第五章 平面立体
工程制图 第五章 平面形体的投影
7(8)
8 3
● ● ●
6
7
●
1
2(3) 4(5) 3 1 8
(5) 1 (4)
●
2
5 7
6
4
2
第三节
直线与平面立体贯穿
直线与立体表面的交点称为贯穿点 求贯穿点的实质是求直线与平面交点的问题。 利用积聚投影 方法: 辅助平面法
例1: 求直线AB与三棱柱的贯穿点
一、长方体组合
二、斜面体组合
b P a(c) c P a b c P
b
a B P C A
例1：已知长方体的三面投影，某一平面被切割后，求其 它两面投影。
例2：已知长方体被切割后的两面投影，求第三面投影。
b a a
b
a b
投影图分析：
底面：水平面 顶面：水平面 侧面： 后面：正平面 左、右后面：铅垂面 左、右前面：铅垂面
正棱柱图例：
五棱柱
五棱柱
六棱柱 六棱柱
三棱柱 三棱柱
四棱柱 四棱柱 (长方体 ) (长方体 )
已知棱柱表面上两点M、N的V面投影，确定其他两面投影。 棱柱表面定点：
m
(n)
k
m
(n)
中途返回请按“ESC” 键
改变例1: 求直线AB 与三棱柱的贯穿点
例2
求直线AB 与三棱锥的贯穿点
改变例2 求直线AB与三棱锥的贯穿点
第四节
两平面立体相贯
例3 画出三棱锥与三棱柱全贯的投影图
例4 画出三棱锥与三棱柱互贯的投影图
第五节 平面基本体的组合
图1 房屋形体的分析 图2 水塔形体分析
第五章 平面形体的投影
机械制图 第五章 基本几何体
圆柱的三面视图画图步骤：
O A
O1 A1
2.在圆柱表面取点
已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。
4
4″
1′
3
(2)
1″
3
2″
利用投影 的积聚性
O
2
A
1
4
3
O1 A1
利用45°线作图
k" k'
k
圆锥的投影
❖圆锥的概念
圆锥面是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线 旋转形成的。它是由圆锥面和底面（圆形平面） 组成。
▪ 棱柱的其他四个侧棱面均为铅垂面，水平投影 积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。
▪ 棱线为铅垂线，水平投影积聚为一点，正面投 影和侧面投影均反映实长。
▪ 棱柱的边为侧垂线或水平线，侧面投影积聚为 一点或是类似形，水平投影均反映实长，侧垂 线正面投影亦反映实长。
棱柱的三面视图画图步骤
直棱柱三面投影特征： 一个视图有积聚性，反
圆柱的投影
一、 圆柱
由顶圆、底圆和圆柱面围成。 圆柱面是由直线AA1绕与它平 行的轴线OO1旋转而成。 直线AA1称为母线。
O A
O1 A1
1.圆柱的三面视图
直立圆柱的上顶、下底是水 平面，V和W面投影积聚为 一直线，由于圆柱的轴线垂 直于H面，圆柱面的所有素 线都垂直于H面，故其H投 影成圆，具有积聚性。 柱面的V，W投影为同样大 小的矩形线框。V面投影 a’a1’c’c1’分别为最左、 最右两条轮廓线AA1和CC1的 投影，左视图矩形线框的两 侧边分别为圆柱面的最前、 最后两条转向轮廓线的投影， 它们的V面投影与轴线重合。
i第5章 平面立体(第十讲)
一、平面基本体
⑴ 棱柱的组成
1.棱柱
⑵ 棱柱的三视图 ⑶ 棱柱面上取点 ② 画正六棱柱的水平投影 ① 先用点画线画出水平投影
由两个底面和若干侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的交线 叫侧棱线，侧棱线相互平行。
a
a
点的可见性规定： （正六边形），根据正六棱柱 的中心线，正面投影和侧面 在图示位置时，六棱柱 若点所在的平面的投 的高度画出顶面和底面的正面 投影的对称线; 的两底面为水平面，在俯视 影可见，点的投影也可见； 投影和侧面投影。 由于棱柱的表面都 图中反映实形。前后两侧棱 若平面的投影积聚成直线， 是平面，所以在棱柱的 面是正平面，其余四个侧棱 点的投影也可见。 表面上取点与在平面上 面是铅垂面，它们的水平投 取点的方法相同。 影都积聚成直线，与六边形 的边重合。
平面立体 基本旋转体 平面与曲面相交
曲面与曲面相交
用CSG体素构造法分析空间形体
三维图形表达
组合体的构形与表达
体的三面投影 ——三视图
一、体的投影
体的投影，实质上是构成该体的所 有表面的投影总和。
V
二、三面投影与三视图
1.视图的概念
用正投影法绘制的物 体的投影图称为视图。 主视图 ——体的正面投影 俯视图 ——体的水平投影 左视图 Байду номын сангаас—体的侧面投影
两个线框相邻，表示两个面高低不平或相交。
利用虚、实线区分各部分的相对位置关系。
几个视图对照分析以确定物体的形状
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 2 4
● ●
1
●
2
Ⅳ Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
●
3
4
3
工程制图第五章立体的投影
投影的分类
01
02
03
正投影
光线与投影面垂直，物体 的投影与原物体形状、大 小一致。
斜投影
光线与投影面形成一定角 度，物体的投影与原物体 形状、大小可能存在差异。
中心投影
光线通过一点投影到投影 面上，物体的投影与原物 体形状、大小可能存在较 大差异。
投影法在工程中的应用
建筑设计
通过正投影法绘制建筑物 的平面图、立面图和剖面 图，以表达建筑物的外观 和内部结构。
圆锥体的投影
1 2
圆锥体的投影特性
圆锥体在三面投影体系中分别形成圆、椭圆和抛 物线。
圆锥体的三视图
主视图、俯视图和左视图。
3
圆锥体投影的作图方法
根据圆锥体的轴线位置，确定其在三面投影体系 中的位置，然后根据投影规律画出其三视图。
曲面立体投影的作图方法
曲面立体投影的作图步骤
曲面立体投影的应用
首先确定曲面立体的形状和尺寸，然 后根据其在三面投影体系中的位置， 按照投影规律画出其三视图。
曲面立体投影在工程制图、建筑设计、 机械制造等领域有着广泛的应用，是 工程技术人员必须掌握的基本技能之 一。
曲面立体投影的注意事项
在作图过程中，需要注意曲面的曲率、 方向和投影角度等因素，以确保绘制 的图形准确无误。
04 组合体的投影
组合体的构成方式
叠加型
由基本几何体按一定方式叠加而成，各基本体之间相 对位置关系明确。
对于截断立体和相贯立体，尺寸标注更为复杂。需要明确截断和相贯的位置，以及各个部分的大小。这涉及到对立体结构的 深入理解，以确保标注的尺寸能够准确反映立体的实际结构和形状。
Hale Waihona Puke 组合体的尺寸标注全面反映组合体的结构和功能
平 面 立 体
3.1.1 平面立体
2．棱锥
（1）棱锥的形体特征
棱锥表面是由一底面和若干侧面组合而成的。棱锥 底面为特征面，它的形状为多边形；棱锥各侧面为若干 具有公共顶点的三角形。从棱锥顶点到底面的距离为棱 锥的高。正棱锥的）棱锥的投影分析
图3-3（a）所示为一正三棱锥，它的表面由一个底 面（正三边形）和三个侧棱面（等腰三角形）围成，其 底面平行于水平投影面，一个棱面垂直于侧投影面。
3.1.1 平面立体
棱线SB为侧平线，棱线SA，SC为一般位置直线，棱线 AC为侧垂线，棱线AB，BC为水平线。
3.1.1 平面立体
（3）棱锥三视图的特点及其作图步骤
棱锥三视图的特点如下。
① 特征面（底面）在与特征面平行的投影面上的投影外线框 为多边形，反映特征面实形；内线框则由数个有公共顶点 的三角形所组成，这个视图称为特征形视图。
3.1.1 平面立体
直棱柱的顶面和底面是全等且互相平行的多边形，这两 个多边形决定棱柱的形状，因此，顶面和底面称为特征面； 直棱柱的矩形侧面、侧棱垂直于顶面和底面。
如图3-2（a）所示，正六棱柱的顶面、底面是全等且互 相平行的正六边形，六个矩形侧面和六个侧棱都垂直于正六 棱柱的顶面和底面。
3.1.1 平面立体
（a）
（b）
图3-3 正三棱锥的投影及表面取点
3.1.1 平面立体
解
由于m′可见，因此点M必定在△SAB上。△SAB是一般位 置平面，需采用辅助线法。过点M及锥顶点S作一条直线SK， 与底边AB交于点K。过点m′作直线s′k′，然后再作出其水平投 影sk。
由于点M属于直线SK，根据点在直线上的从属性质可知m 必在sk上，求出水平投影m，然后再根据m，m′求出m″，如图 3-3（b）所示。
04 第5章 平面与立体相交PPT课件
例1 过锥顶的截平面斜截圆锥，已知它的正 面投影， 求其余两个投影。
解题步骤：
(1)画出完整圆锥的投影。 （2）求截交线的投影。 （3）整理轮廓线，判别可见性。 （4）检查加深，完成全图。
29
首页
平面与回转体相交
例2： 已知切口圆锥的正 面投影，求其余两个投影。
解题步骤：
(1)画出完整圆锥的投影。 （2）求截交线的投影。 （3）整理轮廓线，判别可见性。 （4）检查加深，完成全图。
➢截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
4
首页
平面与平面立体相交
3、平面截切体的画图方法和步骤
关键是正确地画出截交线的投影。
（1） 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
（2） 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
见性。
14
首页
4、平面截切圆柱体
平面与回转体相交
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。
PV
PV PV
P
垂直 圆
P
P
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
15
首页
当平面垂直于 圆柱轴线时， 交线为圆形
当平面倾斜 于圆柱轴线 时，交线为 椭圆
当平面平行 于圆柱轴线 时，交线为 矩形
16
应用举例
例1：求圆柱截切后的侧面投影
平面与回转体相交
同一立体被多个 平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分 析和作图。
●
解题步骤：
●
★空间及投影分析
截平面与立体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
建筑图学课件---第五章-立体的阴影(平面立体)只是分享
五棱柱的阴影(2)
A
F
E
B
C
D
阳面
七棱柱的阴影
DE
I
BCF A
阴面
GH
1.判断阴线为 ABCDEFGHIJ 2.求阴线的顶点的落影
3.连接各影线
4.给阴面和落影上色
二、 棱锥的阴影
1. 棱锥的变化引起阴影的变化 2. 判别立体（ a ）的阴阳面 3. 判别立体（ b）的阴阳面 4. 判别立体（ c）的阴阳面 5. 判别立体（ d）的阴阳面
位于H面且靠在V面上的长方体
为了作图清晰， 可将投影分开画
左右组合的长方体的落影
上下组合的长方体的落影
D A
CE B
l1=l2 如果l1>l2或者 l1<l2呢？
正三棱柱的落影
A
C
B
E D
五棱柱的阴影(1)
1.判断阴线为 ABCDEF 2.求阴线的顶点B、 C、D、E的落影 3.连接各影线 4.给阴面和落影上 色
（b）
（c）
（d）
棱锥的侧棱面不是特殊位置 那么棱锥的阴线该如何求？ 平面，阴阳面不能直接判断
三棱锥的阴影
三棱锥的阴影
2. 判别立体（ a ）的阴阳面
s'
先作出棱锥的落 a' b' e' c' d' 影，再根据影线 来判断阴线
Eh Ah
SHEH和SHDH 处于最外轮廓
Sh
，成为影线,
那么SE和SD
1. 棱锥的变化引起阴影的变化
s' d'
a' b' e' c'
s' d'
a' b' e' c'
平面立体的概念
平面立体的概念平面立体是几何学中的基本概念之一，它既包含平面的特点，又涉及到立体的性质。
平面立体在现实生活中随处可见，比如建筑物、家具、艺术装置等。
了解平面立体的概念和特点对于理解几何学的基础知识和应用具有重要意义。
下面将从定义、性质、分类和应用四个方面对平面立体进行详细解析。
首先，平面立体的定义是指具有平面和立体特征的同一物体。
平面特征指的是该物体的某一表面是一个平面，可以用二维几何学中的平面概念来描述；立体特征是指该物体不仅具有长度和宽度，还具有高度，是一个三维的实体。
平面立体将平面和立体结合在一起，兼具了平面和立体的特点。
其次，平面立体具有一些特殊的性质。
首先，平面立体是由多个平面组成的，这些平面之间相互连接，形成了一个整体。
而每个平面都具有自己的特点，比如法线方向、长宽比例等。
其次，平面立体的表面可以是多边形、圆形等不同形状，也可以是由多个形状组成的复杂结构。
每个形状都有自己的特征和性质。
再次，平面立体的内部可以为空，也可以包含物质。
如果内部为空，那么平面立体只是一个外壳；如果内部包含物质，那么物质的排布和分布将影响到平面立体的性质和功能。
然后，平面立体可以根据不同的特征和性质进行分类。
一种常见的分类方法是根据平面立体的形状进行分类。
比较常见的形状有正方体、长方体、球体、圆柱体、圆锥体等。
这些形状都具有自己独特的特征和性质，可以通过不同的公式和定理来描述和计算。
另一种分类方法是根据平面立体的功能和用途进行分类。
比如建筑物可以按照用途分为住宅、商业、办公等不同类型；家具可以按照功能分为床、沙发、桌子等不同种类。
平面立体的分类可以根据具体的需要和目的来进行，使得我们对其有更加全面和深入的理解。
最后，平面立体在现实生活中具有广泛的应用。
首先，在建筑领域，平面立体的概念是非常重要的。
建筑物的设计和构造都离不开平面立体的原理和方法，比如平面图的制作、空间布局的规划等。
其次，家居和家具设计中也需要运用平面立体的概念。
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第五章平面立体章节目录第一节第二节第三节第四节第五节平面立体的投影平面和平面立体相交直线和平面立体相交两平面立体相交同坡屋顶的投影学习内容及学习重点❑学习内容：平面立体的投影平面立体上点的投影❑学习重点：平面立体的三面投影平面立体上点的三面投影平面立体：由若干平面所围成的几何体,如棱柱、棱锥等。
•平面立体侧表面的交线称为棱线。
•若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。
•若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
平面立体的投影:是平面立体各表面投影的集合,是由直线段组成的封闭图形。
(1) 棱柱的投影三棱柱的两底面为水平面，在水平投影图中反映实形。
其余三个侧棱面都是铅垂面，水平投影积聚，与三角形的边重合。
m ′nn′（2）棱柱表面的点由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。
mNMS ABCHa ' c 'b 'abs 'sc三棱锥的投影图 （1）棱锥的投影三棱锥（2）棱锥表面的点采用什么方法？ 平面上取点法a 'c 'b 'abs 's cS ABCMN m 'n 'm1' 1 n小结1 2平面立体的三面投影图画法画平面立体的投影就是画出立体表面各个位置上的平面多边形的投影，而多边形又是由直线段所组成，直线段可由其两端点来确定，因此，画平面立体的投影可归结为画多边形的边和各个顶点的投影。
平面立体表面上的点平面体立体的表面找点，利用平面上找点的方法。
学习内容及学习重点❑学习内容：平面和平面立体相交的投影截断面的实形❑学习重点：求截交线的作图方法第二节平面和平面立体相交§5—2 平面和平面立体相交截交:平面与立体相交，截去立体的一部分。
截断面——由截交线围成的平面图形。
截交线——截平面与立体表面的交线。
截平面——用以截切立体的平面。
ⅡⅠ ⅢPⅠⅡⅢ截平面截交线 截断面一、几个基本概念二、平面立体截交线性质及求法∙是一个平面多边形。
∙多边形的每条边是截平面与棱面的交线。
⒈求截交线的两种方法：★求各棱线与截平面的交点→交点法。
★求各棱面与截平面的交线→交线法。
⒉求截交线的步骤：(1)求出截平面与平面立体若干棱线的交点，若立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。
（2）依次连接各点；（3）判断可见性；（4）整理棱线；求作正垂面P 截割三棱锥S-ABC 所得的截交线。
a ' c 'b 'abs 's c 1' 2'3'23P v31 2P vABCS1（2）依次连接各点； （3）判别可见性；（1）找交点；求作铅垂面Q 截割三棱锥S -ABC 所得的截交线。
a ' c 'b 'a bs 'sc2'Q H1234 3'1' 4'（1）找交点； 12 34（2）依次连接各点； （3）判别可见性；QBSAC[例题3]：求作一般位置平面P (用四边形表示)截割三棱柱ABC 所得的截交线。
l c ' b ' abP 'P ca '213mn n ' l ' （1）找交点；123m '（2）依次连接各点； （3）判别可见性； 1'2'3'（4）整理棱线；特殊情况：dab ca'c'b'(d ')截断面为水平面a（b）c(d)a'c'b'd 'b'截断面为正平面§5—2 平面和平面立体相交db[例题4]：作出四棱锥被截切后的水平投影，并求截断面的实形。
DABC（1）找交点；a 'c 'b '( d ')ca（2）依次连接各点；（3）判别可见性； （4）整理棱线；（5）求实形；A 0C 0D 0B 0[例题5]：作出四棱柱被截切后的水平投影和侧面投影，并出求截断面的实形。
（1）找交点；da（2）依次连接各点（3）判别可见性；（4）整理棱线；（5）求实形；ABDNMmna'b'(d ')m'(n ')a "d "b"c' c "n"m"C0B0D0M0N0§5—2 平面和平面立体相交[例题6]：求作三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
6 3P v1（2）依次连接各点； （3）判别可见性； （1）找交点；6 '1 '2 '5 '3 '(4 ')1 "2 "243"4"5"56" （4）整理棱线；§5—2 平面和平面立体相交§5—2 平面和平面立体相交 [例题7]：求作三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
6 31（2）依次连接各点； （3）判别可见性； （1）找交点；6 '1 '2 '5 '3 '(4 ')1 "2 "2 43"4"5"56" （4）整理棱线；小结1 2平面立体的截交线用平面切割立体时，平面与立体表面的交线称为截交线，平面称为截平面。
由于截交线是截平面与立体表面的共有线，所以求截交线的投影实质是求截平面与立体表面一系列共有点的投影。
求截交线的方法棱线法、棱面法§5—2 平面和平面立体相交学习内容及学习重点❑学习内容：直线与平面相交的投影❑学习重点：求贯穿点判别可见性第三节直线与平面相交贯穿点的概念及求解步骤2.求贯穿点步骤：A HⅠⅡⅢB M N•通过已知直线作一个辅助截平面； •求出此辅助截平面和已知平面立体的截交线； •确定所求截交线和已知直线的交点；1.贯穿点:直线与平面立体相交，在立体表面上得到的交点。
§5—3 直线与平面相交 [例题1]：求作直线AB 与三棱锥的贯穿点，并判别AB 的可见性。
c 'e ' d 'cds 's e2 3P v1（2）求截交线； （3）求交点；（1）作辅助截平面； a 'b 'abmnm 'n ' 3' 1' 2'（4）判断可见性；[例题2]：求作直线AB 与三棱柱的贯穿点，并判别AB 的可见性。
a（2）直接求贯穿点； （1）分析；(注意积聚性)； a 'b 'bmnm 'n '（3）判断可见性；小结求贯穿点的两种方法：1 利用积聚性求贯穿点；2 利用辅助平面法求贯穿点；学习内容及学习重点第四节 两平面立体相交❑ 学习内容：相贯线的概念及性质 求解相贯线的方法❑ 学习重点：相贯线的作图方法一、相贯的基本概念相贯:两平面立体相交。
相贯线：两平面立体相交表面产生的交线。
二、相贯线的主要性质★表面性相贯线位于两立体的表面上。
★封闭性相贯线一般是封闭的空间折线。
★共有性相贯线是两立体表面的共有线。
求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。
三、相贯线的作图方法⒈求相贯线的方法：★交线法→求作两平面立体棱面的交线。
★交点法→求作一平面立体的棱线对另一平面立体棱面的交点。
⒉求截交线的步骤：(1) 空间及投影分析；（2）求相贯线；（3）判断可见性；（4）分析棱线的投影；[例题1]：求作直立三棱柱和水平三棱柱的相贯线。
c ' b 'a ' ab cm ' f def 'd 'e ' a " c "b "d "f "e " P HQ H1'3n 4 2'n ' 5"6" 5' (1)空间及投影分析； (2)求相贯线； 21m 6'•找交点；•连线；•判断可见性；（3）分析棱线的投影；4'3'[例题2]：求作垂直于正面的长方体和正三棱锥的相贯线。
Q V3P V11"(3 ")5"4"(6 ")2" (1)空间及投影分析； (2)求相贯线；•找交点；2 5' 6 '4'1' 2'3'6 45•连线；•判断可见性； （3）分析棱线的投影；§5—4 两平面立体相交[例题3]：求作四棱台塔楼与屋面的交线。
5'(6')22'Q1 m 'n '1'433'(4 ')56(1)空间及投影分析； (2)求相贯线；•找交点； •连线； •判断可见性；（3）分析棱线的投影；mn[例题4]：求作水平投影和侧面投影。
21"3"41'2'3'4' (4")2"(1)空间及投影分析；(2)求相贯线；•找交点；1(3)•连线；•判断可见性；（3）分析棱线的投影；小结1 2 立体表面的相贯线相贯线是由若干段直线组成的空间折线，每一段是两平面体的棱面的交线。
求相贯线的步骤：1）求出各棱面的交线；2）判断可见性、连线求相贯线的基本方法：交线法；交点法3学习内容及学习重点第五节 同坡屋顶的投影学习内容及重点：掌握同坡屋面交线的作图方法同坡屋顶:屋顶由几块平面组成,且这些平面对 水平面的倾角都相等。
斜脊屋檐平脊 ααadebcf（1）斜脊ae 必为屋檐夹角bad(直角)的分角线。
（2）平脊ef 必平行于屋檐ab 和cd 。
（3）过e 点有三条脊棱ae 、ed 和ef 。
同坡屋顶交线的画法,实质上是两平面交线的作图问题。
一、同坡屋顶的概念二、屋檐高度相等时同坡屋顶投影作图规则当同坡屋顶各屋檐的高度相等时:即所有屋檐在同一个水平面上，在水平投影上求脊棱（分平脊、斜脊或斜沟）应用以下规则:（1）两屋面的屋檐相交，屋面交线为斜脊（或斜沟），它的水平投影必为这两屋檐夹角的分角线。
（2）两屋面的屋檐平行，屋面交线为平脊（即屋脊），它的水平投影必为与两屋檐等距离的平行线。
（3）在屋顶上，假如两条屋脊已相交于一点，则过该点必然并且至少还有第三条屋脊。
[例题1]：下面是一同坡屋顶水平投影的周界，试用上述规则作出屋顶的各个脊棱的投影。
g hd ecfabg dehcfab步骤：1.划分成矩形；2.作矩形顶角的角分线；3.作斜沟；4.檫去无用的线；g decfab hefab讨论:ab<efefabab=efef cefc高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版§5—5 同坡屋顶的投影ldeif [例题2]：给出一同坡屋顶水平投影的周界abcdefgha 及屋面坡角α =30o ，试完成此屋顶的水平投影和正面投影。