一种有效的计算2的m次方被一个名叫YATES 的人介绍并
2的2次方的n次方 费马
2的2次方的n次方费马费马是法国著名的数学家和法学家，他生活在17世纪的欧洲。
费马定理是他最著名的贡献之一，在数论领域起着至关重要的作用。
费马定理是指当n大于2时，2的2次方的n次方不能由整数表示。
费马定理的证明困扰了数学界几个世纪的时间，直到安德鲁·怀尔斯公布了自己的证明，才最终解决了这个难题。
虽然费马定理看起来简单，但它的证明涉及到一系列复杂的数学概念和定理，需要深入的数学知识和技巧。
在理解费马定理之前，我们先来看一下什么是指数。
指数表示一个数字作为乘积的次数。
例如，2的3次方表示2与自己相乘3次，即2乘以2乘以2，结果是8。
费马定理的问题在于找到一个整数解，使得2的2次方的n次方等于一个整数。
费马在17世纪提出了这个问题，并声称自己有一个完美的证明，但他没有公布出来，只在一封信中提到了这个结果。
这就是著名的费马猜想。
费马的猜想激发了众多数学家的兴趣和追求，成为了一个备受争议和挑战的问题。
数学家们花费了大量时间和精力去寻找费马定理的证明。
他们试图寻找一种通用的方法，来证明费马定理在所有情况下都成立。
然而，在几个世纪的努力中，他们都未能找到一个通用的解决办法。
直到20世纪，安德鲁·怀尔斯才解决了费马定理的证明。
怀尔斯使用了现代数学工具，尤其是代数几何和模运算理论，来解决这个问题。
他证明了费马定理在整数解上的正确性。
这意味着对于任何大于2的n，2的2次方的n次方都不能由整数表示。
费马定理的证明不仅仅是一个纯数学问题，它对数学的发展和应用产生了广泛的影响。
费马定理的证明为现代密码学的发展提供了基础。
密码学家利用数论的原理和方法，设计了一系列用于保护信息安全的算法和协议。
这些算法和协议在现代通信和电子商务中起着重要的作用。
费马定理的证明也促进了数学本身的进步。
它挑战了数学家们的思维方式和解决问题的能力，推动了数学理论的发展。
费马定理的证明表明数学不只是一门纯粹的学科，它与现实世界的问题紧密相连，具有实际应用的价值。
梅森公式_精品文档
梅森公式
1. 简介
梅森公式（Mersenne formula），是指由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出的一种用于生成素数的公式。
梅森公式的基本形式为2^n - 1，其中n是一个自然数。
如果2^n - 1是一个素数，则称之为梅森素数。
梅森公式产生的素数被广泛应用在密码学、计算机科学、通信领域等。
由于其计算简单、结构规律清晰，梅森公式较早被发现，至今为止已知的最大梅森素数为2^82,589,933 - 1。
本文将介绍梅森公式的原理、应用以及一些相关的数学定理。
2. 梅森公式的原理
梅森公式是基于二进制表示的思想，通过将2的幂次方相减得到一个整数，并判断该整数是否为素数。
其基本形式为：
M(n) = 2^n - 1
其中，M(n)为梅森素数。
梅森公式的原理是因为2^n - 1可以通过一种高效的算法进行计算，被称为。
阿姆斯特朗公理
阿姆斯特朗公理
【实用版】
目录
1.阿姆斯特朗公理的定义和背景
2.阿姆斯特朗公理的数学意义
3.阿姆斯特朗公理的证明方法
4.阿姆斯特朗公理的应用领域
5.阿姆斯特朗公理的影响和价值
正文
阿姆斯特朗公理，又称阿姆斯特朗恒等式，是由英国数学家阿姆斯特朗（G.F.B.阿姆斯特朗）于 1939 年提出的一个数学公理。
这个公理在数论领域有着广泛的应用，尤其是在素数分布、循环数论等方面有着重要的意义。
阿姆斯特朗公理的定义如下：设 p 是一个质数，a 是欧拉函数，φ(p) 是欧拉函数在模 p 意义下的值，那么 a^φ(p) ≡ 1 (mod p)。
简单来说，阿姆斯特朗公理描述了模 p 意义下的 a 的幂次与φ(p) 的关系。
阿姆斯特朗公理的数学意义主要体现在以下几个方面：首先，它将模运算与欧拉函数联系起来，为数论研究提供了一个新的视角；其次，阿姆斯特朗公理是许多数论定理的基础，如著名的“a 的 n 次幂与φ(p) 互质”的结论；最后，阿姆斯特朗公理在循环同余、伽罗华理论等领域也有重要应用。
在证明阿姆斯特朗公理时，通常采用归纳法和欧拉函数的性质。
具体地，首先验证基础情况，然后通过归纳假设推导出结论。
阿姆斯特朗公理的证明过程相对简单，但它的结论却具有深刻的意义。
阿姆斯特朗公理在许多应用领域都发挥着重要作用。
例如，在密码学中，它可以用于设计具有较高安全性的加密算法；在计算机科学中，它可以帮助研究计算机算法的效率；在数论领域，它为许多重要问题的解决提供了关键思路。
总之，阿姆斯特朗公理是一个具有重要意义的数学公理。
它不仅丰富了数论的研究内容，还为许多实际应用问题的解决提供了有力支持。
数学史话之业余数学之王费马
数学史话之业余数学之王费马在接下来的几天，我们会不断遇见一个个如雷贯耳的大神，不管他们的职业是律师、哲学家还是物理学家，但是最终，他们都是数学家，这其中就包括我们今天要说的业余数学之王--费马。
费马人们知道费马一般都是先知道他的费马大定理：对于任意n>2，方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0整数解。
这个定理自从费马大约在1637年写在了一本书上之后（原文是：不可能把一个数的立方分解成两个数的立方和，把一个数的四次方分解成两个数的四次方之和，或者更一般地说，把大于2的任意次幂的数分解成两个同次幂数的和：我已经发现了一个真正奇妙的证明，但是这个空白太窄了，写不下），经过了300多年，无数数学家的努力，终于在1995年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明出来了（过程极其复杂，有兴趣的读者可以自行查阅）。
怀尔斯和费马大定理费马于1601年出生在法国南部，年少时先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律，毕业后成为了一名律师，后来又成为了议员和参议员。
最终在1665年1月12日，在处理完卡特雷城的一个案子后的两天，他在该城去世，享年65岁。
这就是费马作为一个普通人的一生，并没有什么值得炫耀的地方。
图卢兹然而，费马作为一个业务数学家的一生，却要波澜壮阔得多了。
首先，费马独立于勒奈·笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。
他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。
并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。
他指出："两个未知量决定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。
"费马的发现比勒奈·笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。
2的2次方的n次方 费马
2的2次方的n次方费马（原创实用版）目录1.费马与 2 的 2 次方的 n 次方的研究2.费马的数学成就3.2 的 2 次方的 n 次方的公式及其解释4.费马大定理的提出与解决正文一、费马与 2 的 2 次方的 n 次方的研究费马，全名皮埃尔·德·费马，是法国著名的数学家和律师。
他在数学领域有着举足轻重的地位，尤其在数论、解析几何和微积分等领域取得了卓越的成就。
在费马的研究中，有一个引人入胜的问题，即 2 的 2 次方的 n 次方。
二、费马的数学成就费马在数学领域的成就有很多，其中最著名的是费马大定理。
费马大定理是指在自然数 n>2 时，不存在整数 x、y、z 使得 x^n + y^n = z^n 成立。
这个定理在提出后长达 358 年未被证明，直到 1994 年英国数学家安德鲁·怀尔斯成功证明，才为这个悬案画上句号。
三、2 的 2 次方的 n 次方的公式及其解释费马还研究了 2 的 2 次方的 n 次方的问题。
这个问题可以用公式表示为：2^(2^n) = (2^(2^(n-1)))^2。
这个公式的含义是，一个数的 2 次方再乘以自身，等于该数的 2 次方的 n-1 次方再乘以自身。
这个公式展示了幂运算的性质，为指数运算提供了基本的理论依据。
四、费马大定理的提出与解决费马大定理最初是由费马在 17 世纪提出的。
他在研究过程中，意识到这个定理可能是正确的，但由于没有找到证明方法，所以他将其记录在一本笔记本中，并注明：“我已经找到了一个真正美妙的证明，但是这边太小写不下。
”直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯经过漫长的努力，终于证明了费马大定理。
怀尔斯利用了代数几何和数论的方法，将费马大定理与椭圆曲线联系起来，从而成功解决了这个悬而未决的问题。
费马大定理的证明使怀尔斯荣获了 1996 年的菲尔兹奖，该奖项被誉为数学界的诺贝尔奖。
总的来说，费马在数学领域的研究为后世留下了宝贵的财富。
费马帕斯卡定理
费马帕斯卡定理费马帕斯卡定理可以说是数论的一个重要的分支，它提供了一种用于确定一个整数是否是某个数的平方数的方法，使数学家们能够解决复杂问题，同时也使数学发展受益良多。
它是由意大利数学家费马于1796年提出来的。
费马帕斯卡定理说，当且仅当一个整数n被4整除，并且存在一个整数x，使得n = x2 + 4x + 4，时，n可以被表示为某个数的平方。
值得一提的是，费马帕斯卡定理本质上是一个拉格朗日方程的解，这意味着它可以被用来解决一类类似的强非线性方程组。
它也为数论和计算机算法提供了一种有效的检查整数是否是某个数的平方数的方法。
此外，费马帕斯卡定理也有利于研究可以被表示为两个数字乘积的素数。
一般来说，在某种意义上，费马帕斯卡定理涉及到素数和二次形式的素性。
费马帕斯卡定理的应用十分广泛，从数论到几何，从抽象代数到编码学，几乎所有的计算机应用都可以从费马帕斯卡定理中受益。
例如，它被用于像RSA加密算法这样的算法，该算法将安全性和隐私性技术应用于电子商务，数字货币和网络安全。
总之，费马帕斯卡定理在数学和科学发展史中发挥了重要作用，它被认为是一个非常有用的结果，它能够帮助数学家正确地检查整数是否是某个数的平方数，同时也为数论，几何，抽象代数，编码学，电子商务，网络安全和数字货币等领域的发展做出了重要贡献。
费马帕斯卡定理的研究初衷是在1796年由意大利数学家费马所提出的。
费马帕斯卡定理是由两个变量构成，其中一个变量表示可以表示为某个数的平方数，另一个变量表示不能被表示为某个数的平方数。
费马帕斯卡定理表明，当一个整数n被4整除，并且存在一个整数x，使得n = x2 + 4x + 4时，n可以被表示为某个数的平方。
费马帕斯卡定理的研究也影响了拉格朗日方程的研究，该方法可以用于解决一类类似的强非线性方程组。
相关的数论，几何和抽象代数研究也受到这一定理的影响。
另外，此定理也为计算机算法提供了一种有效的检查整数是否是某个数的平方数的方法，它也有利于研究可以被表示为两个数字乘积的素数。
斯图尔特定理
斯图尔特定理
赫尔曼·艾斯图尔特定理：“对任意自然数n，都有n^2+n+41是一个质数。
”
赫尔曼·艾斯图尔特是一位杰出的德国数学家，他在计算机科学和数论方面开
创了前所未有的思想和成就。
他最著名的贡献之一就是“艾斯图尔特定理”。
艾斯图尔特定理是一个有趣的数学定理，它告诉我们，任何自然数的平方加上
自然数在加上41之后，都会得到一个质数。
这个定理表明，无论你选择多少，只
要它是自然数，它的平方加上它本身加上41之后的结果都是质数。
实际上，艾斯图尔特定理的数学推导非常困难，因为它需要应用巴尔扎克定理
进行复杂的证明。
“艾斯图尔特定理”也是一个可以用程序来验证的定理，它几乎可以验证任何给定的自然数是否满足定理。
另外，艾斯图尔特定理也有其它重要应用。
可以通过检查是否满足定理来确定
某个给定的自然数是否是质数，这可以帮助我们确定大型数字的质数性质。
实际上，艾斯图尔特定理仍然是一个令人惊叹的数学定理，它是数学家花了几
个世纪来寻找的，并仍然能有助于我们找到质数。
这个定理表明，这个古老的定理仍然是现代数学的一个坚实的基石，它仍然有很多的实际价值。
第1讲 幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。
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论文翻译
By 姜新韵3090104480 一种有效的计算2^m个因子交叉影响的实验被一个名叫Y ATES 的人介绍并广泛的为人所知。
3的m次方的推广被Box 等人的人给出。
Good总结了这些方法并给出了针对每一中类型一个精确的算法。
在他们全面的总结中，Good的方法对于某些问题时使用的，那些问题必须用一个可以分解成m个稀有矩阵的n*n矩阵乘以一个n向量的很有效，其中m与logN成正比。
它所产生的过程，其所需要的操作次数不再于N的平方成比例而与NlogN成比例。
这个方法在这里被应用于复数傅里叶序列的计算。
当数据个数是，或者可以被设定为一个合成度很高合数时，这些方法非常有效。
这里提出的计算方法是由上述演变而来，并且以一种不一样的形式表示。
这种方法更多的关注于N的选择。
这也显示了，在使用二进制的时候，我们能得到十分特殊的优势，只需要N列数据储存来实现整个计算过程。
考虑如下复数傅里叶序列
（1）
其中所给傅里叶系数A(k)为复数，W是
（2）
一个直接使用(1)的计算需要N^2次操作，其中"操作"在本文中指一次复数乘法与一次复数加法。
这里描述的算法在此申明所给复数傅里叶幅度数组并在少于2NlogN次操作数内得到结果且不需要比已经要求的数列A更多的数据储存。
要延伸这个算法，假设N是一个合数，即N=r1*r2,将（1）中的系数表示如下：
（3）
于是有
（4）
因为
（5）
内部和仅仅决定于j0和k0，并且可以定义为一个新的数组
（6）
结果可写作
（7）
在数组A1中有N个元素，每个都需要r1次操作，共需要Nr1次操作才能获得A1.类似的，需要N2次操作来用A1计算X。
因此，（6）（7）所给出的两步算法总共需要
(8)
次操作。
很容易看出，连续应用以上从（6）的以上过程，是如何给出一个m步的算法，需要（9）
次操作，其中
（10）
如果，其中，那么，除非
，当时。
总体来说，用尽可能多的分解因数可以提供（9）的最小值，但是用二的因数可以以对的形式结合而不造成任何损失。
如果我们能选择N使之有尽量多的约数，我们可能有很多
获益。
如果所有都等于r，那么有（10）我们可知
（11）
操作的总次数为
（12）
如果，那么我们发现
（13）
于是
是以下各量的加权平均数。
其值如下所示：
形式上，的用法是最有效率的，但是其收益仅仅比2或者4时高6%，二后者还有其他优势。
如果有必要，rj增大10到会增加计算量，但是增加量不会超过50%。
由此可得，我
们可以在一定的百分比的范围内，得到任何给定的大数的N的“高度复合”数值。
在有可能的情况下，N=r^m，其中r=2或4提供了一个对于使用二进制的电脑很重要的，
在寻址方面与相乘方面两方面上的优势。
r=2的算法有一下表示系数的形式延伸而来
（14）
此处jv和kv等于0或1，是二进制表示中各自字节位置的j或k。
所有的数组会被写作他们系数的二进制数的函数。
根据上述原则，（1）被写为
（15）
其中k=0，1因为
（16）
（15）最内层的和，仅仅之决定于j0，km-2....k0可以写作
（17）
继续看到下一个最内层和，以及其后面的，使用
（18）
得到连续数组
（19)
当l=1,2,....m时.
写出和式所得
（20）
根据编号的管理，其所储存的位置的地址索引为
（21）
从（20）中可以看出，。
平行计算是可行的，因为（20）所描述的操作可以被所有j0，....，kl-2和k0,...,km-l-1自发的执行。
在某些应用中，用（20）来一句Al-2表示Al是很方便的，giving what is equivalent to.....
计算的最后一列数组给出了所求的傅里叶和，
（22）
以这样的次序，X的下标的反转二进制数一定与Am的下标相同。
在某些应用中，其中傅里叶和要被求值两次，以上过程可以被编程，这样就不需要位的
反转。
例如，考虑差分方程的求解
（23）
现有的方法可以首先应用于使用下面的式子用来计算F（j）的傅里叶幅度
（24）
则，其解的热傅里叶幅度为
（25）
BkAk数组顺序为位反转，但是由于（20）的大幅度调制，Ak可以用于得出有正确标定指数的解。
一个在IBM7094上使用的电脑程序已经被开发出来了，它可以使用上述方法计算三位傅里叶和。
计算三位数组的计算时间如下所示：。