控制工程作业第四章
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控制工程习题 第四章
习题四 题型：判断题 题目：最小相位系统一定是稳定系统，稳定系统一定是最小相位系统。
习题五
题型：填空题
题目：在最小相位系统中，对数幅频特性的变化趋势和相频特性的变化趋
势
。
B、 G(s) F(t) C、 G(s) L(t) D、 G( j) F(t)
习题四
题型：选择题
题目：以下说法正确的有（
）。
A、时间响应只能分析系统瞬态特性
B、系统的频率特性包括幅频特性和相频特性，它们都是频率ω的函数
C、时间响应和频率特性都能揭示系统动态特性
D、频率特性没有量纲
习题三 题型：单项选择题 题目：某环节频率特性图 Nyquist 如图 1 所示，则该环节是（）。 A、比例环节 B、微分环节 C、延迟环节 D、惯性环节
习题四 题型：单项选择题 题目：某环节频率特性 Nyquist 图如图 2 所示，则该环节是（）。 A、比例环节 B、微分环节
C、积分环节 D、惯性环节
第四章
第一节（1）
习题一 题型：填空题 题目：线性定常系统对正弦信号（谐波输入）的
称为频率响应。
习题二 题型：填空题 题目：频率响应是系统对___________的稳态响应；频率特性 G（jω）与传 递函数 G（s）的关系为________。
习题三 题型：单项选择题 题目：以下关于频率特性、传递函数和单位脉冲响应函数的说法错误的是（）。 A、 G( j) G(s) s j
E、频率特性反映系统或环节对不同频率正弦输入信号的放大倍数和相移
习题五 题型：填空题 题目：通常将
和
统称为频率特性。
第一节（2）
习题一 题型：综合题
题目：已知系统的单位阶跃响应为 xo t 1 1.8e4t 0.8e 9t，t 0，试求系统
控制工程基础---第四章传递函数
积分环节
微分环节
惯性环节
一阶微分环节
振荡环节
二阶微分环节
延时环节
第三节传递函数的方块图
一、组成元素
1、方块单元：表示环节或系统的传递函数。
2、叠加点：表示信号的运算及其结果。
3、信号线：带箭头的直线或折线。箭头的方向表示信号的流向。
二、基本运算
1、串联
2、并联
3、反馈
三、等效移动原则
1、引出点的移动：保证引出信号不变
2、对于实际的物理系统，
四、概念
1、零点、极点：
零点：系统传递函数分子s多项式为零的根。
极点：系统传递函数分母s多项式为零的根。
2、传递系数： 。
3、特征方程：传递函数分母s多项式。
4、阶：系统特征方程s的最高指数。
例3、以例1、例2的结果为例。
第二节典型环节及其传递函数
名称
微分方程
传递函数
比例环节
例：系统方块图如图示，简化求传递函数。
将a点后移
五、方块图的建立
1、步骤：
建立系统微分方程组。
对微分方程图连接。
2、举例
例1：建立电路的方块图，并传递函数。
解：
例2、建立图示系统的方块图，求传递函数。
解：设中间变量为x(t)，其力平衡方程为
例3、建立直流电动机的方块图，求传递函数。
第四章传递函数
第一节传递函数
一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。
二、求法：
1、由微分方程求取。
若系统的微分方程为
对微分方程的两端求拉氏变换
例1：系统微分方程为 ，求系统的传递函数。
解：由给定的微分方程，
例2：求R-C电路的传递函数。
微分环节
惯性环节
一阶微分环节
振荡环节
二阶微分环节
延时环节
第三节传递函数的方块图
一、组成元素
1、方块单元：表示环节或系统的传递函数。
2、叠加点：表示信号的运算及其结果。
3、信号线：带箭头的直线或折线。箭头的方向表示信号的流向。
二、基本运算
1、串联
2、并联
3、反馈
三、等效移动原则
1、引出点的移动：保证引出信号不变
2、对于实际的物理系统，
四、概念
1、零点、极点：
零点：系统传递函数分子s多项式为零的根。
极点：系统传递函数分母s多项式为零的根。
2、传递系数： 。
3、特征方程：传递函数分母s多项式。
4、阶：系统特征方程s的最高指数。
例3、以例1、例2的结果为例。
第二节典型环节及其传递函数
名称
微分方程
传递函数
比例环节
例：系统方块图如图示，简化求传递函数。
将a点后移
五、方块图的建立
1、步骤：
建立系统微分方程组。
对微分方程图连接。
2、举例
例1：建立电路的方块图，并传递函数。
解：
例2、建立图示系统的方块图，求传递函数。
解：设中间变量为x(t)，其力平衡方程为
例3、建立直流电动机的方块图，求传递函数。
第四章传递函数
第一节传递函数
一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。
二、求法：
1、由微分方程求取。
若系统的微分方程为
对微分方程的两端求拉氏变换
例1：系统微分方程为 ，求系统的传递函数。
解：由给定的微分方程，
例2：求R-C电路的传递函数。
控制工程基础第4章 根轨迹法
n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正方向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点 处的切线与水平线正方向的夹角。
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
终止于 zb 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j 1
i 1
ib
其它零点到 zb 的向量夹角
七、分离点的坐标
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点， 称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1 d (G(s)H (s)) 0
ds
2 由根轨迹方程
令：dK 0 解出s ds
n
1 180 p1 z p1 p2
180 116.57 90
206.57
由于对称性
2 206.57
会合点 -3
206.57
p1
[S]
z116.57
2.12
-2 -1 0
孔祥东控制工程基础课新版件第四章
n i1
pi
m
j 1
zj
s nm1
在 n m的条件下，当 K1 时，有 n m条根轨迹分支趋向无穷
远处，即 s 。这时可以只考虑高次项，将上式近似写为
G(s)H (s)
K1
s
snm
n i1
P(s)
K1
(s a )nm
s nm
K1
(n m)( a )snm1
不难看出，此系统的根轨迹有 n-m 条分支，它们都是由(σa，j0)出
发的射线，其相角为
a
180 (2q 1) nm
第四章 根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
如果选择
(n
m)(
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重要 依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是系 统的特征根，就必定在根轨迹上。
第四章 根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
系统开环传递函数通常可以写成两种因子式
m
K1 (s z j )
G(s)H (s)
j 1 n
第四章 根轨迹法
Gp1(s) 0 K1 s(s 2a)
§4-1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的基本概念
根轨迹 是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形
成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的 影响，以及它们与系统性能的关系。
下面结合图4-1所示的二阶系统
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
综上所述，根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上 运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极 点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。
456章《控制工程基础习题详解》高等教育出版社 2010.6
四、稳态偏差
1.参考输入作用下系统的稳态偏差
R( s) +
E (s)
G(s) H (s)
C (s)
-
图 4-1 参考输入作用下系统方框图
ε ss = lim s ⋅ E ( s) = lim
s →0
s R( s) s →0 1 + G ( s ) H ( s )
2.干扰作用下系统的稳态误差
N ( s)
Φ ( s) =
ω n2 C (s) = 2 2 R( s ) s + 2ξω n s + ω n
为了使系统对阶跃输入的响应有约 5%的超调量和 2 秒的调整时间，试求 ξ 和 ω n 。
−
ξπ
1−ξ 2
解：由 M p 解得
=e
= 500
ξ = 0.69
若 Δ = 0.02
ts =
4
ξωn
2
=2 2 = 2.9(rad s) 0.69
R( s) +
E (s)
−
G1 ( s )
+
+
G2 ( s )
C (s)
H ( s)
图 4-2 干扰作用下的反馈系统方框图
e ss N = lim s ⋅ E ( s ) = − lim
s →0 s →0
sG 2 ( s ) N (S ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
37
−60 t
− 1.2e −10t ，试求：
42
第四章 系统的时间响应分析 （2）系统的阻尼比 ξ 和无阻尼固有频率 ω n 。 解： （1）单位阶跃响应的拉氏变换为 C ( s ) = 系统的闭环传递函数为
控制工程第4章_系统的瞬态响应与误差分析
➢对稳定的线性定常系统来说，稳态响应只是由输入信号 引起，而与系统初始状态无关。因为初始状态由于能量 有限，所以它引起的响应总要衰减到0，因此，初始状 态引起的响应属于瞬态响应（但不等于瞬态响应，因为 输入量也能引起瞬态响应）。稳态响应反映了系统响应的
准确性。
*
17
4-1 时间响应
➢ 求系统时间响应的方法：
➢系统的快速性
快速性是指输出量和输入量产生偏差时，系统消除 这种偏差的快慢程度。
*
4
引言
➢ 二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线
二阶系统 G (s) n 2/(s2 2 n s n 2)的单位阶跃响应曲线
2
=0
1.8
1.6
1.4
允 差
=0.4 =0.7 =1
y(t) 输出 Y(s)
Y (s)G (s)X (s)
系统对任意输入的响应
y ( t) L 1 [ Y ( s ) ] L 1 [ G ( s ) X ( s ) ]
*
零状态响应
18
4-2 一阶系统的时间响应
1. 一阶系统的数学模型 2. 一阶系统（惯性环节）的单位阶跃响应 3. 一阶系统（惯性环节）的单位脉冲响应 4. 一阶系统（惯性环节）的单位斜坡响应
*
14
4-1 时间响应
➢瞬态响应ctr(t)：对稳定的系统，瞬态响应是指时 间响应中随着时间的增加而逐渐减小，最终趋于0 的那部分响应。
➢教材中的定义：系统受到外加作用激励后，从初 始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。指 的是稳定状态之前的整个时间响应过程。
➢稳态响应css(t)：是指当时间趋于无穷大时系统的 输出状态。
准确性。
*
17
4-1 时间响应
➢ 求系统时间响应的方法：
➢系统的快速性
快速性是指输出量和输入量产生偏差时，系统消除 这种偏差的快慢程度。
*
4
引言
➢ 二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线
二阶系统 G (s) n 2/(s2 2 n s n 2)的单位阶跃响应曲线
2
=0
1.8
1.6
1.4
允 差
=0.4 =0.7 =1
y(t) 输出 Y(s)
Y (s)G (s)X (s)
系统对任意输入的响应
y ( t) L 1 [ Y ( s ) ] L 1 [ G ( s ) X ( s ) ]
*
零状态响应
18
4-2 一阶系统的时间响应
1. 一阶系统的数学模型 2. 一阶系统（惯性环节）的单位阶跃响应 3. 一阶系统（惯性环节）的单位脉冲响应 4. 一阶系统（惯性环节）的单位斜坡响应
*
14
4-1 时间响应
➢瞬态响应ctr(t)：对稳定的系统，瞬态响应是指时 间响应中随着时间的增加而逐渐减小，最终趋于0 的那部分响应。
➢教材中的定义：系统受到外加作用激励后，从初 始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。指 的是稳定状态之前的整个时间响应过程。
➢稳态响应css(t)：是指当时间趋于无穷大时系统的 输出状态。
控制工程基础第4章 控制系统的频率特性
( ) G ( j ) arctanT
As 0， 1) ( gain G ( j ) 1 L( ) 20lg G ( j ) 0
( ) 0
As 1 gain G ( j ) T L( ) 20lg G ( j ) 20 lg(T )
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方 法 4.2 极坐标图 4.3 对数坐标图 4.4 由频率特性曲线求系统的频率特性 4.5 控制系统的闭环频响
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法
频率响应： 系统对正弦函数输入的问题响应。当输入正弦信号时， 系统的稳态输出也是正弦信号，且其频率与输入信号的 频率相同，其幅值及相角随着输入信号频率的变化而变 化。 当输入为非正弦的周期信号时，可将输入信号利用傅立 叶级数展开成正弦函数叠加的形式，系统的响应也是其 相应正弦函数响应的叠加 输入为非周期信号时也可以将它看作是周期为无穷大的 周期信号
V ( )
相频特性
A( )
( )
U ( )
4.2 极坐标图
Im( )
G ( j n )
Re( )
G ( j 2 )
G ( j1 )
4.2.1 典型环节的乃氏图
k
0
积分环节 比例环节
0
G (s) k G ( j ) k A( ) G ( j ) k
系统开环传递函数为： 100（0.05s＋1） G（s）＝ s（0.1s＋1）（0.2s＋1） 试绘制其开环对数频率特性图
40 20 1 20lgk 5 10 20
1 -90 -180 -270
5
10
《控制工程基础》第四章根轨迹
4.2 根轨迹幅值条件与相角条件
LOGO
相角条件：
s1,2 1 1 2K
K s(0.5s 1)
G s H s s (s 2) 180 2k 1k 0,1,2,
（0，+ ∞ ） ；
（-2,0）；
（- ∞，-2 ） ；
实轴以外 ；
用幅值条件可以计算
出各根轨迹点上的开环根
轨迹增益K*。
Page 12
ds
即s2 12s 24 0
解之，得 s1 2.54, s 2 9.46
相应的增益为
K
1
1 .0 7 , Page 21
K
2
14.9
4.3 绘制根轨迹的基本法则
LOGO
方法2 设系统开环传递函数为
GsH s
K s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
Gs
H
s
K s
1s 12s
T s 1 T s 1 Page 10
2
1 1
4.2 根轨迹幅值条件与相角条件
LOGO
G s H
s
K* s s
z1 s z2 p1 s p2
s zm s pn
K * Az1e jz1 A e j p1
p1
A e jzm zm
A e j pn pn
LOGO
传递函数：
Gb
s
1
Gs G s H
s
特征方程（根轨迹方程）：1+G(s)H(s)=0 或写作 G(s)H(s)= -1
相角条件： GsH s 180 2k 1 k 0,1,2,
幅值条件： GsHs 1
GsH s
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4-1什么是系统的时间响应？
答：控制系统在输入信号的作用下，输出量随时间变化的函数关系称为系统的时间响应。
4-2什么是动态性能指标？动态性能指标有哪些？
答：系统动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。
描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t 的变化情况的指标，称为动态性能指标。
动态性能指标：上升时间r t 、峰值时间p t 、超调量p M 、调整时间s t 、延迟时间d t 和振荡次数N 。
4-3什么是误差？什么是稳态误差？如何计算稳态误差。
答：误差按照定义方式的不同分为输出端定义的误差和输入端定义的误差两种。
稳态误差是是指系统进入稳态之后的误差。
为了计算稳态误差，可首先求出系统的误差信号的Laplace 变换式)(s E ，再用终值定理求解。
4-4 系统时间常数的改变，对系统的动态性能和稳定性有何影响？
答：时间常数T 确实反映了一阶系统固有的特性，其值越小，系统的惯性就越小，系统的响应速度也就越快；时间常数T 越大，系统的惯性就越大，系统的动态时间越长，进入稳态越慢。
4-8 设单位反馈系统的开环传递函数为)
5(4)(G +=s s s ，求这个系统的单位阶跃响应。
解：闭环传递函数为：)4
111(34454)(1)()(2B +-+=++=+=s s s s s G s G s G 拉氏变换式为：]414111143[341)4111(34)()()(i o +⋅++-⋅=⋅+-+=
=s s s s s s s X s G s X 则：4t -t -o 1o e 3
1e 341)]([)(+-==-s X L t x 4-9 设单位反馈控制系统的开环传递函数为)1(1G +=s s s ）
（，试求系统单位阶跃响应的上升时间r t 、峰值时间p t 、超调量p M 和调整时间s t 。
解：闭环传递函数为：1
1)(1)()(2B ++=+=s s s G s G s G 由传递函数可以计算系统的固有频率：1ωn =，阻尼比为5.0=ξ， 则超调量：%3.16%100e
21-p =⨯=-ξξπM ， 峰值时间：s t 628.31ωπ
2n p =-=ξ
上升时间： s t 418.21ω2n r =--=ξβ
π ， 调整时间：s t 6ω3n
s ==ξ （05.0=∆）。
或者是调整时间：s t 8ω4n s ==
ξ （02.0=∆）。