2011年小升初系列专题：应用题经典试题汇编学习手册(200)

第一篇：应用题专题知识框架体系
一、和差倍问题
（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。

方法①：（和－差）2÷=较小数，和-较小数=较大数
方法②：（和+差）2÷=较大数，和-较大数=较小数
例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。

方法：(155)25
+÷=.
-÷=，(155)210
（二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。

方法：和÷（倍数1+）1=倍数（较小数）
1倍数（较小数）⨯倍数=几倍数（较大数）
或和1-倍数（较小数）=几倍数（较大数）
例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。

方法：50(41)10
⨯=
÷+=10440
（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。

方法：差÷（倍数1-）1=倍数（较小数）
1倍数（较小数）⨯倍数=几倍数（较大数）
或和1-倍数（较小数）=几倍数（较大数）
例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。

方法：80(51)20
⨯=
÷-=205100
二、年龄问题
年龄问题的三大规律：
1．两人的年龄差是不变的；
2．两人年龄的倍数关系是变化的量；
3．随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差．
三、植树问题
（一）不封闭型（直线）植树问题
1直线两端植树：棵数=段数1+=全长÷株距1+；
全长=株距⨯（棵数1-）；
株距=全长÷（棵数1-）；
2直线一端植树：全长=株距⨯棵数；
棵数=全长÷株距；
株距=全长÷棵数；
3直线两端都不植树：棵数=段数1-=全长÷株距1-；
株距=全长÷（棵数1+）；（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题棵数=总距离÷棵距；
总距离=棵数⨯棵距；
棵距=总距离÷棵数．
四、方阵问题
在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。

方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，
每边上的人数就少2，每层总数就少8．
②每边人（或物）数和每层总数的关系：
每层总数[=每边人（或物）数1]4⨯；每边人（或物）数=每层总数
÷+．
41
③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）
数．
五、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
六、盈亏问题
按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．
一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品(盈)，第二种分配方法则不足(亏)，当两种分配方法相差n个物品时，那就有：
盈数+亏数=人数n⨯，
这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：
(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数，
(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数，
(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数．
解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．另外在解题后，应进行验算．
七、假设问题
鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法——假设法，并会将这种方法应用到一些实际问题中.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然，也可以先假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数
八、牛吃草问题
（一）牛吃草的由来
在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中有一道非常有名的关
格尔(格尔：牧场面积单位)，于牛在牧场上吃草的题目：“12头牛4周吃牧草13
3
同样的牧草，21头牛9周吃10格尔．问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也称为“牛吃草”问题．（二）牛吃草的解题步骤
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；
⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；
⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；
⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．
（三）牛吃草的变式题
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（四）多块草地的牛吃草问题
多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。

九、工程问题
工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

1. 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作
时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

2. 利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。

抛
开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

十、浓度问题
将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程度是由糖与糖水二者重量的比值决定的．糖与糖水重量的比值叫糖水的浓度，这个比值一般我们将它写成百分数．其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液．不光是糖水中存在着浓度，我们日常生活中的盐水、酒精等溶液只能够都存在着浓度的问题．
⑴浓度问题相关公式：
=+溶液溶质溶剂；100%100%⨯=⨯+=溶质溶剂
溶质溶质浓度溶液． ⑵常用方法：
①抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不变量，浓度问题中溶剂是不变量，我们可以用画图来分析；
②方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法； ③十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)；
形象表达：A
B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差
④浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有用．
十一、利润问题
商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总是“低进高出”，只有这样才能赚取差价，这个差价就会产生利润．实际上，在商品贸易上的许多数学问题都会涉及到三个量：成本、利润及定价．
成本——购进商品所需的本钱，又叫进价或成本价；
定价——商品出售的价格，又叫售价或卖卖价；
利润——产品定价中高于成本以上的那一部分．
为了衡量获得利润的大小，通常采用：“利润百分数”或“利润率”这个量： 100%100%1100%-=+=⨯=⨯=⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭
售价成本售价成本利润，利润率利润售价成本成本成本； 由上面的公式还可以引申出下面两个公式：
1⨯售价=成本（+利润率），=售价成本1+利润率。