初一数学因式分解的常用方法(最新整理)

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多

数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；　(2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2；　(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；　(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：

　(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

　(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；

例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ）a b c ，，ABC ∆2

2

2

a b c ab bc ca ++=++ABC ∆A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2

2

2

2

2

2

222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca

++=++⇒++=++

222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn

bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)

()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！

)()(n m b n m a +++

=

))((b a n m ++例2、分解因式：bx

by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；

解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-)

510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x ---

=

=)2)(5(b a y x --)

5)(2(y x b a --练习：分解因式1、

2、bc ac ab a -+-2

1

+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay

ax y x ++-2

2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=

)()(2

2ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+

=)

)((a y x y x +-+例4、分解因式：2

2

2

2c b ab a -+-

解：原式=2

2

2

)2(c

b ab a -+- =2

2

)(c

b a --

=)

)((c b a c b a +---练习：分解因式3、 4、y y x x 392

2

---yz

z y x 22

22---综合练习：（1）

（2）3

223y xy y x x --+b

a ax bx bx ax -+-+-2

2（3）

（4）1816962

22-+-++a a y xy x a

b b ab a 491262

2-++-（5）

（6）922

34-+-a a a y

b x b y a x a 2

22244+--四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解。))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.

a a 2

23x x a ++a 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求 >0而且是一个完全平方数。24b ac ∆=-于是为完全平方数，98a ∆=-1

a =

例5、分解因式：6

52

++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：=

1 3

652

++x x 32)32(2

⨯+++x x = 1×2+1×3=5

)3)(2(++x x 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：6

72

+-x x 解：原式=

1 -1

)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x =

1 -6 )6)(1(--x x （-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)

(2) (3)24142

++x x 36152

+-a a 5

42

-+x x 练习6、分解因式(1)

(2) (3)22

-+x x 1522--y y 24

102

--x x （二）二次项系数不为1的二次三项式——c

bx ax ++2

条件：（1）

21a a a =1a 1c （2）

21c c c =2a 2c （3）

1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解结果：=c bx ax ++2

)

)((2211c x a c x a ++例7、分解因式：10

1132

+-x x 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：=101132

+-x x )

53)(2(--x x 练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）

6752-+x x 2732+-x x 317102

+-x x 10

1162++-y y （三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

2

1288b

ab a --分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。b a 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：=221288b ab a --)16(8)]16(8[2

b b a b b a -⨯+-++

=)

16)(8(b a b a -+