人教版八年级上册《因式分解》例题与讲解

14.3 因式分解
1．因式分解
(1)定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
(2)因式分解与整式乘法的关系
因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：
(a＋b)(a－b)a2－b2.
即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．
谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．
【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．
A．a(x＋y)＝ax＋ay
B．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4
C．10a2－5a＝5a(2a－1)
D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y
2．公因式
(1)定义
多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
(2)确定多项式的公因式的方法
确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．
解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．
【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．
A．3a2b B．3ab2
C．3a3b3D．3a2b2
3．提公因式法
(1)定义
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
(2)提公因式的步骤
①确定应提取的公因式；
②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．
【例3】用提公因式法分解因式：
(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；
(3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )．
4．用平方差公式分解因式
(1)因式分解的平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．
(2)平方差公式的特点
左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．
【例4】 把下列多项式分解因式：
(1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2；
(3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2.
5．用完全平方公式分解因式
(1)因式分解的完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.
这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．
(2)完全平方公式的特点
左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．
【例5】 把下列多项式分解因式：
(1) x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9；
(3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy .
6. 十字相乘法
如果多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，也不能分组分解时，可采用此法。

(1) 二次三项式：多项式，称为关于x 的二次三项式，其中称为二次
项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，和都是关于x 的二次三
项式．
(2) 它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．
c bx ax ++22ax 322--x x 652++x x
分解结果：=
【例6】（1）分解因式：（2）分解因式：
解：原式=解：原式=
（3）分解因式：
1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：原式=
点拨二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
【例7】分解因式：(1) x2+3x+2 (2)
(3)(4)
7．分组分解法
如果多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，则考虑分组分解。

（1）分组后能直接提公因式
【例8】分解因式：
解：原式=
=每组之间还有公因式！
=
【例9】分解因式：
c
bx
ax+
+
2
c
bx
ax+
+
2)
)(
(
2
2
1
1
c
x
a
c
x
a+
+
6
5
2+
+x
x6
7
2+
-x
x
)3
)(
2
(+
+x
x)6
)(
1
(-
-x
x
10
11
32+
-x
x
)5
3
)(
2
(-
-x
x
15
2
2-
-x
x
3
8
32-
+x
x
bn
bm
an
am+
+
+
)
(
)
(bn
bm
an
am+
+
+
)
(
)
(n
m
b
n
m
a+
+
+
)
)(
(b
a
n
m+
+
bx
by
ay
ax-
+
-5
10
2
虚线框部分可在草稿纸进行
（2）分组后能直接运用公式
【例10】（1）分解因式： （2）
8．因式分解的一般步骤
根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，检查是否能继续”．
9．运用公式法分解因式易出现的错误
在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式或十字相乘法．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．
【例11】 把下列各式分解因式：
(1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2.
解：
【例12】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．
①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24
；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．运用分解因式解决动手操作题
这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等．不仅考查动手能力，还考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．此类题目就是通过拼图，用不同的式子表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的．
【例13】 某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图(1)所示，选取图(1)中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形如图(2)，根据拼成的图形的面积，把多项式a 2＋4ab ＋3b 2分解因式．
图(1) 图(2)
ay ax y x ++-222
222c b ab a -+
-
自我评价 知识巩固
1.用提公因式法因式分解：
(1)am+an ；
(2)xy+ay -by
2.用公式进行因式分解：
(1)m 2+2m+1； (2)(m+n)2-6(m+n)+9
(3)(a +b)2－4a 2 (4)(a +b+c)2-(a -b -c)2
3.用十字相乘法分解因式.
(1)x 2+7x+10；
(2)x 2-2x -8；
4.利用分组分解法把下列各式分解因式.
(1)a 2-b 2+a -b ；
(2)a 2+b 2-2ab -1；
(3)a 2-2a b+b 2-c 2-2c -1.
已知是的三边，且，判断的形状.
a b
c ，，ABC ∆222a b c ab bc ca ++=++ABC ∆。