分（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤----<+-=+--=21,3212,132,3|2||12|)(x x x x x x x x x f ，∴2521)(min -=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f . (7)分∵R x ∈∃0，使得m m x f 42)(20<+，∴25)(24min 2-=>-x f m m ， 整理得：05842<--m m ，解得：2521<<-m ， 因此m 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-25,21. ……10分。