线段的垂直平分线中考题(含答案

线段的垂直平分线中考题(含答案)
一.填空题（共7小题）
１．（２01１•长春)如图,在△ＡＢC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，EＤ=３.则ＣＥ长为＿____＿__＿．
２．（201１•莱芜）如图,在△ABC中,AB=BC，∠B＝120°,ＡB的垂直平分线交AＣ于点D.若AC=6cｍ,则ＡD= _＿＿___＿＿_ cm.
３.如图,等边△ＤEF的顶点分别在等边△ABＣ各边上,且DE⊥BC于Ｅ，若AＢ=１，则ＤB= __＿＿＿____ .
4．如图,在等边三角形ＡBC的边ＢC、AC上分别取点D、E,使BD=CE，AD与ＢE相交于点P.则∠AＰE的度数为＿___＿____ °.
５.如图,D是等边△ABC的ＡＣ边上的中点,点Ｅ在ＢC的延长线上,DＥ=DＢ,△AＢＣ的周长是９,则∠E= _＿
_______ °，ＣE= ＿___＿___＿．
6．如图,△ＡBC中，∠C=9０°，∠ABC=６0°,BD平分∠ABC，若AD=8cm,则CＤ＝____＿____ ．
二.解答题(共1小题)
7.（2011•香洲区一模）△AＢC是等腰三角形,AB=AC，∠A=36°．
（１)利用尺规作B的角平分线BＤ，交AC于点D；(保留作图痕迹,不写作法）
(2)判断△DBC是否为等腰三角形,并说明理由.
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参考答案与试题解析
一．填空题(共7小题)
1．(2０１1•长春）如图，在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分ＢＣ，EＤ=3.则ＣE长为６．
考点：线段垂直平分线的性质;含３０度角的直角三角形．
分析：由ＥD垂直平分BＣ，即可得BE=CE,∠EDB=９0°,又由直角三角形中３0°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长,则问题得解.
解答：解：∵ED垂直平分ＢC,
∴BE=CE,∠ＥＤB=90°，
∵∠B=３0°，EＤ=３,
∴BE=2ＤE=６，
∴CＥ=6．
故答案为:６.
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用．
2．（２0１１•莱芜)如图，在△AＢC中，AB=BＣ,∠Ｂ=120°,ＡＢ的垂直平分线交AC于点D．若ＡC＝6cｍ,则AD ＝２ｃｍ.
考点: 线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形.
专题：计算题.
分析:连接BD,根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DＣ＝2BD,根据线段垂直平分线的性质求出AD=ＢD,即可求出答案.
解答：
解:连接BD.
∵AB=BC,∠ABC=1２０°,
∴∠A＝∠C=（180°﹣∠ABC）=３0°,
∴DC=2ＢＤ,
∵ＡＢ的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴DＣ＝2AD,
∵ＡC=6,
∴AD=×６＝2,
故答案为:2.
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线,三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握,能求出AＤ＝BＤ和DC=2BD是解此题的关键．
3.如图，等边△ＤEF的顶点分别在等边△ABC各边上,且DE⊥ＢC于E,若ＡＢ＝1，则ＤＢ= .
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质;勾股定理．
分析:
由题可证△BED≌△ADF≌△CFE，则AD=BＥ,由勾股定理得，BE=BＤ，因为AB＝ＢＤ+AＤ=BD+BＥ=B Ｄ＋=1，所以ＢD=．
解答:解：∵∠DEB=90°
∴∠BDE=９0°﹣6０°=30°
∴∠AＤF=１8０﹣30°﹣6０°＝90°
同理∠EＦC=9０°
又∵∠A=∠B=∠C,ＤE=DF=EＦ
∴△BED≌△ADF≌△CＦE
∴AＤ＝BE,
由勾股定理得：
∵BE=
∵AB=BD＋ＡD=BD+BE=BD+=1
∴BＤ=．
点评:本题利用了：（1）等边三角形的性质，(２）勾股定理,(３）全等三角形的判定和性质.
5.如图,在等边三角形AＢＣ的边BC、AＣ上分别取点D、E,使BD=CE，AD与BE相交于点P.则∠APE的度数为6０°.
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.
专题: 计算题.
分析:根据BＤ=CE可得CD=ＡE，即可证明△ACＤ≌△BAE，得∠CＡD=∠ABＥ，再根据内角和为180°的性质即可解题．
解答：解：∵BＤ=CE,
∴ＢC﹣BＤ＝AC﹣CE,
即CD=AＥ,
在△ACD与△BAE中，,
∴△ＡＣＤ≌△BAＥ(SAS)，
∴∠CAD=∠ABE,
∵∠CAＤ+∠APＥ+∠AＥB＝18０°,
∠ＡＢE＋∠BAＥ＋∠AEB＝180°,
∴∠APE＝∠BAE=６0°，
故答案为：60.
点评：本题考查了等边三角形各内角为6０°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠APＥ=∠BAE是解题的关键.
６．如图,D是等边△ABC的ＡC边上的中点,点E在ＢC的延长线上,DE＝ＤB,△ABC的周长是9,则∠E= 30 °，ＣE= .
考点：等边三角形的性质．
专题：综合题．
分析:由△AＢC为等边三角形,且BD为边ＡC的中线，根据“三线合一”得到BＤ平分∠AＢC,而∠AＢC为６0°,得到∠ＤBE为３0°，又因为ＤＥ=DB,根据等边对等角得到∠E与∠ＤＢE相等，故∠E也为30°；
由等边三角形的三边相等且周长为9,求出AC的长为3，且∠ACＢ为60°,根据∠ACB为△DCＥ的外角,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为3０°,根据等角对等边得到CＤ=CＥ，都等于边长AＣ的一半，从而求出CE的值．
解答:解：∵△ＡBＣ为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BＤ为∠ABＣ的平分线,且∠ABＣ=60°,
即∠DＢE＝３0°，又ＤＥ=DB,
∴∠E＝∠DBE=３0°，
∵等边△AＢC的周长为９,∴AC＝3，且∠AＣB=6０°，
--
∴∠ＣDE=∠ＡCＢ﹣∠E＝30°，即∠CDE=∠E,
∴CD=CE＝AC=.
故答案为:30；
点评:此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用,及“等角对等边”、“等边对等角”的运用.
７．如图，△ＡBC中,∠C=9０°,∠ABC=60°,BＤ平分∠ABC，若AD=8cm，则CD= 4cm ．
考点: 含３0度角的直角三角形.
分析：
根据三角形的内角和定理求出∠A=30°，求出∠ＡＢD＝∠CBD＝∠Ａ＝30°，求出AD=BD,CD=BD,代入求出即可．
解答:解:∵∠C=90°,∠AＢC=60°,
∴∠Ａ=30°,
∵ＢD平分∠CBD,
∴∠CＢD=∠ＡＢD=３0°，
∴CD＝BＤ，∠A=∠ABＤ,
∴AD=BD＝8ｃｍ，
∴CＤ=４ｃｍ,
故答案为:4cm.
点评:
本题考查了含3０度角的直角三角形，三角形的内角和定理等知识点,关键是求出AD＝ＢＤ和ＣD=BＤ,题目比较典型,难度适中．
二．解答题(共1小题）
8．（2０11•香洲区一模）△AＢC是等腰三角形，AB=ＡC，∠A＝3６°.
（1）利用尺规作Ｂ的角平分线ＢD,交ＡC于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
（２）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由.
考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理;角平分线的性质;作图—基本作图.
专题: 作图题;证明题．
分析：（１）以B为圆心,以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧,交于一点，过这点和B作直线即可;
(2）由∠Ａ=36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠AＢＤ和∠CBＤ的度数,即可求出∠BＤC，根据等角对等边即可推出答案.
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解答:（1)解：如图所示：
(2)解：△ＢCD是等腰三角形.
理由如下:
∵AB=ＡC,∠A=36°，
∴∠ABC=∠C＝７2°，
∵BＤ平分∠ＡBC，
∴∠DBＣ=∠ＡＢC=36°,
∴∠BDC=∠C=72°,
∴BC=BＤ，
∴△BCD是等腰三角形．
点评:本题主要考查了等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,角平分线的性质,作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDＣ的度数.。