2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义函数
2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义函数
专题六：等差、等比数列一．基础练习1．(山东卷){}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =， 则序号n 等于 6692．(全国卷II)如果数列}{n a 是等差数列，则 （ B ） A ．5481a a a a +<+ B ．5481a a a a +=+C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =3．（福建卷）已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 154．(江苏卷)在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a 84 5．(湖北卷)设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 －2 . 6．(全国卷II)在22738和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 216 .二．典型例题 第一课时【例1】（2005年春考·北京卷)已知{}n a 是等比数列，21=a ，544=a ；{}n b 是等差数列，21=b ，3214321a a a b b b b ++=+++．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和S n 的公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设.,,2,1,1023741的值求其中U n b b b b U n n =++++=- 解：（Ⅰ）设{a n }的公比为q ，.1313)13(2}{.32}{3,271143314-=--=⋅=====-n n n n n n n S n a a a q a a q q a a 项和的公式为的前数列的通项公式为所以数列得由（Ⅱ）设数列{b n }的公差为d ，.13)1(,3,26682613,68234413321432114321-=-+===+=-=++=++++=⨯+=+++n d n b b d d a a a b b b b d d b b b b b n 所以得由（Ⅲ）b 1,b 4,b 7,…,b 3n-2组成以3d 为公差的等差数列，所以.42532)110(1010110=⋅-+=d b U例2．（全国卷II ）已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列，又na b n 21=，n=1，2，3…. （Ⅰ）证明}{n b 为等比数列；（Ⅱ）（文）如果数列{b n }前3项的和等于247，求数列{a n }的首项a 1和公差d . （Ⅰ）证明： 1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列，2142lg lg lg a a a ∴=+，即2214a a a = 又设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111()(3)a d a a d +=+，即21d a d =10,0d d a ≠∴=≠ ，12(21)2n n n a a d d =+-=，21112n n n b a d ==⋅ 这时{}n b 是首项112b d =，公比为12的等比数列。
北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数(1对1辅导精品)
第二讲：函数的图象和性质(二课时) 一、 知识梳理1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 4. 函数单调性（1）增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. （2）函数单调性的判定 ①定义法 ②图象法③导数法：设函数y=f （x ）在某个区间内可导,若f ′（x ）＞0,则f （x ）为增函数;若f ′（x ）＜0,则f （x ）为减 函数.5．函数的周期性：若对定义域中的任意x ，恒有()()f x T f x +=，其中T 是不为零的常数。
则称函数()f x 为周期函数，其中T 为()f x 的一个周期，且k T (,0k Z k ∈≠)也为()f x 的一个周期；若0T 是所有周期中一个最小的正周期，则称()f x 的周期是0T 。
高考 二轮复习：专题2_函数的性质及应用(Ⅱ) 讲义
江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题2 函数的性质及应用(Ⅱ)高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视.1．已知函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.解析：由题意知F (－x )＝－F (x )，即f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝2. 令t ＝x ＋12，则f (t )＋f (1－t )＝2.分别令t ＝0，1n ，2n ，…，n －1n ，n n ，得f (0)＋f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝…＝2. ∵a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)， ∴由倒序相加法得2a n ＝2(n ＋1)，故a n ＝n ＋1. 答案：n ＋12．(2012·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题 ①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中命题正确的是________．解析：当c ＝0时f (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，①正确；当b ＝0，c <0时由f (x )＝0得x |x |＋c ＝0，只有一个正根，②正确；若P (x ，y )是y ＝f (x )图象上的任意一点，则f (－x )＝－x |x |－bx ＋c ＝2c －(x |x |＋bx ＋c )＝2c －y ，即P ′(－x,2c －y )也在y ＝f (x )的图象上，③正确；④不正确，如b ＝－2，c ＝0时，f (x )＝0有3个实数根．答案：①②③3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出下列命题： ①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的序号是________．解析：①显然是错的；②由于函数加了绝对值，所以对于一个函数值可能对应的x 值有4个，故不一定得到对称轴是x ＝1；由于a 2－4≤0时，f (x )＝x 2－2ax ＋b ，故③正确；④结合函数图象，可以判定函数无最大值．答案：③4．(2012·淮阴联考)给出下列四个结论：①函数y ＝k ·3x (k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到； ②不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；④已知f (x )满足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7. 其中正确结论的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：由|k |·3x ＝3x ＋log 3|k |(k ≠0)知①正确；由2∉M 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即a ≥14，故②不正确；由f (x ＋1)＝－1f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故③正确；由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2得f (x )＋f (1－x )＝2且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，故f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7正确．答案：①③④5．给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1； ④函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上是增函数． 则其中真命题是________．解析：由m －12＜x ≤m ＋12解得－12≤x －m ≤12，故命题①正确；由f (k －x )＝|k －x －{k －x }|＝|k －x －(k－{x })|＝|－x ＋{x }|＝f (x )知②正确，④不正确；同理③正确．答案：①②③[典例1](2012·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x ；(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ； (3)探求f 2 012⎝⎛⎭⎫89；(4)若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包含有8个元素． [解] (1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x )≤x 得， x ≥23.∴23≤x ≤1. ②当1＜x ≤2时，∵x －1≤x 恒成立，∴1＜x ≤2.由①，②得，f (x )≤x 的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤2. (2)证明：∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1， ∴当x ＝0时，f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0； 当x ＝1时，f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1； 当x ＝2时，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2. 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x . (3)f 1⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫89＝2⎝⎛⎭⎫1－89＝29， f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫29＝149， f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫149＝149－1＝59， f 4⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫59＝2⎝⎛⎭⎫1－59＝89. 一般地，f 4k ＋r ⎝⎛⎭⎫89＝f r⎝⎛⎭⎫89(k ∈N ，r ∈N *)． ∴f 2 012⎝⎛⎭⎫89＝f 4⎝⎛⎭⎫89＝89.(4)由(1)知，f ⎝⎛⎭⎫23＝23，∴f n⎝⎛⎭⎫23＝23. 则f 12⎝⎛⎭⎫23＝23.∴23∈B .由(2)知，对x ＝0，或1，或2，恒有f 3(x )＝x ， ∴f 12(x )＝f 4×3(x )＝x . 则0,1,2∈B .由(3)知，对x ＝89，29，149，59，恒有f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ， ∴89，29，149，59∈B . 综上所述23，0,1,2，89，29，149，59∈B .∴B 中至少含有8个元素．本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识直接套用，第三问就需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律．[演练1]对于定义在D 上的函数y ＝f (x )，若同时满足(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)； (2)对于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时总有f (x 2)>c .称f (x )为“平底型”函数．判断f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是否是“平底型”函数？简要说明理由． 解：f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|是“平底型”函数， 存在区间[1,2]使得x ∈[1,2]时，f (x )＝1， 当x <1和x >2时，f (x )>1恒成立； f 2(x )＝x ＋|x －2|不是“平底型”函数，不存在[a ，b ]⊆R 使得任取x ∈[a ，b ]，都有f (x )＝常数． [典例2](2012·南京一模)对于函数f (x )，若存在实数对(a ，b )，使得等式f (a ＋x )·f (a －x )＝b 对定义域中的每一个x 都成立，则称函数f (x )是“(a ，b )型函数”．(1)判断函数f (x )＝4x 是否为“(a ，b )型函数”，并说明理由；(2)已知函数g (x )是“(1,4)型函数”，当x ∈[0,2]时，都有1≤g (x )≤3成立，且当x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2－m (x －1)＋1(m >0)，试求m 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝4x 是“(a ，b )型函数”， 因为由f (a ＋x )·f (a －x )＝b ，得16a ＝b ， 所以存在这样的实数对，如a ＝1，b ＝16. (2)由题意得，g (1＋x )·g (1－x )＝4， 所以当x ∈[1,2]时，g (x )＝4g (2－x )，其中2－x ∈[0,1]．而x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2＋m (1－x )＋1＝x 2－mx ＋m ＋1>0，且其对称轴方程为x ＝m2.①当m2>1，即m >2时，g (x )在[0,1]上的值域为[g (1)，g (0)]，即[2，m ＋1]．则g (x )在[0,2]上的值域为[2，m ＋1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，m ＋1，由题意得⎩⎨⎧m ＋1≤3，4m ＋1≥1，此时无解；②当12≤m 2≤1，即1≤m ≤2时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (0)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1， 所以g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，4m ＋1－m 24，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋1－m 24≤3，m ＋1≤3，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1≥1，解得1≤m ≤2；③当0＜m 2≤12，即0＜m ≤1时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (1)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2，则g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，4m ＋1－m 24 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，4m ＋1－m 24，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1－m24≤3，解得2－263≤m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2－263，2.本题主要考查函数的综合性质，分类讨论思想，第一问比较容易，好入手，第二问转化有点困难，应先把函数在[1,2]上的解析式求出来，然后求值域并转化为子集关系解题．求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型，并且同时研究两个二次函数，要进行比较．[演练2](2012·金陵中学期末)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义： f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])， f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])．其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．(1)若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)已知函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]，试判断f (x )是否为[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出相应的k ；如果不是，请说明理由；(3)已知b >0，函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围． 解：(1)f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]．(2)∵f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[－1，0)，0，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，1)，x 2，x ∈[1，4]，∴f 2(x )－f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0)，1，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)， ∴k ≥1－x ，即k ≥2；当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，即k ≥1；当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，即k ≥165.综上，存在k ＝4，使得f (x )是[－1,4]上的4阶收缩函数． (3)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，∴在(0,2)上f ′(x )>0，f (x )递增，在(2，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )递减． ①当0<b ≤2时，f (x )在[0，b ]上递增， ∴f 2(x )＝f (x )＝－x 3＋3x 2，f 1(x )＝f (0)＝0. ∵f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数， ∴(ⅰ)f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)对x ∈[0，b ]恒成立， 即－x 3＋3x 2≤2x 对x ∈[0，b ]恒成立， 即0≤x ≤1或x ≥2.∴0＜b ≤1.(ⅱ)存在x ∈[0，b ]，使得f 2(x )－f 1(x )>(x －0)成立．即存在x ∈[0，b ]，使得x (x 2－3x ＋1)<0成立． 即x <0或3－52<x <3＋52，∴只需b >3－52.综上3－52<b ≤1.②当2＜b ≤3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减， ∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (0)＝0， f 2(x )－f 1(x )＝4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)不成立． ③当b >3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减， ∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (b )<0， f 2(x )－f 1(x )＝4－f (b )>4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)也不成立． 综上3－52＜b ≤1.[典例3](2012·栟茶模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (1)当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． [解] (1)证明：f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)·ln a ， 由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0， 所以f ′(x )>0.故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a >0，a ≠1时，因为f ′(0)＝0，且f ′(x )在R 上单调递增， 故f ′(x )＝0有惟一解x ＝0.所以x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )递减极小值递增又函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，所以方程 f (x )＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝(f (x ))min ＝f (0)＝1，解得t ＝2.(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max－f (x )min ≥e －1.由(2)知，f (x )在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增， 所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (0)＝1， f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}．而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 记g (t )＝t －1t－2ln t (t >0)，因为g ′(t )＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)， 所以g (t )＝t －1t －2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0，所以当t >1时，g (t )>0；当0<t <1时，g (t )<0， 也就是当a >1时，f (1)>f (－1)； 当0<a <1时，f (1)<f (－1)． ①当a >1时，由f (1)－f (0)≥e －1 ⇒a －ln a ≥e －1⇒a ≥e ，②当0<a <1时，由f (－1)－f (0)≥e －1 ⇒1a ＋ln a ≥e －1⇒0＜a ≤1e， 综上知，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，一二两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第三问要将“若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1”转化成|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．[演练3](2012·无锡期中)已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足g (x －1)＋g (1－x )＝x 2－2x －1，且g (1)＝－1.令f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98(m ∈R ，x >0)． (1)求g (x )的表达式；(2)若∃x >0使f (x )≤0成立，求实数m 的取值范围； (3)设1＜m ≤e ，H (x )＝f (x )－(m ＋1)x ，证明：对∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1. 解：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，于是g (x －1)＋g (1－x )＝2a (x －1)2＋2c ＝(x －1)2－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝－1.又g (1)＝－1，则b ＝－12.所以g (x )＝12x 2－12x －1.(2)f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98 ＝12x 2＋m ln x (m ∈R ，x >0)． 当m >0时，由对数函数性质，f (x )的值域为R ； 当m ＝0时，f (x )＝x 22>0对∀x >0，f (x )>0恒成立；当m <0时，由f ′(x )＝x ＋mx＝0⇒x ＝－m ，列表： x (0，－m ) －m (－m ，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x )减极小值增这时，f (x )min ＝f (－m )＝－m2＋m ln－m . f (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋m ln －m >0，m <0⇒－e<m <0.所以若∀x >0，f (x )>0恒成立，则实数m 的取值范围是(－e,0]． 故∃x >0，使f (x )≤0成立，实数m 的取值范围(－∞，－e]∪(0，＋∞)．(3)证明：因为对∀x ∈[1，m ]，H ′(x )＝(x －1)(x －m )x≤0，所以H (x )在[1，m ]内单调递减．于是|H (x 1)－H (x 2)|≤H (1)－H (m )＝12m 2－m ln m －12.|H (x 1)－H (x 2)|<1⇔12m 2－m ln m －12<1⇔12m －ln m －32m<0. 记h (m )＝12m －ln m －32m (1＜m ≤e)，则h ′(m )＝12－1m ＋32m 2＝32⎝⎛⎭⎫1m －132＋13>0， 所以函数h (m )＝12m －ln m －32m 在(1，e]上是单调增函数．所以h (m )≤h (e)＝e 2－1－32e ＝(e －3)(e ＋1)2e <0，故命题成立．[专题技法归纳](1)对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种． (2)对于形如：∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1的问题，要注意转化成最值问题处理．同时在利用导数的正负探究函数的单调性时，为判断导函数的正负，有时还需要设计成研究导函数的最值问题．1．定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －2||，x ≠2，1， x ＝2，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，求f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________.解析：作出函数f (x )的图象可以得到x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝9.f (9)＝|lg 7|＝lg 7. 答案：lg 72．若函数f (x )满足：f (x ＋3)＝f (5－x )且方程f (x )＝0恰有5个不同实根，求这些实根之和为________． 解析：由题意可得到图象关于x ＝4对称，所以和为20. 答案：203．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值是________． 解析：由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在区间[－1,2]上满足f ′(x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，此问题相当于在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，下求目标函数z ＝b ＋c 的最大值．作出可行域(图略)，由图可知，当直线l ：b ＋c ＝z 过2b －c －3＝0与4b ＋c ＋12＝0的交点M ⎝⎛⎭⎫－32，－6时，z 最大，∴z max ＝－32－6＝－152.答案：－1524．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)； ③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； ④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你认为正确的结论的序号都填上) 解析：①显然正确；由|f (x )|＝|x |1＋|x |<1＋|x |1＋|x |＝1知②正确；可以证明f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，故③正确；由f (x )－x ＝0得x1＋|x |＝x ，此方程只有一根x ＝0，故④不正确．答案：①②③5．若关于x 的方程x 2＝2－|x －t |至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________． 解析：方程等价于|x －t |＝2－x 2，结合y ＝|x －t |与y ＝2－x 2图象，如图，找出两边临界值，可得－94≤t ＜2.答案：⎣⎡⎭⎫－94，2 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：f (x )＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f (x )＝(x －1)3(x <2)单调递增且值域为(－∞，1)，f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)7．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：由定义运算“*”可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1≤x －1，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1>x －1，＝⎩⎨⎧2⎝⎛⎭⎫x －142－18，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x >0，画出该函数图象可知满足条件的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－316，08．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝________.解析：由f (x ＋6)＝f (x )，可知函数的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝335＋3＝338.答案：3389．(2012·南师附中)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2，对于任意x ∈[t －2，t ]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：f (x ＋t )≥2f (x )等价于f (x ＋t )≥f (2x )根据奇偶性得到函数在定义域上是单调递减函数，所以x ＋t ≤2x 恒成立，解得t ≤－ 2.答案：(－∞，－ 2 ]10．(2012·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0. 则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求；当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时，不符合第①条的要求；当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－(m ＋3)，2m ＜－4，－(m ＋3)＜1或者⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－(m ＋3)＜2m ，2m ＜1，－(m ＋3)＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)． 答案：(－4，－2 )11．(2012·栟茶一模)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有2个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2)；(3)若f (0)＝0，是否存在b 的值使{x |f (x )＝x }＝{x |f [f (x )]＝x }成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ， 所以a >0且c <0.∵f (1)＝0，∴1是f (x )＝0的一个根， 由韦达定理知另一根为ca.∵a >0且c <0，∴ca <0<1.又a >b >c ，b ＝－a －c ，∴－2<c a <－12.假设存在这样的m ，由题意，则 a ⎝⎛⎭⎫m －c a (m －1)＝－a <0，∴ca <m <1. ∴m ＋3>ca ＋3>－2＋3＝1.∵f (x )在(1，＋∞)单调递增， ∴f (m ＋3)>f (1)＝0，即存在这样的m 使f (m ＋3)>0. (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x )是二次函数．∵g (x 1)·g (x 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 1)－f (x 1)＋f (x 2)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 2)－f (x 1)＋f (x 2)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2≤0，又∵f (x 1)≠f (x 2)，g (x 1)·g (x 2)<0，∴g (x )＝0有两个不等实根，且方程g (x )＝0的根必有一个属于(x 1，x 2)． (3)由f (0)＝0得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx .[来源:教学资源网] 由f (x )＝x ，得方程ax 2＋(b －1)x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝1－b a，又由f [f (x )]＝x 得a [f (x )]2＋bf (x )＝x . ∴a [f (x )－x ＋x ]2＋b [f (x )－x ＋x ]＝x .∴a [f (x )－x ]2＋2ax [f (x )－x ]＋ax 2＋b [f (x )－x ]＋bx －x ＝0. ∴[f (x )－x ][af (x )－ax ＋2ax ＋b ＋1]＝0， 即[f (x )－x ][a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1]＝0. ∴f (x )－x ＝0或a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1＝0. (*) 由题意(*)式的解为0或1－ba 或无解，当(*)式的解为0时，可解得b ＝－1， 经检验符合题意；当(*)式的解为1－ba 时，可解得b ＝3，经检验符合题意；当(*)式无解时，Δ＝a 2(b ＋1)2－4a 2(b ＋1)<0， 即a 2(b ＋1)(b －3)<0， ∴－1<b <3.综上可知，当－1≤b ≤3时满足题意． 12．已知函数f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，f 2(x )＝e |x－a |＋1，x ∈R ，1≤a ≤6.(1)若a ＝2，求f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在[2,3]上的最小值；(2)若|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围； (3)求函数g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2在[1,6]上的最小值．解：(1)对于a ＝2，x ∈[2,3]，f (x )＝e |x －3|＋e |x －2|＋1＝e 3－x ＋e x －1≥2e 3－x ·e x －1＝2e ，当且仅当e 3－x ＝e x－1，即x ＝2时等号成立，∴f (x )min ＝2e.(2)|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，即f 1(x )≤f 2(x )对于任意的实数x 恒成立，亦即e |x－2a ＋1|≤e |x －a |＋1对于任意的实数x 恒成立，∴|x －2a ＋1|≤|x －a |＋1，即|x －2a ＋1|－|x －a |≤1对于任意的实数x 恒成立． 又|x －2a ＋1|－|x －a |≤|(x －2a ＋1)－(x －a )|＝|－a ＋1|对于任意的实数x 恒成立， 故只需|－a ＋1|≤1，解得0≤a ≤2. 又1≤a ≤6，∴a 的取值范围为1≤a ≤2.(3)g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x )，①当1≤a ≤2时，由(2)知f 1(x )≤f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|，图象关于直线x ＝2a －1对称，如右图，又此时1≤2a －1≤3，故对x ∈[1,6]，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1.②当2＜a ≤6时，(2a －1)－a ＝a －1>0， 故2a －1>a .x ≤a 时，f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)>e －x ＋a ＋1＝f 2(x )， g (x )＝f 2(x )＝e |x －a |＋1；x ≥2a －1时，f 1(x )＝e x －(2a －1)<e x －a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|；a <x <2a －1时，由f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)≤e x －a ＋1＝f 2(x )，得x ≥3a －22，其中a <3a －22<2a －1，故3a －22≤x ＜2a －1时，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|，a <x <3a －22时，g (x )＝f 2(x )＝e |x －a |＋1. 因此，2＜a ≤6时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，x ≥3a －22，f 2(x )，x <3a －22.令f 1(x )＝e |x －2a ＋1|＝e ，得x 1＝2a －2，x 2＝2a ， 且3a －22<2a －2，如右图． (ⅰ)当a ≤6≤2a －2，即4≤a ≤6时，g (x )min ＝f 2(a )＝e ；(ⅱ)当2a －2＜6≤2a －1，即72≤a ＜4时，g (x )min ＝f 1(6)＝e |6－2a ＋1|＝e 2a －7；(ⅲ)当2a －1<6，即2<a <72时，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1，g (x )min＝⎩⎨⎧1，1≤a <72，e 2a －7，72≤a ＜4，e ，4≤a ≤6.。
北京市高三第二轮复习讲义：第4讲函数图象与变换(数学)
第 4 讲函数图象与变换一、高考要求①给出函数的分析式或由条件求出函数的分析式，判断函数的图象；②给出函数的图象求分析式；③给出含有参数的分析式和图象，求参数的值或范围；④考察函数图的平移、对称和翻折；⑤和数形联合相关问题等．函数的图象是函数的直观表现, 运用函数的图象研究函数的性质特别方便．函数的图象正成为高考命题的热门之一．二、两点解读要点：①已知分析式判断函数图象或已知图象判断分析式中参数的范围；②函数图的平移、对称和翻折；③从基本函数的图象变换到复合函数的图象等．难点：①利用函数性质识图；②和数形联合相关问题．三、课前训练1．函数 y f ( x) 的图象与函数 g (x)log 2 x(x0) 的图象对于原点对称，则 f (x) 的表达式为（ D ）（A）f ( x)1（B）f ( x)1( x 0) (x 0)log 2(log2 x x)（ C）f ( x)log 2 x(x 0)（D）f (x)log2 (x)( x 0)2．函数 y f ( x) 的反函数y f1 (x) 的图像与 y 轴P(0,2)（如图 2所示），则方程 f ( x)0 在[1,4]上的根是（ C ）（A）4（B） 3（C）2（D）1y交于点4y f 1(x)x21O3x图 23．若函数y f ( x 1) 是偶函数，则函数y f ( x) 的图象对于x=1对称．4 ．若函数y a x b 1(a 0且 a1) 的图象经过第二、三、四象限，则一定有0 a 1且b0四、典型例题例 1 函数 f ( x) 的图象不论经过平移仍是沿直线翻折后仍不可以与y log 1 x 的图象重合，2则 f ( x) 是（）（ A） 2 x（ B） 2log 4 x（ C） log2( x 1)（D）1 4 x 2解：将y 2 x1x的图象沿直线 y x 翻折即可与 y log 1x 的图象重合，清除A；将22y 2 log 4 x log 1x沿x 轴翻折即可与 y log 1 x 图象重合，排除 B ；将22y log 2 ( x1)log 1( x1) 的图象向右平移 1 个单位，在沿x轴翻折即可与y log1x的图象重22合，清除 C，应选 D例 2 设 b0，二次函数 y ax2bx a 2 1的图象以下之一：y y y y- 1 x1 O x O xOxO1(A)(B)(C)(D)则 a 的值为（）（A） 1（B）－ 1（C）15（D）125 2解：前两个函数图象对于y 轴对称，故b0 ，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故 a 210 ，即 a1，又由对称轴大于零，即x b0，由 b 0 得 a0 ，因此取 a 1 ，2a应选 B例 3设函数 f ( x) 的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数f 1 ( ), f (4) 0, 则xf1(4) =．解：由 f ( 4)0 ，即f ( x)过点（ 4，0），又f ( x)的图象对于点(1,2) 对称，可知：f ( x)过点（ 2 ，4），∴f ( 2) 4 ，故 f1(4) =2例 4在同一平面直角坐标系中，函数 y f ( x)y3和 y g( x) 的图像关于直线 y x y g ( x) 图对称．现将2像沿 x 轴向左平移 2个单位，再沿y 轴向上平移1１个单位，所得的图像是由两条线段构成的折线（如图21O 12x所示），则函数 f (x) 的表达式为1．解：将原图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴x1, 0x 2 ．向右平移２个单位得g( x) 的图象（如右图），求得：g(x)22x 4 , 2x3又∵函数 yf (x) 和 y g( x) 的图像对于直线yx 对称，∴求 g ( x) 反函数得：g 1( x)2x 2 , 1 x 0yx 2 , 0 x ，32 222 x 2,1 x 01故 f ( x)x 2, 0 x 22 1o12231x例 5 已知函数 f (x )( x a)( x b)2 ，m 、 n 是方程 f (x ) 0 的两根，且 a b ， m n 试判断实数 a ， b ， m ， n 的大小关系．解：∵ f (x)( x a)( x b) 2 ，∴ f (a)2 ，yf (b)2 ，∴ a ， b 是方程 f ( x)2 的两根，即为函数 y f (x) 的图象与直线y2 交点的a box横坐标． 而 m ，n 是方程 f ( x)0 的两根， ∴m n数m ，n 为函y=-2y f (x ) 的图象与 x 轴交点的横坐标．又 a b ，mn ，故如图所示可得 m ab n ．例 6 已知函数 f (x ) log a (ax1)( a 0, a 1) ，（1）证明：函数 f ( x) 的图象在 y 轴一侧；（2）设 A ( x , y )， B( x , y )( x x ) 是图象上的两点，证明直线AB 的斜率大于零；112 212（3）求函数 yf (2x) 与 yf 1 ( x ) 的图象交点坐标． 解：（ 1）由 a x 1 0 即 a x 1 ，①当 a1 时， x 0 ，函数图象在 y 轴右边；②当 0 a 1 时， x 0 ，函数图象在 y 轴左边，故函数图象总在 y 轴一侧．（ 2）因为 k ABy 1y 2，又由 x 1 x 2 ，故只要证 y 2 y 10 即可．x 1 x 2因为 y 2y 1 x 1) x 1)a x 2 1log a ( a2log a (a1log a，ax11当 a1时，由0 x 1x 2 得 0xa x2 ， 即x1 x 21，故有a x 21 1 ，a 10 a 1a a x 11log aa x210 ，即 y 2y 10 ；a x 11当 0 a1 时，由 0 x 1 x2 得 ax 1ax21 ，即 a x 11 ax21 0，故有 0ax21 1 ，ax11log aax210 ，即 y 2y 10 ．a x 11综上直线AB 的斜率总大于零 .（3）f1 ( x) log a ( a x1)， f (2 x)log a ( a2 x 1) ，当它们图象订交时： a x 1 a2 x 1可解得：a x 2 ，因此 x log a 2，y log a 3，即交点坐标为： (log a 2 ，loga3)。
2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义----
专题八 （一）求数列的通项一．基础练习1．数列｛n a ｝是公差0d ≠的等差数列，并且5813,,a a a 又成等比数列｛n b ｝的相邻三项，若2b ＝5，则133()5n n b -=⋅ 2．已知数列1231,,,,4a a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --又成等比数列， 则212a ab -＝ 12 3．等差数列｛n a ｝中，已知471017a a a ++=，4561477a a a a ++++= ，若13k a =，则k = 184．一个等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d ＝ 5 解：11211123542a d ⨯+=，又11656()232256527622a d d d a d ⨯++⋅=⇒=⨯+⋅ 5．已知等差数列｛n a ｝，满足121010a a a +++= ，则399a a += 06．已知等比数列｛n a ｝满足1611a a +=，34329a a ⋅=， 则数列｛n a ｝的通项公式是 1123n n a -=⨯ 或 163211()2323n n n a --==⋅ 二．典型例题1．已知n S ，求n a 利用公式 已知数列｛n a ｝前n 项和n S ，求n a 时，要注意运用n a 与n S 的关系，即⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n（1）已知)(n f S n =，求n a例1．已知下列数列｛n a ｝前n 项和n S 的公式，求｛n a ｝的通项公式（1）110-=n n S （2）12+=n S n（2）已知)(n n a f S =，求n a例2．在数列｛n a ｝中，已知n n a S 23+=，求n a2．求递推数列的通项公式的方法（1）递推式为d a a n n +=+1及n n qa a =+1（q d ,为常数）例3．已知｛n a ｝满足21+=+n n a a ，且11=a ，求n a例4．已知｛n a ｝满足n n a a 211=+，且21=a ，求n a（2）递推式为)(1n f a a n n +=+及n n a n f a )(1=+，且)(n f 可以求和或化简 例5．已知｛n a ｝满足)2(311≥+=--n a a n n n ，且11=a ，求n a ［累加法］例6．已知｛n a ｝满足0,1≠=+n n n a na a ，且11=a ，求n a ［累乘法］（3）递推式为q pa a n n +=+1（q p ,为常数）例7．已知｛n a ｝满足)2(321≥+=-n a a n n ，且11=a ，求n a三．课后作业1．已知下列数列{}n a 的前n 项和公式，求n a①21n S n n =++，则n a ＝ 3(1)2(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩ ②13n n S =-+，则n a ＝ 123n n a -=⋅2.已知数列｛n a ｝，113,21n n a a a +==+，则n a ＝ 121n n a +=-3．｛n a ｝是正数组成的数列，前n 项和为n S ，对所有的n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项（1）写出｛n a ｝的前三项；（2）求｛n a ｝的通项（1）1n =时，1122a a +=；2n =时，222a +== 26a ⇒=，同理310a =（2）222112211(2)[(2)(2)]288nn n n n n a S a S S a a +++=⇒=+⇒-=+-+ 1444n n n a a a n +⇒-=∴=-4．（北京卷)数列}{n a 的前n 项和为S n ，且 ,3,2,1,31,111===+n S a a n n ，求： （Ⅰ）432,,a a a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）n a a a a 2642++++ 的值.解：（Ⅰ）由得,,3,2,1,31,111 ===+n S a a n n .313131112===a S a⎪⎩⎪⎨⎧≥==≥==≥=≥=-=-=++===+==--+-+.2,)34(31,1,1}{,).2()34(31,31),2(,34),2(31)(31.2716)(3131,94)(3131222111321342123n n a a n a a n a a n a S S a a a a a S a a a S a n n n n n n n n n n n 的通项公式为数列所以所以又得由 （Ⅱ）由（I ）可知a 2，a 4，…，a 2n ，是首项为,31公比为（34）2，项数为n 的等比数列， 所以].1)34[(73)34(1)34(1312222642-=--⋅=++++n nn a a a a。
对一道高考压轴题探源所引发的思考
２ ＋０＝（ 一１ ） 一（ ０—１ ） ， 故当 １＜
＜ 告口 时， ， （ ） 单 调递 增， 当 ＜１ 时， 厂 （ ）
单调递减 ， 厂 （ ） 的最小值为 ｆ （ １ ）＝口一１ ；
由 于， （ 号 ） 一 ） ＝ 筹一 （ 口 一 １ ） ＝
＞０ ， 所 以 （ ）的最 小 值 为 ，（ １ ）
最后 只 需 比较 两 最 小 值 的 大 小 ， 取 较 小 的
即可 ．
ｆ ＋ ２ ｘ 一 口 ， ≥百 １ 口
（ ２ ） 厂 （ ） ＝｛ ． 【 戈 一 ２ ｘ＋０ ， ＜去口
当 ≥ １ 口时 ， （ ）＝ ＋２ ｘ一口：
启示 １ ： 让 学生 充 分重 视 绝 对 值 函 数 的
得到 ．
ｌ 一２ Ｉ （ ＋１ ）的
图像 ．
图１
策略 １ ： “ 以形 助数 ” 为主 ， “ 以数定 形” 为
辅．
解析 ： （ １ ）当 ≥ ２时 ， 即 一２≥ ０时 ，
Ｙ＝ （ 一２ ） （ ＋１ ）＝ 一 一２ ＝
绝对值函数其 图像作法也应依不同区间 分别来作 ： 作 Ｙ＝ ｌ 厂 （ ）ｌ 的图像可将 Ｙ＝ ｆ （ ） 的图像在 轴下方 的部分翻折到 轴 上方 ， 其余部分不变 ； 作 Ｙ＝ｆ （ Ｉ １ ） 的图像 可先作出 Ｙ＝ 厂 （ ） 当 ≥０ 时的图像 ， 再利 用偶 函数 的图像关于 Ｙ轴 对称 ， 作 出 ｖ＝ ｆ （ ） （ ＜０ ） 的图像 ． 而一般绝对值二次函
例１ （ ２ ０ ０ ９ 年上海市卢湾区高考一模 ）
设 函数 厂 （ ）＝ 数 ０为 实数 ） ． ＋Ｉ ２ ｘ一 口Ｉ （ ∈ Ｒ， 常
的关键是第一 问要知道 厂 （ ） 为偶 函数 ， 则
北京市2014高考二轮总复习函数第1讲——函数及其表示
§2.1 函数及其表示复习备考要这样做 1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念．1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法． 2．映射的概念：设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法：求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4． 常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)函数f (x )＝x a 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．(7)对数的真数大于0，对数函数与指数函数的底大于0且不等于1.[难点正本 疑点清源]1．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等． 2．函数与映射：(1)二者都是“一对一”或者“多对一”，而且“原象”必须有“象”。
北京第十三中高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)2．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>3．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)eB ．(0，1]eC ．1(2，)e eD ．1(2，]ee5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．6．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（ ）． A ．6-B ．15-C ．15D ．6-或157．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()2,-+∞8．若直角坐标系内A ，B 两点满足：（1）点A ，B 都在()f x 图象上；（2）点A ，B 关于原点对称，则称点对()A B ，是函数()f x 的一个“和谐点对”，()A B ，与()B A ，可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“和谐点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-=，且()00f =，若方程()()21016m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（ ） A ．2416e e m -<<B ．42em <<C ．216e m e >-D ．2e m >10．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f =，当0x >时，有()()20xf x f x x'->恒成立，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．()()1,01,-⋃+∞B ．()()1,00,1-⋃C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-11．若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)eD ．(,)e +∞12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意的实数x ，都有()10f x '+<，且(1)1f =-，则（ ）A ．(0)0f <B ．()f e e <-C ．()(0)f e f >D ．(2)(1)f f >二、填空题13．已知函数()ln (1)=+-f x x a x ，当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，则a 的取值范围是__________．14．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.15．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '->，其中()'f x 是函数()f x 的导函数.若2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，则实数k 的范围为________ 16．若函数()2x f x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是______.17．已知函数()xf x e =，()g x =12,x x R ∈，使得()()12f x g x m ==，则21x x -的最小值为______.18．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且()10f =，当0x <时，()()+0f x f x x'>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．19．设函数()2()1xf x x e =-，当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，则a 的取值范围是________.20．已知函数()ln f x x x =．存在k Z ∈，使()2f x kx k >--在1x >时恒成立，则整数k 的最大值为________．三、解答题21．设函数()22f x x x k x =++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =-时，解不等式()3f x >；（Ⅱ）若对任意[]1,2x ∈时，直线21y x =+恒在曲线()y f x =的上方，求k 的取值范围. 22．已知函数()2f x x ax b =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求方程()4ln f x x x =根的个数．23．某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧PMQ （M 为此圆弧的中点）和线段PQ 构成.已知圆O 的半径为12千米，M 到PQ 的距离为16千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域1R 为矩形ABCD ，养殖区域2R 为AMB ，且 ,A B 均在圆弧上， C D ,均在线段PQ 上，设AOM α∠=.（Ⅰ）用α分别表示矩形ABCD 和AMB 的面积，并确定cos α的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在1R 内养殖鱼类，在2R 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3:2.求当α为何值时，能使年总产值最大. 24．已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥． 25．已知函数()(1)ln f x x x =+．（1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：(1)y k x =-有3个交点． 26．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和； （2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=， 因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >； 当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<， 所以不等式()0f x >的解集为(1,2021). 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知不等式构造函数()ln ()g x xf x =，利用导数判断其单调性是本题解题关键.2．A解析：A【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3．A解析：A 【解析】函数的定义域为0x ≠ ，当0()ln()x f x x x <⇒=-- ，为增函数，故排除B ，D ，当0()ln x f x x x >⇒=-，'111()x xf x x --==，当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增； 故选A ．4．A解析：A 【分析】f （x ）＝kx 可变形为k lnxx=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnxx=的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=，画草图即可得解． 【详解】 设g （x ）()f x lnx xx==， 又g ′（x ）21lnxx -=， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1e）， 故选A ．【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.5．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．C解析：C 【分析】由题，可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++，所以2()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以4(11)15a b -=--=.故选：C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.7．B解析：B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e > 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x sin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ (14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.8．B解析：B 【分析】问题转化为0,()x f x ≥关于原点对称的函数与2()2f x x x =+在(,0)-∞交点的个数，先求出0,()x f x ≥关于原点对称的函数()g x ，利用导数方法求出2()2g x x x =+在(,0)-∞解的个数，即可得出结论. 【详解】设(,)(0)P x y x ≤是()(0)y f x x =≥关于原点对称函数图象上的点，则点P 关于原点的对称点为()P x y '--，在()(0)y f x x =≥上， 2,2x x y y e e--==-，设()2(0)x g x e x =-≤， “和谐点对”的个数即为()g x 与()f x 在(,0)-∞交点的个数， 于是222x e x x -=+，化为2220(0)x e x x x ++=<， 令2()22(0)x x e x x x ϕ=++<，下面证明方程()0x ϕ=有两解， 由于20x e >，所以220x x +<，解得20x -<<，∴只要考虑(20)x ∈-，即可， ()222x x e x ϕ'=++，()x ϕ'在区间(20)-，上单调递增， 而2(2)2420e ϕ-'-=-+<，1(1)20e ϕ-'-=>， ∴存在0(2,1)x ∈--使得0()0x ϕ'=， 当0(2,),()0,()x x x x ϕϕ∈-'<单调递减，0(,0),()0,()x x x x ϕϕ∈'>单调递增，而2(2)20e ϕ--=>，10()(1)210x e ϕϕ-<-=-<，(0)20ϕ=>，∴函数()ϕx 在区间(21)--，，(1,0)-分别各有一个零点， 即()f x 的“和谐点对”有2个. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.9．A解析：A 【分析】构造函数()()xf x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作出其大致图像，令()t f x =，只需21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由()()()()()()()()221x xxxxx x f x e f x e f x f x e e f x e ef x e '-'-=-=⇒'=⇒，则()()()()1xx xf x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢⎥⎣⎦⇒， 由()000f b =⇒=，则()xf x e x =⋅.由()()1xf x ex '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：令()t f x =，则21016mt t ++=，由已知可得 21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()2116g t mt t =++，由12121001016t t m m t t m ⎧+=-<⎪⎪⇒>⎨⎪⋅=>⎪⎩， 则()21000,41601102g e e g m e em ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A 【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.10．A解析：A 【分析】 构造函数()()(0)f x g x x x=≠，可得()g x 在定义域内为偶函数，并得到()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，则在(,0)-∞上单调递减，且(1)0g =，(1)0g -=，结合函数的大致图像分析即可得到()0f x >的解集． 【详解】 构造函数()()(0)f x g x x x =≠，则()()2()xf x f x g x x'-'= 由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 故()g x 在定义域内为偶函数，图像关于y 轴对称；()10f =，则(1)0g =，(1)0g -=；又0x >时，有()()20xf x f x x'->恒成立， 故()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，即()g x 在(0,)+∞ 上单调递增；根据偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减， 所以()g x 的大致图像如下图：()0f x >，即为当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()0>g x 的解集，所以()0f x >，则10x -<<或1x >； 即()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ 故选：A. 【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性，根据函数单调性解不等式，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题目．11．B解析：B 【分析】根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数2()x e g x x-=，0x ≠，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果. 【详解】显然，0x =不是函数()f x 的零点，令2()0x f x mx e-=-+=，得2x e m x-=， 构造函数2()x e g x x -=，0x ≠，则22(1)()x e x g x x--'=， 令()0g x '>得到1x >，令()0g x '<得到1x <且0x ≠，即函数2()x e g x x -=在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以函数2()x e g x x-=有极小值1(1)g e =；画出函数()g x 的图象，如图所示，由图像可知，当0m ≤时，直线y m =与()g x 的图象不可能有两个交点， 当0m >，只需1m e>，()g x 的图象与直线y m =即有两个不同的交点， 即函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点， ∴m 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.12．B解析：B 【分析】构造()()g x f x x =+，得到函数()g x 在R 上单调递减，由()(1)g e g <即得解. 【详解】构造()()g x f x x =+，则()()1g x f x ''=+， 又()10f x '+<，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减，又(1)(1)1110g f =+=-+=， 所以()(1)g e g <，即()0f e e +<， 所以()f e e <-. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．【解析】的定义域为∴若则∴函数在上单调递增在上无最大值；若则当时当时所以在上单调递增在上单调递减故在取得最大值最大值为∵∴令∵在单调递增∴当时当时∴的取值范围为故答案为点睛：本题考查了导数与函数的单 解析：(0,1)【解析】()()ln 1f x x a x =+-的定义域为∞（0，+），∴11axf x a x x-'=-=（）， 若0a ≤，则()0f x '>，∴函数()f x 在∞（0，+）上单调递增，()f x 在∞（0，+）上无最大值；若0a >，则当10x a ∈（，）时，()0f x '>，当1x a∈+∞（，）时，()0f x '<，所以()f x 在10a （，）上单调递增，在1a +∞（，）上单调递减，故()f x 在1x a=取得最大值，最大值为11f lna a a =-+-（），∵122f a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴10lna a +-<， 令()1g a lna a =+-，∵()g a 在∞（0，+）单调递增，0g =（1）， ∴当01a <<时，()0g a <，当1a >时，()0>g a ，∴a 的取值范围为()0,1，故答案为()0,1.点睛：本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题；先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性，根据单调性求出函数的最大值，再构造函数()1g a lna a =+-，根据函数的单调性即可求出a 的范围.14．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论解析：（1）（3）（4） 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦，所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误； 对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解； 令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点，所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．【分析】构造函数利用导数研究在区间的单调性由此求得实数的取值范围【详解】设函数在单调递增依题意的定义域为所以故故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式属于中档题 解析：()2020,2022【分析】 构造函数()()()0f x g x x x=>，利用导数研究()g x 在区间()0,∞+的单调性，由此求得实数k 的取值范围.【详解】 设函数()()()0f x g x x x=>，2()()()0xf x f x g x x='-'>， ()g x ∴在()0,∞+单调递增.依题意，()f x 的定义域为()0,∞+，所以20200,2020k k ->>，2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，(2020)(2)20202f k f k -∴<-，故020202k <-<，20202022k ∴<<. 故答案为：()2020,2022 【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式，属于中档题.16．【分析】求导函数求出函数的极值利用函数恰有三个零点即可求实数的取值范围【详解】解：函数的导数为令则或可得函数在上单调递减和上单调递增或是函数的极值点函数的极值为：函数恰有三个零点则实数的取值范围是：解析：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围． 【详解】解：函数2x y x e =的导数为22(2)x x x y xe x e xe x '=+=+， 令0y '=，则0x =或2-，可得函数在()2,0-上单调递减，(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，0∴或2-是函数y 的极值点，函数的极值为：(0)0f =，224(2)4f e e --==． 函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【分析】由可得则设即求函数的最小值求导得出单调性即可得到答案【详解】由即且所以则设函数则令得令得所以函数在上单调递减在上单调递增则函数的最小值为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查根据题目条件构解析：ln 22【分析】由()()12f x g x m ==，可得212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e -=-，设()2ln x h x x e=-，即求函数()h x 的最小值，求导得出单调性即可得到答案.【详解】由()()12f x g x m ==，即1xe m ==且0m >.所以212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e -=- 设函数()2ln x h x x e =-,则()2212x eh x x e x ex-'=-=.令()0h x '>，得x >，令()0h x '<，得0x <<所以函数()h x 在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.则函数()h x 的最小值为11ln 222e h e =⨯-=. 所以21x x -的最小值为ln 22故答案为：ln 22【点睛】本题考查根据题目条件构造函数，利用导数求函数的最小值，属于中档题.18．【分析】结合所给不等式构造函数可证明在时单调递减根据为偶函数且可得单调性的示意图结合函数图像即可求得使成立的的取值范围【详解】令则由题意可知当时不等式两边同时乘以可得即所以在时单调递减因为定义在上的 解析：()()1,00,1-【分析】结合所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，可证明()g x 在0x <时单调递减，根据()f x 为偶函数且()10f =，可得()g x 单调性的示意图，结合函数图像即可求得使()0f x >成立的x 的取值范围.【详解】令()()g x x f x =⋅，则()()()g x f x x f x '=+⋅'由题意可知当0x <时，()()+0f x f x x'>，不等式两边同时乘以x 可得()()+0xf x f x '<，即()0g x '<，所以()()g x x f x =⋅在0x <时单调递减， 因为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的()f x 为偶函数， 所以()()g x x f x =⋅为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且()10f =，所以()()110g g =-=，由奇函数性质可得()()g x x f x =⋅函数图像示意图如下图所示：所以当0x <时，()0f x >的解集为()1,0-，当0x >时，()0f x >的解集为()0,1， 综上可知，()0f x >的解集为()()1,00,1-故答案为：()()1,00,1-.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，构造函数判断函数的单调性，数形结合法解不等式，属于中档题.19．【分析】求得在处的切线的斜率结合图像求得的取值范围【详解】函数对于一次函数令解得（负根舍去）所以在上递增在上递减画出的图像如下图所示由图可知要使当时恒成立只需大于或等于在处切线的斜率而所以故答案为： 解析：[1,)+∞【分析】求得()f x 在0x =处的切线的斜率，结合图像，求得a 的取值范围. 【详解】函数()2()1xf x x e =-，()01f =.对于一次函数()()10g x ax a =+>，()01g =.()()'221,0x f x x x e x =--+⋅≥，令'0f x，解得021x =-（负根舍去），所以()f x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，画出()f x 的图像如下图所示.由图可知，要使当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，只需a 大于或等于()f x 在0x =处切线的斜率.而()'01f=，所以1a ≥.故答案为：[1,)+∞【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.20．2【分析】由即则将问题转化为在上恒成立令利用导函数求出最小值即可【详解】解:因为由即对任意的恒成立得（）令（）则令得画出函数的图象如图示:与在有唯一的交点∴存在唯一的零点又∴零点属于∴在递减在递增而解析：2 【分析】由()2f x kx k >--,即ln 2x x kx k >--,则将问题转化为ln 21x x k x +<-在1x >上恒成立,令ln 2()1x x h x x +=-,利用导函数求出最小值即可． 【详解】解:因为()ln f x x x =,由()2f x kx k >--即()()12k x f x --<对任意的1x >恒成立, 得ln 21x x k x +<-（1x >）, 令ln 2()1x x h x x +=-（1x >）,则2ln 3()(1)x x h x x '--=-,令()ln 30g x x x =--=,得3ln x x -=, 画出函数3y x =-,ln y x =的图象,如图示:∴3y x =-与ln y x =在1x >有唯一的交点,∴()g x 存在唯一的零点,又()41ln40g =-<,()52ln50g =->, ∴零点0x 属于()4,5,∴()h x 在()01,x 递减,在()0,x +∞递增, 而4ln 442(4)33h +<=<,115ln 55(5)344h +<=<, ∴()023h x <<,k Z ∈， ∴k 的最大值是2. 故答案为:2 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,考查利用导函数求最值,考查零点存在性定理的应用,考查数形结合思想.三、解答题21．（Ⅰ）()1,+∞；（Ⅱ）31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）由1k =-时，不等式为223x x x -+>，然后分2x ≥，2x <讨论求解. （Ⅱ）将任意[]1,2x ∈时，不等式()21f x x <+恒成立，转化为112x k x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭且112k x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈恒成立求解.【详解】（Ⅰ）当1k =-时，不等式()3f x >，即223x x x -+>，所以2(2)23x x x x ≥⎧⎨-+>⎩，或2(2)23x x x x <⎧⎨-+>⎩，，即得223x x ≥⎧⎨>⎩，或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，，解得2x ≥或12x <<，所以原不等式的解集是()1,+∞；（Ⅱ）因为对任意[]1,2x ∈时，不等式()21f x x <+恒成立，即21x x k +<当[]1,2x ∈时恒成立，即12x k x+<，即111122x k x x x ⎛⎫⎛⎫-+<<-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故只要112x k x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭且112k x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈恒成立即可， 即当[]1,2x ∈时，只要k 大于112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值且k 小于112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值，因为当[]1,2x ∈时，211111022x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为减函数，max 1112x x ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 211111022x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为减函数，min 11324x x ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故所求k 的取值范围是31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；22．（1）()223f x x x =--；（2）有且只有一个根.【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的对应关系，列出关于,a b 的方程组，从而求解出,a b 的值，则()f x 的解析式可求； （2）将问题转化为求方程34ln 20x x x---=根的数目，构造新函数()34ln 2g x x x x=---， 利用导数分析()g x 的单调性和极值，由此判断出()g x 的零点个数，从而方程()4ln f x x x =根的个数可确定.【详解】解：（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-， ∴20x ax b ++=的两个根分别为1-和3．∴()()1313a b ⎧-=-+⎪⎨=-⨯⎪⎩．即2a =-，3b =-，故函数()f x 的解析式为()223f x x x =--．（2）由（1），设()22334ln 4ln 2x x g x x x x x x--=-=---，∴()g x 的定义域为()0,∞+，()()()2213341x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，得11x =，23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下表：当03x <≤时，140g x g ≤=-<， 当3x >时，()55553ee202212290eg =--->--=>． 又因为()g x 在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点， 故()g x 仅有1个零点．即方程()4ln f x x x =有且只有一个根． 【点睛】思路点睛：利用导数分析方程根的个数的思路： （1）将方程根的个数问题转化为函数零点的个数问题；（2）将原方程变形，构造新函数，分析新函数的单调性、极值、最值；（3）根据新函数的单调性、极值、最值得到新函数的零点个数，则方程根的个数可确定. 23．（Ⅰ）矩形：96sin (13cos )αα+；AMB ：144sin (1cos )αα-，1cos 13α≤<；（Ⅱ）3πα=.【分析】（Ⅰ）利用解三角形可求出矩形ABCD 的边长以及AMB 的底边AB 边上的高，从而两者的面积，过P 作//PN OM 交圆弧于点N ，连接ON ，则可得1cos 13α≤<..（Ⅱ）设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为3,2(0)k k k >，根据（Ⅰ）中的结果集合三角变换可得1576(sin sin cos )S k ααα=+，利用导数可得当3πα=时总产值最大.【详解】解：（Ⅰ）设矩形ABCD 和AMB 的面积分别为12,S S ，由题意可得，矩形ABCD 的边长分别为24sin α，412cos α+ ， 所以196sin (13cos )S αα=+，等腰三角形AMB 的底与高分别为24sin α，1212cos α-， 所以2144sin (1cos )S αα=-，过P 作//PN OM 交圆弧于点N ，连接ON ，设0MON α∠=，0(0,)2πα∈，易得041cos 123α== 因为,C D 均在线段PQ 上，所以 00αα<≤，所以0cos cos cos0αα≤<，即1cos 13α≤<.（Ⅱ）因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为3:2，所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为3,2(0)k k k >， 则年总产值为1396sin (13cos )2144sin (1cos )S k k αααα=⋅++⋅-576(sin sin cos )k ααα=+设()sin sin cos f αααα=+，且00αα<≤，22()cos cos sin f αααα'=+-22cos cos 1αα=+- (2cos 1)(cos 1)αα=-+，()0f α'=，得3πα=，因为011cos 32α=<，所以0(,)32αππ∈，当(0,)3πα∈，1cos 2α>，()0f α'>，()f α在(0,)3π单调递增；当0(,)3ααπ∈，1cos 2α<，()0f α'<，()f α在0(,)3πα单调递减.所以3πα=，能使年总产值最大.【点睛】本题考查导数的实际应用，注意根据图形合理构建数学模型，根据函数的特征选择导数来研究目标函数的最值，本题属于中档题.24．（1）在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）由()20f '=可得212a e =，由导函数的符号可得函数的单调区间； （2）当1a e时，()ln 1xe f x x e--()g x =，利用导数证明()0g x ≥即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为1(0,),()e xf x a x'+∞=-． 由题设知，()20f '=，所以212a e=． 从而22111()ln 1,()22x x f x e x f x e e e x'=--=-． 当02x <<时，()0f x <′；当2x >时，()0f x >′． 所以()f x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． （2）证明：当1a e时，()ln 1xe f x x e--． 设()ln 1x e g x x e =--，则1()x e g x e x'=-为(0,)+∞上的增函数，当01x <<时，()0(1)g g x '<'=；当1x >时，()(1)0g x g ''>=． 所以()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()()10g x g ≥=． 因此，当1a e时，()()0f x g x ≥≥． 【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.25．（1）22y x =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，求得()()1,1f f '，利用点斜式即可求得切线方程； （2）构造(1)()ln 1k x h x x x -=-+，将问题转化为证明()h x 有3个零点；再对()h x 求导，根据函数单调性，即可证明. 【详解】（1）因为()(1)ln f x x x =+，所以1()ln x f x x x'+=+， 所以(1)2f '=，又因为(1)0f =，所以()f x 在1x =处的切线方程22y x =-； （2）当2k >时，函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于 函数(1)()ln 1k x h x x x -=-+的零点个数， 因为22212(1)2()(1)(1)k x kxh x x x x x +-'=-=++，(0,)x ∈+∞， 设2()(22)1g x x k x =+-+，因为二次函数()g x 在x ∈R 时，(0)10g =>，(1)420g k =-<， 所以存在1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，使得()10g x =，()20g x =， 所以()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 在()2,x +∞上单调递增．因为(1)0h =，所以()1(1)0h x h >=，()2(1)0h x h <=， 因此()h x 在()12,x x 上存在一个零点1x =； 又因为当ekx -=时，()()()e 12e e 0e 1e 1k k k kkk k h k -------=--=<++，所以()h x 在()1e ,kx -上存在一个零点；当e k x =时，()()e 12e 0e 1e 1k k kk k h k k -⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭， 所以()h x 在()2,e kx 上存在一个零点.所以，函数()y f x =的图象与直线l ：(1)y k x =-有3个交点． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力. 26．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱 【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果； （2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）； （2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥ 因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a'=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<，因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题.。
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专题六：等差、等比数列一．基础练习1．(山东卷){}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =， 则序号n 等于 6692．(全国卷II)如果数列}{n a 是等差数列，则 （ B ） A ．5481a a a a +<+ B ．5481a a a a +=+C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =3．（福建卷）已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 154．(江苏卷)在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a 84 5．(湖北卷)设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 －2 . 6．(全国卷II)在22738和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 216 .二．典型例题 第一课时【例1】（2005年春考·北京卷)已知{}n a 是等比数列，21=a ，544=a ；{}n b 是等差数列，21=b ，3214321a a a b b b b ++=+++．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和S n 的公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设.,,2,1,1023741的值求其中U n b b b b U n n =++++=- 解：（Ⅰ）设{a n }的公比为q ，.1313)13(2}{.32}{3,271143314-=--=⋅=====-n n n n n n n S n a a a q a a q q a a 项和的公式为的前数列的通项公式为所以数列得由（Ⅱ）设数列{b n }的公差为d ，.13)1(,3,26682613,68234413321432114321-=-+===+=-=++=++++=⨯+=+++n d n b b d d a a a b b b b d d b b b b b n 所以得由（Ⅲ）b 1,b 4,b 7,…,b 3n-2组成以3d 为公差的等差数列，所以.42532)110(1010110=⋅-+=d b U例2．（全国卷II ）已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列，又na b n 21=，n=1，2，3….（Ⅰ）证明}{n b 为等比数列；（Ⅱ）（文）如果数列{b n }前3项的和等于247，求数列{a n }的首项a 1和公差d . （Ⅰ）证明： 1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列，2142lg lg lg a a a ∴=+，即2214a a a = 又设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111()(3)a d a a d +=+，即21d a d =10,0d d a ≠∴=≠ ，12(21)2n n n a a d d =+-=，21112n n n b a d ==⋅ 这时{}n b 是首项112b d =，公比为12的等比数列。
（Ⅱ）(文)解：1231117(1),322424b b b d d ++=++=∴= ，∴13a d == 【例3】（湖南卷)已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n n a （II ）证明因为nn n n n a a 21221111=-=-++， 所以n n n a a a a a a 2121212111132112312++++=-++-+-+.1211211212121<-=-⨯-=n n 第二课时【例1】已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n . 解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）.得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n ＝2×3131--n－n ＝3n －n －1.【例2】.已知f （x ）=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n 为正偶数，且a 1，a 2，a 3，…，a n 组成等差数列，又f （1）=n 2，f （－1）=n .试比较f （21）与3的大小. 解：∵f （1）=a 1+a 2+…+a n =n 2. 依题设，有2)(1n a a n +=n 2，故a 1+a n =2n ，即2a 1+（n －1）d =2n . 又f （－1）=－a 1+a 2－a 3+a 4－a 5+…－a n －1+a n =n ， ∴2n·d =n ，有d =2.进而有2a 1+（n －1）2=2n ，解出a 1=1. 于是f （1）=1+3+5+7+…+（2n －1）. f （x ）=x +3x 2+5x 3+7x 4+…+（2n －1）x n .∴f （21）=21+3（21）2+5（21）3+7（21）4+…+（2n －1）（21）n .① ①两边同乘以21，得21f （21）=（21）2+3（21）3+5（21）4+…+（2n －3）（21）n +（2n －1）（21）n +1. ② ①－②，得21f （21）=21+2（21）2+2（21）3+…+2（21）n －（2n －1）（21）n +1，即21f （21）=21+21+（21）2+…+（21）n －1－（2n －1）（21）n +1. ∴f （21）=1+1+21+221+…+221-n －（2n －1）n 21=1+2112111---n －（2n －1）n 21=1+2－221-n －（2n －1）n 21＜3.∴f （21）＜3.【例3】 设数列｛a n ｝，a 1＝65，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛a n －21｝为等比数列； （2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n .（1）证明：∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋31， ∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值. ∴数列｛a n －21｝是等比数列. （2）解：∵a 1－21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋21.（3）解：S n ＝（31＋231+…+n 31）+2n ＝311)311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯.三．课后练习1．等差数列{a n }中，已知a 1=31，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是 50 解析：由已知解出公差d =32，再由通项公式得31+（n －1）32=33，解得n =50.2．已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n |等于 21解析：设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1+x 2=2，x 3+x 4=2，由等差数列的性质，当m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为41，43，45，47，∴m =167，n =1615.∴|m －n |=21. 3．在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则a n =____3n 2____.解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.4．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15的值是一个确定的常数，则数列{S n }中也为常数的项是( C ) A.S 7 B.S 8C.S 13D.S 15解析：设a 2+a 4+a 15=p （常数），∴3a 1+18d =p ，即a 7=31p . ∴S 13=2)(13131a a +⨯=13a 7=313p . 5．在等比数列{a n }中，a 5+a 6=a （a ≠0），a 15+a 16=b ，则a 25+a 26的值是 ab 2解析：由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得 6．公差不为零的等差数列{a n }的第二、三及第六项构成等比数列，则642531a a a a a a ++++=_53_.解析：设公差为d （d ≠0），由题意a 32=a 2·a 6，即（a 1+2d ）2=（a 1+d ）（a 1+5d ），解得d =－2a 1，故642531a a a a a a ++++=d a d a 936311++=11159a a --=53.7．(湖南卷)已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ B ）A ．0B ．3-C ．3D ．238．(浙江卷)已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，a+b+c=15,求a ，b ，c ． 解：由题意，得()()()()()()2151221413a b c a c b a c b ⎧++=⎪⎪+=⎨⎪++=+⎪⎩由（1）（2）两式，解得5b = 将10c a =-代入（3），整理得 213220,211,2,5,811,5, 1.a a a a a b c a b c -+=========-解得或故或经验算，上述两组数符合题意。