第05章非正弦周期电流电路

uC =
1s≤t≤3s 时
1 1 idt = 5t d t = 5t 2 V C 0 .5
∫
∫
uC =
1 1 idt = ( −5t + 10) d t = −5t 2 + 20t + K C 0 .5
∫
∫
当 t1=1s 时，uC1=5V，代入上式，得 K=-10，故
u C = − 5 t 2 + 20 t − 10 V
i
iC iR
u/V 3
u
C (a)
R
O
(b)
图 5.11 习题 5.5 的图
t/s
【习题 5.6】 施加到串联电路上的电压是以(2 000sin ω t +600sin3 ω t +400sin5 ω t )V 来表示。如果电路的电阻为 10 Ω ，电容为 30μF，而电感值将使得电路与电压的三次谐 波发生谐振。试估算该电路中将流过的电流的有效值。基波频率为 50Hz。 并计算出在 这些条件下，电感线圈端钮间的电压有效值。 【习题 5.7】 电容量为 3.18μF 的电容器与 1 000 Ω 电阻并联，该组合又与 1 000Ω 电阻器串联连接到以 u=350sin ω t +150sin(3 ω t +30)V 表示的电压上。试确定： （1）如果 ω =314rad/s，电路中消耗的功率； （2）串联电阻器两端的电压； （3）总电流中谐波含量的百分数。 【习题 5.8】10 Ω 电阻与电感为 6.36mH 的线圈串联，电源电压以 u=300sin314t+ 50sin942t+40sin1570t V 表示。 试求： （1）电流瞬时值的表达式； （2）消耗的功率。 【习题 5.9】 电路由 200μF 电容器与 7Ω电阻器串联组成，供电电压的瞬时值以 200sin(314t)+20sin(942t–90°)V 来表示。 试推导出电流的表达式， 并计算总电流的有效 值、总功率和功率因数。 【习题 5.10 】 由 10 Ω 电阻器与 0.015H 电感器串联组成的电路流过的电流以 i=10sin314t+5cos942tA 来表示。试确定电路两端电压的表达式，并计算电压的有效值和 功率因数、吸收的总功率。
第五章
非正弦周期电流电路
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W 表的读数 ○
P = I 12 R + I 32 R = 160 + 90 = 250W
【例题 5.4】 图 5.5 电路中，已知 uS(t) = 311sin(314t+20°) V， iS(t) = 2.83sin942t A， R1=50 Ω ，R2=20 Ω ，L=225.4mH，C=5μF。 求电压源和电流源各发出多少功率？ 【解】 由题意可知，只要求出 uS(t) 单独作用时通过 uS(t) 的基波电流，即可求出 uS(t)发出的功率。同理 iS(t)为 3 次谐波，只要求出 iS(t)单独作用时 iS(t)的两端电压，即 可求出 iS(t) 发出的功率。因为不同频率的电压和电流不产生功率。
所以 i3=25.6sin(3 ω t +69.4°) A & = 5∠0°V , 则 因为 u5= 5sinωt V，取 U 5m
& = ( 1 + 1 + j5ωC ) U & = (1 + 1 + j5) × 5∠0° = 5 + j24 = 24.5∠78.2°A I 5m 5m R j5ω L j5 所以 i5=24.5sin(5 ω t +78.2°) A
iS(t)单独作用时，如图 5.5 (b) 所示，则
& = 2.83 ∠0° = 2∠0° A I S 2
因为
3ω L =
& , 则 所以通过 R1 的电流也是 I S & =I & ( R + R ) = 2(50 + 20) = 70 × 2 = 140∠0°V U 3 S 1 2
所以
1 3ω C
u 3 = 140 2 sin 942t V
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第五章
非正弦周期电流电路
iS(t)发出的平均功率
P1 = U 3 I 3 cos ϕ 3 = 140 × 2 cos 0° = 280 W 【例题 5.5】 图 5.6 电路为滤波电路，要求 4ω的谐波电流能传送至负载，而基波 电流无法达到负载。如果 C=1μF, ω =1 000/s 求 L1 和 L2。 【解】若基波电流无法达到负载 RL，则 L1 和 C 并联电路必定产生并联谐振，即
i u u/V 1
C O
-1 (a) (b) 0.05 0.1 0.2
t /s
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第五章
非正弦周期电流电路
图 5.10
习题 5.3 的图
【习题 5.4】 以(50 sin ω t +20sin3 ω t +15sin5 ω t )V 所表示的电压施加到串联的 LCR 电路，其中 L= 0.506H、R =5 Ω 和 C = 20μF。 试计算基波电流的有效值以及与各次谐波相对应的电流。外施电压的基波分量的 频率为 50Hz。并确定电容器两端的三个电压分量。 【习题 5.5】 已知 R = 1 Ω ，C = 1F，u 的波形如图 5.11(b)所示。试画出电流 i 的波 形图。
图 5.3 例题 5.2 的图
iL
& = 72∠0°V, 则因为 u1=72sin3 ω t V 单独作用时, 取 U 3m XL3 =XC 3= 9 Ω 所以电路处于并联谐振状态。又因为通过 R 的电流为零，所以
& & = U 3m = 72∠0° = 8∠ − 90°A I L3m jXL3 j9 iL3 = 8 sin(3ωt − 90°)A iL = I 0 + i L1 + i L3 = 20 + 25 sin(ωt + 78.4°) + 8 sin(3ωt − 90°)A
U = U1 + U 2 + U 3 = (
平均功率
2 2 2
20 2 9 5 ) + ( ) 2 + ( ) 2 = 15.9V 2 2 2
P = U1 I1 cos ϕ1 + U 3 I 3 cos ϕ3 + U 5 I 5 cos ϕ5 5 24.5 9 25.6 20 20 × × × cos 78.2° cos 69.4° + cos 0° + 2 2 2 2 2 2 = 200 + 40.5 + 12.5 = 253W 2 2 2 U U U 2 2 2 或 P = 1 + 3 + 5 = (U1 + U 3 + U 5 ) = 253W R R R =
& U 1m 1 j ωC R+ 1 jω L − j ωC j ωL ⋅
×
1 j ωC j ωL − j 1 ωC
=
− j 27 100∠30o × = j 3 × (− j 27) j 3 − j 27 3+ j 3 − 27
L R u C
25∠78.4o A 所以 iL1=25sin( ω t +78.4°)V 1 1 X C 3 = X C 3 = × 27 = 9Ω 3 3 X L3 = 3ωL = 3 × 3 = 9Ω
& = I 1 R1 +
& U S jω L( − j 1
= )
ωC
220∠20° = 2.34∠78° A 50 − j79.7
jω L − j
1 ωC
所以 uS(t)发出的功率
i1 = 2.34 2 sin(314t + 78°)A Pu = U S I 1 cosϕ 1 Pu = 220 × 2.34 cos 58° = 274 W
1m
图 5.7
例题 5.6 的图
20∠0°A
所以 i1=20sin ω t A
& = 9∠0°V, 则 因为 u3= 9 sin ω t V ，取 U 3m
& = ( 1 + 1 + j5ω C ) U & = (1 + 1 + j3) × 9∠0° = 9 + j24 = 25.6∠69.4°A I 3m 3m R j3ω L j3
【例题 5.3】电路如图 5.5 所示。 已知 u = 40 2 sin(ω t + 30°) + 30 2 sin(3ω t + 60°)V ，R=10 Ω 。 A○ V 的读数（有效值） ； （3）○ W 的读数。 求： （1）电流的瞬时表达式； （2）○ 【解】 U I 1 = 1 = 4A R U I 3 = 3 = 3A R 电流 i 的瞬时表达式
3s≤t≤4s 时 当 t3=3s 时，u C3
1 1 idt = (5t − 20) d t = 5t 2 − 40t + K 0 .5 C = − 5 × 3 2 + 20 × 3 − 10 = 5 V，代入上式，得 K=80，故 uC=
∫
∫
uC = 5t 2 − 40t + 80V
(2) uC 的波形如图 5.2 所示。 (3) 计算 t=2.5s 时电容元件的电场中储存的能量
i1 = 4 2 sin(ω t + 30°)A i3 = 3 2 sin(3ω t + 60°)A
u
W
A i R V
i = 4 2 sin(ω t + 30°) + 3 2 sin(3ω t + 60°)A
A 和○ V 的读数 ○
图 5.5
例题 5.3 的图
I = I 12 + I 2 2 = 4 2 + 32 = 5A U = U 12 + U 32 = 402 + 302 = 50V