绝对值不等式,高考历年真题
高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,.（1）当3m =时，解不等式()3f x ≥；（2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立2．已知函数()32f x x =-.（1）若不等式213f x t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭的解集为11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++⋅对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟． （1）求a 的值；（2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2()|24|f x x a x a =-+-.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.7．已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.8．已知函数()|2||21|f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集（2）若关于x 的不等式2|2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，求实数m 的取值范围.9．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 11．函数()1f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称.（1）求a 的值；（2）若()2f x x m ≥+的解集非空，求实数m 的取值范围. 12．已知函数()|1||1|f x x x m =-+++．（1）当5m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若二次函数2y x 2x 3=-++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．13．已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值.14．已知()2221f x x x a =+-+ （1）当3a =-时，求不等式()2f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.15．已知函数(),f x x x a a R =-∈.（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1.已知函数(Ⅰ)a=-3时，求不等式的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】(Ⅰ) [-1，2] ；(Ⅱ) （-，]【解析】(Ⅰ) 当a="-3" 时，即为≤6，将分成，和三种情况，通过分类讨论去掉绝对值，将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组，解这些不等式组即可得到原不等式的解集； (Ⅱ)利用绝对值不等式性质：求出的最小值，由关于x的不等式恒成立及不等式恒成立的知识知，＜，解这个不等式，即可得到实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ) 当a="-3" 时，为≤6，等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为[-1，2]；(5分)(Ⅱ) 因为=，所以＜，解得实数a的取值范围（-，]．(10分)【考点】含绝对值不等式解法，绝对值不等式性质，恒成立问题2.若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是()A．[3，+∞)B．(－∞，3]C．(-1,2)D．(-2,3]【答案】B【解析】当x≤－1时，|x＋1|＋|x－2|＝－x－1－x＋2＝－2x＋1≥3；当－1<x≤2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1－x＋2＝3；当x>2时，|x＋1|＋|x－2|＝x＋1＋x－2＝2x－1>3；综上可得|x＋1|＋|x－2|≥3，所以只要a≤3.即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选B.3.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0【答案】B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.4.不等式解集是_____________________.【答案】【解析】设，则.由，解得，所以解集为【考点】分段函数图像不等式5.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．6.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，∵，∴要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，∴．故实数的取值范围是，故答案为：．【考点】绝对值不等式的解法．7.已知函数．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数．若关于的不等式的解集是.即等价于对恒成立.等价于恒成立.即的最小值大于或等于.由绝对值不等式的性质可得.所以即.所以填.【考点】1.绝对值不等式的性质.2.不等式中恒成立问题.3.最值问题.8.已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）当时，解不等式：．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即求出即可；（2）去绝对值解答.试题解析：（1）即2分又5分（2）当时，当时，当时，综上，解集为10分【考点】不等式选讲、绝对值不等式.9.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】表示的是到的距离和到的距离之和，表示的是到的距离，当时，此时若时则不能保证的解集为；当时，此时若时则不能保证的解集为；当，即，此时当为时，所以.【考点】1.绝对值不等式的几何意义.10.已知函数(I)若不等式的解集为，求实数的值；(II)在(I)的条件下,若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为（-∞，5]．【解析】（Ⅰ）不等式的解集为，求实数a的值，首先解不等式，解得，利用解集为，从而求出的值；（Ⅱ）若对一切实数恒成立，转化为求的最小值，只要实数的取值小于或等于它的最小值，不等式对一切实数恒成立，故关键点是求的最小值，由（Ⅰ）知，故，设，于是，易求出最小值为5，则的取值范围为（-∞，5]．试题解析：（Ⅰ）由得，解得．又已知不等式的解集为，所以，解得.（Ⅱ）当时，，设，于是，所以当时，；当时，；当时，．综上可得，的最小值为5．从而若，即对一切实数恒成立，则的取值范围为（-∞，5]．【考点】本题考不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.11.设函数（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若函数有最小值，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）分类去掉绝对值符号，化为整式不等式再解，最后取并集即可.（Ⅱ）把函数f（x）化为分段函数，然后再找出f(x)有最小值的充要条件解之即可.试题解析：（Ⅰ）a=1时，f(x)=+x+3当x≥时，f(x)≤5可化为3x-1+x+3≤5,解得≤x；当x<时，f(x)≤5可化为-3x+1+x+3≤5,解得-,综上可得，原不等式的解集为（Ⅱ）f(x)= +x+3=函数有最小值的充要条件是，解得【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数及其求函数值.12.设函数，．(1) 解不等式；(2) 设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.(1)利用数轴分段法求解；（2）借助数形结合思想，画出两个函数的图像，通过图像的上下位置的比较，探求在上恒成立时实数的取值范围.试题解析：(1) 由条件知，由，解得. (5分)(2) 由得，由函数的图像可知的取值范围是. (10分)【考点】（1）绝对值不等式；（2）不等式证明以及解法；（3）函数的图像.13.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】，3≤x≤8【解析】即，即，配方得，，所以，直线与圆相交的弦长为。
不等式与绝对值不等式(普通用卷)
不等式与绝对值不等式1．若关于x的不等式|x+2|+|x−a|<5有解，则实数a的取值范围是A.(−7,7)B.(−3,3)C.(−7,3)D.∅2．不等式|x+3|−|x−1|≤a2−3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为A.(−∞,−1]∪[4,+∞) B.(−∞,−2]∪[5,+∞)C.[1,2]D.(−∞,1]∪[2,+∞)3．不等式|x+2|+|x−1|≤3的解集是4．关于x的不等式|2x+3|≥3的解集是．5．如果关于x的不等式|x−2|+|x−3|≥a的解集为R,则a的取值范围是 .6．若对任意的x∈R,不等式|x−3|+|x−a|≥3恒成立，则实数a的取值范围为．7．已知关于x的不等式|x+2|+|x−1|>a恒成立，则实数a的取值范围是 .8．设函数f(x)=|x−4|+|x−a|(a>1)，且f(x)的最小值为3．(1)求a的值；(2)若f(x)≤5，求满足条件的x的集合．9．已知a>0,b>0,且a2+b2=92，若a+b≤m恒成立，(1)求m的最小值；(2)若2|x−1|+|x|≥a+b对任意的a,b恒成立，求实数x的取值范围.10．已知不等式2|x−3|+|x−4|<2a.(1)若a=1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围.11．已知函数f(x)=|x−2|+|x−1|.(1)求不等式f(x)≤7的解集;(3)若函数g(x)=x2−2x+|a2−3|的最小值不小于f(x)的最小值,求a的取值范围. 12．设函数f(x)=|x−2|−|x+1|.(1)解不等式f(x)>2;(2)若关于x的不等式a2−2a≤f(x)解集是空集,求实数a的取值范围.13．设函数f(x)=|x−1|+|x+2|的最小值为m.(1)求实数m的值;(2)已知a>2,b>2,且满足a+b=2+m,求证:1a−2+4b−2≥9.14．已知函数f(x)=|x+4|+|x−2|的最小值为n.(1)求n的值；(2)若不等式|x−a|+|x+4|≥n恒成立，求a的取值范围.参考答案1.C【解析】本题考查绝对值三角不等式及绝对值不等式的解法.由绝对值三角不等式可得|x +2|+|x −a |≥|(x +2)−(x −a )|=|2+a |，根据题意可得|2+a |<5，解得−7<a <3，故选C.【备注】无2.A【解析】本题主要考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法.|x +3|−|x −1|≤(x +3)−(x −1)=4,故a 2−3a ≥4,解得a ≤−1或a ≥4,故选A.【备注】无3.[−2,1]【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法.解答本题时要注意通过分类讨论去掉绝对值的方式去解不等式.由题，当x >1时，x +2+x −1=2x +1≤3，解得x ≤1，无解；当−2≤x ≤1时，x +2+1−x =3≤3恒成立，故−2≤x ≤1；当x <−2时，−x −2+1−x =−2x −1≤3，解得x ≥−2，故无解.综上可知，−2≤x ≤1【备注】统计历年的高考试题可以看出，含绝对值不等式的解法现在主要在选考模块中进行考查，属于容易题.4.(−∞,−3]∪[0,+∞)【解析】本题考查绝对值不等式的解法.由|2x +3|≥3可得2x +3≥3或2x +3≤−3，所以x ≥0或x ≤−3，故答案为(−∞,−3]∪[0,+∞).【备注】无5.(−∞,1]【解析】本题主要考查含绝对值不等式和三角不等式的应用;因为|x −2|+|x −3|≥|(x −2)−(x −3)|=1,且不等式|x −2|+|x −3|≥a 的解集为R ,则a ≤1;故填(−∞,1].【备注】在求|x −2|+|x −3|的最值时,可以考虑绝对值的几何意义:|x −2|+|x −3|表示数轴上的点x 到点2和点3的距离之和,由平面几何知识,得当点x 在点2和点3之间时,其距离和最小,为1.6.a ≤0或a ≥6【解析】无【备注】无7.(−∞,3)【解析】无【备注】无8.(1)函数f (x )=|x ﹣4|+|x ﹣a |表示数轴上的x 对应点到4、a 对应点的距离之和， 它的最小值为|a ﹣4|=3，再结合a ＞1，可得a =7．(2)f (x )=|x ﹣4|+|x ﹣7|={−2x +11,x <43, 4≤x ≤72x −11,x >7，故由f (x )≤5可得{x <4−2x +11≤5①，或{4≤x ≤73≤5②，或{x >72x −11≤5③． 解①求得3≤x ＜4，解②求得4≤x ≤7，解③求得7＜x ≤8，所以不等式的解集为{x|3≤x ≤8}．【解析】本题考查绝对值不等式.(1)由绝对值的几何意义得|a ﹣4|=3,而a ＞1,即a =7.(2)分段求解得{x|3≤x ≤8}.【备注】无9.(1)∵(a 2+b 2)(12+12)≥(a +b )2,∴a +b ≤3,(当且仅当a 1=b 1，即{a =32b =32(时取等号). 又a +b ≤m 恒成立，∴m ≥3.(2)要使2|x −1|+|x|≥a +b 恒成立，须且只须2|x −1|+|x|≥3,∴{x ≤0−2x +2−x ≥3或{0<x ≤1−2x +2+x ≥3或{x >12x −2+x ≥3 ∴x ≤−13或x ≥53. 【解析】本题考查基本不等式应用及绝对值不等式.解答本题时要注意(1)根据条件利用柯西不等式求得最值，并表示实数m 的最小值；(2)先构造绝对值不等式，然后解绝对值不等式，得到实数x 的取值范围.【备注】无10.(1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，所以舍去；若3<x <4，则x －2<2，所以3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，所以83<x ≤3.综上，不等式的解集为{x |83<x <4}.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝{3x −10,x ≥4,x −2,3<x <4,10−3x,x ≤3.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，所以2a >1，a >12，即a 的取值范围为(12,+∞).【解析】无【备注】无11.(1)由f (x )≤7,得|x −2|+|x −1|≤7,∴{x >22x −3≤7或{1≤x ≤21≤7或{x <13−2x ≤7. 解得−2≤x ≤5,故不等式f (x )≤7的解集为[−2,5].(2)∵f (x )=|x −2|+|x −1|≥|x −2−(x −1)|=1,∴f (x )的最小值为1.∵g (x )min =g(1)=|a 2−3|−1,∴|a 2−3|−1≥1,则a 2−3≥2或a 2−3≤−2,解得a ∈(−∞,−√5]∪[−1,1]∪[√5,+∞).【解析】无【备注】无12.(1)由|x −2|−|x +1|>2,得{x ≤−13>2或{−1<x <21−2x >2或{x ≥2−3>2, 解得x <−12,即解集为x ∈(−∞,−12).(2)∵a 2−2a ≤f (x )的解集为空集,∴a 2−2a >f (x )max ,而f (x )=|x −2|−|x +1|≤|(x −2)−(x +1)|=3,∴a 2−2a >3,即a >3或a <−1.【解析】无【备注】无13.(1)函数f (x )=|x −1|+|x +2|=|1−x|+|x +2|≥|(1−x)+(x +2)|=3, 故f (x )的最小值m =3.(2)由(1)得a +b =2+m =5,故a −2+b −2=1,故1a−2+4b−2=(1a−2+4b−2)[(a −2)+(b −2)]=1+b−2a−2+4(a−2)b−2+4≥5+2√b−2a−2⋅4(a−2)b−2=9. 当且仅当b −2=2(a −2),即a =73,b =83时“=”成立．【解析】无【备注】无14.(1)f (x )=|x +4|+|x −2|={2x +2,x ≥26,−4≤x <2−2x −2,x <−4，所以最小值为6，即n =6.(2)由(1)知n =6，|x −a|+|x +4|≥6恒成立，由于|x −a|+|x +4|≥|(x −a)−(x +4)|=|a +4|，等号当且仅当(x −a)(x +4)≤0时成立，故|a +4|≥6，解得a ≥2或a ≤−10.所以a 的取值范围为(−∞,−10]∪[2,+∞).【解析】无【备注】无。
绝对值不等式高考真题和典型题
绝对值不等式高考真题和典型题1．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．3.已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．4.已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.5.设函数f(x)＝lg (|2x－1|＋2|x＋1|－a)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．参考答案1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解；当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112.综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ，由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎨⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎨⎧ x <a ，2x ＋a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由－a 2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不符合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤a 4. 由a 4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.4.解 (1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x ≤4，2x －6，x >4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤112. 5.解 (1)当a ＝4时，f (x )＝lg (|2x －1|＋2|x ＋1|－4)，此时x 应满足|2x －1|＋2|x ＋1|>4.当x ≤－1时，1－2x －2x －2>4，解得x <－54；当－1<x <12时，1－2x ＋2x ＋2>4，无解；当x ≥12时，2x －1＋2x ＋2>4，解得x >34.综上所述，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－54或x >34. (2)函数f (x )的定义域为R ，即|2x －1|＋2|x ＋1|－a >0在R 上恒成立，即a <(|2x －1|＋2|x ＋1|)min .因为|2x －1|＋2|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3， 所以a <3，即实数a 的取值范围为(－∞，3)．。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是（）A．0B．1C．－1D．2【答案】B【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.故实数a的最大值为1，选B.4.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2B．－3C．7D．0【答案】B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3，选B.5.解不等式：|x－1|>.【答案】{x|x<0或x>2}【解析】当x<0时，原不等式成立；当x≥1时，原不等式等价于x(x－1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2；当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解．综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．6.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】（1）x≤1或x≥4（2）－3≤a≤0【解析】(1)当a＝－3时，f(x)≥3，|x－3|＋|x－2|≥3，或或解得x≤1或x≥4.(2)原命题f(x)≤|x－4|在[1，2]上恒成立|x＋a|＋2－x≤4－x在[1，2]上恒成立－2－x≤a≤2－x在[1，2]上恒成立，故－3≤a≤0.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8.不等式的解集为__________________.【答案】．【解析】，由，解得．【考点】绝对值不等式的解法．9.设（1）当时，，求a的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值【答案】（1）；（2）【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生的转化能力和计算能力第一问，利用绝对值不等式的解法，先解出的解，再利用是的子集，列不等式组，求解；第二问，先利用不等式的性质求出的最小值，将恒成立的表达式转化为，再解绝对值不等式，求出的取值范围试题解析：（1），即依题意，,由此得的取值范围是[0，2] 5分（2）当且仅当时取等号解不等式，得故a的最小值为 10分【考点】1 绝对值不等式的解法；2 集合的子集关系；3 不等式的性质；4 恒成立问题10.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．11.在实数范围内，不等式的解集为．【答案】【解析】不等式，由绝对值的几何意义知（如下图），当时，不等式成立.【考点】含绝对值不等式.12.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解绝对值不等式的关键是去掉绝对号，如果有多个绝对号，可考虑零点分段的办法，该题只需分和分类讨论；（2）构造函数，只需函数.试题解析：（1）不等式等价于：，或，所以解集为；（2）记，则，∴实数的取值范围是.【考点】1、；绝对值不等式的解法；2、分段函数的最值.13.若关于x的不等式有解，则实数的取值范围是： .【答案】【解析】∵关于的不等式有解，表示数轴上的到和的距离之差，其最小值等于，最大值是，由题意，∴．【考点】绝对值不等式的解法．14.关于的不等式.（Ⅰ）当时，解此不等式；（Ⅱ）设函数，当为何值时，恒成立？【答案】（1）解集为；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，先将代入，利用对数值得，利用零点分段法去绝对值解不等式；第二问，先将已知转化为，利用绝对值的几何意义得到的最大值，所以，即.试题解析：（1）当时，原不等式可变为，可得其解集为（2）设，则由对数定义及绝对值的几何意义知，因在上为增函数，则，当时，，故只需即可，即时，恒成立．【考点】1.解绝对值不等式；2.绝对值的几何意义；3.函数的最大值.15.已知函数.（1）若的解集为，求实数的值.（2）当且时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【解析】本题考查绝对值不等式的解法及利用解集求实数的值，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用绝对值不等式的解法求出的范围，让它和已知解集相同，列出等式，解出和的值；第二问，先将代入，得到解析式，再代入到所求不等式中，找到需要解的不等式，注意到当时，2个绝对值一样，所以先进行讨论，当时，按照解绝对值不等式的步骤，先列出不等式组，内部求交集，综合和的情况得到结论.试题解析：（Ⅰ）由得，所以解之得为所求． 4分（Ⅱ）当时，，所以当时，不等式①恒成立，即；当时，不等式或或，解得或或，即；综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为． 10分【考点】1.绝对值不等式的解法.16.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .【答案】15【解析】二项式展开式中含的项为其系数为．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、二项式定理．17.已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).(I)当时，解不等式f(x)>3;(II)不等式在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(I) ；(II)或.【解析】(I) 分三种情况去掉绝对值解不等式；(II)分三种情况讨论，即得的最小值为，再得，解不等式得a的取值范围.试题解析：(Ⅰ)解得；解得；解得， 3分不等式的解集为. 5分(Ⅱ)；；；的最小值为； 8分则，解得或. 10分【考点】1、绝对值不等式的解法.18.设函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若函数的解集为，求实数的取值范围.【答案】①②.【解析】（Ⅰ）把绝对值函数写出分段函数,然后分别解不等式. （Ⅱ）画出函数的图象,由图象知过定点的直线的斜率满足函数的解集为.试题解析：（Ⅰ），即解集为．．5分（Ⅱ）如图，，故依题知，即实数的取值范围为 5分【考点】1.绝对值不等式;2.数形结合数学思想.19.设．（1）解不等式；（2）若对任意实数，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）绝对值函数是分段函数,要分段考虑, （Ⅱ）对 ,恒成立等价于对,恒成立,等价于对,函数的最大值小于等于 , 利用函数在区间上是单调递增,求出最大值即可试题解析：解：， 2分（Ⅰ）画出函数的图像如图，的解为或. 4分的解集为或 5分（Ⅱ），即， 7分10分【考点】绝对值不等式,不等式恒成立.20.若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是；【答案】【解析】根据题意，由于的不等式即可知实数的取值范围是。
高二数学绝对值不等式(含答案)
高二数学绝对值不等式一、选择题 ： 1．已知{}2,Ma a =≥{}2(2)(3)0,A a a a a M =--=∈则集合A 的子集共有（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．8 个【答案】B2．不等式2|x 2|2-<的解集是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣2，0）∪（0，2）【答案】D3．不等式||x －2>1的解集是( )A ．(1，3)B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】D4．不等式|x ＋1|>x ＋1成立的充分不必要条件是( )A ．x <0B ．x >－1C ．x <－1D ．x <－2【答案】D5．不等式|x －2|＋|x ＋1|<5的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－2，3)【答案】D6．不等式5310x x -++≥的解集是（ ）A ．[]5,7-B ．[]4,6-C ．(][),57,-∞-⋃+∞D ．(][),46,-∞-⋃+∞【答案】D7．不等式3≤|5﹣2x|<9的解集为（）A．[﹣2，1）∪[4，7）B．（﹣2，1]∪（4，7]C．（﹣2，﹣1]∪[4，7）D．（﹣2，1]∪[4，7）【答案】Dx－2＋||x>a恒成立”的()8．已知a∈R，则“a<2”是“||A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C9．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|>a2＋a＋1的解集为R，则a的取值范围是() A．(0，1) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－∞，－1)【答案】B10．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【答案】A11．已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5【答案】D12．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是()A．a＜－1 B．a≥1 C．|a|＜1 D．|a|≤1【答案】D二、解答题 ：13．选修4-5：不等式选讲已知函数|4||8|)(---=x x x f ． （1）作出函数)(x f y =的图像； （2）解不等式2|4||8|>---x x ． 【答案】解：（1）4()2124f x x ⎧⎪=-+⎨⎪-⎩，，4488.x x x ≤<≤>，图象如下：（2）不等式842x x --->，即()2f x >， 由2122x -+=得5x =．由函数()f x 图象可知，原不等式的解集为(5)-∞，．14．已知关于x 的不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<a ．（1）当a=2时，解上述不等式；（2）如果关于x 的不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）原不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<2当x<3时，原不等式化为7﹣2x<2，解得5x 2>，∴5x 32<< 当3≤x≤4时，原不等式化为1<2，∴3≤x≤4 当x>4时，原不等式化为2x ﹣7<2，解得9x 2<，∴94x 2<<综上，原不等式解集为59xx 22⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）法一､作出y=|x ﹣3|+|x ﹣4|与y=a 的图象，若使|x ﹣3|+|x ﹣4|<a 解集为空集只须y=|x ﹣3|+|x ﹣4|图象在y=a 的图象的上方， 或y=a 与y=1重合，∴a≤1 所以，a 的范围为（﹣∞，1]，法二､：y=|x ﹣3|+|x ﹣4|=2x 7,x 41,3x 472x,x 3-≥⎧⎪≤≤⎨⎪-<⎩当x≥4时，y≥1 当3≤x<4时，y=1 当x<3时，y>1综上y≥1，原问题等价为a≤[|x ﹣3|+|x ﹣4|]min ∴a≤1 法三､：∵|x ﹣3|+|x ﹣4|≥|x ﹣3﹣x+4|=1， 当且仅当（x ﹣3）（x ﹣4）≤0时，上式取等号 ∴a≤1．15．已知函数f （x ）=log 2（|x+1|+|x ﹣2|﹣m ）．（1）当m=5时，求函数f （x ）的定义域；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥1的解集是R ，求m 的取值范围【答案】（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x ﹣2|＞5， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：2125x x x ≥⎧⎨++->⎩，或12125x x x ≤<⎧⎨+-+>⎩，或1125x x x >⎧⎨---+>⎩， 解得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）； （2）不等式f （x ）≥1即|x+1|+|x ﹣2|＞m+2，∵x ∈R 时，恒有|x+1|+|x ﹣2|≥|（x+1）﹣（x ﹣2）|=3， 不等式|x+1|+|x ﹣2|＞m+2解集是R ，∴m+2＜3，m 的取值范围是（﹣∞，1）． 故答案为（﹣∞，1）．16．已知函数f （x ）=|x ﹣a|．（1）若不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若f （x ）+f （x+5）≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）由f （x ）≤3得|x ﹣a|≤3， 解得a ﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}， 所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f （x ）=|x ﹣2|． 设g （x ）=f （x ）+f （x+5），于是()21,323532212x x g x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩所以当x<﹣3时，g （x ）>5； 当﹣3≤x≤2时，g （x ）=5； 当x>2时，g （x ）>5．综上可得，g （x ）的最小值为5． 从而，若f （x ）+f （x+5）≥m即g （x ）≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为（﹣∞，5]．17．设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得3x ≥或1x ≤-． 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． （Ⅱ）由()0f x ≤得：30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-由题设可得2a-= 1-，故2a =18．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f (x)|2x 1||2x a |=-++，g(x)x 3=+． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f (x)g(x)<的解集； （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当时，f (x)g(x)≤，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当时，f （x ）=1+a ，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a ﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，解得 a≤，故a 的取值范围为（﹣1，]．19．设函数()|1|||f x x x a =-+-．（Ⅰ）若1,a =-解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当()11a f x x x =-=-++时，． 由()3113f x x x ≥-++≥得．①1x ≤-时，不等式化为11323x x x ---≥-≥．即．不等式组1()3x f x ≤-⎧⎨≥⎩的解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．②当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立． 不等式组11()3x f x -<≤⎧⎨≥⎩的解集为∅．③当1x >时，不等式化为1323x x x x -++≥≥，即．不等式组1()3x f x >⎧⎨≥⎩的解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．综上得，()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（Ⅱ）若1a =，()21f x x =-，不满足题设条件．若1a <，21,,1,1,2(1),1x a x a a a x x a x -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩，f x （）的最小值为1-a ． 若1a >，21,1,1,1,2(1),.x a x a x a x a x a -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩，f x （）的最小值为a-1． 所以x R ∀∈，()2f x ≥的充要条件是12a -≥，从而a 的取值范围为][(13)-∞-⋃+∞，，．20．已知()2f x x x a =--．（I ）当1a =时，解不等式()2f x x <-； （II ）当(0,1]x ∈时，()2112f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|2x x <（2）12a ⎛∈- ⎝。
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数的零点为或.所以将x分为三类即可得到不等式的解集.（2）存在实数，使得成立，即等价于函数的最大值大于.由柯西不等式放缩即可求得到的最大值，从而求得实数的取值范围，即可得结论.（1）当时，由得，所以；当时，由得，所以；当时，由得，所以． 2分综上不等式的解集． 3分（2）， 4分由柯西不等式得，， 5分当且仅当时取“=”，的取值范围是． 7分【考点】1.绝对值不等式.2.柯西不等式.3.若存在实数使成立，则实数的取值范围_______【答案】【解析】由又因为存在实数使成立则，则【考点】绝对值不等式；存在性问题.4.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1)求M;(2)当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用综合法、分类讨论思想的解题能力．第一问，利用零点分段法分别去掉绝对值，解不等式；第二问，可先用分析法由所求证的结论入手，分析需要证明什么，再用综合法证明，要证2|a+b|＜|4+ab|，需证明，展开，需证明，由已知入手，找到，，从而证出.试题解析：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，. 5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即. 10分【考点】绝对值不等式、不等式的证明.5.若不等式恒成立，则实数的取值范围为 _______；【答案】【解析】因为函数，不等式恒成立，即，所以实数的取值范围为.【考点】绝对值不等式的最值问题.6.设.（1）当时，，求a的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用绝对值不等式的解法，先解出的解，再利用是的子集，列不等式组，求解；第二问，先利用不等式的性质求出的最小值，将恒成立的表达式转化为，再解绝对值不等式，求出的取值范围.试题解析：（1），即．依题意，,由此得的取值范围是[0，2] .5分（2）．当且仅当时取等号．解不等式，得．故a的最小值为． 10分【考点】1.绝对值不等式的解法；2.集合的子集关系；3.不等式的性质；4.恒成立问题.7.已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由|2x a|+a≤6得|2x a|≤6 a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）="|2x" 1|+1，令φ（n）=f（n）+f（n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m f（ n）成立，只须m大于等于φ（n）的最小值即可，从而求出实数m的取值范围．试题解析：(1)由解得则所以 5分（2）由（1）知则原不等式为+2所以 10分【考点】绝对值不等式的解法8.不等式的解集为_______________.【答案】【解析】当时，原不等式为恒成立；当时，原不等式为，解得，所以；当时，原不等式为，无解.综上可知，不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的解法9.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式的解集非空，转化为，利用绝对值的运算性质，求出函数的最小值4，所以，再解绝对值不等式，得到的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于或或 3分解得或或即不等式的解集为 5分（Ⅱ） 8分∴或. 10分【考点】1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法.10.不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.【答案】或．【解析】，故的值域为，不等式对任意实数恒成立,即，解得或．【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题．11.若关于实数的不等式的解集是空集,则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】使关于实数的不等式的解集是空集，则，由绝对值的几何意义可知，故，解得.【考点】极坐标系、绝对值不等式.12.不等式组的解集为 .【答案】【解析】，或，所以不等式组的解集为.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.分式不等式的解法；3.集合的交集运算.13.若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，要使对于一切非零实数，恒成立，则，即，选C.【考点】1.函数最值；2.绝对值不等式.14.给出下列四个命题:①命题,则.②当时,不等式的解集为非空.③当时,有.④设复数z满足（1-i）z="2" i，则z=1-i其中真命题的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】A.【解析】命题,则,故①错；当时,不等式的解集不是非空，②错；当时,，由均值不等式有，当且仅当时等号成立，③正确；复数z满足（1-i）z="2" i，设，则，所以，④错.所以真命题个数为1个，选A.【考点】1.否命题；2.绝对值不等式；3.均值不等式；4.复数的运算.15.已知函数.(Ⅰ)当a = 3时,求不等式的解集;(Ⅱ)若对恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)将a = 3代入解绝对值不等式即可；(Ⅱ)由题知恒成立令，画出图象求解.试题解析：(Ⅰ)时,即求解①当时,②当时,③当时,综上,解集为(Ⅱ)即恒成立令则函数图象为,【考点】1.绝对值不等式；2.分段函数图象.16.已知实数组成的数组满足条件：①；②．（Ⅰ）当时，求，的值；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设,且，求证：．【答案】（1）或；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）列出方程组求解；（2）应用绝对值不等式进行证明；（3）应用绝对值不等式可以证明.试题解析：（Ⅰ）解：由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以 2分当时，同理得 4分（Ⅱ）证明：当时，由已知,.所以. 9分（Ⅲ）证明：因为，且.所以,即. 11分). 14分.【考点】绝对值不等式.17.若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】有图像可知: 时,的图像的图像恒在的图像的下面.【考点】不等式恒成立问题.18.设（1）当，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）．【解析】（I）绝对值不等式的解法，易知不等式的等价不等式组解出不等式解集; （II）存在性问题转化为函数最值问题，含绝对值的函数式去绝对值化为分段函数求得最值即可.试题解析：（I）时原不等式等价于即，所以解集为．（II）当时，，令，由图像知：当时，取得最小值,由题意知：，所以实数的取值范围为.【考点】1、绝对值不等式的解法; 2、函数最值问题.19.已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，试求的最小值．【答案】（Ⅰ）原不等式的解集为或；（Ⅱ）的最小值为．【解析】（Ⅰ）将原不等式表示出来，借助含绝对值不等式的解法进行求解；（Ⅱ）先将不等式配成柯西不等式的相关形式，然后利用柯西不等式求的最小值.试题解析：（Ⅰ）原不等式化为，或，即或，原不等式的解集为或． 3分（Ⅱ）由已知，得，由柯西不等式，得，， 5分当且仅当即时等号成立， 6分所以，的最小值为． 7分【考点】含绝对值不等式、柯西不等式20.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】，3≤x≤8【解析】即，即，配方得，，所以，直线与圆相交的弦长为。
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【考点35】绝对值不等式2009年考题1、（2009全国Ⅰ）不等式11X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 【解析】选D.0040)1()1(|1||1|11122<⇔<⇔<--+⇔-<+⇔<-+x x x x x x x x ， 故选择D 。
2、（2009重庆高考）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞【解析】选A.因为24314313x x x x a a -≤+--≤+--≤-对对任意x 恒成立，所以223434041a a a a a a -≥--≥≥≤-即，解得或.3、（2009广东高考）不等式112x x +≥+的实数解为 ． 【解析】112x x +≥+2302)2()1(022122-≤⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔x x x x x x x 且2-≠x . 答案：32x ≤-且2-≠x .4、（2009山东高考）不等式0212<---x x 的解集为 .【解析】原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥⎧⎨---<⎩或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩ 或③12(21)(2)0x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-<⎩不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<. 答案：{|11}x x -<<5、（2009北京高考）若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________.【解析】主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩.（2）由001|()|01111133333x xx x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 答案：[]3,1-6、（2009福建高考）解不等式∣2x -1∣<∣x∣+1【解析】当x<0时,原不等式可化为211,0x x x -+<-+>解得 又0,x x <∴不存在;当102x ≤<时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又110,0;22x x ≤<∴<<当111,211,22222x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又综上,原不等式的解集为|0 2.x x <<7、（2009海南宁夏高考）如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. （1）将y 表示成x 的函数；（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值【解析】（Ⅰ）4|10|6|20|,030.y x x x =-+-≤≤（Ⅱ）依题意，x 满足4|10|6|20|70,030.x x x -+-≤⎧⎨≤≤⎩解不等式组，其解集为[9，23]，所以[9,23].x ∈8、（2009辽宁高考）设函数()|1|||f x x x a =-+-。
（1） 若1,a =-解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈,()2f x ≥,求a 的取值范围。
【解析】（1）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++，由()3f x ≥得：|1||1|3x x -++≥， （法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为33{|}22x x x ≤-≥或。
（法二）不等式可化为123x x ≤-⎧⎨-≥⎩或1123x -<≤⎧⎨≥⎩或123x x >⎧⎨≥⎩，∴不等式的解集为33{|}22x x x ≤-≥或。
-------------5分 （2）若1a =，()2|1|f x x =-，不满足题设条件；若1a <，21,()()1,(1)2(1),(1)x a x a f x a a x x a x -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩，()f x 的最小值为1a -；若1a >，21,(1)()1,(1)2(1),()x a x f x a x a x a x a -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩，()f x 的最小值为1a -。
所以对于x R ∀∈，()2f x ≥的充要条件是|1|2a -≥，从而a 的取值范围(,1][3,)-∞-+∞。
…………………………………………………………………………………………………………10分2008年考题1、（2008湖南高考）“|1|2x -<”是“3x <”的( )A ．充分不必要条件B .必要不充分条件C ．充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】选A.由|1|2x -<得13x -<<，所以易知选A .2、（2008湖南高考）“|1|2x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B .必要不充分条件C ．充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】选B.由|1|2x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B . 3、（2008四川高考）不等式2||2x x -<的解集为( )（A ）(1,2)- （B ）(1,1)- （C ）(2,1)- （D ）(2,2)- 【解析】选A.∵2||2x x -< ∴222x x -<-< 即222020x x x x ⎧-+>⎨--<⎩， 12x R x ∈⎧⎨-<<⎩，∴(1,2)x ∈- 故选A .4、（2008天津高考）设集合{||2|3},{|8},S x x T x a x a ST R =->=<<+=，则a 的取值范围是(A) 31a -<<- (B) 31a --(C) 3a-或1a - (D) 3a <-或1a >-【解析】选A.{|15}S x x x =<->或，所以{13185a a a <-⇒-<<-+>，选A ． 5、（2008山东高考）若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为 . 【解析】本题考查绝对值不等式401443,433343b b b x b -⎧≤<⎪-+⎪<<⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b << 答案：（5，7）6、（2008广东高考）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ． 【解析】方程即214a a x x -+=--,左边14a a -+ 在数轴上表示点a 到原点和14的距离的和，易见1144a a -+≥（1[0,]4a ∈等号成立），而右边2x x --的最大值是14，所以方程有解当且仅当两边都等于14，可得实数a 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、（2008上海高考）不等式|1|1x -<的解集是 ． 【解析】由11102x x -<-<⇒<<. 答案：(0,2)2007年考题1、(2007安徽高考)若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1【解析】选B ．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得11a -≤≤，即实数a 的取值范围是a ≤1，选B 。
2、（2007安徽高考）若}{2228xA x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）3【解析】选C ． }{2228xA x -=∈Z ≤<={0,1}，{2R |log |1}B x x =∈>=1{|20}2x x x ><<或， ∴ )(C R B A ⋂={0,1}，其中的元素个数为2，选C 。
3、（2007福建高考）“|x |<2”是“x 2-x -6<0”的v1.0 可编辑可修改A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A ．由|x|<2得-2<x<2,由 x 2-x -6<0得-2<x<3，选A.4、（湖北高考）设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x <<Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤【解析】选B ．先解两个不等式得{}02P x x =<<，}{13Q x x =<<。
由P Q -定义，故选Ｂ. 5、（2007辽宁高考）设p q ，是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A ．p ：344||313||0-<<-⇒<<⇒<-<x x x 或43<<x ，q ：),21()31,(+∞-∞ ，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，选A.6、（2007辽宁高考）设p q ，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A ．p ：),3()3,(+∞--∞ ，q ：),21()31,(+∞-∞ ，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，选A.7、（2007福建高考）已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(||)<f(1)的实数x 的取值范围是A （－1，1）B （0，1）C （－1，0）（0，1）D （－，－1）（1，＋）【解析】选C ．由已知得1||1>x 解得01<<-x 或0<x<1，选C. 8、（2007山东高考）当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ．【解析】构造函数：2()4,f x x mx =++12x ∈（，）。