高中数学 必修四 4-1.1.1任意角(1)教案
人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.1.1任意角》教案_001
1.1.1 任意角教学目的：使学生认识角的始边、终边，知道什么是正角、负角、零度角，0到360 度以外的角，会用集合表示与角α终边相同的角。
教学重点：任意角的理解与表示方法。
教学难点：用集合表示与角α终边相同的角。
教学过程一、新课引入在体操中旋转1周多少度？旋转2周呢？旋转3周呢？二、新课1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
如图，从起始位置OA逆时针方向旋转到终止位置OB，形成一个角α，射线OA、OB分别是角α的始边和终边。
2、任意角体操中，旋转2周（720°），旋转3周（1080°），角度大于360°，有没有负角呢？我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边与终边重合，若α是零角，则α＝0°。
角包括正角、负角和零角，时针旋转形成的角都是负角。
角的顶点与原点重合，角的绐边与x轴非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角在第几象限，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
3、终边相同角的表示328°＝－32°＋360°－392°＝－32°－360°设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}328°、－392°、－32°角都是S的元素，因此，所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与－32°角终边相同。
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
4、例题讲解例1、在0°－360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限的角。
高中数学必修四任意角教案
1.1.1 任意角【课题】：任意角 【学情分析】：教学对象是高一的学生，首先通过实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广，引发学生的认知，然后用具体例子，将初中学过的过0360︒︒~之间的角的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合.使学生可以在自己已有经验（生活经验、数学学习经验）的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念。
【教学三维目标】： 一、知识与技能1、推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；2、象限角的概念；3、终边相同的角的表示方法； 二、过程与方法1、理解并掌握正角、负角、零角的定义；2、掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 三、情感态度与价值观树立运动变化观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点】：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 【教学难点】：终边相同的角的表示. 【课前准备】：几何画板课件。
【教学过程设计】： 教学环节 教学活动设计意图 一、课程引入教师提问：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？教师讲解：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.创设问题情景，让学生在问题解决的过程中感知任意角.二、探究新知教师提问：1．过去我们是如何定义的？角的范围是什么？[展示投影] 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1，教师讲解：一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 角的范围是0360︒︒~。
高中数学必修四任意角的三角函数教案
4-1.2.1 任意角的三角函数（一）【课题】：任意角的三角函数定义【学情分析】：（适用于平行班）教学对象是高一的学生，学生在初中已经学习了锐角三角函数的有关知识。
本节课，学生是在此基础上结合刚学习的任意角及弧度制知识，进一步学习任意角的三角函数知识。
我们通过对三角函数定义的剖析，使学生理解从锐角三角函数到任意角三角函数中定义的变化，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解，从而掌握任意角的三角函数定义，这在平行班教学中是可行的。
【教学目标】：（1）理解并掌握任意角三角函数的定义；（2）理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；（3）理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.【教学重点】：理解并掌握任意角三角函数的定义；理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.【教学难点】：理解并掌握任意角三角函数的定义.【教学突破点】：借助平面直角坐标系，通过对三角函数定义的剖析，使学生理解从锐角三角函数到任意角三角函数中定义的变化，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解，达到突破难点之目的.【教法、学法设计】：采用观察法、对比法和定义法。
通过图示，使学生观察三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，在理解掌握定义的基础上，通过对比，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
通过对定义的剖析，使学生对各种三角函数在各象限内的符号，以及终边相同的角的同一三角函数值相等有比较深刻的认识.【课前准备】：课件【教学过程设计】：二、探究新知对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1. 任意角的三角函数定义设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222>+=+=yxyxr.比值ry叫做α的正弦，记作：ry=αsin.比值rx叫做α的余弦，记作：rx=αcos.比值xy叫做α的正切，记作：xy=αtan.学生活动：学生阅读教材,自学有关概念.教师引导:对比锐角三角函数的定义, 任意角三角函数的定义有何变化?学生活动:独立思考后,分小组讨论.教师进一步引导学生：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为什么与什么的比？教师引导学生回答并归纳出:从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比.教师引导: 锐角三角函数与任意角三角函数之间有何联系?谁是谁的特殊情形？学生讨论归纳: 锐角三角函数是任意角三角函数的特殊情形.教师引导: 上述四个比值会不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？（教师画图示意，引导学生思考）学生活动：分小组讨论，并举手回答.教师归纳：根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述四个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.即对于确定的角α，上面的四个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数.注意：sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样.例1已知角α的终边经过点P(2，－3)(如右图)，求α的正弦、余弦、正切值.解：∵x＝2，ｙ＝－3∴13)3(222=-+=r引导学生阅读教材，培养自学能力引导学生思考,教师归纳，明晰概念学生口答，教师板书，巩固新学习的概念ry)(x,αP_x_y_P1_P22．终边相同的角的同一三角函数值相等引例 分别求出30°和390°的正弦、余弦、正切值.解: sin30°=sin390°=21cos30°=cos390°=23tan30°=tan390°=33学生活动：跃跃欲试,画图计算. 教师引导：(1)引导建立平面直角坐标系.（以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合） (2)根据定义找出一点P ． 学生活动：回答结果．教师引导：为什么30°和390°的三角函数值相等?学生活动:热烈讨论结果.教师引导: 三角函数定义中,OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的．学生归纳：390°和30°终边相同．教师引导：那么什么情况下，两个角的同一个三角函数值相等？ 学生猜想：终边相同的角的同一三角函数值相等． 教师总结：即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．例2 求下列三角函数的值(1) sin(-1320°) (2)49cosπ （3）)611tan(π-. 教师分析：关键找到角的终边位置，将问题化归为0°~360°内的角的三角函数问题，然后求出终边上一点P 的坐标.学生活动：画图计算(教师引导学生画出角的终边位置，利用定义代入).解:(1) sin(-1320°)＝sin(-4×360°+120°)＝sin120°＝230x yα2400-5100P(3,1) _2_ 1_ 30 ° _x_y(2) 224cos )24cos(49cos==+=ππππ (3).336tan )26tan()611tan(==-=-ππππ 3．正弦、余弦、正切函数的定义域你能根据任意角三角函数的定义，说说正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么吗？学生活动：独立思考后，在小组内讨论.教师引导学生紧扣定义，观察并归纳：对于正弦函数ry=αsin ，因为ｒ＞0，所以r y 恒有意义，即α取任意实数，ry恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数x y =αtan ，因为x ＝0时，xy无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，xy恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是)(2Z ∈+≠k k ππα.从而有αααtan cos sin ===y y y )(2Z k k RR∈+≠ππα 例3 求下列各角的正弦、余弦、正切值. (1)0 (2)π (3)23π (4) 2π 教师分析：紧扣定义.学生活动：画图计算，分小组提交结果. 解：(1) ∵当α＝0时，x ＝ｒ，ｙ＝0∴sin0=0 cos0=1 tan0=0 (2) ∵当α＝π时，x ＝－ｒ，ｙ＝0∴sin π＝0 cos π＝－1tan π＝0(3) ∵当23πα=时，x ＝0，ｙ＝－ｒ ∴023cos 123sin =-=ππ 23tan π不存在 (4) ∵当α=2π时 r y x ==,0∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在4. 三角函数在各象限内的符号规律 我们知道，锐角三角函数值都是正的，那么任意角的三角函数值是否也都是正的呢？学生活动：观察，热烈讨论.提问学生回答：第一象限：0,0.>>y x ，则sin α>0,cos α>0,tan α>0 第二象限：0,0.><y x ，则sin α>0,cos α<0,tan α<0第三象限：0,0.<<y x ，则sin α<0,cos α<0,tan α>0第四象限：0,0.<>y x ，则sin α<0,cos α>0,tan α<0 教师归纳： 记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦 αsin 为正 全正 αtan 为正 αcos 为正 例4 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π学生活动：独立思考，画图计算. 教师引导：帮助学生突破难点——角的转化. 解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0 (2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π (3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48° 而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0 (4) 35tan )235tan(311tan ππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan <π. 教师小结：化归思想，将问题转化为0°~360°内的角的三角函数问题. cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0。
人教版高中数学必修4教案学案：1.1.1任意角(教、学案)
1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。
它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。
它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点1．判断已知角所在象限； 2．终边相同的角的书写。
四、学情分析 五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课. 2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排：1课时 八、教学过程 （一）复习引入：1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成 一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
人教版高中必修4(B版)1.1.1角的概念的推广教学设计
人教版高中必修4(B版)1.1.1角的概念的推广教学设计一、前言在高中数学教学中，角的概念是非常基础和重要的一部分。
对于学生而言，初学角的概念时容易产生混淆和理解困难。
因此，针对人教版高中必修4(B版)1.1.1角的概念，本文将介绍一种有效的教学设计方案，旨在帮助学生更好地理解和掌握角的概念。
二、教学目标在本次教学中，我们的主要目标是帮助学生达到以下几个方面的理解和掌握：1.学生能够明晰什么是角以及角的度量单位；2.学生能够准确的测量角的大小，并能够运用所学角的知识解决问题；3.学生能够具备角的基本性质的概念和认识，为后续深入学习做铺垫。
三、教学内容1. 角的概念教学内容主要围绕于角的概念进行。
在这里，我们要明确以下两点：•什么是角？•角的度量单位是什么？在教学中，我会给出图形，并引导学生运用相关知识，去形象地理解角的产生以及角的度量单位弧度制和角度制。
2. 角的基本性质在初步了解并对角的概念有一定程度的掌握后，我们需要为学生介绍角的基本性质，包括：•两个角的比较；•重合角的概念;•补角和余角的概念;•对顶角的概念等。
通过这些基本性质的介绍，学生可以进一步深入了解和运用角的概念，为后续的学习和应用打下基础。
四、教学方法在本教学情景中，我会采用以下方法进行教学：1.多媒体教学法：利用多媒体投影仪，让学生观看相关视频或图像，以便更好地理解和掌握角的概念和相关性质；2.互动教学法：通过提问等活动，与过程中及时解决学生的疑问，激发学生的学习积极性，加深学生与教师之间的交流；3.实践活动法：通过实际的测量角的大小、讨论角的基本性质等活动，让学生在实际操作中学习并掌握角的相关概念和运用。
五、教学评价在教学过程中，我们会采用以下方式进行教学评价：1.日常观察：通过对学生学习态度、学习质量等的观察，对学生的学习情况进行评价；2.测验评价：运用相应的考试题材，对学生的学习成果进行量化评估。
在评估过程中，除了与考试成绩有关的信息外，我们也会关注学生对角概念的理解程度及其对相关性质的应用能力。
高中数学1.1.1任意角讲义苏教版必修4
1.1.1 任意角一、任意角的概念1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．二、象限角与轴线角1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．2．轴线角：终边在坐标轴上的角．三、终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？[提示]终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．1．思考辨析(1)180°是第二象限角．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( )[解析](1)×.180°是轴线角．(2)√.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．[答案](1)×(2)√(3)×2．如图，则α＝________，β＝________.240°－120°[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.]3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}[由终边相同角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．(－3)×360°＋195°[设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.]角的概念辨析【例1】(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．其中正确的结论是________(填序号)．(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．思路点拨：(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．(2)由正负角的概念可得角的大小．(1)②④(2)－25°395°[(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．(2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°.]1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．－100° －1 200° [时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.]终边相同的角与象限角【例2】 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.思路点拨：(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k 的不同取值即可．[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°，∴－1 910°角与250°角终边相同，∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限的角．法二：设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1 910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1 910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1 910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.[解](1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．区域角的表示[探究问题]1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？提示：不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，也可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．2．终边落在x轴上的角如何表示？提示：{α|α＝k·180°，k∈Z}．3．若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？提示：角α，β的终边落在同一条直线上．【例3】写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．思路点拨：法一：先写出与30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．[解]法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简形式.提醒：求解这类问题要注意实线边界与虚线边界的差异.教师独具1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n α及αn所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示．(2)象限角及n α、αn所在象限的判断． 3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求．1．－210°角的终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [－210°＝(－1)×360°＋150°，∵150°是第二象限角，∴－210°也是第二象限角．]2．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝________. －960° [∵角α与120°角的终边相同，∴α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k ·360°＋120°<－630°，k ∈Z ，即－1110°<k ·360°<－750°，k ∈Z ，∴k ＝－3.当k ＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.]3．如图，射线OA 先绕端点O 逆时针方向旋转60°到OB 处，再按顺时针方向旋转820°至OC 处，则β＝________.－40° [∠AOC ＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.]4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．[解] (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }．(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73≤n ＜113，n ∈Z ， 所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
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1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
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思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
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思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
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1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
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复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
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思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
高中数学 1.1.1任意角教案 新人教A版必修4 教案
是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
根据终边相同的角的概念，回答下列问题：
问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°
S,300°S，－1 020°S.(用符号：∈或∉填空)．
问题2集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边
相同的角，其中最小的正角是.
问题3已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终
边落在上．
探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角
问题1写出终边落在x轴上的角的集合S.
答S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．。
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一、引入
1．回忆：初中时，我们已学习
了0○～360○
角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
如图1，
2 （1）用扳手拧螺母；
（2）体操比赛中“转体720o
”
(3) 时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转 如果慢了5分钟，又该如何校正？ 本节课将在已掌握
～
角的范围基础上，重新给出
角的定义，并研究这些角的分类及记法． 二、新课
1. 角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。
其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
2．正角、负角、零角概念
为了区别起见，如图2中的角为正角，它等于300与7500
； (1)我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角. (2)按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.
(3)如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
B
α O A
．（。