2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十四《计数原理》
河北省衡水市第二中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷含详解
2019年5月衡水市第二中学高三调研考试数学（理科）一：选择题，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.（）A. B. C. D. 【答案】A【分析】首先计算，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据向量的平方与向量模的平方是相等的，结合题的条件求得结果.【详解】因为，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关利用所给的向量的模求向量的数量积的问题，属于简单题目.4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】根据题意，循环体为“直到型”循环结构，输入，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，结束循环，输出，故选B.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构程序框图的输出结果，属于简单题目.5.设，满足约束条件，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时取得最大值，得到结果.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示：画出可行域知，当平移到过点A时z达到最大，由，解得，此时，故选C.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式以及z的几何意义，从而求得结果.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）。
2019衡水名师原创理科数学高考专题卷：专题十四《计数原理》
2019衡水名师原创理科数学专题卷专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．【来源】安徽省淮北市第一中学2017届高三下学期第二次周测考点45中难、、、、，为遵守当地某月5日至9日甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是002155天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（）A. 5B. 24C. 32D. 642. 【2017课标II，理6】考点45 中难安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种3. 【来源】四川省资阳市2017届高三4月模拟考试考点45 中难将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（）A. 40B. 60C. 80D. 1004.【来源】江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟突破冲刺考点45中难春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A. 964B. 1080C. 1152D. 12965. 【来源】福建省2017届高三4月单科质量检测考点45 中难5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 966. 【来源】广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下学期第一次联合模拟 考点45 难 如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（ ）A. 6B. 10C. 12D. 24 7.【2017课标1，理6】考点46 易621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．358. 【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考 考点46 易若12z =,且()443201234x z a x a x a x a x a -=++++,则2a 等于( )A. 122-+ B. 3-+ C. 122i +D. 3-- 9. 【来源】重庆市第一中学2017-2018学年高二3月月考 考点46 易二项式102x⎛ ⎝的展开式的二项式系数和为（ ）A. 1B. -1C. 102 D. 010.【来源】广东省揭阳市2017届高三第一次模拟考试 考点46 中难在)()4211x ⋅-的展开式中，x 项的系数为( )A. －4B. －2C. 2D. 4 11. 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二4月月考 考点46 中难()131x -的展开式中，系数最小的项为 （ ）A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项12. 【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点46 中难中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设,,(0)a b m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m =.若0122202020202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅， ()mod10a b =，则b 的值可以是（ ）A. 2011B. 2012C. 2013D. 2014第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019衡水名师原创高考理科数学专题卷：专题十四《计数原理》
2019衡水名师原创理科数学专题卷专题十四 计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题） 考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36种 B.42种 C.48种 D.54种2.高三某班下午有3节课,现从5名教师中安排3人各上一节课,如果甲、乙两名教师不上第一节课,则不同的安排方案种数为( ) A. 12 B. 72 C. 36 D. 243.第十九届东北医疗器械展览将于2018年6月18至20日在哈尔滨举行,现将5名志愿者分配到4个不同的展馆参加接待工作,每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( )A.480B.240C.180D.1504.某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2名,乙大学2名,丙大学1名,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有( )A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种5.某次联欢会要安排3个歌舞类节目2,个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 6.一名老师和四名学生站成一排照相,学生请老师站在正中间,则不同的站法为___种( ) A. 4 B. 12 C. 24 D. 1207.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为( ) A.15 B.26 C.30 D.358.已知: 7280128(1)(12)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x -+=+++++++,则4a 等于( )A.-1400B.1400C.840D.-8409.如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数和是( ) A. 0 B. 256? C. 64 D.16410.6(2)x +的二项展开式中, 2x 项的系数是( ) A.45 B.60 C.135 D.24011.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为( ) A. 252B. 70C. 256xD. 256x -12.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设,,(0)a b m m >为整数,若a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称a 和 b 对模 m 同余,记为()mod a b m =.若0122202020202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅L ,()mod10a b =,则 b 的值可以是( )A.2011B.2012C.2013D.2014 二、填空题13.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个不同的数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值的个数__________.14.把编号为1,2,3,4,5,6,7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人,每人至少一张,至多分两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同分法种数为__________.15.5()a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10,则实数a =__________.16.二项式15nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的14倍,则展开式中的常数项为__________三、解答题17.回答下列问题。
高考理科数学专题练习十四《计数原理》
专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、考点45 中难某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( )A.715B.815C.115D.4152、考点45 中难某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( )A. 11 26B. 9 26C. 11 52D. 9 523、考点45 中难某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204、考点45 中难一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6B.12C.36D.725、考点45 中难某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )A.360种B.432种C.456种D.480种 6、考点45 难2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( )A.5040B.4800C.3720D.4920 7、考点46 易24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．248、考点46 易 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则=8a （ ）A.-180B.180C.45D.-45 9、考点46 易9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）A ．-1B ．1C ．-512D ．51210、考点46 中难已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-111、考点46 中难在二项式1121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,系数最大的项为( )A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项 12、考点46 中难332除以9的余数是( )A.1B.2C.4D.8第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新版精选2019年高中数学单元测试试题-计数原理专题模拟题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 计数原理专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2006湖北理)在24(x -的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 ( C ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项2．(2005重庆理)若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于 （ ） A ．4B ．6C ．8D ．103．（2010全国卷1理数）(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 44．方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （ ）A ．28条B ．32条C ．36条D ．48条（2012四川文） [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222b cy b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-2,1,2,3四种情况:(1)若b=-2,⎪⎩⎪⎨⎧======2,1,033,1,0,23,2,0c ,1或或，或或或或c a c a a ; (2)若b=2, ⎪⎩⎪⎨⎧-==-===-=1,0,233,0,2c ,13,1,0,2或或，或或或或c a a c a以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条; 同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条. 综上,共有14+9+9=32种5．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ） A ．155B ．355C ．14D ．13（2009重庆卷文）6．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A ．14 B ．16 C ．20 D ．48（2009湖南文）7．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种（2009湖北卷文）8．(2009北京文)若4(1,a a b +=+为有理数），则a b += ( ） A ．33 B ． 29 C ．23 D ．199．1．5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=-----------------------------------（ ）(A)5x (B)51x - (C)51x + (D)5(1)1x --10．12(2)a b +的展开式的项数为----------------------------------------------------------------------（ ）(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 11．2．某电话局的电话号码为168╳╳╳╳╳，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有-------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 20个 (B) 25个 (C) 32个 (D) 60 12．3．7781n n n C C C +=+，则n 等于-----------------------------------------------------------------------（ ）(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 1 13．已知若二项式：)()222(9R x x∈-的展开式的第7项为421，则)(lim 2n n x x x +++∞→ 的值为（ ）A ．－41B ．41 C ．－43 D ．4314．设集合{}1,2,3,4,5I =,选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( ) A ．50种 B ．49种C ．48种D ．47种第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题15．两名女生，4名男生排成一排，则两名女生不相邻的排法共有 480 种（以数字作答）16．7(2)x +展开式中含4x 项的系数为__________（用数字作答）． 17．若1)(+=x x f ，则(3)f =18． 若346n nA C =，则n 的值为 ▲ ．19．把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 .（用数字作答）144 20．组织5位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 ▲ ．（用数字作答）．21．若(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式6(展开式中2x 项的系数为____22．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示___________种不同的信号． 15三、解答题23．设二项展开式C n =(3+1)2n －1(n ∈N *)的整数部分为A n ，小数部分为B n (1)计算C 1B 1，C 2B 2，(2) 求C n B n 的值。
2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题四《函数的图象、函数的应用》
2019衡水名师原创文科数学专题卷 专题四 函数的图象、函数的应用考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题）考点11：函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1． 已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ）2． 已知函数)1(x f y -=的图象如下，则)2(+=x f y 的图象是（ ）3．函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．4. 已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞5．如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AB x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图像大致为（ )6． 函数()41log 4xf x x =-的零点所在的区间是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47． 已知0x 是函数()123xf x x =--的一个零点，若()()10203,,,x x x x ∈∈+∞，则（ ） A.()()12f x f x < B.()()12f x f x > C.()()120,0f x f x << D.()()120,0f x f x >> 8． 已知方程sin x k x=在()0,+∞有且仅有两个不同的解α、()βαβ<，则下面结论正确的是（ ） A. 1tan 41πααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭ B. 1tan 41πααα-⎛⎫+=⎪+⎝⎭ C. 1tan 41πβββ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭ D. 1tan 41πβββ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭9． 设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x 的方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．)+∞D ．10． 已知()()23,xf x xg x me =-=,若方程()()f x g x =有三个不同的实根, 则m 的取值范围是（ ） A ．360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．363,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．362,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,2e 11． 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸P （单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P=P 0e－kt，（k ，P 0均为正的常数,ｐ0为原污染物数量）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放． A ．12小时 B ．59小时 C ．5小时 D ．10小时 12． 某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]3,44π==）可表示为（ ） A ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分）13．若直线2y a =与函数|1|(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是14．某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确）”时，设，算得，；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他所取的x 的4个值中最后一个值是 .15.设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .16． 已知函数()()()ln 02ln x x e f x x x e ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围为 ．三.解答题（共70分）已知函数2()21f x x x =--.(1)证明函数()f x 是偶函数；(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象． 18. （本题满分12分）函数2()21(0,1)x x f x a a a a =+->≠且 （1）若2a =，求()y f x =的值域（2）若()y f x =在区间[1,1]-上有最大值14。
高考数学压轴专题衡水备战高考《计数原理与概率统计》真题汇编含解析
高中数学《计数原理与概率统计》知识点归纳一、选择题1．36ax ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式36ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.2．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2267A A B ．3247A AC ．322367A A AD ．362467A A A【答案】D 【解析】 【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是34A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是27A 种．综上所述，不同的排法共有362467A A A 种. 故选D.解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．3．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．35C ．310D ．25【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．4．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）A ．92524ππ+B ．162524π+C ．252425ππ+D ．484825π+【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为118624 2S=⨯⨯=，Ⅱ所对应的面积2925 2482422Sπππ=++-=，整个图形所对应的面积9252482422Sπππ=++=+，所以，此点取自Ⅱ的概率为484825Pπ=+.故选：D.【点睛】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.5．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量【答案】D 【解析】 【分析】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.【详解】根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：A.2252(6221014):0.00916363220A K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(4201216): 1.76916363220B K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(824812): 1.316363220C K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯;2252(143062):23.4816363220D K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.6．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.7．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率113333155C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率1333255C A 3A 20P ==,所以所求概率为2113P P P ==. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.8．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72C ．108D ．144【答案】D【解析】 【分析】按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生的情况去掉，录取方案数为2263C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为24C 、22C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。
2020衡水名师原创理科数学专题卷专题十四《计数原理》
2019衡水名师原创理科数学专题卷专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．【来源】安徽省淮北市第一中学2017届高三下学期第二次周测考点45中难、、、、，为遵守当地某月5日至9日5甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是00215天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（）A. 5B. 24C. 32D. 642. 【2017课标II，理6】考点45 中难安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种3. 【来源】四川省资阳市2017届高三4月模拟考试考点45 中难将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（）A. 40B. 60C. 80D. 1004.【来源】江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟突破冲刺考点45中难春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（）A. 964B. 1080C. 1152D. 12965. 【来源】福建省2017届高三4月单科质量检测考点45 中难5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（）A. 54B. 72C. 78D. 966. 【来源】广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下学期第一次联合模拟考点45难如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（）A. 6B. 10C. 12D. 247.【2017课标1，理6】考点46易621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．35 8. 【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考 考点46 易若12z =,且()443201234x z a x a x a x a x a -=++++,则2a 等于( )A. 122i -+ B. 3-+ C. 122i + D. 3-- 9. 【来源】重庆市第一中学2017-2018学年高二3月月考 考点46 易 二项式102x⎛ ⎝的展开式的二项式系数和为（ ） A. 1 B. -1 C. 102 D. 010.【来源】广东省揭阳市2017届高三第一次模拟考试 考点46 中难在)()4211x ⋅-的展开式中，x 项的系数为( ) A. －4 B. －2 C. 2 D. 411. 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二4月月考 考点46 中难 ()131x -的展开式中，系数最小的项为 （ ）A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项12. 【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点46 中难中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设,,(0)a b m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m =.若0122202020202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅， ()mod10a b =，则b 的值可以是（ ）A. 2011B. 2012C. 2013D. 2014第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019衡水名师原创理科数学专题卷专题十四 计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题） 考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36种 B.42种 C.48种 D.54种2.高三某班下午有3节课,现从5名教师中安排3人各上一节课,如果甲、乙两名教师不上第一节课,则不同的安排方案种数为( ) A. 12 B. 72 C. 36 D. 243.第十九届东北医疗器械展览将于2018年6月18至20日在哈尔滨举行,现将5名志愿者分配到4个不同的展馆参加接待工作,每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( )A.480B.240C.180D.1504.某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2名,乙大学2名,丙大学1名,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有( )A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种5.某次联欢会要安排3个歌舞类节目2,个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 6.一名老师和四名学生站成一排照相,学生请老师站在正中间,则不同的站法为___种( ) A. 4 B. 12 C. 24 D. 1207.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为( ) A.15 B.26 C.30 D.35 8.已知: 7280128(1)(12)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x -+=+++++++,则4a 等于( ) A.-1400 B.1400 C.840 D.-8409.如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数和是( ) A. 0B. 256?C. 64D.16410.6(2)x +的二项展开式中, 2x 项的系数是( ) A.45 B.60 C.135 D.24011.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为( )A. 252B. 70C. 256xD. 256x -12.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设,,(0)a b m m >为整数,若a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称a 和 b 对模 m 同余,记为()mod a b m =.若0122202020202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅ ,()mod10a b =,则b 的值可以是( ) A.2011 B.2012 C.2013 D.2014二、填空题13.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个不同的数作对数的底数和真数,则所有不同的对数的值的个数__________.14.把编号为1,2,3,4,5,6,7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人,每人至少一张,至多分两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同分法种数为__________.15.5()a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10,则实数a =__________. 16.二项式15nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的14倍,则展开式中的常数项为__________三、解答题17.回答下列问题。
1.由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有多少个?2.由0,1,2,3,4,5六个数字做全排列组成的数中,数字1必须排在奇数位上的六位数有多少个?(注:本题中提到的“奇数位”按从最高位开始从左到右依次为奇数位、偶数位来理解) 18.(用数字作答)从5本不同的故事书和4本不同的数学书中选出4本,送给4位同学,每人1本,问:1.如果故事书和数学书各选2本,共有多少种不同的送法?2.如果故事书甲和数学书乙必须送出,共有多少种不同的送法?3.如果选出的4本书中至少有3本故事书,共有多少种不同的送法? 19.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内. 1.恰有1个盒不放球,共有几种放法? 2.恰有1个盒内有2个球,共有几种放法? 3.恰有2个盒不放球,共有几种放法?20.已知()()23nf x x =-展开式的二项式系数和为512,且()23nx -()()()2012111?nn a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-.1.求2a 的值;2.求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值;3.求()2020f -被6整除的余数.21.已知122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.1.若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;2.若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.22.在822x ⎫⎪⎭的展开式中.1.求二项式系数最大的项;2.求系数的绝对值最大的项;3.求系数最小的项.参考答案一、选择题 1.答案：B 解析： 2.答案：C 解析： 3.答案：B 解析： 4.答案：B 解析： 5.答案：B解析：歌舞类节目设为123,,a a a ,小品类节目设为12,b b ,相声类节目设为c ,先排123,,a a a 不相邻,顺序如12b b c ⨯⨯⨯⨯,共有3334A A 种方法, 12,b b ,相邻前提下12b b c ⨯⨯⨯,插空法共有232232A A A 种方法,所以同类节目不相邻的排法种数为33232333423234(4)620120A A A A A A A -=⋅-=⨯=.6.答案：C 解析：7.答案：B 解析：8.答案：A 解析：9.答案：D解析：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以6n =.令1x =,则展开式中所有项的系数和是6611112264⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.答案：D解析： 11.答案：B解析：由题意可得26n nC C =,所以8n =,则展开式中二项式系数最大的项为第五项,即4444588170T C x C x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,故选B.12.答案：A解析：因为20201010010199101010(12)39(101)1010...101a C C C =+===-=-+-+,所以a 被10除得的余数为1,而2011被10除得的余数是1,故选A. 二、填空题13.答案：17 解析：分两类:第一类,取1时,1只能为真数,此时对数的值为0; 第二类,不取1时,分两步: 第一步,取底数,有5种方法, 第二步,取真数,有4种方法,其中24log 3log 9=,39log 2log 4=,23log 4log 9=,49log 2log 3=故共有154417N =+⨯-= (个)不同的对数值.14.答案：1200解析：()5512341200A +++=15.答案：2 解析：16.答案：-10 解析： 三、解答题17.答案：1.第一类,首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数.第一步:把1,3,5三个数排列在奇数位上,有33A 种方法; 第二步:把0,2,4三个数排列在偶数位上,有33A 种方法.根据分步乘法计数原理,可得首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有333336A A ⋅= (个).第二类,首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数.第一步:把1,3,5三个数排列在偶数位上,有33A 种方法; 第二步:把0,2,4三个数排列在奇数位上,有222A ⨯种方法.根据分步乘法计数原理,可得首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有3232224A A ⨯⨯= (个).根据分类加法计数原理可得满足条件的六位数共有362460+= (个).2.第一类,当数字“1”在首位时,数字“0”有5种选择,其他数字不受条件限制,其排列方法为44A 种,所以当数字“1”在首位时,满足条件的六位数共有4415120A ⨯⨯= (个);第二类,当数字“1”不在首位时,根据数字“1” 只能在奇数位上,数字“1”的位置只能在千位和十位,有2种选择,数字“0”不能在首位,有4种选择,其他数字不受条件限制,其排列方法为44A 种,所以当数字“1”不在首位时,满足条件的六位数共有4424192A ⨯⨯= (个).根据分类加法计数原理可得,满足条件的六位数共有120192312+= (个). 解析：在本例中,不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题.其常见的附加条件有: 奇偶数、倍数关系、大小关系等,也可以有相邻问题、插空问题,还可以与数列等知识相联系等.解决这类问题的关键是搞清事件是什么,元素是什么, 位置是什么,给出了什么样的附加条件,然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成),再按事件发生的连续过程合理分步来解决.这类问题的隐含条件“0不能在首位” 尤其不能忽略.18.答案：1.共有2245441440C C A =种不同的送法 2.共有2474504C A =种不同的送法 3.共有314454451080C C A A +=种不同的送法解析： 19.答案：1.为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步计数原理,共有12124432144C C C A ⨯= (种)2.“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.3.确定2 个空盒有24C 种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有312412C C A 种方法;第二类有序均匀分组有22242222C C A A ⋅种方法,故共有222312242441222284C C C C C A A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭(种)放法.解析：20.答案：1.由二项式系数和为512知, 9251229n n ==⇒=,99(23)[2(1)1]x x -=--,所以()7722921144a C =-=-.2.令901,(213)1x a ==⨯-=-,令2x =,得90123(223)1n a a a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-=,所以123n a a a a +++⋅⋅⋅+01230()2n a a a a a a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=.3.99(20)203720(361)20f -=-=+-09188999363636120C C C =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-, 因为09188999363636C C C +⋅⋅⋅⋅⋅⋅能被6整除,所以-19被6整除后余数为5.解析：21.答案：1.通项()211·222n rr r r n r rr n n T C x C x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,(此题可以用组合数表示结果)由题意知456,,n n n C C C 成等差数列,∴5462n n n C C C =+,∴14n =或7n =. 当14n =时,第8项的二项式系数最大,该项的系数为271471423?432C ⨯-=;当7n =时,第4、5项的二项式系数相等且最大,其系数分别为237373522C ⨯-=,24747270C ⨯-=. 2.由题意知012C C C 79n n n ++=,∴12n =或13n =- (舍). ∴2121122r r rr T C x -+=. 由2122(1)12112122122(1)12112122C 2C ,{2C 2C ,r r r r r rr r -----+-+≥≥得525{475r r ≤≥. ∴10r =.∴展开式中系数最大的项为()10113322T x =. 解析：22.答案：1.444582621120T C x x ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭.2. 1188118822{5622r r r r r r r r C C r C C --++≥⋅⇒≤≤≥⋅, 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.31755102268(2)1792T C xx x--=-=-,2661211278(2)1792T C xx x --=-=-.系数的绝对值最大的项是第7项. 3.系数最小的项为第6项17261792T x -=-.解析：。