2013年全国高考数学第二轮复习专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换及解三角形文
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件
π 4 π 4
＝
－3－1 1－3
＝
2
，
则
tan
β ＝ tan(α ＋ β － α) ＝
1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋3－3×2 2＝17.故选 D．
3. (2023·怀仁市校级四模)已知 α 为锐角，且 sin α＋sinα＋π3＋
sinα＋23π＝ 3，则 tan α＝_____3___.
2cos 40°＋cos 80°＋sin 80°tan θ＝0，
所以
tan
θ＝－2cos
40°＋cos sin 80°
80°＝－2cos120°s－in8800°°＋cos
80°
＝－2cos
120°cos
80°＋sin 120°sin sin 80°
80°＋cos
80°＝－
3sin 80° sin 80°
2 α＋3tan
≤ α2
2
1 tan
α·3tan
α
＝ 33，当且仅当tan1 α＝3tan α，即 tan α＝ 33时，等号成立，tan β 取得最
大值 33.故选 B．
核心考点2 正弦定理、余弦定理的应用
核 心 知 识·精 归 纳
1.正弦定理：在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R 为△ABC 的外 接圆半径)．
第一篇
核心专题提升•多维突破
专题一 三角函数与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形
分析考情·明方向 真题研究·悟高考 考点突破·提能力
分析考情·明方向
高频考点
高考预测
三角函数的化简与求值(倍角公式、
两角和与差公式进行恒等变换，角 继续以选择、填空题形式考查三角
高三数学二轮专题复习第2讲 三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.2 5[解析] 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32.所以AB ＝4 2. [答案] A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________.[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.[答案] 310103.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB， 所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一三角恒等变换及应用【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－5 5，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25 5，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）1＋tan 2αtan（α＋β）＝－211.探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.13 B.－13 C.3 D.－3(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.[解析] (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，又x ∈(0，π)，则tan x ＝2， 故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.[答案] (1)A (2)π3热点二 正弦定理与余弦定理考法1利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】(2018·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC ＝334”，试求a＋c的值.解由S△ABC ＝12ac·sin B＝334，∴12ac·32＝334，则ac＝3.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－ac，所以(a＋c)2＝b2＋ac＝9＋3＝12，故a＋c＝2 3.【迁移探究2】在第(2)问中，保留条件b＝3，删去“条件△ABC的周长为3＋23”，试求△ABC面积的最大值.解由b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，则9＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤9(当且仅当a＝c＝3时，取等号)，故S△ABC ＝12ac sin B≤12×9sin2π3＝934，所以△ABC 面积的最大值为934.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2， 故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517及B 为三角形一内角，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.考法2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米[解析]由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH ＝ACsin∠AHC.可得CH＝AC·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米).[答案] B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). [答案] 100 6热点三 与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3.由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12.由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C.－79D.－89[解析] cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. [答案] B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34πB.π3C.π4D.π6[解析] 由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4. [答案] C3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6[解析] 因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .由余弦定理a 2＋b 2－c2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C .所以在△ABC 中，C ＝π4. [答案] C4.(2018·合肥质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4πB.8πC.9πD.36π[解析] 由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C ＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. [答案] C5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A[解析] 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ， 因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . [答案] A 二、填空题6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.[解析] ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12. [答案] －127.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.[解析] 由题意知tan α＝3a 4a ＝34，sin α＝3a 5|a |＝－35. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，∴25sin α－7tan 2α＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7×247＝－39. [答案] －398.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.[解析] 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝32，所以bc ＝833.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.[答案] 233 三、解答题9.(2018·济南二模)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM →＝MC →. (1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围. 解 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 代入数据，得cos C ＝－12. ∵AM→＝MC →， ∴CM ＝MA ＝12AC ＝1.在△CBM 中，由余弦定理知： BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7， 所以BM ＝7.(2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 在△BDM 中，由正弦定理知： BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273. ∴BD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，MD ＝273sin θ， ∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋73sin θ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故BD ＋12MD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，7.10.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b sin A ＝a sin B ， 又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.11.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝3sin(2 018π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x －cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2BD ＝2，求cos C . 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1 ＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)f (A )＝32⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0<A <π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6.由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝22，B ＝π4或B ＝3π4(舍去)，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin π3sin π4－cos π3cos π4＝6－24.。
2013年高考第二轮复习数学广东理科专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换及解三角形
专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2012·山东高考，理7)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A.35 B.45 C.74 D.34 3．(2012·天津高考，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425 4．(2012·湖北高考，理11)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.5．(2012·广东高考，理16)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β) 的值． 考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例1】已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β2的二倍角等；②α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝sin 2α2sin α等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂． (4)角的合成及三角函数名的统一：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝ba . 变式训练1 已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求f ⎝⎛⎭⎫3π2的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交会【例2】在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域． 规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的范围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2 (2012·广东肇庆一模，理18)已知△ABC 的面积为22，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝4,0°＜C ＜90°.(1)求sin(A ＋B )的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2C ＋π4的值； (3)求向量CB →，AC →的数量积CB →·AC →. 热点三 正、余弦定理的实际应用 【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号)规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等． 变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等． 【典型例题】(2012·福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝( )． A.35 B ．－35 C.65 D ．－65 2．在△ABC 中，如果0＜tan A tan B ＜1，那么△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定3．(2012·山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A.45B.43C.34D.234．(2012·江西南昌二模，5)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( )． A ．－233 B ．±233 C ．－1 D ．±15．(2012·山东淄博一模，10)在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A.13 B ．－13 C.223 D ．－2236．已知sin x ＝5－12，则sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝______. 7．(2012·湖南长沙模拟，18)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．8．(2012·广东广州二模，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值． 参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．A 解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A.2．D 解析：由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 3．A 解析：在△ABC 中，由正弦定理：b sin B ＝csin C，∴sin C sin B ＝c b ， ∴sin 2B sin B ＝85，∴cos B ＝45. ∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.4.2π3 解析：∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 5．解：(1)因为函数f (x )的最小正周期为2πω＝10π，解得ω＝15.(2)由(1)，可知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，∵－65＝f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3 ＝2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－2sin α， ∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6 ＝2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385. 精要例析·聚焦热点热点例析【例1】 解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期为2π.又∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，∴函数f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13， ∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，又∵α为第二象限角，且cos α＝－13，∴sin α＝223.∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.【变式训练1】 解：(1)f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6. ∵函数f (x )的最小正周期为6π， ∴T ＝2πω＝6π，即ω＝13.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6.∴f ⎝⎛⎭⎫32π＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×32π－π6＝2sin π3＝ 3. (2)f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫3α＋π2－π6 ＝2sin α＝－1013，∴sin α＝－513.f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎡⎦⎤13(3β＋2π)－π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β＝65， ∴cos β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝－1－cos 2β＝－45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.【例2】 解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， ∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12，故A ＝π3.(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2. ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋32sin 2B －12cos 2B＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6≤1，32＜y ≤2. ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域为⎝⎛⎦⎤32，2. 【变式训练2】 解：(1)由12ab sin C ＝2，即12×3×4sin C ＝22，得sin C ＝23. ∵A ＋B ＝180°－C ，∴sin(A ＋B )＝sin(180°－C )＝sin C ＝23. (2)由(1)，得sin C ＝23. ∵0°＜C ＜90°，∴cos C ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝73. ∴cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×⎝⎛⎭⎫732－1＝59.∴sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×23×73＝2149.∴cos ⎝⎛⎭⎫2C ＋π4 ＝cos 2C cos π4－sin 2C sin π4＝59×22－2149×22＝－52－4718.(3)∵|CB |＝a ＝3，|AC |＝b ＝4， 设向量CB 与CA 所成的角为θ， 则θ＝180°－C .∴CB ·AC ＝|CB |·|AC |cos θ ＝ab cos(180°－C )＝－ab cos C ＝－3×4×73＝－47. 【例3】解：在△AOB 中，设OA ＝a ，OB ＝b . 因为OA 为正西方向，OB 为东北方向， 所以∠AOB ＝135°. 又O 到AB 的距离为10，所以S △ABO ＝12ab sin 135°＝12|AB |·10，得|AB |＝220ab .设∠OAB ＝α，则∠OBA ＝45°－α. 因为a ＝10sin α，b ＝10sin(45°－α)，所以ab ＝10sin α·10sin(45°－α)＝100sin α·sin(45°－α)＝100sin α⎝⎛⎭⎫22cos α－22sin α＝10024sin 2α－24(1－cos 2α)＝4002sin(2α＋45°)－2≥4002－2. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立． 所以|AB |≥220×4002－2＝20(2＋1)． 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a ＝b ＝10sin 22°30′＝102(2＋2)时，A ，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2＋1) km. 即当A ，B 分别在OA ，OB 上离市中心O 102(2＋2) km 处时，能使A ，B 之间的距离最短，最短距离为20(2＋1) km.【变式训练3】 m cos αcos β＞n sin(α－β)解析：∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ， 所以∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BMsin(90°－α)＝m sin(α－β)，解得BM ＝m cos αsin(α－β).要使船没有触礁危险，需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin(α－β)＞n ，所以α与β满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．创新模拟·预测演练1．B 解析：由3cos x －sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝2⎝⎛⎭⎫sin π3cos x －cos π3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ， 可得sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－35. 2．C 解析：由题意0＜A ＜π，0＜B ＜π，tan A tan B ＞0，则A ，B 两角为锐角， 又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＞0，则A ＋B 为锐角，则角C 为钝角，故选C.3．B 解析：已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan α＝12，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝134＝43. 4．C 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 5．A 解析：因为b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，即cos B ＝13.6．2－5 解析：sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1 ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5－122－1＝3－5－1＝2－ 5.7．解：(1)由f (α)＝5，得3sin 2α＋23sin αcos α＋5cos 2α＝5， ∴3·1－cos 2α2＋3sin 2α＋5·1＋cos 2α2＝5.∴3sin 2α＋cos 2α＝1，即3sin 2α＝1－cos 2α⇒23sin αcos α＝2sin 2α，∴sin α＝0或tan α＝ 3.∴tan α＝0或tan α＝ 3. (2)由cos B cos C ＝b 2a －c ，得cos B cos C ＝sin B 2sin A －sin C ，则cos B ＝12，即B ＝π3.又f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋4，由0＜x ≤π3，可得12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 故5≤f (x )≤6，即所求值域是[5,6]．8．解：(1)∵函数f (x )的图象的最高点坐标为⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴A ＝2.依题意，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3 ＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝24＋7325.。
2013届高考数学三角恒等变换2
教案8 三角恒等变换一、课前检测1.（2010全国卷2理13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则t a n a = ．【答案】12-【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.【解析】由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22t a n 4t a n21t a n 3a αα==--，解得1tan tan 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-.2. （2010全国卷1文14）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .答案 247-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5α=, 所以4c o s5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7ααα==-- 3．（2010上海文19）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.解析：原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2=0．二、知识梳理1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少； ③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．三、典型例题分析例1. 化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 1c o s 22x变式训练1：已知x x x f +-=11)(，若),2(ππα∈，则+)(cos αf )cos (α-f 可化简为 ． 解：αsin 2例2．求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα+-+=变式训练2 在△ABC 中，22cos sin =+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积． 解：∵sinA ＋cosA ＝22 ①∵2sinAcosA ＝－21 从而cosA ＜0 A ∈(ππ,2) ∴sinA －cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+＝26 ②据①②可得 sinA ＝426+ cosA ＝426+-∴tanA ＝－2－3S △ABC ＝4)26(3+例3 已知tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈（0，π），求2α－β的值.解：由tanβ＝－71 β∈(0，π) 得β∈(2π, π) ① 由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31 α∈(0，π) 得0＜α＜2π ∴ 0＜2α＜π 由tan2α＝43＞0 ∴知0＜2α＜2π ②∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1 由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－43π(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值． 解：由sinα＝415α为第二象限角∴cosα＝－41 ∴)cos (sin cos 2)4sin(12cos 2sin )4sin(αααπαααπα++=+++＝αcos 221＝－2四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构3．求值常用的方法：切化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．。
2013年全国高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 理
专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·某某高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2012·某某高考，理7)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A ．35 B ．45 C ．74 D ．343．(2012·某某高考，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A ．725B ．－725C ．±725D ．24254．(2012·某某高考，理11)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.5．(2012·课标全国高考，理17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2道小题，一道大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的X 围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例１】(2012·某某某某一模，17)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β2的二倍角等；②α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活．特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；cos α＝sin 2α2sin α等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)角的合成及三角函数名的统一：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a.变式训练1 (2012·某某某某模拟，17)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交汇【例２】(2012·某某某某适用性测试一，理17)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的X 围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的X 围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2 (2012·某某某某4月调研，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．热点三 正弦定理、余弦定理的实际应用【例３】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(不要求作近似计算)规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等． 变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n kmX 围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等．【典型例题】(2012·某某高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( )．A ．35B ．－35C ．65D ．－652．△ABC 中，如果0＜tan A tan B ＜1，那么△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定3．(2012·某某某某适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A ．45B ．43C ．34D ．23 4．(2012·某某某某二模，5)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )．A ．－233B ．±233C ．－1D ．±15．(2012·某某某某一模，10)在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A ．13B ．－13C ．223D ．－2236．(原创题)已知sin x ＝5－12，则sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝______.7．(2012·某某某某模拟，18)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．8．(2012·某某某某二模，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．A 2．D 3．A 4．2π35．解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴函数f (x )的周期为2π.又∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，故函数f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13， ∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，又∵α为第二象限角，且cos α＝－13，∴sin α＝223.∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.【变式训练1】解：(1)f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6. ∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴T ＝2πω＝6π，即ω＝13.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32π－π6＝2sin π3＝ 3.(2)f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6 ＝2sin α＝－1013，∴sin α＝－513.f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65， ∴cos β＝35.∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝－1－cos 2β＝－45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.【例2】解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， ∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ， 在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12，故A ＝π3.(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2. ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B＝1＋32sin 2B －12cos 2B ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6. ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，32＜y ≤2. ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2.【变式训练2】解：(1)在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝5314，则cos C ＝cos [(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B＝－1114×12＋5314×32＝17.(2)由(1)，得sin C ＝1－cos 2C ＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314.在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝csin C，得55314＝c437，则c ＝8.故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3.【例3】解：在△AOB 中，设OA ＝a ，OB ＝b . 因为OA 为正西方向，OB 为东北方向， 所以∠AOB ＝135°.又O 到AB 的距离为10，所以S △ABO ＝12ab sin 135°＝12|AB |·10，得|AB |＝220ab .设∠OAB ＝α，则∠OBA ＝45°－α.因为a ＝10sin α，b ＝10sin(45°－α)，所以ab ＝10sin α·10sin(45°－α)＝100sin α·sin (45°－α)＝100sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝10024sin 2α－24(1－cos 2α)＝4002sin(2α＋45°)－2≥4002－2. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以|AB |≥220×4002－2＝20(2＋1)．当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a ＝b ＝10sin 22°30′＝102(2＋2)时，A ，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2＋1)km.即当A ，B 分别在OA ，OB 上离市中心O 102(2＋2)km 处时，能使A ，B 之间的距离最短，最短距离为20(2＋1)km.【变式训练3】m cos αcos β＞n sin(α－β) 创新模拟·预测演练1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．2－ 57．解：(1)由f (α)＝5，得3sin 2α＋23sin αcos α＋5cos 2α＝5，∴3×1－cos 2α2＋3sin 2α＋5×1＋cos 2α2＝5.∴3sin 2α＋cos 2α＝1，即3sin 2α＝1－cos 2α⇒23sin αcos α＝2sin 2α，sin α＝0或tan α＝ 3.∴tan α＝0或tan α＝ 3.(2)由cos B cos C ＝b 2a －c ，得cos B cos C ＝sin B 2sin A －sin C ，则cos B ＝12，即B ＝π3，又f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4，因为0＜x ≤π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 故5≤f (x )≤6，即值域是[5,6]．8．解：(1)∵函数f (x )的图象的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2.依题意，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝24＋7325.。
高考数学大二轮复习 专题三 三角函数及解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形复习指导课后强化训练-
专题三 第二讲A 组1．(2017·某某三市联考)若2sin(θ＋π3)＝3sin(π－θ)，则tan θ等于导学号 52134419( B )A ．－33B ．32C ．233D ．2 3[解析] 本题主要考查三角恒等变换．由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32，故选B ． 2．(文)如果sin α＝45，那么sin(α＋π4)－22cos α等于导学号 52134420( A )A ．225B ．－225C ．425D ．－425[解析] sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225．(理)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝导学号 52134421( C ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sin α＋2cos α＝102两边平方可得， sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，∴4sin αcos α＋3cos 2α＝32，∴4sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝32． 将左边分子分母同除以cos 2α得，3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3或tan α＝－13， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34． 3．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是导学号 52134422( B )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] ∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴cos A sin B ＝0，∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角．4．设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为导学号 52134423( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.故选A ．[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝导学号 52134424( B )A ．2 3B ．2C ． 2D ．1[解析] 由正弦定理得：a sin A ＝bsin B， ∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴1sin A ＝32sin A cos A． ∵A 为三角形的内角， ∴sin A ≠0， ∴cos A ＝32． 又0<A <π， ∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3．∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得c ＝12＋32＝2．6．(2016·某某卷)cos2π8－sin 2π8＝__22__.导学号 52134425 [解析] 由二倍角公式，得cos2π8－sin 2π8＝cos(2×π8)＝22． 7．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__153__.导学号 52134426[解析] 设三角形的三边长分别为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)·cos120°，则a ＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为S ＝12×6×10×sin120°＝153． 8．(文)(2016·高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .导学号 52134427 (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．[解析] (1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22．又0<∠B <π，所以∠B ＝π4．(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4．因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1．(理)(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，导学号 52134428(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C 可得cos C ＝12，所以C ＝π3．(2)由已知，12ab sin C ＝332．又C ＝π3，所以ab ＝6．由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25． 所以△ABC 的周长为5＋7．9．(文)(2017·某某卷，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).导学号 52134429(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值．[解析] (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b ．由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理， 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55．(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B 中，得sin B ＝a sin A 4b ＝55． 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255． 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×(－55)－35×255＝－255． (理)(2017·某某卷，15)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.导学号 52134430(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin(2A ＋π4)的值．[解析] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45．由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13．由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin B b ＝31313．所以b 的值为13，sin A 的值为31313．(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313， 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513．所以sin(2A ＋π4)＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226．B 组1．(2017·某某市一模)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝导学号 52134431( A )A ．－79B ．79C ．－29D ．29[解析] ∵cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－(1－29)＝－79． 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为导学号 52134432( D )A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac ·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D ． 3．(2017·某某第一次质检)sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝导学号 52134433( B )A ．1B ．12C ．32D ．－12[解析] 本题主要考查三角函数的和差公式．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12．4．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝导学号 52134434( B )A ．5B ． 5C ．2D ．1[解析] ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4．当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝5． 5．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则导学号 52134435( C ) A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 因为tan α＝sin αcos α＝1＋sin βcos β，去分母得sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， 所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α． 又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α故2α－β＝π2．6．(2017·某某三模)已知tan α＝2，则sin 2(π2＋α)－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝__35__.导学号 52134436[解析] ∵tan α＝2，∴sin 2(π2＋α)－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋24＋1＝35. 7．(文)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于__.导学号 52134437[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，2332＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，S ＝12×23×2＝23．(理)在△ABC 中，sin 2C ＝3sin A sin B ＋sin 2B ，a ＝23b ，则角C ＝__π6__.导学号 52134438[解析] 由正弦定理知c 2＝3ab ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3ab2ab＝a －3b 2b ＝23b －3b 2b ＝32，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6．8．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角.导学号 52134439(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． [解析] (1)因为m ∥n ，所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0．所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1．因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6．故2A －π6＝π2，A ＝π3．(2)设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ． 而b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ＋4≥2bc ，∴bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c ． 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．9．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.导学号 52134440(1)求AB 的长； (2)求cos(A －π6)的值．[解析] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35． 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin C sin B＝6×2235＝52．(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210． 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210．因此，cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620．。
【优化方案】高考数学二轮复习 专题二第二讲三角恒等变换、解三角形及其应用 理
第二讲 三角恒等变换、解三角形及其应用1．(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知sin(π2＋θ)＝35，则cos(π－2θ)＝( )A.1225 B ．－1225C ．－725 D.7252．(2013·高考湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π123．若cos(3π－x )－3cos(x ＋π2)＝0，则tan(x ＋π4)等于( ) A ．－12B ．－2 C.12D ．2 4．(2013·高考陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.17B.15C.152 D ．36．(2013·高考四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________，a ＝________． 8．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31 km 的公路上的B 处有一个人开车正沿着此公路向A 驶去，行驶20 km 到达D ，此时测得CD 距离为21 km ，若此人从D 处必须在20分钟内到达A 处，则此人的行驶速度为________．9．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值； (2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 的值．10．(2013·青岛市质检)如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝4 3，D 为BC 边上一点． (1)若AD ＝2，S △DAC ＝2 3，求DC 的长；(2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．11．(2013·高考重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α＝25，求tan α的值．答案：1．【解析】选D.依题意得sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，cos(π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos 2θ＝1－2×(35)2＝725，故选D. 2．【解析】选A.在△ABC 中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)． ∵2a sin B ＝3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B .∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3. 3．【解析】选D.由cos(3π－x )－3cos(x ＋π2)＝0，得tan x ＝13. 所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝13＋11－13＝2. 4．【解析】选B.∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形． 5．【解析】选C.∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0.即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78， 解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2× 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝152. 6．【解析】∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】 37．【解析】根据正弦定理得：bsin B ＝c sin C ，则c ＝b sin C sin B＝2 2，再由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)·(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．【答案】2 2 68.【解析】由已知得∠CAD ＝60°，CD ＝21，BC ＝31，BD ＝20，∴cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝312＋202－2122×31×20＝2331， 那么sin B ＝12331， 于是在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A＝24， 在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos 60°，即312＝242＋AB 2－24AB 解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)．因此，AD ＝AB －BD ＝35－20＝15，故此人在D 处距A 处还有15 km ，则此人的行驶速度为45 km/h.【答案】45 km/h9．【解】(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tan π4＝3＋11－3 ＝－2－ 3.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π) ＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①、②解得cos 2α＝15. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010. 10．【解】(1)∵S △DAC ＝23，∴12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12. ∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6. 在△ADC 中，由余弦定理，得DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6， ∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3， ∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin 2π3＝DC sin （π3－C ）， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin(π3－C )， ∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin(π3－C )＋4 3 ＝8(sin C ＋32cos C －12sin C )＋4 3 ＝8(12sin C ＋32cos C )＋4 3 ＝8sin(C ＋π3)＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π3， ∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3. 11．【解】(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22. 故C ＝3π4. (2)由题意得，（sin αsin A －cos αcos A ）（sin αsin B －cos αcos B ）cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25. tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22. 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22. 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得，tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。
高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理
②由 f(x)＝12sin2x－π6＝ 63，
得 sin2x－π6＝ 33，
∵x∈0，π4，∴－π6≤2x－π6≤π3，
∴cos2x－π6＝
6 3.
∴cos 2x＝cos2x－π6＋π6 ＝cos2x－π6× 23－sin2x－π6×21 ＝ 36× 23－ 33×12＝ 22－ 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑： 如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°＝
典例1
A．34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin
( A)
B．14
C．12＋
3 2
D．3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0，π2，且 3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则
sin 2α＋cos 2α＝
( A)
A．1
B．－2137
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专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做 1．(2012·广东高考，文6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )．A ．4 3B ．2 3C ． 3D ．322．(2012·上海高考，文17)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定3．(2012·江西高考，文4)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B ．34C ．－43D ．434．(2012·重庆高考，文5)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )．A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32 考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例1】(2012·山东淄博一模，17)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β2的二倍角等；②α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝sin 2α2sin α等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)角的合成及三角函数名的统一：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a .变式训练1 (2012·山东济宁模拟，17)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交会【例2】(2012·山东烟台适用性测试一，理17)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正、余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理，将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的范围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2 (2012·湖北武汉4月调研，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积． 热点三 正、余弦定理的实际应用【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ．现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号)规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等． 变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用； (3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等．(2012·福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( )． A ．35 B ．－35 C ．65 D ．－652．在△ABC 中，如果0＜tan A tan B ＜1，那么△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定3．(2012·山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A ．45B ．43C ．34D ．234．(2012·江西南昌二模，5)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )．A ．－233B ．±233C ．－1D ．±15．(2012·山东淄博一模，10)在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A ．13B ．－13C ．223D ．－2236．(原创题)已知sin x ＝5－12，则sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝______.7．(2012·湖南长沙模拟，18)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．8．(2012·广东广州二模，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．B 解析：由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2 3.2．A 解析：由sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，得a 2＋b 2＜c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．3．B 解析：因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，所以tan α＋1tan α－1＝12，解方程得tan α＝－3.于是根据倍角公式可得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34，故选B. 4．C 解析：因为sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°，所以原式＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12，故选C.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：(1)∵f (x )＝1＋cos x －3sin x＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴函数f (x )的最小正周期为2π.又∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，∴函数f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13， ∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α，又∵α为第二象限角，且cos α＝－13，∴sin α＝223.∴原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.【变式训练1】解：(1)f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6. ∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴T ＝2πω＝6π，即ω＝13.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32π－π6＝2sin π3＝ 3.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α＝－1013， ∴sin α＝－513.f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35.∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝－1－cos 2β＝－45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.【例2】解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， ∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B . 在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0，∴cos A ＝12，故A ＝π3.(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π2. ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B＝1＋32sin 2B －12cos 2B ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6. ∵π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，32＜y ≤2. ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2.【变式训练2】解：(1)在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314， ∴cos C ＝cos [(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B＝－1114×12＋5314×32＝17.(2)由(1)，得sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， sin A ＝sin(B ＋C )＝5314.在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝csin C，得55314＝c437，∴c ＝8.故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3.【例3】解：在△AOB 中，设OA ＝a ，OB ＝b . 因为OA 为正西方向，OB 为东北方向， 所以∠AOB ＝135°.又O 到AB 的距离为10，所以S △ABO ＝12ab sin 135°＝12|AB |·10，得|AB |＝220ab .设∠OAB ＝α，则∠OBA ＝45°－α.因为a ＝10sin α，b ＝10sin(45°－α)，所以ab ＝10sin α·10sin(45°－α)＝100sin α·sin (45°－α)＝100sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝10024sin 2α－24(1－cos 2α)＝4002sin(2α＋45°)－2≥4002－2. 当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以|AB |≥220×4002－2＝20(2＋1)．当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a ＝b ＝10sin 22°30′＝102(2＋2)时，A ，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2＋1)km.即当A ，B 分别在OA ，OB 上离市中心O 102(2＋2)km 处时，能使A ，B 之间的距离最短，最短距离为20(2＋1)km.【变式训练3】m cos αcos β＞n sin(α－β) 解析：∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ，所以∠AMB ＝α－β. 由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM ＝m cos αsin(α－β).要使船没有触礁危险，需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin(α－β)＞n ，所以α与β满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．创新模拟·预测演练1．B 解析：由3cos x －sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x －cos π3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－35. 2．C 解析：由题意0＜A ＜π，0＜B ＜π，tan A tan B ＞0，则A ，B 两角为锐角，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＞0，则A ＋B 为锐角，则角C 为钝角，故选C.3．B 解析：已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan α＝12，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝134＝43. 4．C 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1.5．A 解析：因为b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，即cos B ＝13.6．2－ 5 解析：sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122－1＝3－5－1＝2－ 5.7．解：(1)由f (α)＝5，得3sin 2α＋23sin αcos α＋5cos 2α＝5，∴3·1－cos 2α2＋3sin 2α＋5·1＋cos 2α2＝5.∴3sin 2α＋cos 2α＝1，即3sin 2α＝1－cos 2α⇒23sin αcos α＝2sin 2α，∴sin α＝0或tan α＝ 3.∴tan α＝0或tan α＝ 3.(2)由cos B cos C ＝b 2a －c ，得cos B cos C ＝sin B 2sin A －sin C，则cos B ＝12，即B ＝π3.又f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4，由0＜x ≤π3，可得12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 故5≤f (x )≤6，即所求值域是[5,6]．8．解：(1)∵函数f (x )的图象的最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2.依题意，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3＝24＋7325.。