高中数学人教A版《空间向量基本定理》PPT精品系列1
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空间向量基本定理(18张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
如裸本是面例1OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上， 点P在线段AN上，且 ,用OA,OB,OC表示OP
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
授课老师：
时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
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时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
1.2空间向量基本定理 人教A版(2019版)高中数学选择性必修一(共16张PPT)
示.
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量基本定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
高中数学/人教A版/选修一
c
O
p
P
b
a
Q
1.2空间向量基本定理
思维篇
素养篇
知识篇
回顾：
平面向量基本定理
如果a,b是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量p，有且只有一对实数x、y，使p=xa+yb .
p
b
O
a
类似地，任意一个空间向量能否用三个不共线的向量a,b,c来表示呢？
方 1.先根据数据凭直观找边界点，确定动点P的轨迹类型；
法 2.再依据类型求轨迹测度.
数学模型
等和线
等和面
Q
P
上图中A、B分别为线段OC、OD中点.
P、Q分别为直线AB、CD上的动点，则
(1) OP xOA yOB
x+y=?；
(2) OQ xOA yOB
x+y=？
(先找特殊位置，然后给出一般化的结论)
思
想
问
题
之
是六面体AC'内部(含表面)一动点,满足条件：
=x+ + ’,
2
3
则点P轨迹的体积为
解
基
底
思
想
答
+
数
形
结
合
方
法
总
结
且0≤x+y+z≤3
.
1
1
=x+y( )+z( ’),
2
1
1
以， ， ’为基底,
2
1.2空间向量基本定理
高中数学/人教A版/选修一
c
O
p
P
b
a
Q
1.2空间向量基本定理
思维篇
素养篇
知识篇
回顾：
平面向量基本定理
如果a,b是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量p，有且只有一对实数x、y，使p=xa+yb .
p
b
O
a
类似地，任意一个空间向量能否用三个不共线的向量a,b,c来表示呢？
方 1.先根据数据凭直观找边界点，确定动点P的轨迹类型；
法 2.再依据类型求轨迹测度.
数学模型
等和线
等和面
Q
P
上图中A、B分别为线段OC、OD中点.
P、Q分别为直线AB、CD上的动点，则
(1) OP xOA yOB
x+y=?；
(2) OQ xOA yOB
x+y=？
(先找特殊位置，然后给出一般化的结论)
思
想
问
题
之
是六面体AC'内部(含表面)一动点,满足条件：
=x+ + ’,
2
3
则点P轨迹的体积为
解
基
底
思
想
答
+
数
形
结
合
方
法
总
结
且0≤x+y+z≤3
.
1
1
=x+y( )+z( ’),
2
1
1
以， ， ’为基底,
2
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.2空间向量基本定理(共22张ppt)
O
M
Q
A
B
P
N
1
2
OP OM MP OA MN
2
3
1
2
OA (ON - OM)
2
3
1
2
1
OA (ON - OA)
2
3
2
1
2
1
C OA (OB OC)
6
3 2
1
1
1
OA OB OC;
6
3
3
O
M
Q
P
A
C
N
B
1
1
OQ OM MQ OA MN
b
A
C
a B
p
P
复习平面向量基本定理
如果两向量 ， 不共线，那么对平面任一向量a ，
均存在有序实数组{ ， }，使得a= + .
当 ⊥ 时，这种分解叫做平面向量的正交分解.
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
2
3
1
1
OA (ON - OM)
2
3
1
1
1
OA (ON - OA)
2
3
2
1
1 1
OA (OB OC)
3
3 2
1
1
1
OA OB OC.
3
6
6
课本P12页1-3题
例2 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
M
Q
A
B
P
N
1
2
OP OM MP OA MN
2
3
1
2
OA (ON - OM)
2
3
1
2
1
OA (ON - OA)
2
3
2
1
2
1
C OA (OB OC)
6
3 2
1
1
1
OA OB OC;
6
3
3
O
M
Q
P
A
C
N
B
1
1
OQ OM MQ OA MN
b
A
C
a B
p
P
复习平面向量基本定理
如果两向量 ， 不共线，那么对平面任一向量a ，
均存在有序实数组{ ， }，使得a= + .
当 ⊥ 时，这种分解叫做平面向量的正交分解.
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
2
3
1
1
OA (ON - OM)
2
3
1
1
1
OA (ON - OA)
2
3
2
1
1 1
OA (OB OC)
3
3 2
1
1
1
OA OB OC.
3
6
6
课本P12页1-3题
例2 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
人教A版高中数学选择性必修第一册《空间向量基本定理》名师课件
A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求 、 的坐标．
解析
因为 ＝－ ＝－( ＋ )＝－[ ＋ (＋ )]
＝－ － － .
又| |＝4,||＝4,||＝2,所以 ＝(－2,－1,－4)．
因为 ＝ － ＝ －( ＋ )＝ － － .
形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
变式训练
2、如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设 ＝a, ＝b, ＝c, P是CA1的
中点,M是CD1的中点.用基底{a,b,c}表示以下向量：(1) ；(2) .
解析
如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中连接AC,AD1.
一的线性表示．
素养提炼
2．空间向量坐标表示注意点
(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为
{e1,e2,e3},b＝λe1＋μe2＋ke3,则b的坐标为(λ,μ,k)．
(2)点的坐标反应了点在空间直角坐标系中的位置,而向量的坐标
实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示,它
又||＝2,||＝4,| |＝4,
所以 ＝(－4,2,－4)．
方法归纳
用坐标表示空间向量的方法步骤
素养提炼
1．对空间向量基本定理的理解
(1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二
者是相关联的不同概念．
(2)向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量惟
方法归纳
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量
是否是共面向量,若不是共面向量,就可以作为一个基底.
空间向量基本定理(PPT)
（二）空间向量基本定理
【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？
1.不同基底下,同一向量的表达式也
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
有可能不同.
2.由于零向量与任意一个非零向量
【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
)
)
答案: (1)× (2)√ (3)√ (4)√
【做一做1】(教材P12练习1改编)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
（三）典型例题
1.基底的判断
例1.设 Ԧ = Ԧ + , Ԧ = + ,
Ԧ = Ԧ + ，且
Ԧ
,
Ԧ , Ԧ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ,
Ԧ , Ԧ ，②
,
Ԧ ,
Ԧ Ԧ ，③ ,
（2）∵ ’ = −Ԧ + ，∴
Ԧ
’ = 2 Ԧ ， =
∵’ ∙ = −Ԧ + Ԧ ∙ +
1
Ԧ
2
1
=2 Ԧ2
=
1
2
Ԧ
5
2
2，∴cos
Ԧ ，
’, =
1
2
2
1.2空间向量基本定理(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
⋅1
|||1 |
=
= 1 + = −k
1 1 1
1
Ԧi+ Ԧj− k ⋅ −k− Ԧj
2 2 2
3
2 10
3× 3
所以， 与1 所成角的余弦值为
30
15
=
1
− Ԧj.
3
1
2 −1×22
×2
2
6
2 10
3× 3
=
30
15
小结
空间向量基本定理
a，b，Ԧc不共面，则对∀，∃唯一有
2
2
− × 4 × 60° − × 4 − × 4 × 5 × 60° = 0.
2
2
2
所以 ⊥ 1 .
例题讲解
例3.如图，正方体ABCD − A’ B’ C ’ D’ 的棱长为1，E，F，G分别为C ’ D’ ，A’ D’ ，D’ D的中点.
(1)求证：EF//AC；
(2)求CE与AG所成角的余弦值.
Ԧ
}表示向量，.
Ԧ
解: = + =
= +
1
2
1
2
1
+ 1
2
= +
1
2
A
+ + 1
1
2
A1
+ 1
1
2
= + + 1
1
2
1
2
B1
1
2
= Ԧ + + Ԧ
= 1 +
=
1
2 1 1
B
= + 1 +
数学人教A版选择性必修第一册1.2空间向量基本定理共15张ppt
M
A1
B1
由已知,{ AB , AD, AA1 }可构成空间的一个基底,
把 MN 和 AC1分别用基底表示 ,
然后计算 MN AC1即可 .
证明：设 AB a , AD b, AA1 c这三个向
量不共面,{a , b, c }构成空间的一个基底,
D
A
N
C
B
C1
典例分析
解 我们用它们表示 MN , AC1 , 则
3．正方体上一个顶点出发的三条棱上的单位向
量 e1 , e2 , e3 .可以作为空间的一个基底吗？
知识梳理
知识点一
空间向量基本定理
(1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c
不共面 ，那么对任意一
个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p＝ xa＋yb＋zc .
(2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合
2
1
AG AD DG i k
2
1
1
j k i k
CE AG
2
2 2
cos CE , AG
5
5
5
CE AG
2
2
2
故CE 与AG所成角的余弦值为 .
5
D
A
C
E
F
G
B
D
A
C
B
课堂小结
空间向量基本定理及其应用
学
习 目
标
1.了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽
象)
2.掌握空间向量的正交分解．(直观想象)