高中数学人教版必修第二章数列单元测试卷(A)
高中数学第二章数列章末测试题(A)新人教版必修5
【高考调研】2015年高中数学 第二章 数列章末测试题（A ）新人教版必修5、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .已知a n = cos n n,则数列｛a n ｝是（ ）A .递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列答案 D2 .在数列2,9,23,44,72 ，…中，第6项是（ ）A . 82 B. 107 C. 100 D. 83答案 B3.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,若S a = 2, 10,则S 等于（ ）A . 12 C. 24 答案 C2a i + d = 2,13解析 思路一：设公差为d ,由题意得解得a 1= ,.则6a 1 4a 1 + 6d = 10,42+ 15d = 24.思路二：S, S 4- S 2, S 6-S 4也成等差数列，贝y 2( S — S) = S 6- S+ S 2,所以 3S — 3$=24.24.数列｛a n ｝中，a 1 = 1,对所有n 》2,都有aoa s …a n = n ,则a 3+ a 5=( )61 25 A. ' B — 16 9 2531 C .—D.— 1615答案 A5.已知｛a n ｝为等差数列，a 2 + a s = 12, 则a 5等于（ ）A . 4 B. 5 C. 6D. 7答案 C解毎*析 由等差数列|的丿性质可 牛仃a ?+ a sB. 18 D. 42解析由等差数列口JI土质可知a2、a5、a s也成等差数列，故a5 — 2 一6,故选C答案 A答案 B 解析a + a 3+ a 5= 105, a 2 + a 4 + a 6 = 99,3a 3= 105,3 a 4= 99,即 a 3 = 35, a 4= 33.a 1 = 39, d =— 2,得 a n = 41 — 2n .令 a n = 0 且 a n +1<0, n € N ,则有 n = 20.故选 B.8.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为 S.若a 1=— 11, a 4+ & = — 6，则当S n 取最小值时，n 等于()A . 6 B. 7 C. 8 D. 9答案 A 解析设等差数列｛a n ｝的公差为 d ,T a 4+ a 6=— 6,「. a 5= — 3，— d =〔 = 2,「. a?= —1v 0, a 7= 1>0，故当等差数列｛刘的前n 项和S 取得最小值时，n 等于6.9.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S,且4a 1,2a 2, a 3成等差数列.若a= 1，则$等于（）A . 7 B. 8 C. 15 D. 16答案 C2解析 由 4a 1 + a 3 = 4a 2? 4+ q = 4q ? q = 2，贝U $=曰 + a 2+ a 3+ a 4= 1 + 2+ 4 + 8= 15.故选 C. 10.如果数列｛a n ｝满足a 1, a 2— a, a 3 — a 2,…，a n — a n —1,…是首项为1，公比为2的等6. 在数列｛a n ｝中，a i = 2, a n +1= a n + ln(1 + n ，则 a n =()nA . 2 + In nB. 2 + (n - 1)ln nC. 2 + n In nD. 1 + n + In nn + 1解析 依题意得a n+i — a n= In ―—，则有234a2—ai= ln1, a3—a2= ln 2,a4—a3=ln 3，…，n 壬丄/口2 3an—an —1= ln百'叠加得an—a1=ln(7 2n,,4n -1)=ln n，故 an=2+ln n，选 A .7. 已知｛a n ｝为等差数列，a 1 + a 3 + a 5= 105, a 2 + a 4+ a 6= 99.以S 表示｛a n ｝的前n 项和，则使得 S 达到最大值的n 是（）A . 21 B. 20 C. 19D. 18比数列，那么a n=( )A. 2n+1— 1B. 2n—1根据以上排列规律，数阵中第 n （n 》3）行从左至右的第 3个数是答案 B 11 •含2n + 1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为2n + 1 A.-nn + 1D 药答案 B12.如果数列｛a n ｝满足a 1 = 2,a 2= 1,且? a ： = ? ?+1，那么此数列的第 10项为（）a n —1 — a n a n — a n +1 1 A.尹1 D.5答案n —1C. 2D. 2n+ 1n + 1 B.- nn — 1 C.- n解析a n • a n — 1• a n +1a n — 1 — a n &I — a n +a n • a n — 1 ••• ｛—— —｝为常数列.a n — 1 — a n —9.a n • a n — 1 a 2 • a 1==2 ,• a na— a a — a * a n — i =2a n —i — 2a n .1 1 1 1a n -a -1= 2，^ Q ｝为等差数列，1 1 1 na n = 2+ (n—1) • 2=22 an=n ，1 1 1 —=-,d= _ a 12 21a 10=.5、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上 ） 13.已知等差数列｛a n ｝的公差为3，若a 1, a 3, a 4成等比数列，则 a ，= 答案 —9解析 由题意得a 3 = a i a 4，所以（a i + 6） =a i ( a i + 9)，解得 a i =— 12.所以 a 2 =— 12+ 3= 14. 将全体正整数排成一个三角形数阵:1011 12 13 14 15公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n —1（n 》3）2 2行的最后一个数 一2仆n -1=等—2,则第n 行从左至右的第 3个数为n 2 — 2 +3（ n 》3）.15. 设S 为等比数列｛a n ｝的前n 项和，已知3S 3= a 4— 2,3S = a 3 — 2，则公比q = _________ . 答案 43S 3 = a 4 — 2,①a 4解析—，①一②，得 3a 3= a 4 — a 3,4a 3= a 4, q =— = 4.3S = a s — 2,②a s16. ____________________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝对于任意 p , q € N ,有 a p + a q = a p + q ,若 a 1 = 9，贝U a 36= _______________________ .答案 4 1解析•/ a 1= 9,1 8a 36= a 18+ a 18= 2a 18= 2( a s + a° = 4a 9= 4(a 1 + a s ) = 4(9+9) = 4. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)在公差不为零的等差数列 ｛a n ｝中，a 1, a 2为方程x 2— a 3x + a 4 = 0的两实数根， 求此数列的通项公式.答案 a n = 2+ (n — 1) x 2= 2n18. (12分)等差数列｛a n ｝中，a 4= 10,且a 3, a 6, ae 成等比数列，求数列｛a n ｝前20项的 和 S^0.解析 设数列｛a n ｝的公差为d ,则a 3= a 4— d = 10— d ,a 6= a 4 + 2d = 10+ 2d . ae = a 4 + 6d = 10+ 6d .2由a 3, a 6, a 10成等比数列，得 a 3ae = a 6. 即(10 — d )(10 + 6d ) = (10 + 2d ),2整理得10d — 10d = 0,解得d = 0或d = 1. 当 d = 0 时，$。
【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章 《数列》单元测试题(含答案)
高中数学必修5第二章 《数列》单元测试题（含答案）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．6722．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A ．1B ．2C ．4D ．84．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋16．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( )A ．－2 013B ．－1 017C ．2 013D ．1 0077．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A ．1或2B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－28．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.15810．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．15．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．16．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，有下列三个命题：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1；②若S n ＝a n (a 为非零常数)，则{a n }是等比数列；③若S n ＝1－(－1)n ，则{a n }是等比数列．其中真命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d＝1，前n项和为S n，b n＝1 S n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)设数列{b n}前n项和为T n，求T n.20．(本小题满分12分)求数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)a n－1的前n项和．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.高中数学必修5第二章 《数列》单元测试题（含答案）（参考答案）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．672解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672.答案：D2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋n ，所以λ＝－1.答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4，所以a 5＝a 7q 2＝422＝1. 答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，那么在此数列中( ) A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ， a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1， 所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910， 令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大．答案：A5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋1解析：由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ⇒S n ＋1＝4S n ，故数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，故S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.答案：A6．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( )A ．－2 013B ．－1 017C ．2 013D ．1 007解析：S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A ．1或2B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－2解析：依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0， 所以q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.所以q ＝－1或q ＝2.答案：C8．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值解析：由S 5＜S 6，得a 6＝S 6－S 5＞0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d ＜0.由S 7＞S 8⇒a 8＜0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＜0，即S 9＜S 5. 答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.158和5 B.3116和5 C.3116 D.158解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3，又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2.故a n ＝q ·q n －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4. 答案：B11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，所以a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，所以a 3＝12， 所以12a 4＝12＋(－1)4，所以a 4＝3， 所以3a 5＝3＋(－1)5，所以a 5＝23， 所以a 3a 5＝12×32＝34. 答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2.答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63. 答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)；所以a n ＝2a n －1，经检验n ＝1也符合．所以{a n }是等比数列．所以a n＝2n－1，n∈N*.答案：2n－1(n∈N*)16．设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，有下列三个命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则a n＝a n＋1；②若S n＝a n(a为非零常数)，则{a n}是等比数列；③若S n＝1－(－1)n，则{a n}是等比数列．其中真命题的序号是________．解析：易知①是真命题，由等比数列前n项和S n＝a1（1－q n）1－q＝a11－q－a11－q·q n知②不正确，③正确．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2 (n＝1，2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解：因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）.解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)． 所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝1，前n 项和为S n ，b n ＝1S n. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }前n 项和为T n ，求T n .解：因为等差数列{a n }中a 1＝1，公差d ＝1.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2＋n 2. 所以b n ＝2n 2＋n. (2)b n ＝2n 2＋n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2⎝ ⎛1－12＋12－13＋13－14＋…＋⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2. 当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1，aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ，两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n ， 此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1. 21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )． 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0， 此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )， 解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3，所以a n ＋12＝32·3n －1， 因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)． (2)由(1)知：a n ＝3n－12，所以1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1， 所以13n －1≤12·3n －1，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。
人教课标版高中数学必修5第二章《数列》章末综合测试A卷
第二章《数列》章末综合测试A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值为( ) A.13B.14C.15D.163．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( )A ．16B ．27C ．36D ．－274．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，则a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n ＋1D ．2n ＋25．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．96．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．已知等差数列{a n }，前n 项和用S n 表示，若2a 5＋3a 7＋2a 9＝14，则S 13等于( )A ．26B ．28C ．52D ．138．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．189．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1B.2n （n ＋1）C.n （n ＋1）2D.n 2（n ＋1）10．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．12．已知{a n }是等差数列，a 4＝－20，a 16＝16，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝________．13．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．14．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项b n ＝________．15．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a 3，a 2＝1，a n ＋2＝11＋a n，则a 9＋a 10＝________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17．(本小题满分10分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.18．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.19．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .20．(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？参考答案一、选择题1.解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1，故选B.2.解析：选C.依题意a n >0且n ≥2时，1a n ＝1＋1a n －1，即1a n －1a n －1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴1a 5＝1＋(5－1)×1＝5，∴a 5＝15.故选C. 3.解析：选B.由a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，所以a 3＋a 4a 1＋a 2＝9＝q 2， 因为数列的各项都为正数，所以q ＝3，a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝3，所以a 4＋a 5＝27. 4.解析：选A.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2.∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n a n －1＝2. 又a 1＝2，∴a n ＝2n ，故选A.5.解析：选C.因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 5a 9＝a 27，因此a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，解得a 7＝3，又因为a 29＝a 7a 11，所以a 29a 11＝a 7＝3.故选C.6.解析：选D.由题意得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×92×(－2)＝110.故选D. 7.解析：选A.∵a 5＋a 9＝2a 7，∴2a 5＋3a 7＋2a 9＝7a 7＝14，∴a 7＝2，∴S 13＝（a 1＋a 13）×132＝a 7×13＝26.故选A. 8.解析：选D.据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n (a 1＋a n )＝234，∴n ＝13，∴a 1＋a 13＝2a 7＝36，∴a 7＝18.故选D.9.解析：选A.依题意有a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，且a n ＝1＋(n －1)＝n ，于是S n ＝n （n ＋1）2， 所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1.故选A. 10.解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.二、填空题11.解析：由题意，知4S 2＝S 1＋3S 3.①当q ＝1时，4×2a 1＝a 1＋3×3a 1.即8a 1＝10a 1，a 1＝0不符合题意，∴q ≠1；②当q ≠1时，应有4×a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1－q ）1－q ＋3×a 1（1－q 3）1－q，化简得3q 2＝q ，得q ＝13或q ＝0(舍去)． 答案：1312.解析：a 16－a 4＝12d ＝36，∴d ＝3，a n ＝3n －32.∴当n ≤10时，a n <0，当n ≥11时，a n >0.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝(a 20－a 10)＋(a 19－a 9)＋…＋(a 11－a 1)＝100d ＝300.答案：30013.解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：114.解析：∵由3a n ＋1－a n ＝0，可得a n ＋1a n＝13(n ∈N *)， ∴数列{a n }是公比为13的等比数列．因此a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.故b n ＝12(a n ＋a n ＋1) ＝12⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫13n －1＋2×⎝⎛⎭⎫13n ＝43⎝⎛⎭⎫13n －1＝4×⎝⎛⎭⎫13n . 答案：4×⎝⎛⎭⎫13n15.解析：由a n ＋2＝11＋a n ，令n ＝1，得a 3＝11＋a 1，由a 1＝a 3，解得a 3＝5－12，由a n ＋2＝11＋a n，求得a 5＝a 7＝a 9＝5－12.令n ＝2，得a 4＝12；令n ＝4，得a 6＝23，令n ＝6，得a 8＝35，令n ＝8，得a 10＝58，所以a 9＋a 10＝5－12＋58＝45＋18. 答案：1＋458三、解答题16.解：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13， 解得a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16， 所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1)． 17.解：(1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，∴k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50.(2)∵S n ＝n (n ＋1)，∴1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴T ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 19.解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.20.解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2] ＝(n －1)a ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，（n －1）a ， n ≥2. b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n ＜12a n ，得⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，∴n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。
人教A版高中数学必修五高二第2章《数列》单元测试题.docx
高中数学学习材料唐玲出品一、 选择题（每小题5分，共40分）1. 在等差数列{}n a 中,已知1234520a a a a a ++++=,则3a 等于 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 72. 在等比数列{}n a 中,已知378,2a a ==,则5a 的值为 ( ) A. 4± B. 4- C. 4 D. 56.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S = （ ）A ．12n -B ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112n - 7.数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2013S 等于 （ ） A ．1006B ．2012C ．503D ．08.定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数:①2()f x x =;②()2x f x =;③()||f x x =;④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③二、填空题(每小题5分,共35分)9.已知等差数列{}n a 中, 110,a a 是方程23610x x ++=的两根,则47a a + 的值是_____________.10. 若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a =______________.11. 设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=, 则55a b +=______________.14.已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列,则m n -的值为_____________.15.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3, 6,10,记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ,可以推测:(1)2012b 是数列{}n a 中的第______项; (2)21k b -=______.(用k 表示)三、解答题(共6小题,共75分)16.(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和2225n S n n =-, (1)求123,,a a a 的值;(2)该数列所有负数项的和是多少?17.(12分)设()f x 是一次函数,已知()815f =,且()()()2,5,4f f f 成等比数列, (1)求()f x 的解析式;(2)求()()()()2462f f f f n +++⋅⋅⋅+.第15题图·18.(12分)已知{}n a 为等差数列,且13248,12,a a a a +=+= (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ,若12,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值.19.(13分)已知数列{a n }的前n 项和为n S ,且2*2,n S n n n N =+∈,数列{}n b 满足*24log 3,n b n a n N =+∈(1)求,n n a b ;(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和T n .21.(13分) 某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比上一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比上一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种使该企业获利更多?用数据说明理由.(注：计算过程中可取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===)高二第二章数列单元测试卷参考答案一、选择题：1—4 ACCB 5—8 ABAD二、填空题：9. 2- 10. 14 11. 35 12. 8 13. 2-14.1215. (1) 5030 (2) ()5512k k -三、解答题:16.解:(1) 12323,19,15a a a =-=-=-; (2)等差数列 {}n a 的通项公式为: 427n a n =-由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩即42704(1)270n n -≤⎧⎨+-≥⎩得232744n ≤≤.又*n N ∈∴6n =.所以数列 {}n a 的前6项均为负数，从第7项开始为正数. 所以该数列的所有负数项的和为:6652364782S ⨯=-⨯+⨯=-.17.解:(1)设()()0f x ax b a =+≠,则由已知得()()()()2815245f f f f =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩, 所以()()()2815245a b a b f a b a b +=⎧⎪⎨+⋅+=+⎪⎩.解得417a b =⎧⎨=-⎩. 所以()f x 的解析式为()417f x x =-.(2) ()()()()()()()2462917817f f f f n n +++⋅⋅⋅+=-+-++⋅⋅⋅+-()298174132n n n n -+-==-.18.解: (1)设数列{}n a 的公差为d,由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得12,2a d ==所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= (2)由(1)可得1()(22)(1)22n n a a n n nS n n ++===+ 因12,,k k a a S + 成等比数列,所以212k k a a S += 从而2(2)2(2)(3)k k k =++ ,即 2560k k --= 解得6k = 或1k =-(舍去),因此6k = .19．解：(1)由S n =22n n +,得当n=1时,113a S ==;当n ≥2时,1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦, *n N ∈. 由a n =4log 2b n +3,得21n b n =-,*n N ∈.(2)由(1)知1(41)2n n n a b n -=-⋅, *n N ∈ 所以()21372112...412n n T n -=+⨯+⨯++-⋅,()2323272112...412n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅, ()212412[34(22...2)]n n n n T T n --=-⋅-++++(45)25n n =-+(45)25n n T n =-+, *n N ∈.。
高中数学 第二章 数列单元测试(一)新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题
4．等差数列 中， ， ，则此数列前20项和等于（）
A．160B．180C．200D．220
5．数列 中， ，数列 满足 ， ，若 为常数，则满足条件的k值（）
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3
C．存在且不唯一D．不一定存在
6．等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 等于（）
【解析】（1）证明由已知 ，得 ．
∴ ，又 ．
∴ 是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解由（1）知， ， ．∴ ．
∴ ，
两边乘以2得： ，
两式相减得： ，
∴ ．
21．【答案】（1） ；（2）见解析．
【解析】（1）解由已知 ，得 ．
∴数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列．
又 ，
∴ ．∴ ．
（2）证明 ．
∵ ， ，∴ ， ．
∴数列 的前 项和公式为 ．
18．【答案】 或 ．
【解析】设 的公差为d，则
，即 ，
解得 ，或 ．
因此 ，或 ．
19．【答案】（1） ；（2）见解析．
【解析】（1）解设等差数列 的公差为 ．
由 ， ，得 ，则 ．
所以 ，即 ．
（2）证明因为 ，
∴ ．
20．【答案】（1）见解析；（2） ．
21．（12分）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）当 时，求证：数列 的前 项和 ．
22．（12分）已知数列 的各项均为正数，对任意 ，它的前 项和 满足 ，并且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求 ．
2018-2019学年必修五第二章训练卷
第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)
第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷(带答案)
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）新人教A版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共计60分）1.数列的一个通项公式是（）A.B.C.D.2.已知数列，，，且，则数列的第五项为（）A.B.C.D.3.是数列中的第（）项.A.B.C.D.4.在等差数列中,若，则（）A.45B.75C.180D.3005.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是()A.－2B.－3C.－4D.－6.在等差数列｛an｝中，设公差为d，若S10＝4S5，则等于7.设数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，且a100＋b100＝100，则数列｛an＋bn｝的前100项之和是8.已知等差数列｛an｝的公差d＝1，且a1＋a2＋a3＋…＋a98＝137，那么a2＋a4＋a6＋…＋a98的值等于()9.在等比数列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()10.公差不为0的等差数列｛an｝中，a2、a3、a6依次成等比数列，则公比等于11.若数列｛an｝的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列12.等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn与Ｔn，对一切自然数n，都有=，则等于二、填空题（每小题4分，共计16分）13.数列｛an｝的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，则它的通项公式为.14.已知｛｝是等差数列，且a2＝－1，a4＝＋1，则a10＝.15.在等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝.16.数列1，2，3，4，…的前n项和为.三、解答题：17.（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝中，Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，求Sm＋n.18.（本题满分12分）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.求公差d的取值范围.19.（本题满分12分）已知等差数列｛an｝中，a1＝29，S10＝S20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.20.（本题满分12分）设a1＝5，an＋1＝2an＋3(n≥1)，求｛an｝的通项公式.21.（本题满分12分）求和：1＋＋＋…＋22.（本题满分14分）已知数列｛an｝中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1，2，…)求证｛bn｝是等比数列；(2)设cn＝(n＝1，2…)求证｛cn｝是等差数列；(3)求数列｛an｝的通项公式及前n项和公式数列单元质量检测题参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.C10.D11.C12.B二、填空题13.14.－15.7016.三、解答题17.解析：设Sn＝ｐn2＋qnSn＝ｐn2＋qn＝m；①则Sm＝ｐm2＋qm＝n②①－②得：ｐ(n2－m2)＋q(n－m)＝m－n即ｐ(m＋n)＋q＝－1(m≠n)∴Sm＋n＝ｐ(m＋n)2＋q(m＋n)＝(m＋n)［ｐ(m＋n)＋q］＝－(m＋n).18.解析：由S12＞0及S13＜0可得2a1＋11d＞024＋7d＞0即又∵a3＝12，∴a1＝12－2d∴a1＋6d＜03＋d＜0∴－＜d＜－3.19.解析：设数列｛an｝的公差为d∵S10＝S20，∴10×29＋d＝20×29＋解得d＝－∴an＝－2n＋设这个数列的前n项和最大，an≥0－2n＋31≥0则需：即an＋1≤0－2(n＋1)＋31≤0∴∵n∈N，∴n＝∴当n＝15时，Sn最大，最大值为＝15×29＋(－2)＝225.20.解析：令an＝bn＋ｋ，则an＋1＝bn＋1＋ｋ∴bn＋1＋ｋ＝2(bn＋ｋ)＋3即bn＋1－2bn＝ｋ＋令ｋ＋3＝0，即ｋ＝－则an＝bn－3，bn＋1＝2bn这说明｛bn｝为等比数列，q＝b1＝a1－ｋ＝8，∴bn＝8•2n－1＝2n＋2∴an＝2n＋2－3.21.解析：设Sn＝1＋＋＋…＋＋则Sn＝＋＋＋…＋＋①－②得：22.解析：(1)∵Sn＋1＝4an＋∴Sn＋2＝4an＋1＋②－①得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1，2，即an＋2＝4an ＋1－4an，变形，得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－∵bn＝an＋1－2an(n＝1，2，∴bn＋1＝由此可知，数列｛bn｝是公比为2的等比数列；由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5故b1＝a2－2a1＝3∴bn ＝3•2n－将bn＝3•2n－1代入，得cn＋1－cn＝(n＝1，2，由此可知，数列｛cn｝是公差为的等差数列，它的首项c1＝∴an＝2n•cn＝(3n－1)•2n－2(n＝1，2，…)；当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)•2n－1＋2，由于S1＝a1＝1也适合于此公式，所以所求｛an｝的前n项和公式是：Sn＝(3n－4)•2n－1＋2.。
人教A版高中数学必修五第二章《数列》单元测试题.docx
第二章《数列》单元测试题一：选择题（每题5分，共50分）1．等差数列}{n a 中，已知前15项的和9015=S ，则8a 等于………（ ）A ．245B ．12C ．445D ．62．等比数列{a n }中，如果817643=⋅⋅⋅a a a a ，则91a a ⋅的值为……（ ）A ．3B ．9C ．±3D ．±93.{}n a 为等差数列，2-=d ，5031741=++++a a a a Λ，则=++++421062a a a a Λ( ) (A). 60 (B). 82- (C). 182 ( D). 96-4、已知等比数列{a n } 的前n 项和为n S , 若S 4=1,S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=( ) A ．7 B ．16 C ．27 D ．645．数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)(23*N n a S n n ∈+=，则这个数列一定是（ ） A ．等比数列B ．等差数列C ．从第二项起是等比数列D ．从第二项起是等差数列6．等差数列{a n }中，4,84111073=-=-+a a a a a .记n n a a a S +++=Λ21，S 13等于（ ）A ．168B ．156C ．152D ．787．在等比数列{a n }中，100992019109,),0(a a b a a a a a a +=+≠=+则等于（ ）A ．89a bB ．9)(abC ．910a bD ．10)(ab8．{}n a 是等差数列，S 10>0，S 11<0，则使n a <0的最小的n 值是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知等差数列{a n }的前m 项和为100，前3 m 项的和为－150，则它的前2m 项的和为 （ ）A ．25B ．—25C ．50D ．7510．．已知数列{}n a 的前n 项和)(3为常数k k S n n +=，那么下述结论正确的是（ ） A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列 B ．k = －1时，{}n a 是等比数列C ．k =0时，{}n a 是等比数列D ．{}n a 不可能是等比数列设二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．43,)1(112161211=⋅+++++=+n n n S S n n S 且Λ，则n 的值为 12．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7C ︒，已知山顶处的温度是14.8C ︒，山脚温度是26C ︒，则这山的山顶相对于山脚处的高度是 13．设数列{a n }的前n 项和为=++++-=||||||,1410212a a a n n S n Λ则 14．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为n S 、n T ，若77,322b a n n T S nn 则++==15．等比数列}{n a 公比为q ，前n 项和为n S ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 为11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题（共75分）16.等比数列{a n }的前n 项和n S ，且a 3=23, S 3= 29,求n a 的表达式. 17．数列{a n }的前n 项和为n S ，且11=a ，113n n a S +=，)2(≥n求:（I ）432,,a a a 的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++L 的值. 18.数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足n n a S =2 .(n S －21)（1）求n S 的表达式； （2）设n b = 12+n S n ,求数列{}n b 的前n 项和n T19. 已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，已知,153,1193==S a（1）求n a ； （2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n . 20．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。