(完整版)高等代数习题集
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高等代数习题集##大学数学科学学院高等代数组收集2003, 4,301.设X = ,求X.2.设二次型f<x1, x2, ... , x n>是不定的,证明：存在n维向量X0,使X0'AX0= 0,其中A是该二次型的矩阵.3.设W = {f <x>| f <x> P[x]4, f <2> = 0}.a证明：W是P[x]4的子空间.b求W的维数与一组基.4.在R3中定义变换A：任意 <x1, x2, x3> R3, A<x1, x2, x3> = <2x2 + x3,x-4x2, 3x3>.11,证明：A是Rr3上线性变换,2,求A在基xi1 = <1, 0, 0>, xi2 = <0, 1, 0>, xi3 = <1, 1, 1>下的矩阵.5.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.6.设V是数域P上n维线性空间,A是V上可逆线性变换, W是A的不变子空间.证明：W也是A-1的不变子空间.7.设V是n维欧氏空间,A是V上变换. 若任意,V,有 <A, A> =<,>. 证明：A是V上线性变换,从而是V上正交变换.8.设X = ,求X.9.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0, 证明：存在实n维向量X00,使X0'AX0 > 0.10.设A = , W = {|R4, A = 0}.证明：1.[1,]W是4的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.11.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> = BXC.1,证明：A是R2 x 2上线性变换..2,求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.12.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.13.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换, 若 <A2>-1<0> = A-1<0>,证明：V = AV.+A-1<0>.14.设V是n维欧氏空间.A是V上正交变换,W是A的不变子空间. 证明：W也是A的不变子空间.15.设X = ,求X.16.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0, 证明：存在实n维向量X00,使X0'AX0 > 0.17.设A = , W = {|R4, A = 0}.证明：1.[1,]W是4的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.18.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> =BXC.1.[1,]证明：A是R2 x 2上线性变换..2.[2,]求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.19.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.20.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换, 若 <A2>-1<0> = A-1<0>,证明：V = AV.+A-1<0>.21.设V是n维欧氏空间.A是V上正交变换,W是A的不变子空间. 证明：W也是A的不变子空间.22.设X = ,求矩阵X.23.设实二次型f<x1, x2, ... , x n> = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵. 证明:实二次型g<x1, x2, ... , x n> = X'A-1X与f <x1, x2, ... , x n>有相同的正负惯性指数和符号差 .24.设W = {<a1, a2, ... , a n>| a i R,a i = 0} 证明1.[1,]证明：W是R n的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.25.设B = , B = .在R2中定义变换 : 对任意X R2 x 2,X = BX + XC1.[1,]证明：是V上线性变换.2.[2,]求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.26.设A = ,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.27.设V为数域P上n维线性空间,V1, V2为其子空间, 且V = V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明：V = V1 + V2.28.设V为n维欧氏空间,若A既是V上对称变换且A2 = E. 证明：存在V的一组标准正交基,使得在该基下的矩阵为.29.设X = ,求矩阵X.30.设f<x1, x2, ... , x n> = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX= 0当且仅当X = 0. 证明：f <x1, x2, ... , x n>的秩为n,符号差是n或- n.31.设= <1, 2, 3, 0>, = <- 1, -2, 0, 3>, = <0, 0, 1, 1>,= <1, - 2, - 1, 0>, W = {k i| k i R}.1.[1,]证明：W是Rr4的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.32.设A三维向量空间V上可逆线性变换,A在基,,下的矩阵是.1.[1,]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换.2.[2,]求A-1的在,,下的矩阵.33.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.34.设V为n维欧氏空间,若A既是V上正交变换,又是V上对称变换. 证明：A2是V上的恒等变换.35.设V为数域P上n维线性空间,W为其子空间,A为V上线性变换. 证明：维<AW> +维 <A-1<0> W> =维W.36.设X = ,求矩阵X.37.设W = {A| A R3 x 3, A' = - A}.1.[1,]证明：W是R3 x 3的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.38.设实二次型f <x1, x2, ... , x n> = X'AX的秩为n, 符号差是s.证明：R中存在<n - | s|>维子空间W使任意X0W, X0'AX0 = 0.39.在R[x]3中定义变换A：任意f <x> R[x]3, A<f <x>> = xf'<x>.1.[1,]证明：A是R[x]3上线性变换.2.[2,]求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵.40.设A = ,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.41.设V为数域P上n维线性空间,A为V上线性变换.证明：维<AV> +维 <A-1<0>> =维V.42.设V为n维欧氏空间,若A是V变换,若任意,V, <A,> = <,A>. 证明：A是V上线性变换,从而为V上对称变换.43.设V = P[x]5,f <x> V ,有f <x> = <x2 - 1>q<x> + r<x>, 其中r<x>= 0或次<r<x>> < 2,1.[1,]证明：f <x> V,令A<f <x>> = r<x>,则A是V的一个线性变换;2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.44.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换,45.设A, B是n x n正定矩阵,证明：A2 + B2是正定矩阵,46.设W = {A| A = <a ij>n P n x n,a ii = 0},1.[1,]证明：W是P n x n的子空间,2.[2,]求W的维数与一组基,47.判别下述结论是否正确,并说明理由,1.[1,]若n x n矩阵A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补,则V= W W, 48.设A为n维欧氏空间V的线性变换, 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量,49.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB= BA,并且A有n个互异的特征值, 证明：A, B有n个线性无关的公共的特征向量.50.求矩阵A = 的特征值和特征向量.51.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 +5x1x2 -3x2x3的标准型,并写出所用的非退化的线性替换.52.设V是由零多项式和数域上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间.对于任意的f <x> V,定义<f <x>> = f'<x> - f''<x>.证明1.[1,]证明：是V的线性变换.2.[2,]求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵.53.设V是一个欧氏空间, ,V.证明: || = || < + , -> = 054.设W = {f <x>| f <x> P[x]4, f <2> = 0}.1.[1,]证明：W是P[x]4的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.55.设A为线性空间V上线性变换.证明：A是可逆的线性变换的充要条件是A的特征值一定不等于零.56.设A为n x n实矩阵, A = A', A3 = E n证明：A = E n .57.设X = ,求矩阵X.58.在Rr3中定义线性变换A：<a1, a2, a3> R3, A<a1, a2, a3> = <2a2 +a, a1 -4a2, 3a1>.求在基 {<1, 0, 0>,<1, 1, 0>,<1, 1, 1>}下的矩阵.359.用正交线性替换化二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形60.设V为数域P上n维线性空间,A是V的一个可逆线性变换, W是A子空间.证明：W也是A-1-子空间.61.设A是正定矩阵,证明：A-1, A2都是正定矩阵.62.设V为数域P上n维线性空间,A是V的线性变换,且kerA= kerA2.证明：V = kerA AV.63.设V为n维欧氏空间,A是V上对称变换,且A2 = E. 证明：存在V的一标准正交基,使A在该基下的矩阵是.64.设B P2 x 2,1.[1,]证明：A<X> = BX - XB,X P2 x 2是P2 x 2上一个线性变换；2.[2,]当B = 时,求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.65.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换.66.设W1= | x, y, z P, W2 = | A,b, c P都是P2 x 2的子空间.1.[1,]求W1W2的维数和一组基；2.[2,]求W1 + W2的维数.67.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]设A是P上n维线性空间V的线性变换,若A有n个不同特征值,则A在某基下的矩阵是对角形.68.判别实二次型f <x1, x2, x3> = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是不是正定的？并说明理由.69.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换. 若A有n个互异的特征值,且A的特征向量都是B的特征向量, 证明：AB = BA.70.设A, B是n阶实对称矩阵,且B是正交矩阵.证明：存在n x n实可逆矩阵T,使T'AT与T'BT同时为对角形.71.设X = ,求矩阵X.72.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> = BXC.1.[1,]证明：A是R2 x 2上线性变换.2.[2,]求A在基E11, E12, E23, E22下的矩阵.73.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.74.设W = {<a1, a2, ... , a n>| A i Rn, a1 + a2 + ... + a n = 0}.1.[1,]证明：W是Rn的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.75.设V为数域P上n维线性空间,V1, V2为V的两子空间, 且V =V1V2, A是V上可逆线性变换.证明：V = AV1AV2.76.设V是一个欧氏空间, ,V, 证明： || = || + , -> = 0.77.设A是欧氏空间V的一个正交变换, 证明：A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间.78.设V = P2 x 2, B V,<1>证明：变换A：X BX - XB是V上一个线性变换；<2>当B = 时,求A在基E ij下的矩阵.79.求f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形, 并给出所用的非退化线性替换P.80.求k为何值时f<x1, x2, x3> = x12 + <k + 2>x22 + kx32 +2x1x2-2x1x3 -4x2x3是正定的.81.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]设A是P上n维线性空间V的线性变换,若A有n个不同特征值,则A在某基下的矩阵是对角形.82.设W1= | x, y, z P, W2 = | A,b, c P都是P2 x 2的子空间. <1>求W1W2的维数和一组基；<2>求W1+W2的维数.83.设A = ,1.[1,]求A的特征值与特征向量；2.[2,]A是否相似于对角形,为什么？84.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换. 若A有n个互异的特征值,且A的特征向量都是B的特征向量, 证明：AB = BA.85.设A, B是n阶实矩阵,且B是正定矩阵.证明：存在实可逆矩阵P, 使P T AP与P T BP同时为对角形.86.设V = P2 x 2, B V,1.[1,]证明：变换A：X BX,是V上一个线性变换；2.[2,]当B = 时,求A在基E ij下的矩阵.87.求f <x1, x2, x3> = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形, 并给出所用的非退化线性替换.88.f <x1, x2, x3> = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定.为什么？89.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A与B相似,则A, B有相同特征多项式；2.[2,]设A是n维线性空间V的线性变换,若A在某基下的矩阵是对角形, 则A有n个互异特征值.90.设= <1, 0, 1, 1>, = <1, -1, 1, 2>, beta1 = <1, -1, 0, 1>,= <0, 1, 0, 1>, W1 = L<,>,W2 = L<,>.1.[1,]求W1 + W2的维数和一组基；2.[2,]求W1W2的维数.91.设A = ,1.[1,]求A的特征值与特征向量；2.[2,]A是否相似于一个对角矩阵,为什么？92.设A是实对称矩阵,并且A3 = E n.证明：A = E n.93.设A, B是数域上n维线性空间V的两线性变换.若AB = BA,并且A有n个互异的特征值. 证明：A, B有n个线性无关的公共特征向量.94.设V= P[x]5,f<x> V, A<f<x>> = r<x>, 其中f<x> = <x3- 1>q<x>+ r<x>, r<x> = 0或次<r<x>> < 3.1.[1,]证明：变换A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.95.设A =求正交矩阵T使T'AT为对角形.96.设A, B是n x n正定矩阵,证明：A2 + B2是正定矩阵.97.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A是n维线性空间V的线性变换,则V = AV kerA；2.[2,]设V为欧氏空间,A是V的一个对称线性变换, ,是A之属不同特征值下的特征向量,则,98.设,是上n维线性空间V的线性变换, W既是-不变子空间,也是-不变子空间.证明:1.[1,]W是+ ,-不变子空间；2.[2,]若是可逆的,则W是-不变子空间,99.设W = {A n x n| TrA = 0}, <其中TrA表示A的主对角线元素的和>.1.[1,]证明：W是一个子空间；2.[2,]求W的维数和一组基.100.设A = 可逆,其中A1P m x n, W i = {A i X = 0} 之解空间,证明：P n = W1W2.101.设A在基,,下的矩阵是A =求在基= 2 +3 + , = 3 +4 + , =+2 +2下的矩阵.102.设A =求A的特征值,特征向量.A是否相似于对角矩阵？103.设A正定矩阵,证明：A*也正定.104.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]n级实矩阵A是负定的充要条件是A的顺序主子式全小于0；2.[2,]n维欧氏空间V之正交变换把V的正交基变成正交基. 105.设是A之属的特征向量, g<x> = a k x k P[x],证明：是g<A>之属g<>的特征向量.106.设A是n维线性空间V的线性变换,证明下述等价.1.[1,]A可逆；2.[2,] kerA = {0}；3.[3,]A将V的基变成基.107.设X T AX是实二次矩阵,X T BX是正定二次矩阵,其中A, B是对称矩阵, 则存在非退化线性替换X = PY把它们同时变换成标准形.108.设V = P[x]5,f <x> V, A<f <x>> = r<x>, 其中f <x> = <x2 -1>q<x> + r<x>,r<x> = 0或次<r<x> < 2>.1.[1,]证明：变换A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.109.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换.110.设A, B是正定矩阵,证明：A + B,A-1都是正定矩阵.111.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]若数域P上n阶矩阵A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补,则V= W W.112.设V1, V2, V3V是有限维子空间,证明：dimV1 + dimV2 + dimV3 = dim<V+ V2 + V3> + dim<V3<V1 + V2>> + dim<V1 + V2>.1113.设A为n维欧氏空间V的线性变换, 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量.114.设A是n维欧氏空间的一个线性变换, <,>是V的内积.证明：<A<>, A<>>是V的内积A可逆.115.设A = ,求A的逆矩阵.116.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.117.设A= ,求A的所有特征值,特征向量.A是否相似于一个对角矩阵,为什么？118.设A是P上n x n矩阵, W = {f <x> P[x]| f <A> = 0}. 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间.119.设= <1, 2, 1, 0>, = <- 1, 1, 1, 1>, = <2, -1, 0, 1>, = <1, - 1, 3, 7>,求L<,> + L<,>与L<,>L<,> 的维数.120.设V是一个欧氏空间, ,V, 证明： || = || < +, - > = 0.121.设A是n x n实矩阵,证明：A'A是半正定矩阵.122.设A是欧氏空间的一个实对称变换.证明：若A4 = 0,则A = 0.123.设A = ,求A的逆矩阵.124.求二次型f <x1, x2, x3> = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.125.设A= ,求A的最小的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.126.设A是P上n x n矩阵, W = {f <A>| f <x> P[x]}. 证明：W 关于通常的加与数乘是一个线性空间.127.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间,对B V,令A<B> =,其中B'是B的转置.1.[1,]证明：A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基,,,下的矩阵.128.设V是欧氏空间, ,V.证明： <,> = | + |2 - | - |2.129.设A是3 x 3矩阵.若1, 1, - 2是A的特征值,求A2 +2A - 3E3的行列式.130.设A是n x n实对称矩阵.证明：若A3是半正定矩阵,则A是半正定矩阵.131.求矩阵X,使X = . 132.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形, 并写出所有的非退化的线性替换.133.设A= ,求A的最大的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.134.设A是一个p上n x n矩阵,W是所有形为AB<其中B是n x m矩阵>全体所成的集. 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间. 135.设V是由零多项式和P上次数小于3的一元多项式的全体组成的P 上的线性空间. 对于f <x> V,令A<f <x>> = f'<x> - f''<x>.1.[1,]证明：变换A是一个线性变换.2.[2,]求A在基 {1, x + 1, x2 - x}下的矩阵.136.设V是欧氏空间, ,V.证明：若 | + |2= ||2+ ||2,则与正交.137.设A, B都是n x n正定矩阵.证明：A + B也是正定矩阵. 138.设A是n x n实对称矩阵.证明：若A5 = E n,则A = E n.139.设A = ,求A的逆矩阵.140.求二次型f <x1, x2, x3> = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.141.设A = ,求A的最小的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.142.设V是欧氏空间,W是V上所有对称变换组成的集合. 证明：W关于通常的加与数乘是一个R上的线性空间.143.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间,对B V,令A<B> =B.1.[1,]证明：A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基,,,下的矩阵.144.设V是一个欧氏空间, ,V.证明：若与正交,则 | +|2 - | - |2 = 0.145.设A是n x n矩阵.证明：若0是A的一个特征值,则A不是可逆的.146.设A是n x n实对称矩阵.是A的最大特征值. 证明： < +1>E n - A是正定矩阵.147.求矩阵X,使X = .148.求二次型f <x1, x2, x3> = 2x12 +5x22 +5x32 +4x1x2 -4x1x3 -8x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.149.设A= ,求A的全体实的特征值,并求属于这些特征值的全体特征向量.150.设W = {f <x> P[x]| f <1> = 0}. 证明：W关于通常的加与数乘是一个上P的线性空间.151.设= <1, 2, -1, -2>, = <3, 1, 1, 1>, = <- 1, 0, 1, -1>, = <2, 5, -6, 5>, = <- 1, 2, - 7, - 3>,求L<,,>+ L<,>与L<,,> L<,> 的维数.152.设V是一个欧氏空间, ,V.证明： | + |2+ | - |2=2||2 +2||2.153.设A是3 x 3矩阵.若1, - 1, - 2是A的特征值,求A2 -3A - 10E3的行列式.154.设A是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量〔视为n x 1矩阵〕, 有 <A,> > 0.证明：A是正定矩阵.155.计算向量组, = , = , = , = 的秩.156.计算行列式：.157.求下列线性方程组的一个基础解系和解集.158.证明：如果x1,则= - .159.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f2<x> + 3f <x>g<x> + g3<x>与 4f3<x>g<x>互素.160.设f <x> R[x].证明：如果f <x>在R中有根,则f <x3>在R中有根.161.已知,, ... ,与,, ... ,有相同的秩, 证明：,, ... ,与,, ... ,等价.162.计算向量组, = , = , =, = 的秩.163.计算行列式：.164.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集item 证明：= a n x n + a n-1x n-1 + ... a1x + a0.165.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f<x> + g3<x>与 <f <x>g<x>>2互素.166.设f <x> R[x].证明：如果f <x>有正根,则f <<x - 1><x - 2>>在R中有根.167.设,, ... ,一组n维向量,如果单位向量,, ... ,可被它们线性表出, 证明：,, ... ,线性无关.168.计算矩阵的A秩, A = .169.计算行列式：.170.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集.= <n + a n>a1a2 ... a n-1.172.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f3<x> - 2f <x>g<x> + g2<x>与f2<x>g<x>互素.173.设f <x>, g<x> P[x].证明：如果g<x>次数大于0,f <x>有重因式, 证明：f <g<x>>有重因式.174.已知向量组,, ... ,的秩是r, ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关, 则,, ... ,是,, ... ,的一个极大线性无关组.175.计算矩阵的A秩, A = .176.计算行列式：.177.求下列线性方程组的一个基础解系.= <- 1>n<n + 1>a1a2 ... a n.179.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f3<x> + g2<x>与f <x>g3<x>互素.180.设f <x> C[x].证明：如果1是f <x>的一个根,则= +i是f <x3>的一个根.181.已知向量组,, ... ,的秩是r, ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关, 则,, ... ,是,, ... ,的一个极大线性无关组.。
高等数学 高等代数习题集
第一章 多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii);23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n na x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-dx整除1-n x 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f(ii)()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3.令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明： （i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；（ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f =此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。
【教育文档】高等代数习题集
其中 a0 , a1, , an 属于数域 F，称为数域 F上的一元多项式.
2．多项式的运算 （1）加法 设
n
n
∑ ∑ f (x) = an xn + an−1xn−1 + + a0 = ai xi , g(x) = bn xn + bn−1xn−1 + + b0 = bi xi ,
i=0
i=0
（如果二者的次数不相等，则可以在次数小的前面加一些系数为零的项）， 定义 f (x) 与
高等代数习题集
第一章 多项式
一、内容提要
§1.1 数域
数域定义
设 F是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1. 如果 F中任意两数（这两个数可以相 同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 F中的数，那么 F就称为一个数域.
§1.2 一元多项式
1． 一元多项式定义
设 n 是一非负整数. 形式表达式 an xn + an−1xn−1 + + a0 ,
d (x) ，且 d (x) 可以表示成 f (x), g(x) 的一个组合，即有 F[x] 中多项式 u(x), v(x) 使
d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) .
4． 互素定义
设 f (x), g(x) ∈ F[x]，若 ( f (x), g(x)) = 1，则称 f (x) 与 g(x) 互素.
（5）若 ( f (x), g1(x)) = 1, ( f (x), g2 (x)) = 1，则 ( f (x), g1(x)g2 (x)) = 1.
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高等代数习题集
§1.5 因式分解定理
z f (x) | f (x) ；
高代题库试题与答案
高等代数（下）试题(10）一 填空题 （每小题三分共15分)1 A ，B 为n 阶可逆矩阵, C=⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ，则C 1-＝________。
2 A 为n 阶矩阵， A =21，则*1)3(A A --=_______ 3 设f 是一个n 元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________。
4 设n ααα,...,21线性无关，W=L （n ααα,...,21），则W 的维数为______________ 。
5 数量矩阵A=aE 的 特征根 为 _______________。
二 单项选择题(每小题三分共15分）1 设A 是m n ⨯矩阵， B 是n ⨯m 矩阵，则（ ) (A) 当m 〉n 时,必有行列式AB ≠0 （B ）当m 〉n 时，必有行列式AB =0 （C ）当n 〉m 时,必有行列式AB ≠0 (D)当n 〉m 时,必有行列式AB =02设A ，B ，C 均为n 阶矩阵,且秩A=秩B ，则 （ ）(A) AB 的秩与AC 的秩不一定相等。
(B) AB 的秩与AC 的秩一定相等. （C) AB 的秩与AC 的秩一定不相等。
(D ） AB 的秩一定不超过C 的秩.3 设向量空间V 中含有r 个向量,则下列结论成立的是 （ ） （ A) r=1； （B ）r=2 ； （C ） r=m (有限数)； （D ） r=1或∞4 数域F 上 n 维向量空间V 有( ）个基（ A ） １； （B ） n; (C) n!； （D ）无穷多.5 设向量空间W= {（a,2a,3a ） R a ∈}，则W 的基为： ( ）（A ） （ 1， 2, 3,） ； (B) （a ， a ，a ）； (C ） （ a ， 2a 3a) ； (D) (1 ，0， 0）， （0， 2 ,0）， （0 ,0， 3） 三 （15分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322X=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-417 求X 四 （15分） 把二此型f （，x 2，x 3)= x 1x 2+ x 1,x 3+ x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。
证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY CY AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ΛΛ，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y ===Λ21,1,021=====++n p p y y y Λ则可得一线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++11002211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21Λ=使()0111000<--=----+++='p n AX X s sΛΛ， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。
证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ， 于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
高等代数学习题集
高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。
《高等代数》(上)题库
《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
高等代数习题及答案
高等 代数试卷一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每题1 分，共 10分）1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。
（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。
（ ）3、实二次型 f (x 1 , x 2 , , x n ) 正定的充要条件是它的符号差为 n 。
（ ）4、 Wx 1 , x 2 , x 3 x iR, i 1,2,3; x 1x 2x 3 是线性空间 R 3 的一个子空间。
（）5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。
（ ） 6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指 数和负惯性指数。
（ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。
（ ） 8、线性变换的属于特色根0 的特色向量只有有限个。
（ ）9、欧氏空间 V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）nn10、若1, 2,, n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且xi i，那么x i 2 。
i 1i 1（ ）二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后边的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每题1 分，共 10 分） 1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（ ） ① f n x , g n x f x , g x n ；② f 1 , f 2 , , f n1f i , f j 1, ij ,i , j 1,2,, n ；③ f x , g x f x g x , g x ；④若 f x , g x1f xg x , f xg x1 。
2、设 D 是一个 n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等；② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若 D 0 ，则 D 中必有一行全部是零； ④若 D 0 ，则 D 中必有两行成比率。
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《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
A . DB . D -C ./D D ． (1)n D -9.行列式41032657a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。
A ．4067- B ．4165 C ．4067-- D ．4165- 10．以下乘积中（ ）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。
A .3145122453a a a a a ；B .4554421233a a a a a ；C ．2351324514a a a a a ；D .1332244554a a a a a11. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。
A .11233344a a a a ；B .14233142a a a a ；C ．12233144a a a a ；D .23413211a a a a12. 设,A B n 均为阶矩阵，则正确的为（ ）。
A . det()det det AB A B +=+ B .AB BA =C ． det()det()AB BA =D .222()2A B A AB B -=-+13. 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（ ）A .133221A A A A A A --- B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+ D .311132A A A A A +- 14. 设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （ ）A .4B .52C ．52-D .815. 设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=)det(kA （ ）A .)(det A kB .A k detC ．A k n detD .A k n det16.设A ，B 为数域F 上的n 阶方阵，下列等式成立的是（ ）。
A .det()det()det()AB A B +=+；B . det()det()kA k A =；C ．1det()det()n kA k A -=；D .det()det()det()AB A B =17. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵且A 可逆，则结论正确的是（ ）A . **1()||n A A A -=B . **1()||n A A A +=C ．**2()||n A A A -=D .**2()||n A A A +=18.如果11AA A A I --==，那么矩阵A 的行列式A 应该有（ ）。
A .0A =；B .0A ≠；C ．,1A k k =>；D .,1A k k =<-19.设A , B 为n 级方阵, m N ∈, 则“命题甲：A A -=-；命题乙：()m m mAB A B =”中正确的是( ) 。
A . 甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C ．甲, 乙均成立；D .甲, 乙均不成立20.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则*A A =（ ）。
A .2n A B .n A C ．2n n A - D .21n n A -+21.若矩阵A ，B 满足AB O =，则（ ）。
A .A O =或B O =；B .A O ≠且B O ≠；C ．A O =且B O =；D .以上结论都不正确22.如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
A .至多有一个r 阶子式不为零；B .所有r 阶子式都不为零；C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；D .所有低于r 阶子式都不为零23.设n 阶矩阵A 可逆(2)n ≥，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。
A .()1n A A A *-*=；B .()1n A A A *+*=；C ．()2n A A A *-*=；D .()2n A A A *+*= 24. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则||||*A A =（ ）A . 2||n AB .||n AC ．2||n n A -D . 21||n n A -+25.任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( )。
A . A A =-； B .AX O =与()A X O -=同解；C .若A 可逆, 则11()(1)n A A ---=-；D ．A 反对称, -A 反对称26.如果矩阵rankA r =,则 （ ）A . 至多有一个r 阶子式不为零；B .所有r 阶子式都不为零C ． 所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；D ．所有低于r 阶子式都不为零27. 设A 为方阵，满足11AA A A I --==，则A 的行列式||A 应该有 （ ）。
A . ||0A =B . ||0A ≠C ． ||,1A k k =>D . ||,1A k k =<-28. A 是n 阶矩阵，k 是非零常数，则kA = ( )。
A . k A ；B . k A ；C ． n k AD . ||n k A29. 设A 、B 为n 阶方阵，则有（ ）.A .A ，B 可逆，则A B +可逆 B .A ，B 不可逆，则A B +不可逆C ．A 可逆，B 不可逆，则A B +不可逆D .A 可逆，B 不可逆，则AB 不可逆30. 设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足220A A -=，则下列矩阵哪个可逆（ ）。
A .A B .A I - C ．A I + D 2A I -31. B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且()0R AB =，则（ ）。
A .OB =； B .()0R B =；C ．O BA =；D .()()R A R B n +≤32. A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC I =，则必有（ ）。
A . ACB I =； B . BAC I =； C ．CAB I =D ． CBA I =33. 设A 为3阶方阵，且()1R A =，则（ ）。
A .*()3R A =；B .*()2R A =；C ．*()1R A =；D .*()0R A =34. 设B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且O AB =，则（ ）.A .OB = B .0=B 或0=AC ．O BA =D .()222B A B A +=-35. 设矩阵00400000100000000200A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则秩A =（ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．436. 设A 是m n ⨯矩阵，若（ ），则AX O =有非零解。
A .m n <；B .()R A n =；C ．m n >D .()R A m =37. A ，B 是n 阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。
A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠； B . 0A A O =⇔=；C ．0AB A O =⇔=或B O =；D . 1||=⇔=A I A38. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.A .必有r 个行向量线性无关B .任意r 个行向量线性无关C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示39. 设A 为34⨯矩阵，B 为23⨯矩阵，C 为43⨯矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ ）。
A .T T A BCB .TACB C ．BAC D .ABC40.设A 是n 阶方阵，那么A A '是（ ）A . 对称矩阵；B . 反对称矩阵；C ．可逆矩阵；D .对角矩阵41.若由AC AB =必能推出C B =（C B A ,,均为n 阶方阵），则A 满足( )。
A .0A ≠B .O A =C ．O A ≠D .0≠AB42.设A 为任意阶)3(≥n 可逆矩阵，k 为任意常数，且0≠k ，则必有=-1)(kA （ ） A .1-A k n B .11--A k n C ．1-kA D .11-A k43.A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，则（ ）A . A 相似于B ； B . A B =；C ． A 合同于B ；D .A B =44. 设)(21I B A +=，则A A =2的充要条件是（ ） A .B I =； （B ）I B -=；C ．I B =2 D .I B -=245. 设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ）A . 2A I +B . A I -C ． A I +D . A46. 设n 阶方阵A 满足220A A -=，则下列矩阵哪个一定可逆（ ）A . 2A I -；B . A I -；C ． A I +D . A47. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.A .必有r 个列向量线性无关；B .任意r 个列向量线性无关；C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组；D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示48.设A 是m n ⨯矩阵，若（ ），则n 元线性方程组0AX =有非零解。