高考模拟题选编7

2．容量为60的样本的频率分布直方图共有n （n >1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n -1个小矩形面积和的5
1
，则这个小矩形对应的频数是 ． 3．若函数f （x ）=2sin （
6πx +3
π）（2<x <10）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与 f （x ）的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则（OB +OC ）·OA = ．
4．设变量x 、y 满足约束条件，其中
（1）当k ＝1时，则的最大值为 ．
（2）若
的最大值为
，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿。

5、在ABC ∆中，E ，F 分别为,AB AC 中点，P 为EF 上任意一点，实数
,x y 满足
0PA xPB yPC ++=，设,,ABC PCA PAB ∆∆∆的面积分别为1
121,,=S S S S S
λ记
，2
212S S
λλλ=⋅，则取得最大值时，23x y +的值为 A.52- B.52 C.32- D.32
T
S
R N M
P
y
x
O
8、平面向量,a b 满足||1,||2==a b ，且()(2)7+⋅-=-a b a b ，则向量,a b 的夹角为______.
10、过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作倾斜角为
30的直线L 与抛物线交于
),(),,(2211y x Q y x P 两点，分别过Q P ,两点作11,QQ PP 垂直于抛物线的准线于11,Q P ，若1||21=-y y ，则四边形Q Q PP 11的面积是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.3
12、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前
n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有
12
112
n
n n
c c c a b b b ++++
=成立，求122013c c c +++．
13、如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2
，以椭圆C 的左顶点T 为
圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程； （3）设点
P 是椭圆C 上异于M N ，的任意一点， 且直线,MP NP 分别与x 轴交于点R S ，，O 为 坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．
1、C
2、10 ；
3、32
4、(1)
1
3 (2){2} ； 5、B ；6、2011；7、2 ；8、2
π 9、C
11、（1）略；（2）6
12、（Ⅰ）由题意24317742187()
7912
a a a a a S a +==⎧
⎪
⎨+===⎪⎩得349,13a a ==，则43n a n =- 2分 211k k b b bb -=，1,k b b ∴方程2
661280x x -+=的两根，得12,64k b b ==
4分
111(1)12611k k k b b q b q S q q
---===--，12,64k b b ==代入求得2q =，
2n n b ∴=
6分
（Ⅱ）由12112n n n c c c a b b b ++++= 112121
(2)n n n c c c
a n
b b b --+++=≥
相减有1n n n n
c
a a
b +=-4=22,42n n n n
c b +∴≥==，
9分
又1
21c a b =，得110c = 210(1)2(2)n n n c n +=⎧=⎨≥⎩
122013c c c ∴++
+=45201520161022226+++
+=- 12分
13、【解析】（1）依题意，得2a =，3
2
c e a =
=，…………………………………1分 1,32
2
=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2
214
x y += ． …3分
（2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ． 由于点M 在椭圆C 上，所以4
12
12
1
x
y -=． （*） ……………………4分
由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，
2
1211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴ ………………………5分
344
5)41()2(12
12
12
1++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． …………6分
由于221<<-x ，故当5
8
1-
=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-．……………7分
由（*）式，531=
y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325
r =． 故圆T 的方程为：22
13(2)25
x y ++=． ……………………8分
方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设
(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，……………………………4分
不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则
)
sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM …
3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ5
1
)54(cos 52-+=θ．
故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83
(,)55M -，…………………7分
又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：22
13(2)25
x y ++=．
(3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(01
01
00x x x x y y y y ---=
-，………9分
令0y =，得101001y y y x y x x R --=
， 同理：1
01
001y y y x y x x S ++=， ……………………10分
故2
1
2
02
1
2
02
02
1y y y x y x x x S R --=
⋅ （**） ……………………11分
又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42
02
0y x -=，)1(42
12
1y x -=，……………………12分 代入（**）式，得：4)(4)1(4)1(42
1
2
02
1202
1
2
02
1
202021=--=
----=
⋅y y y y y y y y y y x x S R ．
所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分 方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθ
αθ
αα---=-x y ，
令0y =，得θ
αθαθαsin sin )
sin cos cos (sin 2--=
R x ，…………10分
同理：θ
αθαθαsin sin )
sin cos cos (sin 2++=S x ， …………………………12分
故4sin sin )
sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=
⋅θ
αθαθαθαθαS R x x ．。