琴生不等式及不等式综合
浅谈琴森不等式
做不等式的習題時，可多思考如何利用各種不同的不等式定理入手， 對學習如何證明不等式很有幫助。
p u u v i i i λ = n q (可設 f ( x) = x ， xi = p ， i ) p ui u ∑ i i =1
當然，琴森不等式對證明有關函數的不等式特別有用，如想證明 對任何三角形△ABC， sin ∠A + sin ∠B + sin ∠C ≤
3 3 2
若設 f ( x) = sin x ，則可輕易地得出結案，非常方便。有興趣的同學在
f (λ x + (1 − λ ) y ) ≥ λ f ( x) + (1 − λ ) f ( y )
則稱 f 是一個凹函數。
琴森不等式
若果 f : X ⊂ » → » 是一凸函數，下列不等式成立：
f (λ1 x1 + λ2 x2 + ...... + λn−1 xn−1 + λn xn ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ) + ...... + λn−1 f ( xn−1 ) + λn f ( xn )
nxn一般教科書皆運用數學歸納法來證明利用琴森不等式很快便得出結果其他不等式也可利用琴森不等式證明例如赫爾德不等式h?ldersinequality11111nnnppqqiiiiiiiuvuv?其中1pq且111pq0iiuv?可設qfxxiiipiuvxu1piinpiiuu當然琴森不等式對證明有關函數的不等式特別有用如想證明對任何三角形abc33sinsinsin2abc若設sinfxx則可輕易地得出結案非常方便
f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′(ξ ) ( x − x0 )2 ， ξ ∈ S 2
琴生（Jensen）不等式
所以
( ) k+1
k+1
∑
∑
i= 1 λif(xi) ≥ f i= 1 λixi
证毕
Processing math: 100%
3）假设 n = k 时，琴生不等式成立，即
( ) k
k
∑
∑
i= 1λif(xi) ≥ f i= 1λixi ,
k
∑
i= 1λi = 1
则 n = k + 1 时：
∑ ∑ ∑ (∑ ) k+1
k
k λi
k λi
i= 1 λif(xi) = k + 1f(xk + 1) + i= 1λif(xi) = λk + 1f(xk + 1) + Ci= 1 C f(xi)kλi ≥ λk + 1f(xk + 1) + Cf i= 1 C xi
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琴生（ Jensen）不等式
若 f(x) 是区间 [a, b] 上的凹函数，则对任意的 x1, x2, . . . , xn ∈ [a, b]，且 ∑ni=1λi = 1, λi > 0，有不等式
( ) n
n
∑
∑
i= 1λif(xi) ≥ f i= 1λixi
当且仅当 x1 = x2 = . . . = xn 时等号成立。 证明：
证明过程采用数学归纳法。
1）当 n = 1 时，λ1 = 1，则不等式左侧为 f(x1)，不等式右侧为 f(x1)，不等式显然成立。
2）当 n = 2 时，λ1 + λ2 = 1，不等式左侧为 λ1f(x1) + λ2f(x2)，不等式右侧为 f(λ1x1 + λ2x2)，参考博客：，可知不等式成立。
琴生不等式 二阶导
琴生不等式二阶导
【实用版】
目录
1.琴生不等式的定义
2.琴生不等式的应用
3.二阶导数的概念
4.二阶导数在琴生不等式中的应用
5.琴生不等式和二阶导数的关系
正文
琴生不等式是数学领域中的一个重要不等式，其定义为：设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则有f"(c)≤(f""(c))*(f(a)-f(b))，其中 c∈(a,b)。
这个不等式在微积分、概率论、物理学等领域都有广泛的应用。
二阶导数，又称为导数的导数，是指函数的导数再次求导所得的导数。
它可以用来描述函数的变化趋势，比如，当二阶导数大于零时，函数是凸的，当二阶导数小于零时，函数是凹的。
在琴生不等式中，二阶导数有着重要的作用。
通过二阶导数，我们可以判断函数的变化趋势，从而更好地理解琴生不等式的含义。
例如，当二阶导数大于零时，函数的变化趋势是向上的，这时琴生不等式就可以用来判断函数在区间内的最小值。
琴生不等式和二阶导数之间的关系是紧密的。
二阶导数可以帮助我们更好地理解琴生不等式的含义，而琴生不等式则可以作为二阶导数的一个应用，用来解决实际问题。
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世界数学史上的十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。
琴生不等式高中证明方法
琴生不等式高中证明方法介绍琴生不等式是一种高中数学中经典的不等式，由日本数学家琴生康雄于1969年提出。
它在不等式证明中具有重要的地位，被广泛应用于数学推理和问题求解。
本文将详细介绍琴生不等式的证明方法，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学工具。
什么是琴生不等式琴生不等式是指对于任意非负实数x1,x2,…,x n和正整数n，有以下不等式成立：x1 x2+x3+x2x3+x4+⋯+x n−1x n+x1+x nx1+x2≥n2琴生不等式的证明方法证明思路我们可以通过数学归纳法来证明琴生不等式。
首先，我们用n=2作为基础进行证明，然后假设n=k时不等式成立，再证明n=k+1时不等式也成立。
最后通过数学归纳法的证明过程，可以得出琴生不等式对于所有的正整数n都成立。
基础情形n=2的证明当n=2时，不等式为：x1 x2+x1+x2x1+x2≥1我们可以将不等式的左侧化简为：x1 x2+x1+x2x1+x2=x12+x22+2x1x2(x2+x1)(x1+x2)=1可以看出，当n=2时，不等式成立。
归纳假设假设当n=k 时，不等式成立，即：x 1x 2+x 3+x 2x 3+x 4+⋯+x k x 1+x 2≥k 2归纳步骤现在，我们来证明当n=k+1时，不等式也成立。
对于n=k+1，我们可以将不等式左侧的部分拆开，得到：x 1x 2+x 3+x 2x 3+x 4+⋯+x k x k+1+x 1+x k+1x 1+x 2我们可以将上述式子的最后一项进行化简，得到：x k+1x 1+x 2=x k+12+x 1x k+1+x 2x k+1(x 1+x 2)(x k+1+x 1) 然后，我们将式子中的x i (x k+1)拆分为x i (x 1+x 2)+x i (x k+1−(x 1+x 2))，得到：x 1x 2+x 3+x 2x 3+x 4+⋯+x k x k+1+x 1+x k+12+x 1x k+1+x 2x k+1(x 1+x 2)(x k+1+x 1) =x 12+x 22+2x 1x 2(x 2+x 3)(x 1+x 2)+x 22+x 32+2x 2x 3(x 3+x 4)(x 2+x 3)+⋯+x k 2+x k+12+2x k x k+1(x k+1+x 1)(x k +x k+1)+x k+12+x 1x k+1+x 2x k+1(x 1+x 2)(x k+1+x 1)通过合并分母，我们得到：=(x 12+x 22+2x 1x 2)(x 3+x 4)…(x k+1+x 1)+(x 22+x 32+2x 2x 3)(x 4+x 5)…(x k+1+x 1)+⋯+(x k 2+x k+12+2x k x k+1)(x 1+x 2)…(x k +x k+1)接下来，我们需要对右侧的表达式进行化简。
琴生不等式 二阶导
琴生不等式二阶导
（原创版）
目录
1.琴生不等式的定义
2.琴生不等式的性质
3.琴生不等式与二阶导数的关系
4.琴生不等式的应用实例
正文
琴生不等式（Jensen"s Inequality）是一种在数学分析中常见的不等式，主要用于研究函数的凸性和二阶导数。
琴生不等式可以描述为：对于任意实数 a 和 b，以及任意凸函数 f(x)，有 f(a+b)/2 >= (f(a) + f(b))/2。
琴生不等式的性质包括：
（1）如果 f(x) 是偶函数，即 f(x) = f(-x)，那么琴生不等式可以转化为：f(a-b)/2 >= (f(a) - f(b))/2。
（2）如果 f(x) 是凹函数，即对于任意的 x1 和 x2，有 f(x1+x2) >= f(x1) + f(x2)，那么琴生不等式可以进一步强化为：f(a+b) >= f(a) + f(b)。
琴生不等式与二阶导数有着紧密的联系。
如果一个函数 f(x) 满足琴生不等式，那么它的二阶导数一定大于等于 0，即 f""(x) >= 0。
反过来，如果一个函数的二阶导数大于等于 0，那么它一定满足琴生不等式。
琴生不等式的应用实例非常广泛，例如在经济学中的效用最大化问题，物理学中的波动方程，以及机器学习中的损失函数设计等等。
在实际应用中，我们通常通过琴生不等式来判断一个函数的凸性，从而确定它的最优解。
总的来说，琴生不等式是一种强大的数学工具，它可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
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琴生不等式及不等式综合(教师)
第四章 琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 证明：注：更一般的情形：设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有 1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121n n q q q R q q q +∈+++=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++．取“=”条件：12n x x x ===说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x++=≤ 即：1212()()()22g x g x x xg ++≤．(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++-1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：12nn i a a a a R n++++∈≥，则证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式：12121(lg lg lg )lg nna a a a a a n n ++++++≤即12na a a n+++≤例3 a b c+∈R ，，，且a + b + c = 39．证明：设()f x =()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 ()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥． 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．证明：由题：对12()x x a b ∀∈，，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有1212lg ()lg ()2lg ()2x x f x f x f ++≥ 即1212lg ()lg ()lg ()22f x f x x xf ++≥于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上的凸函数 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有1212lg ()lg ()lg ()lg ()n nf x f x f x x x x f n n ++++++≥即1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．三个重要的不等式强化练习 （均值、柯西、排序不等式）1． 用柯西不等式证明：若(1)i a R i n +∈=，求证：21212111()()n na a a na a a ++++++≥． 证：由柯西222222212()][()()()]n na n a a a ++++++≥．2． 设1211i n a R i n a a a +∈=+++=，，且．求证：222221212111(1)()()()n n n a a a a a a n+++++++≥证明：由柯西：22221111111111()1[1()][][11]nnnn nnii ii i i i i i i i i ia a a a a a a ======+≥+=+=+∑∑∑∑∑∑ 222111[1](1)nnii i ia n a ===+≥+∑∑ ∴ 222111()(1)ni i i a n a n=+≥+∑． 3． 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数．证明：32122211112323na a a a n n++++≤++++． 证明：设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排序，且b 1 < b 2 < … < b n又由于221112n <<<，由排序不等式 1212222211111122nnb b b a a a n n +++≤+++ ① (反序和) (乱序和)另一方面，∵ 1212n b b b n ≥≥≥，，， ∴ 212211122nb b b n n +++≤+++② 由①②知：212211122na a a n n +++≤+++ 其中，a k = b k = k 时，取“=”号．4． 若a b c R +∈，，，求a b cb c c a a b+++++的最小值． 解：不妨设111a b c b c c a a b≥≥≥≥+++，则 由排序不等式，有a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（同≥乱） a b c c a bb c c a a b b c c a a b ++≥++++++++（同≥乱） 两式相加，可得32a b c b c c a a b ++≥+++ 当且仅当a = b = c 时取“=”号．。
全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf
1. ABC 中，求 sin A sin B sin C 的最大值。
2. f (x) ax 2 bx c ，若 a 0 ，证明 f (x) 是下凸的；若 a 0 ，证明 f (x) 是上凸的。
3. 用函数 f (x) lg x 的凸函数性质证明平均值不等式：对 ai 0 （ i 1,2,..., n ）有
2
x分
别是 (0,
), (0,)
上的下凸函数。
f
(x)
sin
x, lg
x
分别是 [0,
], (0,)
上的上凸函数。
2
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
幂平均：
设
a1, a2 ,..., an
是任意
n
个正数，我们称 ( a1r
a2r n
...
an r
1
)r
(r
在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例. 不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题 作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中， 以不等式性质或其运用作为 素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现 逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命 题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.
高一对函数单调性的证明， 由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以
我们将证明 f (x1 )与f (x2 ) 的大小关系，转化为判断 f (x1 ) f (x2 ) 的符号问题，从而以 f (x1 ) f (x2 ) 的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.
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2 ．下凸函数的几何意义： 过 y f ( x) 曲线上的任意两作弦， 则弦的中点必在该曲线的 上方（或曲线上） ．
二、琴生不等式：
若 f ( x) 是区间 (a， b) 上的凸函数，则对任意的点 x1， x2，…， xn (a， b)，有
f ( x1 x2 L n
取“ =”条件： x1 = x2 = … = xn
2
2
于是：令 g (x) lg f (x) ，则 g (x) 为 (a， b) 上的凸函数
由琴生不等式：对 x1， x2，L xn (a， b) ，有
lg f ( x1) lg f (x2 ) L lg f ( xn) lg f ( x1 x2 L xn )
n
n
即 f ( x1 ) f (x2) L f ( xn) [ f ( x1 x2 L n
第四章 琴生不等式
一、函数的凹凸性：
定义：设连续函数 f ( x) 的定义域为 (a， b)，如果对于 (a， b)内任意两数 x1， x2，都有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2)
①
2
2
则称 f ( x) 为 (a， b)上的下凸函数．
注：1．若把①式的不等号反向， 则称这样的 f ( x) 为区间 (a，b)上的上凸函数．（或凹函数）
n
[ ai
i1
n 1 ]2 i 1 ai
[1
n
1g
1 ]2
i 1 ai
[1
n
ai
i1
n
g
1 ]2
i 1 ai
(1 n 2) 2
n
∴
( ai
i1
1 )2 ai
1 (1 n2 )2 ． n
3． 设 a1， a2，…， an 是 n 个互不相等的正整数．
证明： 1 1 1 L 23
1
a1
a2
2
a3
(2) 对 x1， x2 [0， + )
lg x1 lg x2 2
lg x1 x2
lg x1 x2 2
即： g ( x1)
g ( x2 )
x1 g(
x2 ) ．
2
2
(3) 当 0 x1， x2
时
2
tan x1 tan x2 sin x1 sin x2 sin( x1 x2 )
2sin( x1 x2 )
xn )] n ．
三个重要的不等式强化练习
（均值、柯西、排序不等式）
1． 用柯西不等式证明： 若 ai R (i 1L n) ，求证： (a1 a2 L 证：由柯西
11
a n )(
L
a1 a2
1 )
n2 ．
an
[( a1 )2 ( a2 ) 2 L
( an )2 ] g[( 1 )2 ( 1 )2 L
xn )] n ．
证明：由题：对
x1， x2 ( a， b) ，有 f (x1) f ( x2) [ f ( x1 x2 )] 2 ，两边取常对： 2
则有 lg f ( x1 ) lg f (x2 ) 2lg f ( x1 x2 ) 2
即 lg f ( x1) lg f (x2 ) lg f ( x1 x2 )
a1
a2
( 1 )2] n2 ． an
2． 设 ai R ，i 1L n，且 a1 a2 L an 1 ．
求证： ( a1 1 )2 (a2 1 ) 2 L
a1
a2
2
2
( an 1 ) 2 ( n 1)
an
n
证明：由柯西：
n
( ai
i1
1 )2 g n 1
ai
i1
n
[ 1 g(ai
i1
1 )] 2 ai
任意的 x1， x2，…， xn (a， b)有 f (q1x1 q2x2 L qnxn ) q1 f (x1) q2 f ( x2 ) L qn f (xn ) ．
取“ =”条件： x1 x2 L xn
说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例 1 证明： (1) f ( x) sin x 在 [0， ) 上是上凸函数
)
3
f (1) 3
例 4 f ( x) 定义在 (a， b) 上， f ( x) 在 (a， b) 上恒大于 0，且对 x1， x2 ( a， b) 有
f (x1 ) f ( x2 ) [ f ( x1 x2 )] 2 ． 2
求证：当 x1， x2，L xn (a，b ) 时，有 f ( x1) f ( x2 )L f ( xn) [ f ( x1 x2 L n
xn )
1 [ f ( x1 )
Hale Waihona Puke f ( x2 ) Lnf ( xn)]
证明：
注：更一般的情形： 设 f ( x) 是定义在区间 (a， b) 上的函数，如果对于 (a，b)上任意两点 x1， x2，有 pf ( x1 ) pf (x2 ) f ( px1 qx2 )（其中 p， q R ， p q 1），则称 f ( x) 是 (a，b) 上的下凸函数． 其 推广形式，即加权的琴生不等式： 设 q1， q2，L ，qn R ，且 q1 q2 L qn 1 ，若 f ( x) 是区间 (a， b) 上的下凸函数，则对
例 3 a，b， c R ，且 a + b + c = 3，求证： 8a 1 8b 1 8c 1 9 ．
证明：设 f ( x) 8x 1 ，则 f ( x) 为 (0， + ) 上的凹函数．
由琴生：
1 [ f ( a)
f (b)
f (c)]
3
∴ f (a ) f (b) f (c) 9 ．
abc
f(
(2) g( x) lg x 在 (0， ) 上是上凸函数
(3) h( x) tan x 在 [0 ， ) 上是下凸函数 2
证明： (1) 对 x1， x2 [0， )
f (x1 )
f ( x2 )
1 (sin x1
sin x2)
sin x1
x2 cos x1
x2
sin x1
x2
2
2
2
2
2
f ( x1 x2 ) 2
cos x1 cos x2 cos x1 cos x2 cos(x1 x2 ) cos(x1 x2 )
2sin( x1 x2 ) 2tan x1 x2 （∵ sin
cos(x1 x2 ) 1
2
1 cos
tan ） 2
即： h(x1 ) h(x2 ) h( x1 x2 ) ．
2
2
例 2 用琴生不等式证明均值不等式 证：∵ ai R
An Gn ，即： ai R ，则 a1 a2 L an n a1a2 L an ． n
设 f ( x) lg x ，则 f (x) 为 (0， ) 上的上凸函数
由琴生不等式：
1 (lg a1 lg a2 L
lg an ) lg a1 a2 L
an
n
n
即 n a1a2 L an a1 a2 L an n