八年级数学上册_因式分解的方法

2 2 x 4 xy 4 y 2x 4 y 3 (7)
(1)原式= a 2 4a 4 b 2 2b 1
(a 2) 2 (b 1) 2 (a b 1)(a b 3)
（2）原式 = x2 5 xy 6 y 2 ( x 3 y )
(8) ( x y 2xy)(x y 2) ( xy 1)2 (9) ( x4 x 2 4)(x 4 x 2 3) 10 (10) a4 64b 4 3 x(11) 2 x 2 5x 6 a 4(12) 2a3b 3a 2b2 2ab3 b4 (13)证明恒等式： a 4 b4 (a b)4 2(a 2 ab b2 )2
(2 x 1) 2 ( y 2) 2 (2 x y 3)(2 x y 1)
方法六、拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多 项式乘法运算时，整理、化简将几个同 类项合并为一项，或将两个仅符号相反 的同类项相互抵消为零。在对某些多项 式分解因式时，需要恢复那些被合并或 相互抵消的项，即把多项式中的某一项 拆成两项或多项，或者在多项式中添上 两个仅符号相反的项，前者称为拆项， 后者称为添项。
方法五、分组分解法
（1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(a+b)(m+n) (2)形如： x2 y2 2x 1
( x 2 2 x 1) y 2 ( x 1) 2 y 2 ( x y 1)(x y 1)
例题1：如果
x ax bx 8
3 2
有两个因式x+1和
x+2，则a+b= x2 (a 5) x 5a 1 例题2：如果多项式 能分解成两个 因式（x+b）、(x+c)的乘积（b、c 为整数），则a的 值是应为多少？（第17届江苏省竞赛题）
课堂练习：用你喜欢的方法分解下列 多项式。
2 2
四、完全立方和（差） 分式： 3 2 2
a 3a b 3ab b (a b)
3
3
五、常用到的式子： ab b a 1 (a 1)(b 1)
a 4 4 (a 2 2a 2)(a 2 2a 2)
a2 b2 c 2 2ab 2ac 2bc (a b c) 2
3 例题：分解因式： 解法一：将常数项8拆成-1+9 原式=
x3 9 x 1 9 ( x 3 1) 9( x 1) ( x 1)(x 2 x 1) 9( x 1) ( x 1)(x 2 x 8)
x 9x 8
解法二：将一次项-9x拆成-x-8x 3 3 3 解法三：将三次项 拆成 9 x 8 x x 解法四：添加两项
（5）原式 = (x y ) 2 2( x y ) 2 xy( x y ) 4 xy ( xy) 2 2 xy 1
( x y xy) 2 2( x y xy) 1 ( x y xy 1) 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2
一、平方差公式： a b (a b)(a b) 2 2 2 二、完全平方公式： a 2ab b (a b)
2 2
三、立方Байду номын сангаас（差）公 式： 3 3 2
3 3
a b (a b)(a ab b2 )
a b (a b)(a ab b )
把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能 运用公式，这样的因式分解的方法叫分组分解法。
分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能 出现公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分 解的基本方法，体现了化整体为局部，又有全局的思 想。如何分组是解题的关键。常见的分组方法有： （1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起； （2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂 排列，再分组； （3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分 组。 在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。
(6)原式 =5 x x 1
3
2
3x 8
( x 1)(x 2 x x) ( x 1)(5 x 8) ( x 1)(x 3) 2
（7）原式= ( x 2 y) 2 2( x 2 y) 3 ( x 2 y 3)(x 2 y 1) （8）原式=( x y)
x3 y)(x y 2 xy) ( xy 1)(xy 1) (（ ） 2 2 （ 4 ） 1999x (1999 1) x 1999
2 (（ 5 ） x y 2xy)(x y 2) ( xy 1) （6） 3 3 3
(2x 3 y) (3x 2 y) 125( x y)
(4)原式=( x 2)3 ( y 2)3 [(x 2)3 ( y 2)3 ]
3( x y)(x 2)( y 2)
(5)原式= x 2 x y 2 y 2 xy
( x y)2 ( x y) ( x y )(x y 1)
3 3 3 2 2 2
a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ac)
方法三：十字相乘法
对二次三项式的系数进 行分解，借助直字交 叉图分解，即：
x ( p q) x pq ( x p)(x q)
2
例题：用十字交叉法分解下 列多项式： 2 （1）
2 2 2 2 2
( y z )[x 2 ( y z ) x yz] ( y z )(x y )(x z )
例题2（重庆市竞赛 题）分解因式： 2
4x 4x y 2 4 y 3
解：原式=(4 x 2 4 x 1) ( y 2 4 y 4)
x x6
2
（2） （3） （4）
x 7 x 10 2 x 7 x 10 2 x 2x 3
方法四、换元法
对结构比较复杂的多项式，若把其中某 些部分看成一个整体，用新字母代替 （即换元），则能使复杂问题简单化、 明朗化，在减少多项式项数，降低多项 式结构复杂程度等方面有独到作用。
(1) a 2 b2 4a 2b 3 (2) 9 x 2 6 x y 2 4 y 3 x 2 (3) 5xy x 3 y 6 y 2 ( x (4) 2)3 ( y 2)3 ( x y)3 x((5) x 1) y( y 1) 2 xy x 3(6) 5 x 2 3x 9
设：x 2 5x a （1）解： 则原式= (a 2)(a 3) 12
a 2 5a 6 (a 6)(a 1)
（2）解：原式 =6)(x (x 7x
2
2
5 x 6) x 2
( x 2 6 x 6 x)(x 2 6 x 6 x) x 2 ( x 2 6 x 6) 2
(6)原式=(2 x 3 y )3 (3x 2 y )3 [5( x y )]3
(2 x 3 y ) 3 (3 x 2 y ) 3 [(2 x 3 y ) (3x 2 y )]3 15( x y )(2 x 3 y )(3 x 2 y )
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
方法二：公式法
（3）原式 =2 4
x 2 x 1 2 x( x 2 1) x 2
( x 2 1) 2 2 x( x 2 1) x 2 ( x 2 x 1) 2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问 题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利 用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解 的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一 般步骤是： 1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； 2.利用怛等式对应项系数相等，列出含有待定系数的 方程； 3.解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构 中去，得到需求问题的解。
（3）设x+y=a,xy=b,则原式 =a(a+2b)+(b+1)(b-1) a 2 2ab b 2 1 =
(a b 1)(a b 1)
(4)原式=
1999x 2 1999x 2 x 1999 1999x( x 1999) ( x 1999) (1999x 1)(x 1999)
（1）解：原式= x4 7x2 1
x4 2x2 1 9x2 ( x 2 3x 1)(x 2 3x 1)
(2)原式=
x 4 2 x 2 1 x 2 2ax a 2 ( x 2 1) 2 ( x a) 2 ( x 2 x 1 a)(x 2 x a 1)
x x
2
2
对应练习
分解因式： 6 （1） 9 （2） 2 2
x x x 3
3
(m 1)(n 1) 4mn