信号与系统8.离散时间信号的复频域分析

初值定理与终值定理
P2
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z变换的定义
单边z变换的定义
P3
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单边z变换的定义
z变换的推导
理想抽样信号的拉普拉斯变换
单边z变换及其收敛域
P6
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单边z变换及其收敛域
单边z变换

X (z)
x[k ]z k
k 0
收敛域（ROC）
使上式级数收敛的所有z的范围。
一般右边序列的收敛域为z平面中的一圆外区域
Z { k u[k ]}
1
z
1 z 1 z a
za
Z {u[k ]}
1
z
1 z 1 z 1
z 1
Z {ku[k ]}
z 1

z
2
2
1 z 1 z 1
za
P10
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4z 2 3z 3
4z 2 8z 3 4z 4
常用单边序列的z变换
Z {ku[k ]}
z 1

z
2
2
1 z 1 z 1
za
证明：

Z { k u [ k ] } k z k ?
k0
1
Z {u[k ]}
z 1 即
1 z 1

zk
1
k0
1 z 1
两边对z 求导 -1
单边z变换的反变换
幂级数展开和长除法
由X(z)的定义，将其展开为幂级数

X ( z )
x [ k ] z k x [ 0 ] x [1 ] z 1 x [ 2 ] z 2 ....
k0
展开式中 z-k 项的系数即为x[k]。当X(z)是有
理函数时，可以通过长除的方法将其展开为
2 πj c
物理意义：将离散信号分解为不同频率复指 数esTk的线性组合。
符号表示 x [ k ] z X ( z )
X(z)=Z{x[k]} x[k] =Z-1{X(z)}
P5
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z变换的定义
P8
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z变换的定义
常用单边序列的z变换
P9
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常用单边序列的z变换
Z { [k ]} 1, z 0

k
k0
k 1
z 1

1 1 z 1 2
பைடு நூலகம்
两边同乘z-1

k
z 1
k

z 1
2
k0
1 z 1
P11
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单边z变换的反变换
单边z反变换
P12
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信号与系统
制作：软件与通信工程学院《信号与系统》课程组 单位：江西财经大学
离散时间信号的复频域分析
（36）z变换的定义
单边z变换的定义
单边z变换及其收敛域
常用单边序列的z变换
（37）单边z变换的反变换
（38）单边z变换的性质
位移特性
卷积特性
z域微分特性
指数加权特性


x sam ( t ) x ( t ) ( t kT )
x ( kT ) ( t kT )
k
k

X sam ( s ) L [ x sam ( t )]
x ( kT ) e ksT
k
z e sT

x[k]zk X (z)
幂级数。
P14
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例1：X z z
z 1 ，求x[k]。
z2 2z 1
解： z 2 2z 1
z 1 2z 2 3z 3 4z 4
z
z 2 z 1 2 z 1 2 4z 1 2z 2 3z 1 2z 2 3z 1 6z 2 3z 3
k
s域到z域的映射关系：z esT
P4
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单边z变换的定义
z变换的定义

双边z变换
X (z)
x[k ]z k
k
z反变换
1
x[k ]
X (z )z k1dz
z Rx
Im z
ROC
Im z |z|=1 单位圆
R
x
Re z
Re z
1
1
P7
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单边z变换及其收敛域
例：求以下序列的Z变换及收敛域。
(1) x[k ] a k u[k ]
1 0 k N 1
单边z变换的反变换
定义
1
x[k ]
X (z )z k1dz
2 πj c
C为X(z) 的ROC中的一条环绕z平面原点的一 条逆时针方向的闭合曲线。
计算方法
幂级数展开和长除法
部分分式展开
留数计算法
P13
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(2)
x[k ] 0
其它
解：

(1) X ( z )
k0
a k z k
1
1 az 1
ROC : z a
(2) X ( z ) N 1 z k 1 z N
k0
1 z 1
ROC : z 0
有限长序列 z 变换的收敛域为|z|>0