北师大版九年级数学上2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(含答案)
原创2023学年一元二次方程的根与系数的关系九年级数学
北师大版九年级数学上册第二章2.5一元二次方程的根与系数的关系 假期同步测试一．选择题1.如果一元二次方程x 2-3x-1=0的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2=（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．12.一元二次方程x 2+4x-3=0的两根为1x 、2x ，则1x •2x 的值是（ ） A ．4 B ．-4 C ．3 D ．-33．一元二次方程3x 2﹣4x ﹣5=0的两实数根的和与积分别是（ ） A ．，﹣ B ．， C ．﹣，﹣D ．﹣，4.一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=-1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=-2 C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=25. 设x 1，x 2是一元二次方程2x -2x-3=0的两根，则2211x x =（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 6．关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1=0的判别式为（ ） A ．1﹣b2B ．b 2﹣4C ．b 2+4D ．b 2+17. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根，则x 1x 2-x 1-x 2的值等于（ ）A ．-3B ．0C ．3D ．58.若关于x 的方程x 2-2x+c=0有一根为-1，则方程的另一根为（ ）A．-1 B．-3 C．1 D．39.若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2-ab+b2=18，则a b的值是（）b aA．3 B．-3 C．5 D．-510.判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12 B．16 C．20 D．24 11．（2019•贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 12．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是A．2 B．–1 C．2或–1 D．不存在14．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是( )A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0二．填空题15.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______16.设m、n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则m2+3m+n= .17．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+3=0有实数解，则m的取值范围为．18.方程2x2-3x-1=0的两根为x1，x2，则x12+x22= ．19.关于x的方程2x2-ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 .20.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22= .21．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m=0的一个根为2，则另一个根是22.设m，n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= .23．（2019•娄底）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2>2，则m的取值范围是__________．三．解答题25．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－2，求方程的另一个根及m的值．26．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．27．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．28.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长29.已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．30．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝5成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．答案提示1.A；2.D；3．A；4.C；5. C；6．C；7.A；8.D；9.D；10.C；11．B；12．D；13．A；14．D.15.1； 16. 5； 17．m≤且m≠2； 18.134； 19.12； 20.13； 21．3；22. 2016； 23．﹣； 24．3<m≤5．25．解：设方程的另一个根为t，根据题意，得(3－2)t＝7，∴t＝73－2＝3＋ 2.所以－m＝3－2＋3＋2＝6，即m＝－6.即方程的另一个根为3＋2，m的值为－6.26．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．27．解: （1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．28.解: 设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，∴a+b=4，ab=3.5；根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，∴c=329.解：（1）∵a=1，b=2m，c= m2-1，∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，∴32+2m×3+ m2-1=0，解得，m=-4或m=-2．30．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11＞0，解得k ＞114.(2)存在．∵x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2－2k ＋3＝(k －1)2＋2＞0， ∴将|x 1|－|x 2|＝5两边平方，可得x 12－2x 1x 2＋x 22＝5，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5， ∴(2k －1)2－4(k 2－2k ＋3)＝5， 即4k －11＝5，解得k ＝4. ∵4>114，∴k ＝4.。
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》同步练习题含答案
北师⼤版数学九年级上册《⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系》同步练习题含答案第⼆章⼀元⼆次⽅程 2.5 ⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系1．已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)(β＋3)等于( )A. 8B. 9C. 10D. 122. 设x1，x2是⽅程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则1x1＋1x2的值为( )A. －4B. －3C. －2D. －323. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2－(a＋5)x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab等于( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 已知a，b是⽅程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为( )A. 20B. 22C. 23D. 255. 设m，n是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n等于( )A. 9B. 7C. 5D. 36. 已知⼀元⼆次⽅程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1?x2=( )A. 4B. 3C. -4D. -37. 判断⼀元⼆次⽅程式x2-8x-a=0中的a为下列哪⼀个数时，可使得此⽅程式的两根均为整数？( )A. 12B. 16C. 20D. 248. 若关于x的⼀元⼆次⽅程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是( )A. a≥1B. a＞1C. a≤1D. a＜19. 已知x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于( )A. -3B. 0C. 3D. 510. 如果⼀元⼆次⽅程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=( )A. -3B. 3C. -1D. 111. 若关于x的⽅程x2+3x+a=0有⼀个根为-1，则另⼀个根为12. 设x1，x2是⼀元⼆次⽅程-2x-3=0的两根，则 =13. 设α，β是⼀元⼆次⽅程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是14. 若m，n是⼀元⼆次⽅程x2＝5x＋2的两个实数根，则m－mn＋n的值是15. 关于x的⽅程x2－ax＋2a＝0的两根的平⽅和是5，则a的值是16. 已知x1，x2是关于x的⽅程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是17. 已知关于x的⽅程x2＋3x＋a＝0有⼀个根为－2，则另⼀个根为18. 已知m，n是关于x的⼀元⼆次⽅程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n －1)＝－6，则a＝19. 若关于x⼀元⼆次⽅程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满⾜（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为20. 已知⽅程x2+mx+3=0的⼀个根是1，则它的另⼀个根是_______，m的值是_______21. 已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______22. 在解⽅程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得⽅程的根为x1＝1，x2＝－3；⼄同学看错了q，解得⽅程的根为x1＝4，x2＝－2，则⽅程中的p＝______，q＝________．23. 已知直⾓三⾓形的两条直⾓边的长恰好是⽅程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直⾓三⾓形的斜边长是_________24. 关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-2）x 2+2x+1=0有实数根，求m 的取值范围.25. 设x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值．(1)x 12＋x 22；(2)x 2x 1＋x 1x 2；(3)x 12＋x 22－3x 1x 2.26. 若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满⾜x 1＝3x 2，试求出⽅程的两个实数根及k 的值．27. 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－6x ＋(2m ＋1)＝0有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)如果⽅程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．。
北师大新版数学初三上册《一元二次方程的根与系数的关系》同步练习(有解析)
北师大新版数学初三上册《2一．选择题（共12小题）1．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则那个方程的两根为（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定2．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k﹣1）=0有实数根，则k的取值范畴为（）A．k≥﹣B．k＞﹣C．k≥﹣且k≠0 D．k＜﹣3．若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范畴是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠04．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．假如关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范畴是（）A．k＜B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k ≠06．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范畴在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．不能确定8．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．9．下列一元二次方程中，只有方程（）的根为1与﹣2．A．x2﹣x﹣2=0 B．x2+x﹣2=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2+x+2= 010．若函数y=kx﹣3的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情形是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．012．已知α，β满足α2+2α﹣1=0，β2+2β﹣1=0，则的值为（）A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6二．填空题（共10小题）13．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根差不多上整数，则a 的值等于．14．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．15．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，则=16．假如关于x的一元二次方程x2+bx+c=0没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值能够是b=，c=．17．若实数a、b、c满足，b+c﹣1=0，a﹣bc﹣1=0，则a的取值范畴是．18．假如关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数根，那么m的取值范畴是．19．若a＞b＞c＞0，一元二次方程（a﹣b）x2+（b﹣c）x+（c﹣a）=0的两个实根中，较大的一个实根等于．20．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x 1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．21．关于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为an、bn，则++…+=．22．若，若x1，x2是一元二次方程kx2+ax+b=0的两个实数根且满足，则k=．三．解答题（共6小题）23．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0，（1）若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．24．已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直截了当写出3个k的值）25．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范畴；（2）假如k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x 2+mx﹣1=0有一个相同的根，求现在m的值．26．已知关于x的方程x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0．（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；（2）求证：不管m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．27．已知关于x一元二次方程x2﹣4x+c=0．（1）当c=1时，试解那个方程；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12﹣2x1x2+x22=0，求c的值．28．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．①小明同学说：不管k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？②若等腰三角形的一边a=1，另两边b、c恰好是那个方程的两个根，求△ABC的周长和面积．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．B．4．C．5．D．6．C．7．B．8．C．9．B10．A．11．D．12．C．二．填空题13．0或16．14．m=4．15．﹣．16．b=2，c=3．答案不唯独．17．a≤．18．m≤3．19．1．20．8．21．﹣22．﹣2或1．三．解答题23．证明：（1）△=b2﹣4ac=[﹣2（2m﹣3）]2﹣4（4m2﹣14m+8）=8 m+4，∵m＞0，∴8m+4＞0．∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：由求根公式得：∵方程有两个整数根，∴必须使为整数且m为整数．∴2m+1必是奇数，∴是奇数又∵12＜m＜40，∴25＜2m+1＜81．∴5＜＜9．∴m=24．24．（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．25．解：（1）△=（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2+4=﹣12k+13，∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，∴﹣12k+13＞0，解得，k＜，又k﹣1≠0，∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵k是符合条件的最大整数，x2﹣4x=0，x=0或4，当x=0时，x2+mx﹣1=0无意义；当x=4时，42+4m﹣1=0m=．26．（1）解：把x=﹣1代入x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0得1+5﹣m2﹣2m ﹣7=0，解得m1=m2=﹣1，即m的值为1；（2）证明：△=（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）=4（m+1）2+49，∵4（m+1）2≥0∴△＞0，∴方程都有两个不相等的实数根．27．解：（1）当c=1时，原方程为x2﹣4x+1=0，解得：x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．（2）∵x12﹣2x1x2+x22=0，∴（x1﹣x2）2=0，∴x1=x2，∴△=（﹣4）2﹣4c=16﹣4c=0，解得：c=4．∴c的值为4．28．解：（1）∵△=（k+2）2﹣4×1×2k=k2+4k+4﹣8k=k2﹣4k+4=（k ﹣2）2≥0，∴方程不管k取何值，总有实数根，∴小明同学的说法合理；（2）①当b=c时，则△=0，即（k﹣2）2=0，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴C△ABC=5，S△ABC=；②当b=a=1，∵x2﹣（k+2）x+2k=0．∴（x﹣2）（x﹣k）=0，∴x=2或x=k，∵另两边b、c恰好是那个方程的两个根，∴k=1，∴c=2，∵a+b=c，∴不满足三角形三边的关系，舍去；综上所述，△ABC的周长为5．。
2.5二次函数与一元二次方程课时练习(含答案解析)
北师大版数学九年级下册第二章第5节二次函数与一元二次方程同步练习一、选择题1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A．-1.6 B．3.2 C．4.4 D．以上都不对答案：C解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以两根满足（x1+x2）/2=3而x1=1.6，所以x2=4.4．因此选C．分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5 答案：D解析：解答：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜-1或x＞5．因此选：D．分析：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集3、二次函数y= -x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（）A．1 B．-1 C．-2 D．0答案：B解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x=1，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，其中一个点的坐标为（3，0），所以图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）所以选B．分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．4、如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x= -1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0）B．（-2，0）C．x= -3 D．x= -2答案：A解析：解答：由抛物线图象可知其对称轴为x= -1，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，其中一个点的坐标为（1，0），所以图象与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）所以选A．分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x= -1，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出另一个交点坐标为（-3，0）．5、抛物线y=ax2+bx+c（a≠０）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x= -1 C．直线x=2 D．直线x= -2答案：A解析：解答：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠０）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），∴这条抛物线的对称轴是：x=（-2+4）/2，即x=1；所以选A．分析：根据对称轴的定义知x=(x1+x2)/26、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2答案：C解析：解答：用作图法比较简单，首先作出（x-a）（x-b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x-a）（x-b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很较易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．所以选C．分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再由已知条件x1＜x2、a ＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．7、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限答案：D解析：解答：∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，∴△=4-4a＜0，解得：a＞1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线的顶点只能在第一象限或第二象限。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大新版九年级数学同步试卷：一元二次方程的根与系数的关系
北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（01）一、选择题（共18小题）1．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜22．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1B．1C．﹣4D．43．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，35．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2＝0B．x2﹣6x+9＝0C．5x2﹣4x﹣1＝0D．3x2﹣4x+1＝0 7．方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m＞B．m≤且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2 8．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2C．﹣＜m＜2D．＜m＜29．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤10．关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m≤C．m≥D．m≤11．下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．4x2+2x+1＝0C．x2+12x+36＝0D．x2+x﹣2＝012．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2＝0B．x2+2x﹣19＝0C．x2+4＝0D．x2+x+l＝0 13．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或1014．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定15．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一16．一元二次方程x2+x+＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况17．一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根18．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1二、填空题（共7小题）19．关于x的方程kx2﹣4x﹣＝0有实数根，则k的取值范围是．20．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．21．一元二次方程x2﹣5x+c＝0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c＝．（只需填一个）．22．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．24．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为．25．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．28．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．29．已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值．30．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（01）参考答案一、选择题（共18小题）1．C；2．B；3．B；4．A；5．B；6．A；7．B；8．D；9．D；10．D；11．C；12．B；13．B；14．B；15．D；16．B；17．C；18．D；二、填空题（共7小题）19．k≥﹣6；20．m＜﹣4；21．4；22．k≥1；23．k＜2且k≠1；24．3；25．a＜﹣1；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（02）一、选择题（共14小题）1．方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0D．k＞且k≠0 4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜15．若关于x的方程x2+2x+a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥16．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2 7．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0 8．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a＝0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12B．16C．20D．249．已知一元二次方程2x2﹣5x+3＝0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根10．若一元二次方程x2+2x+a＝0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥111．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0B．2x2﹣x+1＝0C．4x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣6x＝0 12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8＝0B．2x2﹣4x+3＝0C．9x2+6x+1＝0D．5x+2＝3x2 14．一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题（共11小题）15．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．16．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）．17．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．19．关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝．20．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1＝0有两个相等的实数根，那么k的值等于．21．关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5＝0没有实数根，则m的取值范围是．24．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．25．已知关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求实数m的值．27．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）29．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（02）参考答案一、选择题（共14小题）1．C；2．B；3．A；4．A；5．B；6．D；7．D；8．C；9．A；10．C；11．A；12．C；13．C；14．A；二、填空题（共11小题）15．；16．0；17．①③；18．a＞﹣且a≠0；19．﹣1；20．3；21．m＞；22．m ≤1；23．m＜；24．4；2；25．a≤1；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（03）一、选择题（共13小题）1．若关于x的方程式x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.252．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1＝0B．x2+x+1＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2﹣x﹣1＝0 3．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣14．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1＝0B．x2+x+1＝0C．（x﹣1）（x+2）＝0D．（x﹣1）2+1＝06．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．7．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（）A．b2﹣4ac＝0B．b2﹣4ac＞0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≥08．若+|n﹣2|＝0，且关于x的一元二次方程ax2+mx+n＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥8B．a＜8且a≠0C．a≤8D．a≤8且a≠0 9．下列方程没有实数根的是（）A．x2+4x＝10B．3x2+8x﹣3＝0C．x2﹣2x+3＝0D．（x﹣2）（x﹣3）＝1210．一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤111．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1 12．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣2x+5＝0C．x2﹣2x＝0D．x2﹣2x﹣3＝0 13．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0二、填空题（共12小题）14．如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝．15．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为．16．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．17．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．18．一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．19．关于x的一元二次方程x2﹣3x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的取值范围是．20．若一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．21．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．22．关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是．23．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．24．关于x的一元二次方程x2+a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+＝0有两个相等的实数根，求k的值．27．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，求m．28．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．29．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．30．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（03）参考答案一、选择题（共13小题）1．D；2．D；3．D；4．D；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C；10．D；11．C；12．B；13．B；二、填空题（共12小题）14．9；15．6；16．；17．k＜1；18．k＜；19．b＜；20．9；21．0；22．没有实数根；23．k＜；24．a＞0；25．﹣3；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；。
北师大版初三上册用公式法解一元二次方程同步练习(含解析)
北师大版初三上册2一、选择题1.用公式法解方程x2-2=-3x时，a ，b ，c的值依次是（）A.0，-2，-3B.1，3，-2C.1，-3，-2D.1，-2，-32.用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（）A.52B.32C.2D.-123.方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a ，b ，c的值，正确的是（）A.a=-1，b=3，c=-1B.a=-1，b=3，c=1C.a=-1，b=-3，c=-1D.a=1，b=-3，c=-14.假如一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A.b2-4ac≥0B.b2-4ac≤0C.b2-4ac＞0D.b2-4ac＜05.方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是（）A.1B.2C.D.46.方程（x-1）（x-2）=1的根是（）A.x1=1，x2=2B.x1=-1，x2=-2C.x1=0，x2=3 D.以上都不对7.已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0较大的实数根，则对a的值估量正确的是（）A.0＜a＜1 B.1＜a＜2 C.2＜a＜3 D.3＜a＜4二、填空题8.一元二次方程x2-3x-2=0的解是________9.写出方程x2+x-1=0的一个正根________10.当x=________时，代数式x2-8x+12的值是-4．11.利用解一元二次方程的方法，在实数范畴内分解因式x2﹣2x﹣1=__ ______．12.已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于________．13.假如关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________14.关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范畴是_______ _．三、解答题15.用公式法解方程：（1）；（2）（3）（4）16.已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．（1）求k的值；（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．17.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求那个直角三角形的斜边长18.已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m 的值．19.已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2 ，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直截了当写出三个，不需说明理由）20.定义新运算：关于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．依照以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判定方程：2x2﹣bx+a=0的根的情形．答案解析部分一、选择题1.【答案】B【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】整理得：x2+3x-2=0，那个地点a=1，b=3，c=-2．故选B．【分析】方程整理为一样形式，找出a ， b ，c的值即可2.【答案】C【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】∵（x+2）2=6（x+2）-4∴x2-2x-4=0∴a=1，b=-2，c=-4∴b2-4ac =4+16=20．故选C．【分析】此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时第一把方程化简为一样形式，然后找a、b、c ，最后求出判别式的值3.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】将-x2+3x=1整理为一样形式得：-x2+3x-1=0，可得出a=-1，b=3，c=-1．故选A【分析】将一元二次方程整理为一样形式，找出二次项系数a ，一次项系数b及常数项c即可．4.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判定出正确的选项．5.【答案】A【考点】一元二次方程的求根公式及应用【解析】【解答】解：x2-3x+2=0，（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，x1=1或x2=2，因此方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是1，故答案为：A．【分析】观看方程右边为0，左边能够分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解，再求出方程的解中较小一个根的倒数。
北师大版九年级数学上册 2 5一元二次方程根与系数的关系 测试题(含答案)
一元二次方程根与系数的关系测试题一、选择题1.关于x的一元二次方程3x2+2x+1=0的根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断2.一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p,q,则p+q等于（）A.0B.1C.0或-2D.0或-13.若关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为（）A.4B.5C.6D.74.定义新运算a*b：对于任意实数a,b满足a*b=（a+b）（a-b）-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1=4．若x*k=2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5.设x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根，实数a,b满足：ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005 B．2003 C．-2005 D．-20036.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac＝(2ax0+b)2④若x0是一元二次方程其中正确的（）A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③二．填空题8.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ．9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2-x-2=0是倍根方程；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac.三、解答题10.当m为何值时，一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0．（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．12.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m,n恰好是这个方程的两个根，求△AB C的周长．一元二次方程根与系数的关系测试题（解析）一、选择题1.关于x的一元二次方程3x2+2x+1=0的根的情况，下列判断正确的是（）B．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断【答案】C【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：Δ=22-4×1×3=4-12=-8，故原方程无实数根，故选：C．2.一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p,q,则p+q等于（）A.0B.1C.0或-2D.0或-1【答案】D【分析】利用根据根与系数的关系得，p+q=-p,pq=q,当q≠0时，p=1，当q=0时，p=0，然后计算p+q的值．【解答】解：根据根与系数的关系得，p+q=-p,pq=q,解得p=1，q=-2或p=q=0，所以p+q=-1或p+q=0．故选：D．3.若关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（k-5）x 2-2x+2=0有实数根，，解得：k≤211且k≠5． ∵k 为整数， ∴k 的最大值为4． 故选：A ．【答案】Dx2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2【分析】由根与系数关系，x1，003，x1×x2=2005；化简式子ax2005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx22004）-x1x2（ax12003+bx22003）；1=2003，x1×x2=2005，ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004代入即可得出将x1+x2结果．x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2003，x1×x2=2【解答】解：x1，005，故ax2005+bx22005=（x1+x2）（ax12004+bx22004）-x1x2（ax12003+bx22003），1=2003×2004-2005×2003，=-2003．故选：D．6.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac＝(2ax0+b)2④若x0是一元二次方程其中正确的（）A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③【答案】B【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【解答】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ=b2-4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac＞0，∴-4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，二．填空题8.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，∴m+n=-2，mn=-1，m2+2m-1=0，n2+2n-1=0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）=（m2+2m-1+m+4）（n2+2n-1+n+4）=（m+4）（n+4）=mn+4（m+n）+16=-1+4×（-2）+16=7，故答案为：7．9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2-x-2=0是倍根方程；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac.【解答】解：①解方程x2-x-2=0得，x1=2，x2=-1，得，x1≠2x2，∴方程x2-x-2=0不是倍根方程；故①不正确；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，x，1=2或x2=4，因此x2=1时，m+n=0，当x2=1当x时，4m+n=0，2=4∴4m2+5mn+n2=（m+n）（4m+n）=0，故②正确；∴2b2=9ac.故④正确，故答案为：②③④11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a=b=c,∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．12.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m,n恰好是这个方程的两个根，求△AB C的周长．【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ=（k+2）2-8k=k2+4k+4-8k=（k-2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16-4（k+2）+2k=0，解得k=4，∴方程为x2-6x+8=0，解得x=4或x=2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m=n,即方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即（k-2）2=0，解得k=2，∴方程为x2-4x+4=0，解得m=n=2，此时2+2=4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．。
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5 一元二次方程的根与系数的关系
1．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是()
A．2 B．－2 C．4 D．－3
2．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是() A．－10 B．10 C．－16 D．16
3．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是() A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0 4．已知关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是()
A．－6 B．－3 C．3 D．6
5．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－2，求方程的另一个根及m的值．
6．已知一元二次方程x2－6x－3＝0的两个根分别为α与β，则1
α＋
1
β的值的相反数为
()
A．－1 B．1 C．－2 D．2
7．设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是()
A．19 B．25 C．31 D．30
8．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n ＋2)的最小值是()
A．7 B．11 C．12 D．16
9．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值
为()
A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
10. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，则a＝________．
11．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋1＝0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值．
12．方程ax2＋bx－c＝0(a＞0，b＞0，c＞0)的两个根的符号为()
A．同号B．异号C．两根都为正D．不能确定
13．已知关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根．
14.若关于x 的一元二次方程x 2＋2()m －1x ＋m 2＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，则m 的取值范围是( )
A ．m ≤12
B ．m ≤12
且m ≠0 C ．m <1 D ．m <1且m ≠0 15．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β
＝－1，求m 的值．
16．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值；
(2)已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的长，求△ABC 的周长．
17．2017·鄂州已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k 的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，是否存在这样的实数k ，使得|x 1|－|x 2|＝5成立？若存在，求出这样的k 值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D [解析] ∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，∴x 1·x 2＝－3.故选D .
2．A
3．D [解析] 设此一元二次方程为x 2＋px ＋q ＝0.∵二次项系数为1，两个根分别为x ＝2，x ＝－3，∴p ＝－(2－3)＝1，q ＝(－3)×2＝－6，∴这个方程为x 2＋x －6＝0.故选D .
4．B [解析] 设方程的另一个根为n ，则有－2＋n ＝－5，解得n ＝－3.故选B.
5．解：设方程的另一个根为t ，根据题意，得
(3－2)t ＝7，∴t ＝73－2
＝3＋ 2. 所以－m ＝3－2＋3＋2＝6，即m ＝－6.
即方程的另一个根为3＋2，m 的值为－6.
6．D [解析] ∵一元二次方程x 2－6x －3＝0的两个根分别为α与β，
∴α＋β＝6，αβ＝－3，
∴－(1α＋1β)＝－α＋βαβ＝－6－3
＝2. 故选D.
7．C [解析] ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －3＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－5，x 1x 2＝－3，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝25＋6＝31.故选C.
8．D [解析] ∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－2tx ＋t 2－2t ＋4＝0的两实数根，∴m ＋n ＝2t ，mn ＝t 2－2t ＋4，
∴(m ＋2)(n ＋2)＝mn ＋2(m ＋n )＋4＝t 2＋2t ＋8＝(t ＋1)2＋7.
∵方程有两个实数根，∴Δ＝(－2t )2－4(t 2－2t ＋4)＝8t －16≥0，∴t ≥2，∴(t ＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16.故选D.
9．D [解析] ∵x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝m 2－m －1.
∵x 1＋x 2＝1－x 1x 2，∴2m ＝1－(m 2－m －1)，即m 2＋m －2＝0，解得m 1＝－2，m 2＝1. ∵方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0有实数根，
∴Δ＝(－2m )2－4(m 2－m －1)＝4m ＋4≥0，解得m ≥－1.∴m ＝1.故选D.
10.214
[解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ，
由x 12－x 22＝10得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10.
∵x 1＋x 2＝5，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214
. 11．解：设方程的两根为x 1，x 2，根据题意，得Δ＝(2k －1)2－4(k 2＋1)≥0，解得k ≤－34
， x 1＋x 2＝－(2k －1)＝1－2k ，x 1x 2＝k 2＋1.
∵方程的两根之和等于两根之积，∴1－2k ＝k 2＋1，∴k 2＋2k ＝0，∴k 1＝0，k 2＝－2.
而k ≤－34
，∴k ＝－2. 12．B [解析] ∵ax 2＋bx －c ＝0(a ＞0，b ＞0，c ＞0)，∴Δ＝b 2＋4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
设方程ax 2＋bx －c ＝0(a ＞0，b ＞0，c ＞0)的两个根为x 1，x 2，
∵x 1x 2＝－c a
＜0，∴两根异号．故选B. 13．解：(1)∵方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－3)2＋4k ＝9＋4k ＞0，
解得k ＞－94
. (2)∵方程的两根同号，∴－k ＞0，即k <0.又∵k >－94
，∴整数k ＝－2或－1.当k ＝－2时，原方程为x 2－3x ＋2＝0，
解得x 1＝1，x 2＝2.(答案不唯一)
14．B [解析] ∵关于x 的一元二次方程x 2＋2(m －1)x ＋m 2＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝
4(m －1)2－4m 2＝4－8m ≥0，∴m ≤12
. ∵x 1＋x 2＝－2(m －1)>0，∴m <1.∵x 1x 2＝m 2>0，∴m ≠0，∴m ≤12
且m ≠0.故选B. 15．解：∵α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根， ∴α＋β＝－2m －3，α·β＝m 2，
∴1α＋1β＝α＋βαβ＝－2m －3m 2
＝－1， ∴m 2－2m －3＝0，
解得m ＝3或m ＝－1.
∵关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m ＋3)2－4×1×m 2＝12m ＋9＞0，
∴m ＞－34
，∴m ＝－1不合题意，舍去， ∴m ＝3.
16．解：(1)由题意，得x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5.
∵(x 1－1)(x 2－1)＝28，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝28，
∴m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28.
由题意，得b 2－4ac ＝[－2(m ＋1)]2－4(m 2＋5)≥0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧m 2＋5－2（m ＋1）＋1＝28，[－2（m ＋1）]2－4（m 2＋5）≥0， 解得m ＝6.
(2)当x 1＝x 2时，b 2－4ac ＝0，则m ＝2，
∴x 1＝x 2＝3.
∵3＋3＜7，不符合三角形三边关系定理，
∴m ＝2舍去．
当x 1＝7时，72－2(m ＋1)×7＋m 2＋5＝0，
解得m ＝4或m ＝10.
当m ＝4时，x 2＝3，∴周长为3＋7＋7＝17；
当m ＝10时，x 2＝15.
∵7＋7＜15，不符合三角形三边关系定理，
∴m ＝10舍去．∴这个三角形的周长为17.
注：x 2＝7的情况与x 1＝7的情况相同．
17．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k －1)]2－4(k 2－2k ＋3)＝4k －11＞0，
解得k ＞114
. (2)存在．
∵x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2－2k ＋3＝(k －1)2＋2＞0，∴将|x 1|－|x 2|＝5两边平方，可得x 12－2x 1x 2＋x 22＝5，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5，∴(2k －1)2－4(k 2－2k ＋3)＝5，即4k －11＝5，解得k ＝4.。