05-06-2高数期末答案
2005-2006(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
2、计算积分值 u(s,t) (s,t) xdx ydy 。
(1,0) x2 y2
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zdxdydz ，其中 由曲面 z x2 y2 及平面 z 4 所围成的闭区域。
5、(1) 求变力 F (2x 3y x 2 y, x 2 y xy 2) 将圆周 L ： x2 y2 2 上的质点沿顺时针方
向移动一周所做的功。(6 分)
(2) 利 用 高 斯 公 式 计 算 (x 2 y)dydz (3y z)dzdx (3x 2z)dxdy ， 其 中 是 由 x 0, y 0, z 0 及 x y z 1在第一卦限所围成的立体的表面外侧。（6 分） 123
。
5、设 L 为连接(3, 0) 和(0,3) 两点的直线段，则 (x y)ds ＝
。
L
6、lim sin(xy) ＝
。
x y3
x
7、函数 u x2 y2 z2 在点 (1,1,1) 处沿方向 l 的方向导数是
度
。（其中l 的方向角为60o , 45o , 6
设
f
(x,
y)
( x 2
y2 ) sin
x2
1
y2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
，试讨论在点(0, 0) 处：
1、 f (x, y) 是否连续？ 2、 f (x, y) 的偏导数是否存在？ 3、 f (x, y) 是否可微？
五、证明题（5 分×2＝10 分）
1、证明曲线积分 xdx ydy 与路径无关，其中 L 为不通过原点的任一曲线。
一、填空题（2 分 7＝14 分）
1、以 a {2, 1,1} 和b {1, 2, 3} 为边的平行四边形的面积等于
05级高数(下)试题及答案
南昌大学 2005～2006学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 曲线⎧=-+⎨=⎩21z y x ，绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是.2.曲线()⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩2111x y z y 在点,,⎛⎫ ⎪⎝⎭1212处的法平面方程是.3. 设()=+22z f x y ,其中()f u 具有二阶连续导数,且()'=13f ，()''=12f ,则==∂∂2210x y z x=.4.级数∞=-∑1n nα，当α满足不等式 时收敛. 5.级数()∞=-⋅∑112nnn x n的收敛域是.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.设 a 与 b 为非零向量,则⨯=0 a b 是A. // a b 的充要条件;B. ⊥a b 的充要条件;C. = a b 的充要条件;D. //a b 的必要但非充分条件.2.平面--=3360x y 的位置是 A.垂直于z 轴; B.平行于z 轴;C.平行于xoy 面;D. 通过z 轴.3.设函数(),=⎧=⎨≠⎩0010当时当时xy f x y xy ，则下列说法正确的是A.()lim ,→→00x y f x y 存在且(),f x y 在点(),00处的两个偏导数也存在; B. ()lim ,→→00x y f x y 存在但(),f x y 在点(),00处的两个偏导数不存在;C. ()lim ,→→00x y f x y 不存在但(),f x y 在点(),00处的两个偏导数存在;D. ()lim ,→→00x y f x y 不存在且(),f x y 在点(),00处的两个偏导数也不存在; 4.曲线L 为圆周cos sin =⎧⎨=⎩33x ty t≤≤02t π,则()+⎰22 nLx yds 等于A. +⋅2123n π;B. +⋅19n π;C. ⋅63nπ; D.+⋅+211321n n . 5. 设正项级数∞=∑1n n u 收敛，则必有A. lim+→∞=<11n n nu u ρ;B. lim =>1n ρ;C. lim →∞=≠0n n u c ; D. lim →∞=0n n u . 三.（8分）在平面++=1x y z 上求一直线，使得它与直线=⎧⎨=-⎩11y z 垂直相交。
2005全国高考数学2试卷与答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国2理科卷）试题精析详解一、选择题（ 分⨯ 分）（ ）函数♐☎⌧✆♦♓⏹⌧♍☐♦⌧的最小正周期是 （✌）4π （ ）2π （ ）π （ ） π【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想【正确解答】()|sin cos ||)|f x x x x ϕ=+=+，♐☎⌧✆的最小正周期为π 选【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断，但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半 如tan y x =的最小正周期为π，但是，|tan |y x =的最小正周期也是π，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题（ ）正方体✌－✌ 中， 、✈、 分别是✌、✌、 的中点 那么，正方体的过 、✈、 的截面图形是（✌）三角形 （ ）四边形 （ ）五边形 （ ）六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理 可从 、✈在面内作直线，根据公理 ，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段【正确解答】画图分析 作直线 ✈交的延长线于☜，交 的延长☞，作直线☜交1CC 的延长线于☝，交1BB 于 ，作直线☝☞交1DD 于☟，交11C D ☟，连结❆☟✈，则过 、✈、 的截面图形CC 1G为六边形 ✈☟❆，故选 【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及 个推论是确定平面的含义，但不必深入研究 （ ）函数⍓32x － （⌧≤ ）的反函数是（✌）⍓3)1(+x ☎⌧≥－ ✆ （ ）⍓－3)1(+x ☎⌧≥－ ✆（ ）⍓3)1(+x ☎⌧≥ ✆ （ ）⍓－3)1(+x ☎⌧≥ ✆【思路点拨】本题考查反函数的求法 要求反函数的三步曲（一是反解、二是⌧、⍓对调，三是求出反函数的定义域，即原函数的值域）进行，或用互为反函数的性质处理【正确解答】解法 ：由⍓32x － ，且⌧≤ ，解得x =，其中，1y ≥-则所求反函数为⍓－3)1(+x ☎⌧≥－ ✆解法 ：分析定义域和值域，用排除法 选 【解后反思】选择题中考查反函数的解法时，一般只需验证定义域和值域即可，以达到快速高效之目的，因此，深刻理解互为反函数的概念和性质是关键，并要注意在求出反函数后注明定义域，这是求反函数必不可少的一步（ ）已知函数tan y x ω=在（－2π，2π）内是减函数，则 （✌） ＜ω≤ （ ）－ ≤ω＜（ ）ω≥ （ ）ω≤－【思路点拨】本题考查参数ω对于函数tan y x ω=性质的影响【正确解答】由正切函数的性质，正切函数tan y x =在（－2π，2π）上是增函数，而tan y x ω=在（－2π，2π）内是减函数，所以ππω-≥，即10ω-≤< 选 【解后反思】学生在解题过程中只注意到||T πω=，而容易忽略ω的符号对函数单调性的影响☎✆设♋、♌、♍、♎∈ ，若dic bi a ++为实数，则 （✌）♌♍♋♎≠ （ ）♌♍－♋♎≠（ ）♌♍－♋♎＝ （ ）♌♍♋♎【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则 【正确解答】22()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+，由dic bi a ++为实数， 所以♌♍♋♎选【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化，有助于提高运算速度 （ ）已知双曲线3622y x -＝ 的焦点为☞ 、☞ ，点 在双曲线上且 ☞ ⊥⌧轴，则☞ 到直线☞ 的距离为（✌）563 （ ）665 （ ）56 （ ）65 【思路点拨】本题主要考查双曲线的基础知识，只要依据分析双曲线的相关几何性质进行等价转化即可【正确解答】由题意知，a =b =3c =，设1F 为左焦点，2F 为右焦点，则12(3,0),(3,0),(F F M --，设所求距离为d ，则由112211||||||22MF F F MF d ⋅=⋅，得65d = 选 【解后反思】利用面积相等来求点到直线的距离应用较广，应引起重视（ ）锐角三角形的内角✌、 满足♦♋⏹✌－A2sin 1 ♦♋⏹则有 （✌）♦♓⏹✌－♍☐♦ （ ）♦♓⏹✌♍☐♦（ ）♦♓⏹✌－♦♓⏹ （ ）♦♓⏹✌♦♓⏹【思路点拨】解斜三角形问题必须注意题目所设置的情况，从已知等式的左边进行化简，产生 ✌、 的三角函数之间的关系 【正确解答】221sin 12sin 1cos 2tan cot 2tan sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2A A A A A B A A A A A A---=-===-= tan(2)2A π=+ABC ∆是锐角三角形，022A ππ∴<+<，而022B A B ππ<<∴+=，即22A B π=-sin 2sin()cos 2A B B π∴=-= 选✌ 【解后反思】解三角函数问题时，要注意角的唯一性，也就是说要将角化到同一单调区间内进行求解 这是难点也是关键之处（ ）已知点✌（3， ）， （ ， ）， （3， ） 设∠ ✌的平分线✌☜与 相交于☜，那么有CE BC λ=，其中λ等于（✌） （ ）21 （ ）－ （ ）－31 【思路点拨】本题考查平面向量的基础知识，可根据点C 的特殊位置，利用角平分线的性质，就可求☜点坐标【正确解答】由题意可知ABC 是直角三角形且30ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，30CAE ∴∠=︒，||||2||||BE AE CE CE ∴==，||3||BC CE ∴=，3λ∴=- 选 【解后反思】灵活运用相关知识是解决问题的有效手段，本题可用向量法，也可由坐标法、都要求出点 坐标，但相对来说，用平几知识比较方便（ ）已知集合 ＝ ⌧｜⌧ － ⌧－ ≤ ❝，☠⌧⌧ －⌧－ ＞ ❝，则 ∩☠为（✌） ⌧－ ≤⌧＜－ 或 ＜⌧≤ ❝ （ ） ⌧－ ＜⌧≤－ 或 ≤⌧＜ ❝（ ）｛⌧⌧≤－ 或⌧＞ ｝ （ ） ⌧⌧＜－ 或⌧≥ ＝【思路点拨】本题考查不等式的解法和集合的运算，可采用直接法，化简两集合时要注意不等式中的等号情形，防止漏点或产生多余的点【正确解答】{|47}M x x =-≤≤，{|23}N x x x =<->或，{|4237}M N x x x ∴=-≤<-<≤或 选✌【解后反思】四个二次（一元二次不等式、一元二次方程、二次函数、二次三项式）始终是高考中考查覆盖面最大的代数知识 它们之间的等价转换要借助数形结合思想处理，必须牢固地掌握（ ）点 在平面上作匀速直线运动，速度向量❖＝（ ，－ ）（即点 的运动方向与❖相同，且每秒移动的距离为 ❖个单位），设开始时点 的坐标为（－ ， ），则 秒后点 的坐标为（✌）（－ ， ） （ ）（－ ， ） （ ）（ ，－ ） （ ）（ ，－ ）【思路点拨】本题利用物理知识考查向量坐标公式的由来，借助图形正确地找出经过♦秒后点的 的位置【正确解答】由题意可得♦秒后点 的坐标为(104,103)t t -+-，♦时， 点坐标为（ ，－ ） 选 【解后反思】数学学科中各个知识点都是有定义的 定义的理解与掌握是解决一切问题的基础的基础，回归定义，理解定义是学习数学的起点，也是落脚点☎✆如果♋ ，♋ ，…♋ 为各项都大于零的等差数列，公差♎≠ ，则（✌）♋ ♋ ＞♋ ♋ （ ）♋ ♋ ＜♋ ♋ （ ）♋ ♋ ＞♋ ♋ （ ）♋ ♋ ♋ ♋【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想，最有效的办法是将数列的通项转化为首项及公差来探索其大小【正确解答】由14853,3a a d a a d =-=+得，21845459a a a a d a a =-<（0d ≠）选【解后反思】灵活运用等差数列的性质可简化运算，而对于本题等差数列来说，一般方法，即转化为首项和公差处理，是最基本的方法，要牢固掌握☎✆将半径都为 的 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（✌）3623+ （ ） 362 （ ）3624+ （ ）36234+ 【思路点拨】本题考查正四面体的性质和空间想象能力，恰当地对几何体进行分割，确定钢球的球心的位置是一关键【正确解答】由题意可知，四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公共中心，当正四面体的表面积最小时，四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体，且两个正四面体有相同的中心 把 个小球的球心连起来，得到棱长为 的正四面体，且该四面体的中心与原四面体的中心是同一点 先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比：连接中心与 个顶点，得到 个正三棱锥 底面积相等，由等体积法知，所以，该比为14而棱长为♋的正四面体的高为3a ，所以，棱长为 的正四面体，高为3，现在将其中心到侧面的距离 ，得到这个正四面体的高的最小值为3624+，选 【解后反思】选择适当的截面，把立几问题平面化☎降维✆是解决此类问题的基本思路二、填空题（ 分⨯ 分）☎✆圆心为（ ， ）且与直线 ⌧⍓相切的圆的方程为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和圆的方程的求法，只要求出点到直线的距离就求出了圆的半径【正确解答】圆心（ ，）到直线的距离为圆的半径，所以2r ==所以圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=【解后反思】解析几何主要是以代数方法研究几何问题，但并不能忽视几何性质，更确切地来说，要充分挖掘其几何性质，才能使问题解决更快、更活，如直线和圆相切，就有多种研究方法，请学习时认真总结☎✆设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则♦♋⏹α ♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉【思路点拨】本题考查三角变换能力，需要学习和体会三角变换的技巧，达到角和函数的统一 【正确解答】 2sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin sin sin 13cos 22cos 2cos 215ααααααααααααα++===+=+= 4cos 25α∴=，因为(2,2)2k k παππ∈-，所以2(4,4)k k απππ∈-，又cos20α>，所以3tan 24α=- 【解后反思】适当选择三角公式可以使问题得到简化 三角函数求值主要是考虑的是角和函数的差异，同时要注意由角的范围来确定三角函数值的符号☎✆在由数字 ， ， ， ， ， 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 整除的数共有♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉个【思路点拨】本题考查排列组合的基础知识及转化能力，注意分类讨论思想的运用【正确解答】解法 ：数字 ， ， ， ， ， 所组成的没有重复数字的四位数共有436536060300A A -=-=个，能被 整除的没有重复数字的四位数共有32542108A A -=个，所以不能被 整除的数共有 个解法 ：因为不能被 整除的四位数中，其末位不是 的倍数，所以，不能被 整除的四位数共有：132454()192C A A -=个【解后反思】“不能⑤”通常用减法可简化运算，在本题中偏偏反其道而行之 慎之！同时，解排列组合问题时要正确运用加乘原理，应把复杂的问题分成简单问题（分步、分类）做到既不重复又不遗漏（ ）下面是关于三棱锥的四个命题：① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉☎写出所有真命题的编号✆【思路点拨】本题考查三棱锥的基础知识和逻辑推理能力，理解顶点在三棱锥底面上的射影与底面三角形的关系就可解决【正确解答】如图，三棱锥P ABC -中，作PO ⊥平面ABC 于 ，作OD AB ⊥于 ，作OE BC ⊥于☜，作OF AC ⊥于☞，连结 ☜☞，则,,PDO PEO PFO ∠∠∠分别是侧面与底面所成的二面角的平面角①是正确的 因为侧面与底面所成的二面角都相等，所以，☜☞，即 是ABC ∆的中心，且底面是等边三角形，②是错误的 如PB PC AB PA ==≠，③是错误的 如果顶点在底面上的投影是底面正三角形的旁心，也是可以得出侧面积相等的结论，④是正确的 侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的外心；侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的内心，外心与内心重合的三角形是正三角形，且是三角形的中心，故填①、④【解后反思】必须深刻掌握正棱锥的定义（底面是正三角形，顶点在底面上的射影是三角形中心的三棱锥是正三棱锥）及其等价条件三、解答题☎共 小题，共 分✆（ ）（本小题满分 分）设函数♐☎⌧✆ ⌧⌧ 求使♐☎⌧✆≥ 2的⌧取值范围【思路点拨】本题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力 关键是去掉绝对值，根据(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩进行分类讨论【正确解答】由于2x y =在上是增函数，()f x ≥3|1||1|2x x +--≥ ♊ （ ）当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，所以♊式恒成立（ ）当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，♊式化为322x ≥，即314x ≤< （ ）当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，♊式无解， 综上，x 的取值范围是3[,)4+∞【解后反思】含有绝对值的问题的处理通常是去掉绝对值，其方法一般地有两种，一是讨论，二是平方 考虑到本题含有两个绝对值，讨论法较宜（ ）（本小题满分 分）已知 ♋⏹❝是各项均为正数的等差数列，●♑♋ 、●♑♋ 、●♑♋ 成等差数列，又♌⏹ na 21 ⏹⑤☎Ⅰ✆证明{}n b 为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{}n b 各项的和 31 求数列 ♋⏹❝的首项♋ 和公差♎ ☎注：无穷数列各项的和，即当⏹→∞时数列前⏹项和的极限✆【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力 本题第☎Ⅰ✆问可利用等差、等比的转化关系得以解决，难点是第（Ⅱ）问中理解题目后的注，要理解之含义【正确解答】（ ）证明：124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，2142lg lg lg a a a ∴=+，即2214a a a =⋅， 又设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111()(3)a d a a d +=+，这样 21d a d =，从而1()0d d a -= 0d ≠，10d a ∴-=，12(21)2n n n a a d d =+-=，21112n n n b a d ==⋅ 这时，{}n b 是首项112b d =，公比为12的等比数列 （ ）解：如果无穷等比数列{}n b 的公比1q =，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在因而10d a -≠，这时公比12q =，212b d =，这样{}n b 的前n 项和11[1()]22112n n d S -=-， 则11[1()]122lim lim 112n n n n d S S d →∞→∞-===-， 由13S =得公差3d =，首项13a d == 【解后反思】若正项数列{}n a 是等比数列，则{}log a n a （0a >且1a ≠）是等差数列，若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n a a（0a >且1a ≠）是等比数列，反之亦然 （ ）（本小题满分 分）甲、乙两队进行一场排球比赛、根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束 设各局比赛相互间没有影响 令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望 （精确 ） 【思路点拨】本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，理解比赛规则和互斥事件是正确理解和解决本题的难点，如打 局比赛结束，即甲 ： 赢乙，即打 场甲均赢乙【正确解答】单局比赛甲队胜乙队的概率为 ，乙队胜甲队的概率为 比赛 局结束有两种情况：甲队胜 局或乙队胜 局，因而33(3)0.60.40.28P ξ==+=，比赛 局结束有两种情况：前 局中甲队胜 局，第 局甲队胜；或前 局中乙队胜 局，第 局乙队胜，因而222233(4)0.60.40.60.40.60.40.3744P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，比赛 局结束有两种情况：前 局中甲队胜 局，乙队胜 局，第五局甲胜或乙胜，因而22222244(5)0.60.40.60.40.60.40.3756P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以ξ的概率分布为ξξ的期望3(3)4(4)5(5) 4.0656E P P P ξξξξ=⨯=+⨯=+⨯==【解后反思】在利用数学知识解决实际问题要理解实际问题与数学知识的内在联系，将实际问题数学化，而在这一过程中，必须认真读题，缜密审题，确切理解，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为数学问题 一般的解题程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答） 应用题利用数学知识并不难，难的是理解题意，建立恰当的数学模型 （ ）（本小题满分 分）如图、四棱锥 ✌中，底面✌为矩形， ⊥底面✌，✌，☜、☞分别为 、 的中点（Ⅰ）求证：☜☞⊥平面 ✌；（Ⅱ）设✌2 ，求✌与平面✌☜☞所成的角的大小【思路点拨】本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，此题属中档题 寻找平面 ✌内两条相交直线是解决第（ ）问的关键，寻找✌在平面☜☞✌内的射影解决第（Ⅱ）问难点，直觉来说，无论是条件还是结论都有运用空间向量的背景，因此，用空间向量来解应是十分简便的【正确解答】解法 ：（ ）证法 ：连结EP ，PD ABCD ⊥底面，DE 在平面ABCD 内，PD DE ∴⊥，又,CE DE PD AD BC ===， Rt BCE Rt PDE ∴∆≅∆，PE BE ∴=F 为PB 中点，EF PB ∴⊥，由三垂线定理得PA AB ⊥，所以，在Rt PAB ∆中，PF AF =，又PE BE EA ==，EFP EFA ∴∆≅∆，EF FA ∴⊥ PB 、FA 为平面PAB 内的相交直线，EF PAB ∴⊥平面 证法 ：取 ✌的中点 ，连结 ☞F 是 的中点，1//2MF AB E ∴是 的中点，1//2MF ED MDEF ∴∴是平行四边形，//MD FE PD ∴⊥平面✌，PD AD ∴⊥，又PD AD PAD =∴∆是等腰直角三角形 而 是✌的中点DM PA∴⊥底面✌是矩形，AB AD ∴⊥，由PD ⊥平面✌，得AB MD ⊥，又AB AP A MD =∴⊥平面✌EF PAB ∴⊥平面PP（ ）不放设1BC =，则1AD PD ==，2AB =，2PA =，3AC =，PAB ∴∆为等腰直角三角形，且2PB =，F 为其斜边中点，1BF =，且AF PB ⊥ PB 与平面AEF 内两条相交直线EF 、AF 都垂直，PB AEF ∴⊥平面连结BE 交AC 于G ，作//GH BP 交EF 于H ，则GH AEF ⊥平面，GAH ∠为AC 与平面AEF 所成的角，由EGC BGA ∆∆可知12EG GB =，13EG EB =，22333AG AC ==， 由EGHEBF ∆∆，可知1133GH BF ==3sin 6GH GAH AG ∴∠==，所以AC 与平面AEF 所成的角为3arcsin 6解法 ：以D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系 （ ）证明：设(,0,0)E a ，其中0a >，则11(2,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(,,)22C a A B a P F a 11(0,,)22EF =，(2,1,1)PB a =-，(2,0,0)AB a =，0EF PB ⋅=，EF PB ∴⊥ 0AB EF ⋅=，EF AB ∴⊥又PB PAB⊂平面，AB PAB⊂平面，PB AB B =，EF PAB ∴⊥平面（ ）解：由2AB BC =，得22a =，可得(2,1,0),(2,1,1)AC PB =-=-，3cos ,6||||AC PB AC PB AC PB ⋅==⋅，异面直线AC 、PB 所成的角为3arccos6211(,,),0,222AF AF PB PB AF =-∴⋅=⊥， 又PB EF ⊥，,EF AF 为平面AEF 内两条相交直线，PB AEF ∴⊥平面，∴AC 与平面AEF 所成的角为33arccos(arcsin )266π-， 即AC 与平面AEF 所成的角为3arcsin6【解后反思】三垂线定理（或它的逆定理）是立几中的十分重要的定理，在证垂直、求角等方面应用十分广泛，而用向量在求证平行、垂直，求角和距离等方面十分有效（ ）（本小题满分 分） 、✈、 、☠四点都在椭圆⌧22y 上，☞为椭圆在⍓轴上的焦点 已知→-PF 与→-PQ 共线，→-MF 与→-PN 共线，且→-PF ·→-MF 求四边形 ✈☠的面积的最小值和最大值【思路点拨】本题注意考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力和运算能力 引入参数 并用 分别表示||,||PQ MN ，构建关于 的函数，利用函数的性质就不难解决 【正确解答】如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点(0,1)F ，且PQ MN ⊥，直线MN 、PQ 中至少有一条存在斜率，不放设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点(0,1)F ，故PQ 的方程为 1y kx =+将此式代入椭圆方程得22(2)210k x kx ++-= 设,P Q 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则1x =2x =， 从而 222221212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+， 亦即22)||2k PQ k+=+ （ ）当0k ≠时，MN 的斜率为1k-，同上可推得221(1)||13()k MN k+-=+-， 故四边形面积22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k++++=⋅==++++， 令221u k k =+，得 4(2)12(1)5252u S u u+==-++因为 2212u k k =+≥，当1k =±时，2u =，169S =，且S 是以u 为自变量的增函数 所以1629S ≤<（ ）当0k =时，MN为长轴，|||MN PQ ==1||||22S PQ MN =⋅= 综合（ ）（ ）知四边形PMQN 面积的最大值为 ，最小值为169【解后反思】 、分清情况讨论（ 的存在性）中解题的先决条件，繁琐计算的正确性是顺利解题的保证 、斜率为 的直线与曲线 交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则21|||AB x x ==-作为一个模式，应该熟练掌握，便于在解题中快捷运用 、本题用特殊到一般的思想，即当 ☠与⍓轴重合时的情形考察四边形PMQN 面积，可检验解题的正确性（ ）（本小题满分 分）已知♋≥ ，函数♐☎⌧✆☎⌧ ♋⌧✆♏⌧（Ⅰ）当⌧为何值时，♐☎⌧✆取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设♐☎⌧✆在☯， 上是单调函数，求♋的取值范围【思路点拨】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数函数性质的方法及推理和运算能力 考虑到x R ∈，因此，第（Ⅰ）问()f x 的最小值就等价于求()f x 的极小值，只要利用导数按求极值的步骤进行就可以了，而第（Ⅱ）问♐☎⌧✆在☯， 上是单调函数，实质上就是在☯， 上就是()0f x '>或()0f x '<恒成立时求♋的取值范围【正确解答】（ ）对函数()f x 求导数，得22()(2)(22)[2(1)2]x x x f x x ax e x a e x a x a e '=-+-=+--令()0f x '=，得 2[2(1)2]0x x a x a e +--=，从而22(1)20x a x a +--=解得 11x a =-21x a =-，其中12x x <， 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：当()f x 在1x x =处达到极大值，()f x 在2x x =处达到极小值当0a ≥时，11x <-，20x ≥，()f x 在12(,)x x 为减函数，在2(,)x +∞为增函数， 而当0a <时，()(2)0xf x x x a e =->；当0a =时，()0f x =，所以当1x a =-()f x 取得最小值（ ）当0a ≥时，()f x 在☯上为单调函数的充要条件是21x ≥即 11a -≥，解得34a ≥； 综上，()f x 在☯上为单调函数的充要条件为34a ≥， 即a 的取值范围是3[,)4+∞【解后反思】通过导函数研究可导函数的极值、单调性已成为高考的热点，且有难度增大的趋势 挖掘0a ≥所产生的12,x x 的范围是解决本题的关键 另外，()f x m >恒成立，即比()f x 的最小值还要小；()f x m <恒成立，即比()f x 的最大值还要大。
2005—数二真题、标准答案与解析
2005 年考研数学二真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）设y(1sin x) x，则 dy |x=______ .3（ 2）曲线 y (1x) 2的斜渐近线方程为 ______ .x（ 3）1xdx______ .0 (2x 2 )1x2（ 4）微分方程 xy12 y x ln x 满足 y(1)9的解为 ______ .（ 5）当x0 时，( x) kx2与(x) 1 x arcsin x cosx 是等价无穷小，则k= ______ .（6）设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A(1,2,3)，B (123,1 22 43,1 32 93)，如果 A1，那么 B.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 7）设函数f (x)lim n 1x3n，则 f(x) 在(,) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（ 8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，" M N " 表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .（ B）F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C)F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(D)F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .[]（ 9）设函数y=y(x)由参数方程x t 22t,确定，则曲线 y=y(x) 在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是y ln(1 t)(A)1ln 23.(B)1ln 2 3 . 88(C)8ln 23.(D)8ln 2 3 .[]（ 10）设区域D {(,)x2y24,x0,y0}， f(x) 为 D上的正值连续函数，a,b 为常数，则x ya f ( x)b f ( y)f ( x)dD f ( y)(A)ab .ab.(C)( a b).a b.[] (B)2(D)2（ 11）设函数 u( x, y)( x y)(xx y (t )dt , 其中函数y) 具有二阶导数， 具有一阶导数，x y则必有2u2u2u2u(A)x2y 2 .（B ）x2y 2 .2u2u2u2 u(C)x yy 2 .(D)x yx 2 .[]（ 12）设函数 f ( x)x1,则e x 1 1(A)x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类间断点 .（ B ） x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类间断点 .(C) x=0 是 f(x) 的第一类间断点，x=1 是 f(x) 的第二类间断点 .(D)x=0 是 f(x) 的第二类间断点， x=1 是 f(x) 的第一类间断点 .[ ]（ 13）设1 ,2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1 ,2 ，则 1，A( 12) 线性无关的充分必要条件是(A)10 .(B)20. (C) 10 .(D)20 .[ ]（ 14）设 A 为 n （ n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, A *,B * 分别为 A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换 A * 的第 1 列与第 2列得 B *.(B) 交换 A * 的第 1 行与第 2行得 B *.(C)交换 A * 的第 1 列与第2列得 B * .(D) 交换 A *的第 1 行与第2 行得B * .[] 三 、解答题（本题共 9 小题，满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分 11 分）x (x t) f (t )dt0 ，求极限 lim设函数 f(x) 连续，且 f (0)x.x 0xf (x t)dt（ 16）（本题满分 11 分）如图， C 1 和 C 2 分别是 y1(1 e x ) 和 ye x 的图象， 过点 (0,1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图象 . 过2C 2 上任一点 M(x,y) 分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记 C 1 ,C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 ( x) ；C 2 ,C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y). 如果总有 S 1 ( x) S 2 ( y) ，求曲线 C 3 的方程 x( y).（ 17）（本题满分 11 分）l 与 l 分别是曲线(2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分3 2x) f ( x)dx.的切线，其交点为 ( x（ 18）（本题满分 12 分）用变量代换x cost(0 t) 化 简 微 分 方 程 (1 x 2 ) yxyy 0 ， 并 求 其 满 足y1, yx2的特解 .x 0（ 19）（本题满分 12 分）已知函数 f(x) 在 [0， 1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（ I ）存在(0,1), 使得 f ( )1 ；（ II ）存在两个不同的点,(0,1) ，使得 f () f ( )1.（ 20）（本题满分 10 分）已知函数z=f(x,y)的 全 微 分 dz 2xdx 2 ydy， 并 且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y) 在椭圆域D{( x, y) x 2y 2 1} 上的最大值和最小值 .4（ 21）（本题满分 9 分）计算二重积分x 2y 2d ，其中 D {( x, y) 0 x 1,0y 1} .1D（ 22）（本题满分 9 分）确 定 常 数a, 使 向 量 组1 (1,1, a)T, 2 (1, a,1) T ,3(a,1,1)T 可 由 向 量 组1 (1,1,a)T,2( 2,a,4)T ,3( 2, a, a)T 线性表示， 但向量组 1 ,2 ,3 不能由向量组1 ,2 ,3线性表示 .（ 23）（本题满分 9 分）1 2 3已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b, c), a,b, c 不全为零， 矩阵 B 2 4 6 （ k 为常数），且 AB=O, 求 3 6 k线性方程组 Ax=0 的通解 .2005 年考研数学二真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）设y(1sin x) x，则 dy=dx.x【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导 .【详解】方法一：y(1sin x) x=e x ln(1sin x) ，于是y e x ln(1sin x) [ln( 1sin x)x cos x] ，1sin x从而dy= y ()dx dx.x方法二：两边取对数， ln y x ln(1 sin x) ，对x求导，得1 y ln(1sin x)x cos x，y1sin x于是 y(1 sin x) x[ln( 1sin x) x cos x] ，故1sin xdyx= y ( ) dx dx.3（ 2）曲线y (1x) 2y3 x的斜渐近线方程为x.2【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.3【详解】因为 a= lim f (x)(1x)2xlim1,x x x x33b lim f ( x) ax(1 x) 2x 23，lim x2x x 于是所求斜渐近线方程为y x3.21xdx.（ 3）x 2 ) 1x20 (24【分析】作三角代换求积分即可 .【详解】令 x sin t ，则1xdx2sin t costdt0 ( 2x2 ) 1x 20 (2sin2 t ) cost=2 d cost arctan(cos ) 2 1cos2 t. 4（ 4） 微分方程 xy2 yx ln x 满足 y(1)1 的解为 y 1x ln x1x. .939【分析 】直接套用一阶线性微分方程y P( x) y Q ( x) 的通解公式：ye P ( x) dxP ( x)dxdx C] ，[ Q( x)e再由初始条件确定任意常数即可 .【详解 】 原方程等价为y2 y ln x ，x2dx2dx12于是通解为xxy e[ln x edx C ] x2[ xln xdxC]= 1x ln x1 x C 1 ，39 x 2由 y(1)1 得 C=0 ，故所求解为 y 1x ln x 1x.93 9（ 5）当 x0 时， ( x) kx 2 与(x)1 x arcsin xcosx 是等价无穷小，则 k=3 .4【分析 】 题设相当于已知 lim( x) 1，由此确定 k 即可 .( x)x 0【详解】由题设， lim( x) lim 1 x arcsin xcosx( x)kx 2x 0x 0x arcsin x 1 cos x = limxkx 2 ( 1 x arcsinxcos x )= 1 lim x arcsin x 1 cos x3 1，得 k3 .2kx 0x 24k4（6）设1, 2 , 3 均为 3 维列向量，记矩阵A ( 1, 2, 3)，B( 123,12243,13293 ) ，如果 A 1，那么 B2 .【分析 】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可 .【详解 】 由题设，有B ( 123 ,12 2 43,1 32 93)111=(1,2,3)123，149111于是有 B A 12 3 12 2.149二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 7）设函数f (x)lim n 1x3 n，则 f(x) 在(,) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出 f(x) 的表达式，再讨论其可导情形 .当 x 1 时，n3n【详解】f( )lim1x1；x n当 x 1 时， f ( x)lim n 111；n3113当 x 1 时， f ( x)lim x1) n(3n x .n xx3 ,x1,即 f ( x)1,1x1,可见 f(x) 仅在 x= 1 时不可导，故应选(C).x 3 ,x 1.（ 8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，" M N " 表示“M的充分必要条件是N ”，则必有(B)F(x) 是偶函数f(x) 是奇函数 .（ B） F(x) 是奇函数f(x) 是偶函数 .(C)F(x) 是周期函数f(x) 是周期函数 .(D)F(x) 是单调函数f(x) 是单调函数 .[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.F ( x)x C ，且F ( x) f ( x).【详解】方法一：任一原函数可表示为 f (t) dt当 F(x) 为偶函数时，有F (x) F ( x)，于是F(x)(1) F ( x) ，即 f (x) f ( x) ，也即f ( x) f ( x) ，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)xf (t) dt 为偶函数，从而为奇函数，则xf (t )dt C 为偶函数，可见(A)为正确选项.F (x)方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除 (B)、 (C);令 f(x)=x,则取 F(x)= 1 x2, 排除 (D); 故应选 (A).2（ 9）设函数y=y(x)由参数方程x t 22t ,确定，则曲线y=y(x) 在 x=3 处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)1ln 23.(B)1ln 23 .88(C) 8ln 2 3.(D) 8ln 2 3 .[ A ]【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值， 进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标 .【详解 】 当 x=3 时，有 t 22t3 ，得 t 1, t 3 （舍去，此时 y 无意义），于是dy 1 1，可见过点 x=3( 此时 y=ln2) 的法线方程为：1 tdxt12t 2t 18y ln 2 8( x 3) ，令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为：1ln 2 3, 故应 (A).8（ 10）设区域 D{( x, y) x 2y 2 4, x0, y0} ， f(x) 为 D 上的正值连续函数， a,b 为常数，则a f ( x)b f ( y)f ( x) f ( y) dD(A)ab . (B)ab (C)( a b) .ab[ D ]2 .(D).2【分析 】 由于未知 f(x) 的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的 . 本题可考虑用轮换对称性 .【详解 】 由轮换对称性，有a f ( x)b f ( y)d a f ( y) b f ( x)f (x)f ( y)f ( y)d DDf (x)1a f ( x)b f ( y)a f ( y)b f ( x)=[f (x)f ( y)f ( y) f (x) ]d2 D=a2b da b 1 22ab . 应选 (D).D2 42（ 11）设函数 u( x, y)( xy)( x y)x y (t) dt ,x y其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有2u2u2u2u(A)x2y 2 .（B ）x2y 2 .2u2u2u 2 u(C)x yy 2 .(D)x yx 2 .[ B ]【分析】先分别求出2u 、 2u 、2u，再比较答案即可 .x 2y 2x yu(x y)(x y)(x y)( x y) ，【详解】因为xu(x y)(x y)(x y)( x y) ，y于是2 u(x y)(x y)(x y)(x y) ，x22u( x y)( x y)( x y)( x y) ，x y2 u( x y)(x y)(x y)(x y) ，y 2可见有2u 2 u，应选 (B).x2y 2（ 12）设函数 f ( x)1, 则xe x 11(B)x=0,x=1 都是 f(x) 的第一类间断点 .（ B ）x=0,x=1 都是 f(x) 的第二类间断点.(C)x=0 是 f(x) 的第一类间断点，x=1 是 f(x) 的第二类间断点.(E) x=0 是 f(x) 的第二类间断点，x=1 是 f(x) 的第一类间断点.[ D]【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x) 在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且lim f (x)，所以x=0为第二类间断点；x 0l i mf ( x) x 10， limf()1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).x 1x（ 13）设 1 ,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1, 2 ，则 1 ，A(1 2 )线性无关的充分必要条件是(A)10.(B)20. (C)10 .(D)2 0 .[ B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令k11k2 A( 1 2 )0 ，则k1 1k2 1 1k2 2 20 ， ( k1k2 1)1k2 2 20 .由于1 , 2 线性无关，于是有k1k2 10,k0.当20时，显然有 k10, k2 0 ，此时1，A(12 )线性无关；反过来，若1，A( 12)线性无关，则必然有2 0(,否则，1与A( 12)=11线性相关 )，故应选 (B).由于 [1,A(12)] [1,11 22][1,21方法二：]012，1可见1，A( 12 ) 线性无关的充要条件是010. 故应选(B).22（ 14）设A为n（n 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵B,A*, B*分别为A,B的伴随矩阵，则(B)交换 A*的第1列与第2列得 B*.(B) 交换A*的第 1行与第 2行得B*.(C)交换 A*的第1列与第2列得B*.(D) 交换A*的第 1行与第 2行得B*.[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 .【详解】由题设，存在初等矩阵E12（交换n阶单位矩阵的第1行与第 2 行所得），使得E12A B，于是B*(E12 A)*A* E*12A*E12E121A* E12，即A* E12B*,可见应选(C).三、解答题（本题共9 小题，满分94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分11 分）x(x t) f (t )dt设函数 f(x) 连续，且f (0)0，求极限lim xf (x .x0x0t)dt【分析】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.xf ( x t )dt x t u 0du)x【详解】由于 f (u)( f (u)du ,于是0x0xt) f (t)dt x f (t) dt x( x x tf (t )dt lim 0x lim0x0x 0 x f ( x t )dt x 0x0f (u)duxf (t)dt xf ( x)xf (x)x f (t )dt= lim0x= lim x0x0 f (u)du xf ( x)x0 f (u)du xf ( x) 00xf (t)dtxf (0) 1= limx=.xf (u)duf (0)f (0) 2f (x)x（ 16）（本题满分 11 分）如图， C 1 和 C 2 分别是 y1(1 e x ) 和 ye x 的图象， 过点 (0,1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图象 . 过2C 2 上任一点M(x,y) 分别作垂直于 x轴和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记 C 1 ,C 2 与 l x 所围图形的面积为 S 1 ( x) ；C 2 ,C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y). 如果总有 S 1 ( x)S 2 ( y) ，求曲线 C 3 的方程 x( y).【分析 】 利用定积分的几何意义可确定面积 S 1 (x), S 2 ( y) ，再根据 S 1 (x) S 2 ( y) 建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解 】 如图，有x1(1 e t)] dt 1 (e xS 1 (x)[e tx 1) ，0 22S 2 ( y)y(t))dt ，(ln t1由题设，得1 (e x x 1) y(ln t (t)) dt ， 121 ( y而 y e x ，于是 ln y 1) y (ln t (t ))dt12两边对 y 求导得1(1 1 ) ln y ( y) ，2 y故所求的函数关系为：x( y) ln yy 1.2 y（ 17）（本题满分 11 分）如图，曲线 C 的方程为 y=f(x) ，点 (3,2)是它的一个拐点，直线l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点 (0,0)与 (3,2)处3 2x) f ( x)dx.的切线，其交点为 (2,4). 设函数 f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分( x【分析】 题设图形相当于已知 f(x) 在 x=0 的函数值与导数值， 在 x=3 处的函数值及一阶、 二阶导数值 .【详解 】 由题设图形知， f(0)=0, f (0)2 ; f(3)=2, f (3)2, f (3) 0.由分部积分，知3 x) f(x)dx3x)df ( x) ( x2x) f 3 3( x)( 2x 1)dx (x2( x2(x)f31)df ( x)(2 x 1) f 3 3( x)dx= ( 2x( x)2 f= 162[ f (3) f (0)]20.（ 18）（本题满分12 分）用变量代换 x cost(0t)化简微分方程 (1 x2 ) y xy y0，并求其满足y1, yx 02的特解.x 0【分析】先将 y , y转化为 dy , d 2 y，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.dt dt 2【详解】dy dt1dyydt dx sin t，dtydy dt cost dy1 d 2 y1dt dx[2t dt sin t dt2 ] () ，sin sin t代入原方程，得d 2yy0 . dt2解此微分方程，得y C1 c o ts C2 si nt C1 x C2 1 x 2，将初始条件 yx 01, yx2代入，有 C12,C21.故满足条件的特解为y2x 1 x 2 .（ 19）（本题满分12 分）已知函数 f(x) 在 [0， 1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（ I）存在(0,1),使得 f ()1；（ II ）存在两个不同的点,(0,1) ，使得 f ( ) f() 1.【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（ I）令F (x) f ( x) 1 x ，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0, 于是由介值定理知，存在(0,1), 使得 F ( ) 0，即 f ( ) 1.（II）在[ 0,]和 [,1] 上对使得 f ( ) f () f (0) ，f0f(x) 分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0, ),( ,1) ，f (1) f ( )( )1于是f ( ) f () f () 1 f ( ) 1 1.11（ 20）（本题满分10 分）已知函数z=f(x,y)的全微分 dz2xdx 2 ydy ，并且f(1,1,)=2.求f(x,y) 在椭圆域D {( x, y) x2y 21} 上的最大值和最小值.4【分析】根据全微分和初始条件可先确定f(x,y) 的表达式 . 而 f(x,y) 在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】由题设，知f2x ，f2 y ，x y于是 f (x, y)x 2 C ( y) ，且 C ( y) 2 y ，从而C( y)y 2 C ，再由 f(1,1)=2 ，得 C=2, 故 f (x, y) x2y2 2.令f0,f0 得可能极值点为x=0,y=0.且A 2 f 2 ，B 2 f(0,0)0 ，x y x2(0,0)x y2fCy2(0,0)2 ，B 2AC40 ，所以点(0,0)不是极值点，从而也非最值点 .再考虑其在边界曲线x2y 2 1 上的情形：令拉格朗日函数为4F (x, y, ) f ( x, y)( x2y 21) ，4F x f2x2(1) x0, x解F y f y 2 y1y0,y2y 22F x210,4得可能极值点x0, y2, 4 ；x0, y2, 4 ；x 1, y0,1；x1, y0, 1. 代入 f(x,y) 得f (0,2)2, f (1,0) 3 ，可见z=f(x,y)在区域 D{( x, y) x 2y 21}内的最大值为3，最4小值为 -2.（ 21）（本题满分 9 分）计算二重积分x2y2d，其中D{( x, y) 0 x1,0y 1}.1D【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记D1{( ,)x2y21,( ,)}x y x y D ，D 2{( x, y) x 2y 2 于是x2y 2 1d =( x2yDD 12d1 21)rdr= (r1, (x, y)D} ，2 1)dxdy( x 2 y 2 1)dxdyD 2( x 2y 2 1) dxdy(x 2y 2 1)dxdyDD 11dx 1y21)dy2 d1 1) rdr =1 . = +0 ( x 2 (r284 3（ 22）（本题满分 9 分）确定常数a, 使向量组1(1,1, a)T ,2(1, a,1) T , 3(a,1,1)T可由向量组1 (1,1,a)T, 2 ( 2,a,4)T,3( 2, a, a)T线性表示， 但向量组1 ,2 ,3 不能由向量组1, 2, 3线性表示 .【分析 】向量组1 ,2 ,3 可由向量组1 ,2 ,3 线性表示，相当与方程组：ix 11x 22x 3 3 ,i 1,2,3.均有解，问题转化为r (1,2 ,3 ) = r (1 ,2 ,3i ), i 1,2,3 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可 . 而向量组1 ,2 ,3 不能由向量组1 ,2 ,3 线性表示，相当于至少有一个向量 j ( j1,2,3) 不能由1 ,2 ,3 表示，即至少有一方程组jx1 1x2 2x 3 3 , j 1,2,3，无解 .【详解】 对矩阵 A(1 ,2 ,31 ,2 ,3 ) 作初等行变换，有12 2 1 1 a A(1,2,31, 2, 3)= 1a a 1 a 1a4 a a1 1122 11a 0 a 2 a 2 0 a 10 4 2a3a0 1 a 1 a122 1 1 a0 a 2 a2 0 a1，a43(1 a) 1 a12 2 1 1 2当 a=-2 时，A00 0 0 3 0 ,显然2 不能由1 ,2 ,3 线性表示，因此 a2 ；633当 a=4 时，1 2 2 1 1 4A06 6 0 3 0 ，然 2, 3均不能由1 ,2 ,3 线性表示，因此 a4 .93而当 a2 且 a4 时，秩 r (1, 2, 3 )3 ，此时向量组1, 2 , 3 可由向量组 1, 2, 3线性表示 .11 a 1 22又B (1,2,31, 2, 3)1 a 1 1 a aa1 1 a4a1 1 a1 220 a 1 1 a 0a 2 a 20 1 a 1 a 2 0 4 2a3a1 1 a 12 20 a 1 1 a 0a 2a 2 ，2 a a 20 6 3a 4a2由题设向量组1 ,2 ,3 不能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示，必有 a 1 0 或 2 a a 2 0 ，即 a=1 或a 2 .综上所述，满足题设条件的 a 只能是： a=1.（ 23）（本题满分 9 分）1 2 3已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a,b, c), a,b, c 不全为零， 矩阵 B 2 4 6 （ k 为常数），且 AB=O, 求 3 6 k线性方程组 Ax=0 的通解 .【分析 】 AB=O, 相当于告之 B 的每一列均为 Ax=0 的解，关键问题是 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解 】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 r ( A)r ( B) 3.（ 1）若 k9 , 则 r(B)=2, 于是 r(A) 1, 显然 r(A) 1, 故 r(A)=1.可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：13x k 1 2k 2 6 , k 1 , k 2 为任意常数 .3k(2) 若 k=9 ，则 r(B)=1, 从而 1 r ( A) 2.11）若 r(A)=2,则Ax=0的通解为：x k1 2 ,k1为任意常数.32）若r(A)=1, 则Ax=0的同解方程组为：ax1bx2cx30 ,不妨设a0 ,则其通解为b ca ax k11k 20, k1 , k2为任意常数.01。
2005—数二真题、标准答案及解析
2005—数二真题、标准答案及解析2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则|x dy π==______ .（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为______ .（3）=--⎰1221)2(xx xdx ______ .（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为______ . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与xx x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ______ .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnn x x f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是 (A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D)32ln 8+.[ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y xy x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()( (A)πab . (B)π2ab . (C)π)(b a +. (D)π2ba + .[ ]（11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. （B ）2222yux u ∂∂=∂∂.(C)222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222xuy x u ∂∂=∂∂∂.[ ]字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim 0⎰⎰--→x x x dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y +=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线xl 和yl . 记21,C C 与xl 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与yl 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x，并求其满足2,10='===x x y y 的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分） 已知函数z=f(x,y) 的全微分ydyxdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βTa a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy=dxπ- .【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e+，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为23+=x y . 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim 23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y （3）=--⎰1221)2(x x xdx 4π . 【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰10221)2(xxxdx⎰-22cos )sin 2(cos sin πdttt tt=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t ttd（4） 微分方程xx y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx=2191ln 31xC x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（5）当0→x 时，2)(kx x =α与xx x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= 43 . 【分析】 题设相当于已知1)()(lim 0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，2cos arcsin 1lim)()(lim kx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim2x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 2==-+→k x x x x x ，得.43=k （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα，于是有.221941321111=⨯=⋅=A B二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnn x x f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→nnn x x f ；当1=x 时，111lim)(=+=∞→nn x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xxx f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 (B) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[ A ]【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=x C dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A). （9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C)32ln 8+-. (D)32ln 8+.[ A ]【分析】 先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】 当x=3时，有322=+t t，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是81221111=++===t t t t dxdy，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：)3(82ln --=-x y ，令y=0, 得其与x 轴交点的横坐标为：32ln 81+, 故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y xy x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f aD)()()()((A)πab . (B)π2ab . (C)π)(b a +. (D) π2ba + .[ D ]【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.【详解】 由轮换对称性，有 =++⎰⎰σd y f x f y f b x f aD)()()()(σd x f y f x f b y f a D⎰⎰++)()()()(=σd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D⎰⎰+++++])()()()()()()()([21=.2241222ππσba b a d b a D+=⋅⋅+=+⎰⎰ 应选(D).（11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. （B ）2222yux u ∂∂=∂∂.(C)222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222xuy x u ∂∂=∂∂∂.[ B ]【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22y u ∂∂、yx u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ， )()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ，于是 )()()()(22y x y x y x y x xu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， )()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ，)()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，可见有2222yux u ∂∂=∂∂，应选(B).（12）设函数,11)(1-=-x x ex f 则(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ]【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ∞=→)(lim 0x f x ，所以x=0为第二类间断点；)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1-=-→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ.(D) 02=λ.[ B ]【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则22211211=++αλαλαk k k ，)(2221121=++αλαλk k k .由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -.[ C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得BA E =12，于是12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim 0⎰⎰--→x x x dtt x f x dtt f t x【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】 由于⎰⎰⎰=-=-=-0)())(()(xxxu t x duu f du u f dt t x f ,于是⎰⎰⎰⎰⎰-=--→→xx xx x xx duu f x dtt tf dt t f x dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim)()()(lim=⎰⎰+-+→xxx x xf du u f x xf x xf dt t f 0)()()()()(lim =⎰⎰+→xx x x xf du u f dtt f 0)()()(lim=)()()(limx f x duu f x dtt f x xx +⎰⎰→=.21)0()0()0(=+f f f （16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21xe y +=和xe y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线xl 和yl . 记21,C C 与xl 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与yl 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再根据)()(21y Sx S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系. 【详解】 如图，有 ⎰--=+-=x x t t x e dt e e x S 01)1(21)]1(21[)(，⎰-=ydtt t y S 12))((ln )(ϕ，由题设，得⎰-=--y xdtt t x e 1))((ln )1(21ϕ，而xe y =，于是⎰-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21ϕ 两边对y 求导得)(ln )11(21y y yϕ-=-，故所求的函数关系为：.21ln )(yy y y x --==ϕ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2,.0)3(,2)3(=''-='f f由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+3303022302)12)(()()()()()()(dxx x f x f x x x f d x x dx x f x x=dxx f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-33030)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f （18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x，并求其满足2,10='===x x y y的特解.【分析】 先将y y ''',转化为22,dt y d dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.【详解】 dtdy t dx dt dt dy y sin 1-=⋅='，)sin 1(]sin 1sin cos [222tdt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -⋅-=⋅'=''，代入原方程，得022=+y dtyd .解此微分方程，得 221211sin cos x C x C t C t C y -+=+=，将初始条件2,10='===x x y y 代入，有1,221==C C . 故满足条件的特解为.122x x y -+=（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是.1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f（20）（本题满分10分） 已知函数z=f(x,y) 的全微分ydyxdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】 由题设，知 x x f2=∂∂，y yf2-=∂∂， 于是 )(),(2y C x y x f +=，且yy C 2)(-='，从而 Cy y C +-=2)(，再由f(1,1)=2，得 C=2, 故.2),(22+-=y x y x f令0,0=∂∂=∂∂y f x f 得可能极值点为x=0,y=0. 且2)0,0(22=∂∂=xfA ，)0,0(2=∂∂∂=yx fB ，2)0,0(22-=∂∂=yf C ，42>=-=∆AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为)14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ，解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y xλλλλλ得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D∈≤+=， }),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是 σd y xD⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x⎰⎰-++2)1(22D dxdyy x =⎰⎰--221)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdyy x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π （22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βTa a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.【分析】向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示，相当与方程组：3,2,1,332211=++=i x x x i βββα.均有解，问题转化为),,(321βββr =3,2,1),,,(321=i r i αβββ 是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可. 而向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，相当于至少有一个向量)3,2,1(=j jβ不能由321,,ααα表示，即至少有一方程组3,2,1,332211=++=j x x x j αααβ，无解.【详解】 对矩阵),,,,(321321αααβββ =A 作初等行变换，有),,,,(321321αααβββ =A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11411111221a a a a a a a→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-++--a a a a a a a a 110324001022011221→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----++--a a a a a a a 1)1(3040001022011221 ，当a=-2时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----330600030000211221 , 显然2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当a=4时，→A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----390000030660411221 ，然32,αα均不能由321,,βββ线性表示，因此4≠a .而当2-≠a 且4≠a 时，秩3),,(321=βββr ，此时向量组321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示.又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321 βββααα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++----→a a a a a a a a a 3240110220110221112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--++----→24360200220110221112a a a a a a a a a ，由题设向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有1=-a 或022=--aa ，即a=1或2-=a .综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r 1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax,不妨设0≠a ,则其通解为 2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.。
2005年《高数二》答案
2005年高数（二）答案（A 卷）一．填空题：(每空格5分，共40分)1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，2．21， 3．（1）0y =， （2）2x = 4．1,0-==b a ，5．（1）y x r 2-， （2）xy23.三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,每小题7分，共70分）1．解 ：令)1ln (ln 2+-=x x x y ， （3分）则xx x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--= （7分） 2．解：)43(432'-=-=x x x x y ，驻点为34,021==x x （2分）（法一） 46''-=x y ，04)0(''<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分） 04)34(''>=y ， 275)34(-=y （极小值）. （7分）（5分）当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分）3．解：（法一）利用莱布尼兹公式x e x x dxfd ]66[233++= （7分） （法二）xe x x xf )2()(2'+=， （3分）xe x x xf )24()(2''++=， x e x x x f)66()(2)3(++= （7分）4．解：)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1lim 1-+→x e x x ＝1+=e5．解：⎰+dx e x211＝=+-+⎰dx e e e x x x 22211 (3分) ++-=)1ln(212x e x C （7分）6. 解：⎰-+12)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x ex x x x 1102)12()2( （3分）＝2－⎰+1)12(dx e x x＝2－)13(-e +12x e =＝e e e -=-+-12233。
05年《高等数学》试题及答案
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x解： ⇒-x e x~12~12x ex -,应选B.4.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 得分 评卷人6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为 （ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ）A. 1)]([+n x f nB. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='',⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B. 11.曲线xe y 1-= （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C. 12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ） A.t a b 2sin B.ta b32sin -C.t a b 2cos D.t t a b22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx ex f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （ ）A.0B.⎰adx x f 0)(2 C.⎰--aadx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaa aa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121 B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21 解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰a x dt t f )(是)(x f -的一个原函数D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰ba dx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz ∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln= ，则=)2,1(dz （ ） A.dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+ 解：dy ydx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln-=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ） A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dyC.⎰⎰422),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (ardr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f d C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θc o s 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，则=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1 解：L ：,2⎩⎨⎧==xy x x x 从0变到1 ,14222104131332===+=+⎰⎰⎰xdx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n nnC ．∑∞=-121)1(n n n D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B. 28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛B ． 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数)(212n n n v u+∑∞=收敛C ． 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛D ． 若级数∑∞=1n nn vu 收敛，则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n n v都收敛解：正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛，而)(2)(222n n n n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。
05-06(2)高等数学试题(A)解答
广州大学2005-2006学年第二学期考试卷高等数学（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分20分）1. 设y x xy z sin -=, 则=∂∂x zy x y cos -，=∂∂∂y x z 22cos 1yx +. 2. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的法向量=n)2,4,2(,切平面方程为62=++z y x . 3. =⎰⎰x dy y x dx 02110=⎰145dx x 1.4. 幂级数∑∞=+0)1(2n n nn x 的收敛半径=R 2, 收敛域∈x )2,2[-.5. 微分方程065=+'-''y y y 的通解为=y x xe C eC 3221+，微分方程xxe y y y 265=+'-''的待定特解形式为=*y xeb ax x 2)(+.学院专业 班级姓名二．选择题 (每小题2分, 本大题满分10分)1. ),(y x f 在点),(00y x 连续是偏导数),(00y x f x 和),(00y x f y 存在的( D ). (A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.2. =→→x xyy x sin lim20( B ).(A) 1; (B) 2; (C) 21; (D) ∞.3. 设L 为曲线2x y =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧, 则⎰=Lds y ( C ).(A) ⎰+10241dx x; (B)⎰+141dy y ; (C) ⎰+1241dx x x ; (D)⎰+11dy y ;4. 下列级数条件收敛的是( A ). (A)∑∞=-1)1(n nn ; (B) ∑∞=-12)1(n n n; (C) ∑∞=-12)1(n nn ; (D) ∑∞=-1)2(n nn .5. 方程0)(223=++dy x y xydx 是( D ).(A) 可分离变量的微分方程; (B) 一阶齐次微分方程; (C) 一阶线性微分方程; (D) 全微分方程.三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1. 求)2,(2y x xy f z +=的偏导数和全微分(其中(,)f u v 具有连续偏导数).解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212f f y '+'=.............................................................3分 yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212f y f x '+'=……………………………………...5分 dy f y f x dx f f y dy yzdx x z dz )2()2(2121'+'+'+'=∂∂+∂∂=……………….…7分2. 已知),(y x f z =是由方程y x z e z2sin =+确定的隐函数, 求x z ∂∂和22x z∂∂.解 记y x z e F z 2sin -+=，则xy F x 2-=，z e F zz cos +=……………2分ze xy F F x z z z x cos 2+=-=∂∂…………………………………………………….4分 22x z ∂∂2)c o s ()s i n (2)c o s(2z e z z e xy z e y z x z z +--+=…………………………….…6分 3222)cos ()sin (4)cos (2z e z e y x z e y z z z +--+=……………………………...7分3. 求2(,)32ln 2y f x y x xy x =+--的极值. 解 令 2300xy f y xf y x ⎧=--=⎪⎨⎪=-=⎩， 得驻点 (1,1),(2,2)……………………………………………………………...3分 22xx A f x==，1xy B f ==-，1yy C f ==1222-=-=xB ACD ……………………………………………………4分在点(1,1)处，01>=D ，且20A =>，5(1,1)2f =为极小值………………6分在点(2,2)处，021<-=D ，(2,2)f 不是极值………………………………..7分四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1. 设二次积分⎰⎰-=22021),(x x dy y x f dx I . 1) 画出二次积分I 中的积分区域D ;2) 改换二次积分I 的积分次序; 3) 将二次积分I 化为极坐标形式的二次积分. 解 1）作图从略…………………………………………………………………2分 2） ⎰⎰-+=21111),(y dx y x f dy I ………………………………………………..4分 3） ⎰⎰=θθπρρθρθρθcos 2sec 4)sin ,cos (d f d I ………………………………..7分2. 计算22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的有界闭区域. 解22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰=⎰⎰⎰Ωθρρdz d d 3……………………………………..2分⎰⎰⎰=22320202ρπρρθdz d d ………………………………………………………4分⎰-=253)22(2ρρρπd …………………………………………………….….6分π316=………………………………………………………………………….7分3. 计算曲线积分=I ⎰+-Ldy x dx y xy 22)2(, 其中L 是由曲线21x y -=与x轴所围区域D 的正向边界曲线. 解 由格林公式得 ⎰⎰=D ydxdy I 2………………………………………………………………..3分⎰⎰--=210112x y d ydx …………………………………………………………5分 ⎰--=112)1(dx x ……………………………………………………………..6分34=…………………………………………………………………………..7分五．解答下列各题（本大题满分14分）1. (本题6分)1）判别级数∑∞=12n nn的敛散性； 2）判别级数∑∞=12cos 2n n nn 是绝对收敛, 条件收敛, 还是发散?解 1） 记n n nu 2=，因 121l i m 1<=+∞→nn n u u …………………………………...2分所以级数∑∞=1n nu收敛……………………………………………………………….3分2） 因n nn u nn v ≤=|2cos 2|……………………………………………………....4分 而级数∑∞=1n nu收敛，由比较审敛法知级数∑∞=1n nv收敛…………………………...5分原级数绝对收敛……………………………………..…………………………......6分2. (本题8分)将函数x xx f -+=11ln )(展开成x 的幂级数, 并求级数∑∞=-1)12(41n n n 的和.解 +-+++-=+-nn x n x x x x 132)1(32)1l n (，（11≤<-x ）………..2分------=-n x n x x x x 132)1l n (32，（11<≤-x ）…………….3分xxx f -+=11ln )()1l n ()1l n (x x --+=…………………………………….4分)1213(2123 +-+++=-n x n x x ，（11<<-x ）…………..…5分∑∞=-1)12(41n nn 12121)12(121-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑n n n ……………………………………………………..6分 3ln 41)21(41==f ……………………………………………………………8分六．解答下列各题（本大题满分14分）1. (本题6分) 求微分方程2)2(221-=--x y x dx dy 的通解. 解 通解为⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=C dx dx x x dx x y )21exp()2(2)21exp(2……………...3分 ⎰+--=])2(2)[2(C dx x x ……………………………………………...5分 )2()2(3-+-=x C x …………………………………………………….6分2. (本题8分)设L 是一条平面曲线, 其上任意一点)0)(,(>x y x P 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距, 且L 过点)0,21(. 求曲线L 的方程. 解 设曲线L 上点),(y x P 处的切线方程为)(x X y y Y -'=-.................................................1分令0=X 得该切线在y 轴上的截距为y x y '-………………………………….2分由题设知 y x y y x '-=+22……………………………..3分令x yu =, 方程化为 xdxu du -=+21…………………………………..4分 解得 C y x y =++22………………………………6分由L 过点)0,21(, 求得21=C ……………………………………………………7分 于是曲线L 的方程为 2122=++y x y即 y x -=41………………………………………..8分。
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高等数学05-06-2（A 、B ）期末试卷（A 、B ）参考答案及评分标准 06。
1。
19
一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1（3）．1
3；2（1）．112x -；3（4）．1(1ln )x y +；4（6）．2sin 1x π+-；5．1e 3
+；6（8）．0；
7（2）．1x ⎰；8（9）．1,2--；9（7）．非充分非必要。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）
1．令2
22
01,()sin 2x x t u f x u -==⎰， ()sin f x x x '= 2．22222e 1e 11e 11d d d arctan d4e e 4e 4e 422814e
x x x x x x x x x x x ---=-=+++++⎰⎰⎰⎰ （2分+2分）()21e 1arctan ln 14e 228
x x C -=+++
3（4）．0x π
⎰0cos sin d 2x x x π
π=⎰20
cos sin d x x x ππ=⎰ 2
π= 4（3）．令1x
t =，110+∞=⎰⎰10=⎰ (
1
0ln 1ln(1t =-=
三．（本题满分9分）设00(,)x y 为切点，0001()21,,2y x bx x b '=-=-=
2001,a bx x -=-+
114a b
+= 2220()2()d 2(1)2a V a a bx x a a b πππ=-==- 令2()2(23)0,3V a a a a π'=-==， 当203a <<时，()0V a '>，当23
a >时，()0V a '<，23a =是唯一的极大值点，因而是最大值点，34
b =。
四．（本题共2小题，满分14分）
1．（本题满分6分）222e x y xy x -'+= ，22
2e e x x y C x --=+ 2．（本题满分8分）212e
x y C C =+ ，解2y y x '''-=得一特解*1(1)4x x y +=-，解22e x y y '''-=得一特解*221e 2x y x = ，2212(1)1e e 42
x x x x y C C x +=+-+ ，
由9(0)2,(0)4y y '==得122121192,2,1424
C C C C C +=-+===， 21(1)1e 124x x x y x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭
五．（本题满分7分）（1）设()ln ,(e)e 0,()ln 0f x x x u f u f u u u u =-=-<=-> ()1ln 0,()f x x f x '=+>严格单增，所以方程ln x x u =存在唯一实根()x u 。
（2）1ln ()ln e (),00,()x u u x u u u x u u u
<<<=<→→+∞，1lim 0()u x u →+∞= ln ln ln 1ln ()ln (),1ln ln ()ln ln ln u u u u x u u x u u u x u u u u -><⋅=<=，ln ln ln lim 1ln u u u u
→+∞-= 1lim
1()ln u u x u u →+∞⋅= 六．（本题满分6分）设k 为正整数，1111,212121
k x k k x k <≤+≤<+--， 三边积分得1111d 212121
k k x k x k +<<+--⎰， 左边关于1,2,,1k n =- 相加得：
11111d 352121
n x n x +++<=--⎰ ，右边关于1,2,,k n = 相加得： 1
111111d 352121
n x n x +++++>=--⎰ 所以 111
113521n ++++<+-。