概率论样卷6

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概率论试题(含解析)

1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，则P(AB)2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数 ()f x 非负。

3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而（A ）变小；（B ）变大；（C ）不变；（D ）无法确定其变化趋势。

答：（ A ）6、某人投篮，每次命中的概率为23，现独立投篮3次，则至少命中3次的概率为.7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0,x Ae x f x --⎧⎪≥=⎨⎪⎩其它，则常数A = . 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0(,)0,x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其它，则概率P(Y>2)= .9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则D(X+Y)=设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=,说明什么？某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第5次射击恰好第2次命中目标的概率为（）C 14P 2（1-p ）3 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

一、已知男人中有8%是肝病患者，女人中有0.35%是肝病患者。

今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是肝病患者，问此人是男性的概率是多少？四、11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1.顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。

现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。

（结果保留3个有效数字）解：设B 表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；i A 表示取到的一箱中含有i 个残品，0,1,2i =，则所求概率为2()(|)()...............................................................................(5')19181716181716150.810.10.1...........................(9')20191817201918170.9i i i P B P B A P A ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈∑43...................................................................................................(10'),03()2,3420,1;2()7312X kx x x f x x k X F x P X ≤<⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎩⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭设随机变量具有概率密度其它（）确定常数（）求的分布函数；（）求E （2x ）是否独立《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 解：1．3.0)(=+B A B A P即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2．λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P . 3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x =严格单调，反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4．2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->>41e -=-.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C U 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C U 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （）2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）. 3．由不相关的等价条件知应选（B ）. 4．若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．1，所以1是的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为 3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -=== 即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 263,55EX =⨯= 231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度. （1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,Xx xf x f x y dy+∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Zf z f x z x dx+∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x xf x z x≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当0z<或1z>时()0Zf z=01z≤≤时()222z zZf z dx x z===⎰故Z的概率密度为2,01,()0,Zz zf z⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z的分布函数为20,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z zZ Zz zf z f y dy ydy z z zzz-∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.ZDzF z P Z z P X Y z dxdy zz⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.zz zz<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Zz zf z F z≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y=≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z=的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰22222880111248x y rDe dxdy e rdrdπθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ----=--=-=-⎰；（2）22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰2228882r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰⎰。

概率论模拟卷1~6及答案

一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。

已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

二、（12分）设随机变量X的分布列为 .求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。

三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。

四、（12分）设,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a、b是不全为零的常数）。

五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。

求：（1）的矩估计量；（2）的方差。

七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。

试求常数，使得服从分布。

八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：,,,,一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。

若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x Ax x f ，求：（1）参数A ；（2）}35.0{<<X P ；（3）}{x X P <。

三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差。

四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其它,010,10,),(y x y x y x f ．（1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性。

概率论第六章习题参考解答(高等第二版)

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩ 令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx n i ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆni i x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01ni i x d L p n dp p p =-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pn x p ndp p L d ni i 解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由2()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数221()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x eμμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x nx ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i ix n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni i x n L d d 解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22n ii x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33ni i x x n θ===∑ （3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：2121222222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i n i i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L 0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβn i i n i i x x L 联立解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

概率第六单元复习试卷.doc

1. 下列说法正确的是（）. A. 抛掷硬币试验中，抛掷500次和抛掷1 000次结果没什么区别 B .投掷质量分布均匀的骰子600次，骰子标有1,2,3,4,5,6,出现5点大约为100次 C .小丽的幸运数是“8”，所以她抛出“8”的机会比她抛出其他数字的机会大 D.某彩票的中奖机会是1%,买1张一定不会中奖 2. 3. 概率是（）. B t - 任意一个事件发生的概率P 的范围是)• c -w 1 D 5 A. 0<P<l B. 0WPV1 C. 0VPW1 4.一个袋中装有3个红球，5个黄球, 10个绿球，小强从袋中任意摸出一球是黑球的概率为（）• A. 0 B. 1C.| 5.三人同行, 有两人性别相同的概率是)•A. 1 C.|D. 0如果口袋中装有4个红球，且A. 12B. 9C. 7D. 67.用写有0,1,2的三张卡片排成三位数是偶数的概率为（)■C.；1 D.g 8.高速公路上依次有A, B,。

三个出口，A, 3之间的距离为mkm, B,。

之间的距离为〃km,决定在A,。

之间的任意一处增设一个生活服务区，则此生活服务区设在A, B 之间的概率为（）.4 nA.—mB-n 9.在一个暗箱里放有。

个除颜色外其他完全相同的球，这。

个球中红球只有3个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现,概率第六单元复习试卷一、选择题（每小题4分，共40分）书包里有数学书3本，英语书2本，语文书5本，从中任意抽取一本，则是数学书的6,在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球,摸出红球的概率为+那么袋中共有球的个数为（）.A. 12B. 9C. 4D. 310、转动下列各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是（11、游戏的公平性是指双方获胜的概12、一只口袋中有4只红球和5个白球（除颜色外均相同），从袋中任摸出一个球，则（抽到白球）（填“〉”或“〈”）。

概率论数学考试题及答案

概率论数学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个值是X的概率密度函数？A. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)B. \(\frac{1}{2}e^{-|x|}\)C. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{x^2}{2}}\)D. \(\frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}\)答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = np\)B. \(E(X) = n(1-p)\)C. \(E(X) = p\)D. \(E(X) = 1-p\)答案：A3. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)B. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} k!\)C. \(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)D. \(P(X=k) = \lambda^k e^{-\lambda} (k+1)!\)答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = \frac{a+b}{2}\)B. \(E(X) = a\)C. \(E(X) = b\)D. \(E(X) = \frac{a+b}{3}\)答案：A6. 随机变量X服从指数分布，其参数为λ，下列哪个公式是X的累积分布函数？A. \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)B. \(F(x) = e^{-\lambda x}\)C. \(F(x) = 1 - e^{\lambda x}\)D. \(F(x) = e^{\lambda x}\)答案：A7. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，下列哪个公式是X的方差？A. \(Var(X) = \sigma^2\)B. \(Var(X) = \mu^2\)C. \(Var(X) = \sigma\)D. \(Var(X) = \mu\)答案：A8. 随机变量X和Y相互独立，下列哪个公式是X和Y的协方差？A. \(Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)B. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y)\)C. \(Cov(X, Y) = E(X) - E(Y) + E(XY)\)D. \(Cov(X, Y) = E(X)E(Y) - E(XY)\)答案：A9. 随机变量X服从几何分布，其成功概率为p，下列哪个公式是X的概率质量函数？A. \(P(X=k) = (1-p)^{k-1} p\)B. \(P(X=k) = p(1-p)^k\)C. \(P(X=k) = p^k (1-p)\)D. \(P(X=k) = (1-p)^k p\)答案：A10. 随机变量X服从超几何分布，下列哪个公式是X的期望值？A. \(E(X) = n \frac{M}{N}\)B. \(E(X) = n \frac{M}{N-1}\。

概率论与数理统计第六章课外练习题(含详细答案)

第六章课外练习题（含详细答案）1. 21,,~(,),n X X X N μσ 设是总体的样本则 (1) 21()n i i E X X =⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑2221()/n i i E X X σσ=⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑________.= 答案：2(1)n σ-.(2) 21()n i i D X μ=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑4221()/n i i D X σμσ=⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑_____.= 答案：42n σ.解：因为21,,~(,),n X X X N μσ 是总体的样本所以22222(1)(1)n S ES n σχσ-=- 且.从而(1)22((1))1S n n E σ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，2122()(1)(1).n i i E X X E n S n σ=⎧⎫⎡⎤-=-=-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑所以或者222211()(1)()(1)(111).n n i i i i E X X n E X X n n ES n σ==⎧⎫⎧⎫-=--=--=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑ (2) 由i X σμ-～(0,1)N ，则21ni i X σμ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑～2()n χ，所以212n i i X D n σμ=⎡⎤-⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑ 故221112244()2.n n n i i i i i i X X D X D D n σσσσσμμμ===⎧⎫⎡⎤--⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫-===⎢⎥⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎣⎦∑∑∑ 2. 12101215,,,,,(20,3){0.1}.X X X Y Y Y N P X Y -> 设与分别是正态总体的两个独立样本，求答案：0.8886.解：由题设可知，110110i i X X ==∑～(20,)310N ，151115i i Y Y ==∑～(20,)315N 则~X Y -33(0,),1015N +~~(0,.1)X Y X Y N N -即所以 {0.1}1{0.1}1{0.1}P X Y P X Y P X Y ->=--≤=--<1(0.14)220.5557.0.8881122 6.2P Φ-Φ≈-⎫⎡⎤=-<=-⎢⎥⎣⎦⨯==- 3. 设总体(1,4),X N 12100,...,,X X X 是来自总体X 的一个样本，已知Y b aX =+～(0,1),N 则 a = , b = .答案：5,5(5,5,5,5)a b a b a b =±===-=-= 即有两组解或.解：因为(1,4)X N 且100n =，所以样本均值X ～4(1,)100N . 又因为Y b aX =+～(0,1)N , 所以 220(4).(101)0X b X b a EY E a ba DY D aX a Db a X E ++=+==+===== 所以55,.54a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或4. 在总体X ～2()n χ, 12,.,,..n X X X 是来自总体X 的一个样本，则2______,______,_____.X DX E E S === 答案：2,22.,X n DX ES E n ===解：特别要注意区分样本容量和2χ分布的自由度，两者在本题中都是字母n .因为X ～2()n χ，所以,2EX n DX n ==（注意这里的n 是2χ分布中的自由度n ），从而对11i ni X X n ==∑（注意这里的分母n 是指的样本容量的n ）有： (),22,n n X EX n DX n DX n E n =====（样本容量这个是自由度）（这个是样本容量）对样本方差2S ，有22.ES DX n ==（这个n 是自由度）5. 在总体X ～2()n χ, 1210,.,..,X X X 是来自总体X 的一个样本，则2______,______,_____.X DX E E S === 答案：注意本题中自由度为n ，而样本容量是10.22,n DX 2n 10;105n .X n n n DX n E E S =====，这个为自由度；，分子的2是总体方差，分母的为样本容量样本容量这个为自由度6. 设总体(0,1),X N 1216,.,..,X X X 是来自总体X 的样本，已知{}0.01,X P λ=≥ 则______.λ= 答案：0.58.解：因为(0,1),X N 样本容量n=16，所以1161i i X X n ==∑～(0,)116N , 即0414X X -=(0,1),N 于是{}0.01{}1{}1441(4)P X P X P X λλλλ=≥=-<=-<=-Φ，从而(4)0.99λΦ=，查表得到4 2.33,λ=故0.58.λ=。

概率论第六章习题解答

n1 1 S12
12
n2
1
12
S22
~
2 n1 n2
2
X 1 Y 2
12
2
1 n1
2
1 n2
n1
1 S12
2 1
n2
1 S22
12
n1 n2 2
n1
X 1 Y
1 S12 n2 1 S22
n1 n2 2
2
2
n1
2
n2
~
t n1
n2
2
2024年8月31日7时2分
2
~ 2
n 1
Xn1 X /
n 1 2
n
nS 2
2
/ n 1
X n1 X S
n 1 T ~ t n 1
n 1
2024年8月31日7时2分
P146 练习6.4 题2
X ~ N
80, 202
202
,X
~
N
80,
100
,
EX
80
P X EX 3 P X 80 3
P X 80
, xn )
n i1
p(xi )
n i 1
M N
xi
(1
M N
)1 xi
M N
n
i1
xi
(1
M N
n
(1 xi )
) i1
M N
Sn
(1
M N
)nSn
n
其中 xi （i = 1，2，…，n ）取值 1 或 0， Sn xi ，它恰
好等于样本中取值为 1 的分量之总和。
i 1
2024年8月31日星期六

概率论与数理统计期末试卷及答案(最新6)

华南理工大学期末试卷《概率论与数理统计》试卷A 卷注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.解答就答在试卷上；3.考试形式：闭卷；4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。

注：标准正态分布的分布函数值Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525一、选择题（每题3分，共18分）1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则（） A. P(A ⋃B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A ︱B)=)()(B P A P D. P(A-B)=P(A)-P(B)2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( ) A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/83. 对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有（） A. D(ξη)=D ξD η B. D(ξ+η)=D ξ+D ηC. ξ和η独立D. ξ和η不独立 4. 设P(x)=⎩⎨⎧∉∈],0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。

若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= （）A.1/2B.1/3C.1D.3/25. 若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u, 2σ),则Z=∑=-6122)(1i iu ξσ的密度函数最可能是（）A. f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1612/2z z e z z B. f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C. f(z)=+∞<<-∞-z e z,12112/2πD. f(z)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00,1612/2z z e z z6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是（） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布C. （ξ，η）为二维连续性随机变量D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0二、填空题（每空3分，共27分）1. 设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=234-e ，则EX= 。

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+¥ -¥
4．解: （1）由 (2) f X ( x ) =
+¥
ò
f ( x, y ) dy = 1 ，得 A = 1/ 4
ò
-¥
x ì ïò- x 1/ 4dy, 0 £ x £ 2 ì x / 2, 0 £ x £ 2 f ( x, y ) dy = í =í 其他 î0, ï 0, 其他 î
f ( x ) 定义域为 [0,1] ; (B) f ( x ) 非负; f ( x ) 的值域为 [0,1] ; (D) f ( x ) 连续 4 9 5 9
4. 设 P{ X £ 1, Y £ 1} = , P{ X £ 1} = P{Y £ 1} = ,则 P{min{ X , Y } £ 1} = ( )
(3) f X ( x ) fY ( y ) ¹ f ( x, y ) ，不独立 5 .解: E ( X ) = 3 / 8 E ( Y ) = 3 / 4 ,(4 分) E ( XY ) = 3 /10 ，所以 Cov ( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E ( X ) =3/160, 四、证明题 1. 证明：因为 P ( AB ) + P ( BC ) = P ( AB U BC ) + P ( ABC ) ,又由于 AB U BC Ì B , ABC Ì AC ，所以 P ( AB U BC ) £ P ( B ) ， P ( ABC ) £ P ( B ) ,所以
样卷 6 一、填空题 1. 设 A, B 为随机事件, P( A) + P( B) = 0.7 , P ( AB ) = 0.3 ,则 P AB + P AB = 2．10 件产品中有 4 件次品,从中任意取 2 件,则第 2 件为次品的概率为 3．设随机变量 X 在区间 [0, 2] 上服从均匀分布,则 Y = X 的概率密度函数为 4．设随机变量 X 的期望 E ( X ) = 3 ,方差 D ( X ) = 5 ,则期望 E é( X + 4 ) ù =
x £ 0 ì0, ï 2．已知连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x , ) = í x 2 ï î A + Be , x > 0
2
求: (1) 常数 A, B 的值; (2) 随机变量 X 的密度函数 f ( x ) ;(3) P
(
2 < X < 2
)
3．设随机变量 X 与 Y 相互独立,概率密度分别为:
(
)
(
)
(D) P ( AB ) )
2. 设随机变量 X ~ N (1,1) ,概率密度为 f ( x ) ,分布函数 F ( x ) ,则下列正确的是( (A) P{ X £ 0} = P{ X ³ 0} ; (B) P{ X £ 1} = P{ X ³ 1} ; (C) f ( x ) = f ( - x ) , x Î R ; (D) F ( x ) = 1 - F ( - x ) , x Î R 3. 设 f ( x ) 是随机变量 X 的概率密度,则一定成立的是( ) (A) (C)
f Z ( z ) = ò
+¥
-¥
ì z e - x dy, 0 < z < 1 ì1 - e - z , 0 < z < 1 ïò0 ï ï z -1 f X ( x ) fY ( z - x ) dx = íò e - x dy, z ³ 1 = íe1 - z - e - z , z ³ 1 z ï ï0, z £ 0 z £ 0 î ï0, î
参考答案一、填空题 1. 0.1 2．0.4 3.
ì ï1 4 y , 0 < y < 4 f Y ( y ) = í 其他 ï î0,
(
)
4． 54 5. 1/2
二、选择题 1. (C) 2．(B) 3．(B) 4. (A) 5. (D) 三、计算题 1 ．解 : 设 A, B, C 分别表示 “甲 , 乙 , 丙同学不及格” , 则 P ( A ) = 0.2 ， P ( B ) = 0.3 ， P ( C ) = 0.4 ，由题意 A, B, C 相互独立 (1) 事件“恰有 2 位同学不及格” 为: D = ABC U ABC U ABC ，所以 P ( D ) = P ( ABC ) + P ( ABC ) P ( ABC ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) + P ( A ) P ( B ) P ( C ) + P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.188 (2) P ( B | D ) =
0 < x < 2, y < x 其他
（1）求常数 A 的值；（2）求边缘概率密度 f X ( x ) , f Y ( y ) ；（3） X 和 Y 是否独立?
5 . 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度函数： f ( x, y ) = í
ì3 y, 0 < x < y ,0 < y < 1 其他 î 0,
P ( BD ) P ( ABC ) + P ( ABC ) = =33/47 P ( D ) P ( D )
= 1 ， ( ) = F ( 0 ) ，即 A + B = 0 , 又由 F ( +¥ ) = 1 得，A
+
2．解: (1) 由 F ( x ) 右连续性得 F 0 解得 A = 1, B = - 1
P ( AB ) + P ( BC ) £ P ( B ) + P ( AC ) ,即 P ( AB ) + P ( BC ) - P ( B ) £ P ( AC )
求（1）数学期望 E ( X ) 与 E ( Y ) ；（2） X 与 Y 的协方差 Cov ( X , Y )
四、证明题（本大题共 1 小题，每小题 4 分，共 4 分） 1. 设 A, B , C 任意三个事件,试证明: P ( AB ) + P ( BC ) - P ( B ) £ P ( AC )
2
( )
( )
2
ë
û
5. 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布 , 则应用切比雪夫不等式估计得 . P X - 2 ³ 2 £对立事件, 0 < P( B) < 1, 则下列概率值为 1 的是( (A) P A | B ; (B) P ( B | A ) ; (C) P A | B ; )
2 ; 3
D ( 3 X - 2Y ) = (
)
(A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6 三、计算题 1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4, (1) 求恰有 2 位同学不及格的概率； (2) 若已知 3 位同学中有 2 位不及格,求其中 1 位是同学乙的概率.
ì - x (2) f ( x ) = F ¢ ( x ) = ï xe 2 , x > 0 , í ï 其它 î0,
(3) P
2
(
2 < X < 2 = F ( 2 ) - F
)
( 2 ) = e
-1
- e -2
3．解: 由于随机变量 X 与 Y 相互独立,所以 Z = X + Y 的密度函数为
ì e- x , f X ( x ) = í 0, î
x > 0
x £ 0
, fY ( y ) = í
ì1, 0 < y < 1 , î0, 其他
求随机变量 Z = X + Y 的概率密度
4．设二维随机变量 ( X , Y ) 的密度函数： f ( x, y ) = í
ì A, î 0,
20 4 1 ; (C) ; (D) 81 9 3 5. 设随机变量 ( X , Y ) 的方差 D ( X ) = 4 , D ( Y ) = 1 , 相关系数 r XY = 0.6 , 则方差
(A) (B)
fY ( y ) = ò
+¥
-¥
ì 2 1/ 4dx, - 2 £ y < 0 ì( 2 + y ) / 4, - 2 £ y < 0 ïò- y ï ï 2 f ( x, y ) dx = í 1/ 4dx, 0 £ y < 2 = í( 2 - y ) / 4, 0 £ y < 2 ïòy ï 0, 其他 î ï 0, 其他 î