椭圆双曲线的焦点三角形

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椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在21PF F ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()βαβαsin sin sin ++=e二、椭圆其他结论标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±=2、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+= 3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，则椭圆的焦点角形的面积为2tan221θb S PF F =∆4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短ab 226、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

双曲线的焦点三角形面积的公式推导

双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。

在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。

让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。

双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。

它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。

双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。

现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。

在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。

我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。

我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。

我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。

现在，我们要计算这个三角形的面积。

根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。

通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。

然而，这只是一个简单的推导过程。

如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。

我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。

在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程：设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2222122212212222121PF PF PF PF F F c b a aPF PF cF F ⇒)cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=bc a PF PF ）)2tan()2(cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221αb S F PF =∆．二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF cF F ⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ）12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF 即1-2)2tan(21αb S F PF =∆．。

双曲线焦点三角形面积公式推导

双曲线焦点三角形面积公式推导设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b$，焦点坐标为$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。

三角形顶点可以取在双曲线上任意三点，不妨设为$(a\sec\theta,b\tan\theta)$，$(a\sec\phi,b\tan\phi)$，$(a\sec\psi,b\tan\psi)$，其中$\theta<\phi<\psi$。

根据双曲线的定义，三角形的三边分别为：$|(a\sec\theta,a\tan\theta)(-c,0)|=a\sqrt{\sec^2\theta+1}$，$|(a\sec\phi,a\tan\phi)(-c,0)|=a\sqrt{\sec^2\phi+1}$，$|(a\sec\psi,a\tan\psi)(-c,0)|=a\sqrt{\sec^2\psi+1}$。

根据海伦公式，三角形面积为：$S=\sqrt{s(s-a\sqrt{\sec^2\theta+1})(s-a\sqrt{\sec^2\phi+1})(s-a\sqrt{\sec^2\psi+1})}$，其中$s=\frac{1}{2}(a\sqrt{\sec^2\theta+1}+a\sqrt{\sec^2\phi+1}+a\ sqrt{\sec^2\psi+1})$为半周长。

将三边代入海伦公式，并化简，可得：$S=\frac{ab}{2}\left|\cos(\theta+\psi-2\phi)+\cos(\theta-2\phi+\psi)+\cos(2\theta+\psi-3\phi)-\cos(\theta+\phi-2\psi)-\cos(\theta-3\phi+2\psi)-\cos(2\theta+\phi-\psi)\right|$ 这就是双曲线焦点三角形面积的公式。

焦点三角形面积最大值

焦点三角形面积最大值
焦点三角形面积的最大值是一个涉及几何学和三角学的问题。

首先，我们需要明确什么是焦点三角形。

在几何学中，焦点三角形通常指的是与某个特定几何形状（如椭圆或双曲线）的焦点有关的三角形。

以椭圆为例，椭圆有两个焦点，任意一点P在椭圆上，与这两个焦点连接形成的三角形就是焦点三角形。

要求这个三角形的面积最大值，我们可以考虑以下几种方法：利用三角形的面积公式：三角形的面积可以通过底和高来计算。

在这种情况下，底可以是两个焦点之间的距离，高是从椭圆上的一点到这条底线的垂直距离。

但是，由于椭圆上的点到焦点的距离是变化的，因此这种方法需要找到使高最大的那个点。

利用椭圆的性质：椭圆有一个性质，即任意一点到两个焦点的距离之和是常数（等于椭圆的长轴）。

这个性质可以用来找到面积最大的焦点三角形。

具体来说，当这个三角形是等腰三角形时（即两个焦点到椭圆上一点的距离相等），面积达到最大。

利用微积分：这个问题也可以通过微积分来解决。

我们可以设椭圆上的一点为P(x,y)，然后用x和y表示三角形的面积。

然后，对面积函数求导，找到使面积最大的x和y值。

无论使用哪种方法，找到焦点三角形面积的最大值都需要一定的数学知识和技巧。

在实际应用中，这个问题可能出现在物理、工程或计算机科学等领域，因此掌握解决这个问题的方法是非常重要的。

怎样解答与焦点三角形有关的问题

焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。

椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质

２
槡
２２２ｂ＋ｃｔａｎ θ ＝．２ｂｔａｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒｃｓａ，ｒｃｓａ，ｅｃｅｃ θ＋ θ－１＝２＝２２２２２２）则ｒｒｃ（ａ＝ｂ＋ｃｔ１＋－ｔａｎθ ａｎ θ，１２＝ｒｒ所以Ｒ＝１２２ｂｔａｎ θ ｂｔａｎ θ）由三角形内心坐标公式知Ｉ（ａ，．１＋ｓｅｃ θ
ｓｓｉｎｉｎ α α 故ｔ＝ａｎ α＝２ｃｏｓ α 槡１－ｓｉｎ α ＝
ｃｓｃｉｎ θ ＝ｓｉｎ θ．２２２２ｂｂｃａｓｃｓｏｓｉｎθ－ｉｎθ θ＋槡
２２
ｒ１＋ｅ由 ① 知ｔａｎ α＝ｂ１－ｅ
槡
④
槡（
ｂ－ｃｓｉｎθ ＝２ｂｓｉｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２８１＋ｅｅ时取等当ｒ＝１－ＲＳ≤ ｒ．．ｅｂ１＋ｅ性质１证毕．
数学通报２０１７年第５６卷第４期ｔａｎ θ 得ｒ＝ｂ１＋ｓｅｃ θ （ｒＲ１＋ｓｅｃｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ）１２＝２由 ⑥ 两边平方整理得２２２２（２＋２＝ｒｂｔｓｅｃｔａｎａｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂｃ－ａｓｓｃ）ｅｃｅｃ θ（ａ θ＋，ｘ－ａｎ θ＝ｙ－ｔ２ｔ２ｂａｎ θ
２２２ｃｔｂａｎ θ－），故令ｘ＝０知Ｗ（０，２ｂｔａｎ θ ２２２２）（ｃｔｂａｎ θ－２得Ｒ＝ＷＦ２＝ｃ＋２２４ｂｔａｎθ

秒杀题型焦点三角形(椭圆与双曲线)

2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。

〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。

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（二）切点的轨迹：
P是（a＞0，b＞0）的左支上的一点， F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c， △PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为（） A．﹣a B．﹣b C．﹣c D．a+b﹣c
【分析】充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，得PM|=|PN|，|F1M|=|F1D|，|F2N|=|F2D|，再结合双曲线的定义得|F1D|﹣|F2D|=﹣2a，从而即可求得△PF1F2的内心的横坐标．【解答】记△PF1F2的内切圆圆心为C， • 边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为M、N、D， • 易见C、D横坐标相等， • |PM|=|PN|，|F1M|=|F1D|，|F2N|=|F2D|， • 由|PF2|﹣|PF1|=2a， • 即：|PM|+|MF1|﹣（|PN|+|NF2|）=﹣2a， • 得|MF1|﹣|NF2|=﹣2a即|F1D|﹣|F2D|=﹣2a， • 记C的横坐标为x0，则D（x0，0）， • 于是：x0+c﹣（c﹣x0）=﹣2a， • 得x0=﹣a， • 则内切圆的圆心的横坐标为﹣a． • 故选A． • 【点评】本题主要考查了双曲线的定义、双曲线的应用及转化问题的能力，属于中档题．
诱学指导：
• 通过椭圆、双曲线的基础知识的学习，同学们对基础知识及基本技能有所掌握。近几年来，高考和各地模拟试题对焦点三角形有关问题的考查越来越普遍，焦点三角形的有关问题的解题方法与三角形有关边角联系在一起，并与圆锥曲线或圆的性质有着紧密联系.
合作探究：
一、椭圆的焦点三角形的面积：在椭圆（ a>b>0 ）中，焦点分F2 F PF b2 tan 1 2 1 cos F1PF2 2
b2
二、双曲线的焦点三角形的面积
在双曲线中，焦点分别为、，点 P是双曲线上任意一点，则
三、焦点三角形中的轨迹问题：
（一）垂足的轨迹： 1.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、 F2，P为双曲线上任意一点，过F1作∠F1PF2 的内角平分线l的垂线，设垂足为M，求点M的轨迹。
当堂训练：
随堂检测：
小结
• 1. 求解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解，在解圆锥曲线的问题中，有些选择题或填空题，如果用常规方法去解题，无疑是小题大做,这在考试特别是高考中，是非常不可取的，运用特殊解法，不但可以节省时间，还可提高准确率； • 2.求解焦点三角形的轨迹问题时充分挖掘变与不变、运动与静止、一般与特殊的关系.
S F1PF2 F1 PF2 b tan 2
2
证明： S 且 F 1F2
2
PF1 F2

1 PF1 PF2 sin F1PF2 2
2 2
PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos F1PF2
PF1 PF2

2
2 PF1 PF2 1 cos F1PF2
椭圆、双曲线的焦点三角形
汝阳一高高二数学组
• 学习目标：
• 注重对焦点三角形与圆锥曲线的联系，轨迹问题，定值、定点问题的考查； • 注重考查分析问题问题解决问题的能力； • 注重考查方程思想、数形结合思想、分类讨论、转化化归思想的应用的能力，对学生的抽象概括能力、推理论证能力和运算能力都有较高的要求.
4c 2 4a 2 2 PF1 PF2 1 cos F1PF2
2a 2 2c 2 2b 2 PF1 PF2 1 cos F1PF2 1 cos F1PF2 S
PF1 F2
1 1 2b2 PF1 PF2 sin F1PF2 sin F1PF2 2 2 1 cos PF1F2
【分析】点F1关于∠F1PF2的角平分线PM的对称点M′在直线PF2的延长线上，故|F2M′|=|PF1|﹣|PF2|=2a，又OM 是△F2F1M′的中位线，故|OM|=a，由此可以判断出点M 的轨迹．【解答】解：点F1关于∠F1PF2的角平分线PM的对称点M′ 在直线PF2的延长线上，故|F2M′|=|PF1|﹣|PF2|=2a，又OM是△F2F1M′的中位线，故|OM|=a，点M的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，点M的轨迹方程为x2+y2=a2．【点评】本小题主要考查轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答关键是应用角分线的性质解决问题．
2. P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作 ∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是
【分析】P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作 ∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，延长F2M交F1延长线于Q，可证得PQ=PF2，且M是PF2的中点，由此可求得 OM的长度是定值，即可求点M的轨迹的几何特征【解答】解：由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，延长 F2M交F1延长线于Q，得PQ=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，连接OM，知OM是三角形F1F2Q的中位线 ∴OM=a，即点M到原点的距离是定值，由此知点M的轨迹是圆【点评】本题考查求轨迹方程，解本题，关键是证出OM是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出QF1的长度，进而求出OM的长度，再利用圆的定义得出点M的轨迹是一个圆．本题考查了椭圆的定义，圆的定义，综合性强，题后应注意总结一下本题求解中的转化思路．