广东省广州市高三高考备考冲刺阶段训练数学理试题

广东省广州市2012年高考备考冲刺阶段训练试题数学（理科）说明：⒈ 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共26题．⒉ 本训练题仅供广州市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1、已知函数()4cos sin 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）试说明函数)(x f y =的图象可由函数x y 2sin 2=的图象经过怎样的变换得到； （2）写出函数)(x f 图象的对称轴方程及对称中心坐标.2、在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知bac B C A -=-3cos cos 3cos .（1）求ac的值； （2）若ABC ∆的面积为2，33cos =B ，求b 的值.3、设函数αααcos 3sin )(+=f ，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点),(y x P ，且πα≤≤0.（1）若P 点的坐标为)1,3(，求)(αf 的值；（2）若点),(y x P 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥+11y x y y x 上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数)(αf 的最小值和最大值.4、已知关于x 的一元二次函数.14)(2+-=bx ax x f（1）设集合P ={1，2， 3}和Q ={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（2）设点（a ，b ）是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数),1[)(+∞=在区间x f y 上是增函数的概率．5、今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量（千克） = 耗电度数⨯0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数⨯0.785等．某中学高一一同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如右： （1）如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率； （2）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列.如果2周后随机地从A 小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数， 求E ξ.6、甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )21(>p ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95．（1）若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入1=a ，0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？（2）求p 的值；输入b a ,开始b T T a S S +=+=,0,0,0===T S n 结束输出T S n ,,YT S M -= 1+=n n?Y NN ?（3）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．7、如图，一个圆锥和一个圆柱组成了一个几何体，其中圆锥和圆柱的的底面半径相同，点O ，O '，分别是圆柱的上下底面的圆心， AB ，CD 都为直径，点D C B A P ,,,,五点共面，点N 是弧AB 上的任意一点（点N 与B A ,不重合），点M 为BN 的中点，N '是弧CD 上一点，且N N '//AD ，2===BC AB PA ． （1）求证：BN ⊥平面POM ；（2）求证：平面POM //平面D N AN '；（3）若点N 为弧AB 的三等分点且»»1=3AN AB ，求面ANP 与面POM 所成角的正弦值．8、如图，在直棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，11AC BC AA ===，延长AC 至D ，使AC CD =，连结11,,,BD B D CD C D ． （1）11AC B D ⊥；（2）求五面体111BB A ADC -的体积．（3）求平面11B C D 与平面ABC 所成锐二面角的正切值．9、如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面互相垂直（如图①），将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在线段BC 上（如图②），设1=AB ，h PA =，y AD =. 2.试求y 关于h 的函数解析式；3.当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角；4.在条件(2)下，求三棱锥P -ADQ 内切球的半径．ACC A BD B11110、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度 x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）11、某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．（1）若该经适楼房每幢楼共x 层，总开发费用为()y f x =万元，求函数()y f x =的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？ (2.646≈≈≈)12、已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0).点P 、Q 在双曲线的右支上,已知圆22()1x m y -+=()m R ∈与直线AP 相切,圆心为M .(1)若直线AP 的斜率为k，且43k ∈,求实数m 的取值范围； (2)当3m =时,ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.13、已知动圆过定点()1,0F ，且与直线1x =-相切，记动圆圆心的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程；⇒图① 图②（2）若点A 、B 、C 是曲线Γ上的不同三点，且满足FA FB FC ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：△ABC 不可能是直角三角形．14、给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O 、半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为3. （1）求椭圆C 及其“准圆”的方程；（2）设点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 任作两条直线1l 、2l ，使得1l 、2l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断1l 与2l 是否垂直？并说明理由.15、如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． （1）求抛物线C 的方程；（2）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； （3）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．16、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，21,F F 分别为左，右焦点，离心率为21，点A 在椭圆C 上，21=AF ，A F AF A F AF 12122⋅-= ，过2F 与坐标轴不垂直的直线交椭圆于Q P ,两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）在线段2OF 上是否存在点)0,(m M ,使得以线段MQ MP ,为邻边的四边形是菱形？若存在,求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．17、已知函数：()R a ax x a x f ∈--=,3ln ． （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若函数)(x f y =的图象在点())2(,2f 处的切线的倾斜角为45o ，是否存在实数m 使得对于任意的[]2,1∈t ，函数]2)([)(23mx f x x x g +'+=在区间()3,t 上总不是单调函数?若存在，求m的取值范围；否则，说明理由； （3（*n N ∈且1n >）． 18、记函数()x f 在区间D 上的最大值与最小值分别为(){}D x x f ∈max 与(){}D x x f ∈min ．设函数()[](]⎩⎨⎧∈∈+-=3,,,1,2b x b b x b x x f ，1<b <3．()()[]3,1,∈+=x ax x f x g ．（1）若函数)(x g 在[]3,1上单调递减，求a 的取值范围；（2）若10≤≤a ，令{}{}()max ()|[1,3]min ()|[1,3]h a g x x g x x =∈-∈．记{}()min ()|d b h a a R =∈．试写出()h a 的表达式，并求()(){}3,1max ∈b b d ． 19、已知函数2()(2)ln .f x x a x a x =-++其中常数0a >． （1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）当4a =时，给出两类直线：60x y m ++=与30x y n -+=，其中,m n 为常数，判断这两类直线中是否存在()y f x =的切线，若存在，求出相应的m 或n 的值，若不存在，说明理由． （3）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．20、设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点b x x x x x a T n i i =<<<<<<=-ΛΛ110:，将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式Mxf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1Λ=）恒成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，记作],[b a BV f ∈，这里],[b a BV 表示在],[b a 上的全体有界变差函数的集合.（1）函数2)(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由； （2）设函数)(x f 是],[b a 上的单调函数，证明：],[b a BV f ∈；（3）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的1x 、],[2b a x ∈时，2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：],[b a BV f ∈.21、已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立．（1）求0x 的值；（2）若0()1f x =，且对任意正整数n ，有11,()1()2n n n a b f f n ==+， 记1223112231,n n n n n n S a a a a a a T b b b b b b ++=+++=+++L L ，比较43n S 与n T 的大小关系，并给出证明．22、如图,已知直线:4l y x =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为1a (104a <<).从曲线C 上的点(1)n Q n ≥作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a .(1)试求1n n a a +与的关系；(2)若曲线C 的平行于直线l 的切线的切点恰好介于点12,Q Q 之间 (不与12,Q Q 重合),求3a 的取值范围； (3)若13a =,求数列{}n a 的通项公式.23、已知函数()(0)1xf x x x=>+，设()f x 在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：111,()(2n n a a f a n +==∈N *）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n n a a b λ2中，仅当5=n 时，n nn a a b λ+2取最小值，求λ的取值范围； （3）令函数2()()(1)g x f x x =+，数列{}n c 满足：112c =，1()(n n c g c n +=∈N *），求证：对于一切2≥n 的正整数，都满足：2111111121<++++++<nc c c Λ． yxOa1a 2a 3Q 1Q 2Q 3P 2P 324、设首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,q 为非零常数,已知对任意正整数,n m ,m n m m n S S q S +=+总成立.（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若不等的正整数,,m k h 成等差数列，试比较m hm ha a ⋅与2k k a 的大小； （3）若不等的正整数,,m k h 成等比数列，试比较11m h m h a a ⋅与2k ka 的大小.25、已知数列{}n a 满足：1111)1(21)1(3,21++-+=-+=n n n n a a a a a ，)1(01≥<⋅+n a a n n ，数列{}n b 满足)1(221≥-=+n a a b n n n ．(1)求数列{}n a {}n b 的通项公式；(2)证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．26、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且函数()ln 4xf x =在n x a =处的切线的 斜率为2n nS a *()n ∈N . (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求证：33331231111532n a a a a ++++<L *()n ∈N ； (3) 是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<L 对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.2012年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案1、（1）3)3sin(cos 4)(-+=πx x x f 3)2cos 232sin 21(cos 4-+=x x x 3cos 322sin 2-+=x x 322cos 1322sin -+⨯+=xx x x 2cos 32sin +=2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故函数)(x f y =的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向左平移6π得到. （2）由πππk x +=+232，得212ππk x +=，k ∈Z ，故函数)(x f 的图象的对称轴方程为212ππk x +=，k ∈Z . 由ππk x =+32，得26ππk x +-=，k ∈Z ，故函数)(x f 的图象的对称中心为,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .2、（1）由正弦定理得A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=， 所以BAC b a c B C A sin sin sin 33cos cos 3cos -=-=-，即B A B C B C B A cos sin cos sin 3sin cos 3sin cos -=-，即有)sin(3)sin(C B B A +=+，又π=++C B A ，所以A C sin 3sin =，所以3sin sin ==ACa c ． （2）由（1）知a c 3=， 又33cos =B ，π<<B 0，所以36sin =B .又ABC ∆的面积为2，所以2sin 21=B ac ，即236232=⨯a ，得2=a ，6=c .由余弦定理得：43362226cos 2222=⨯⨯-+=-+=B ac a c b ， 所以2=b .3、（1）由三角函数的定义，得21sin =α，23cos =α，故223321cos 3sin )(=⨯+=+=αααf . （2）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图所示， 其中)1,0(A ，)21,21(B ，)1,1(C ，于是24παπ≤≤.又)3sin(2cos 3sin )(παααα+=+=f ，且653127ππαπ≤+≤, 故当653ππα=+，即2πα=时，)(αf 取得最小值，且最小值为1．当1273ππα=+，即4πα=时，)(αf 取得最大值，且最大值为262+.4、（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2ab x =要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，当且仅当a >0且a b ab≤≤2,12即． 若a =1则b =－1；若a =2则b =－1，1； 若a =3则b =－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件的概率为51153=． （2）由（Ⅰ）知当且仅当a b ≤2且a >0时，函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭．构成所求事件的区域为三角形部分，由),38,316(208得交点坐标为⎪⎩⎪⎨⎧==-+ab b a ∴所求事件的概率为31882138821=⨯⨯⨯⨯=P ．5、（1）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ，P(A)=100335454212151542121451512121=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯．（2）设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率258)511(221=-=a a p ， 2周后低碳族的概率p =25172581=-，依题意ξ~B(25，2517)，所以E ξ=25⨯2517=17．6、（1）程序框图中的第一个条件框应填2=M ，第二个应填6=n ．注意：答案不唯一．如：第一个条件框填1>M ，第二个条件框填5>n ，或者第一、第二条件互换．都可以． （2）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有95)1(22=-+p p ． 解得32=p 或31=p ． 21>p Θ， 32=∴p ．（3）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 8120)95)(951()4(=-==ξP ， 81161)951)(951()6(=⋅--==ξP ．∴随机变量ξξ2 4 6P95 8120 8116 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．7、（1）连结ON ，∵OB ON =,M 为BN 的中点， ∴△ONB 中，BN ⊥OM ．∵PB PN =,M 为BN 的中点， ∴△PNB 中，BN ⊥PM ．又∵OM I PM =M 且OM 、PM 在平面POM 内，∴BN ⊥平面POM ． （2）连结AN ，∵点O ，M 分别为AB ，BN 的中点，∴△ABN 中，OM //AN ．∵AN 在平面D N AN '内，OM 在平面D N AN '外， ∴OM ∥平面D N AN '．又∵PO //N N '，N N '在平面D N AN '内，PO 在平面D N AN '外， ∴PO ∥平面D N AN '．∵OM 、PO 在平面POM 内，且OM I PO =O ，∴平面POM //平面D N AN '．（3）过点P 作直线l ∥OM ，∵点P 在平面POM 内，∴l 在平面POM 内． 又∵AN ∥OM ， ∴直线l ∥AN ， ∴l 在平面PAN 内.∴l 为平面PAN 与平面POM 的交线， 取AN 中点E ，连接PE 、EO ，∵PA=PN ∴PE ⊥AN ∴PE ⊥直线l ， 又∵PO ⊥OM ∴PO ⊥直线l ．∴∠EPO 为平面PAN 与平面POM 所成角. 当弧AN=31弧AB 时，AN=AO=1，∴直角三角形PAE 中，2152122222=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=AE PA PE ，三角形ANO 中，OE=23， ∴直角三角形POE 中，55sin ==∠PE EO EPO .8、（1）在1AC D ∆中，111AC DC AA CC ====，所以112,2AC C D AD ===，故22211AD AC C D =+，即11AC C D ⊥。