2017-2018年江苏省常州市钟楼区勤业中学九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年江苏省常州市钟楼区勤业中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．（2分）下列语句中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆周角所对的弧相等C．相等的弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于弦4．（2分）正三角形的中心是该三角形的（）A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．以上说法都正确5．（2分）⊙O的直径为6cm，圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O 的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定6．（2分）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（）A．2（x+7）+2x=210 B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210 7．（2分）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（）A．2 B．C．4 D．8．（2分）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果6是方程M的一个根，那么是方程N的一个根C．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=﹣1D．如果方程M有两根符号相异，那么方程N的两根符号也相异二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是．10．（2分）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O．（填“上”、“内部”或“外部”）11．（2分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是．12．（2分）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是cm2．（结果保留π）13．（2分）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为．15．（2分）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为．16．（2分）某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是．17．（2分）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内切圆的半径长为．18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为．三、解下列方程（每题4分，共16分）19．（16分）解下列方程：（1）2（x﹣3）2=5（2）2x2﹣4x+1=0（3）2x2﹣3x﹣3=0（4）（x﹣3）2﹣x+3=0．四、作图题（6分）20．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形．（1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹）（2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）五、解答题（共42分，其中第21、22、23题各6分，第24、25、26题8分）21．（6分）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．22．（6分）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、Q分别从点A、B 同时出发，点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．23．（6分）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．24．（8分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F 是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB=AC．（2）若BD=11，DE=2，求CD的长．26．（8分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB．（1）求点B的坐标；（2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由．2017-2018学年江苏省常州市钟楼区勤业中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、有三条对称轴，B、有三条对称轴，C、有一条对称轴，D、有四条对称轴，综上所述，对称轴条数最少的是C选项图形．故选：C．2．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，所以原方程有两个不相等的实数．故选：B．3．（2分）下列语句中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆周角所对的弧相等C．相等的弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于弦【解答】解：A、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以A选项错误；B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以B选项错误；C、相等的弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以D选项错误．故选：C．4．（2分）正三角形的中心是该三角形的（）A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．以上说法都正确【解答】解：正三角形的中心是该三角形的三条高的交点，也是三条角平分线的交点，也是三边垂直平分线的交点，故选：D．5．（2分）⊙O的直径为6cm，圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O 的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【解答】解：∵⊙O的直径为6cm，∴⊙O的半径为3cm，∵圆心O到直线l的距离是3cm，∴O到直线l的距离等于圆的半径，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．6．（2分）一个长方形的面积为210cm2，宽比长少7cm．设它的宽为xcm，则可得方程（）A．2（x+7）+2x=210 B．x+（x+7）=210 C．x（x﹣7）=210 D．x（x+7）=210【解答】解：根据长方形的宽为xcm，可得长为（x+7）cm，根据题意得：x（x+7）=210．故选：D．7．（2分）已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：∵正方形的周长为8，∴边长AB=2，∵四边形是正方形，∴∠AOB=90°，∴OA=AB×sin45°=，故选：B．8．（2分）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果6是方程M的一个根，那么是方程N的一个根C．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=﹣1D．如果方程M有两根符号相异，那么方程N的两根符号也相异【解答】解：A、方程M有两个不相等的实数根，则△=b2﹣4ac＞0，所以方程N 也有两个不相等的实数根，所以A选项的结论正确；B、因为6是方程M的一个根，则36a+6b+c=0，即c+b+a=0，所以是方程N的一个根，所以B选项的结论正确；C、因为方程M和方程N有一个相同的根，则（a﹣c）x2=a﹣c，解得x=±1，所以C选项的结论错误；D、方程M有两根符号相异，则＜0，所以＜0，所以方程N的两根符号也相异，所以D选项的结论正确．故选：C．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是x2﹣x+1=0．【解答】解：将一元二次方程（2﹣x）（x+1）=3化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是x2﹣x+1=0，故答案为：x2﹣x+1=0．10．（2分）已知⊙O的半径长为10cm，OP=16cm，那么点P在⊙O外部．（填“上”、“内部”或“外部”）【解答】解：∵OP=16＞10，∴点P在⊙O外部．故答案为：外部11．（2分）一个数的平方等于这个数的三倍这个数是0或3．【解答】解：设这个数是x，根据题意，得x2=3x，即x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0解得x=0或x=3．即这个数是0或3，故答案为0或3．12．（2分）若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是πcm2．（结果保留π）【解答】解：∵扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，∴扇形的面积=3×=π（cm2），故答案为：π．13．（2分）已知关于x的方程x2+3x+a=0的一个根为﹣4，则另一个根为1．【解答】解：设方程的另一个根为x1，根据题意得：x1+（﹣4）=﹣3，解得：x1=1．故答案为：1．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠ADC=40°，则∠BAC的度数为50°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又∵∠B=∠D=40°，∴∠BAC=50°．故答案为：50°．15．（2分）如图，⊙O的半径长为6，∠ACB=60°，则AB的长为6．【解答】解：连接OA，OB，过O点作OE⊥AB于E，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠AOE=60°，∵OE⊥AB，OA=6，∴OE=3，AE=3，∴AB=6，故答案为：6．16．（2分）某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是15%．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得64×（1﹣x）（1﹣x）=36，整理得64×（1﹣x）2=36，解得x=0.15或1.75（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是15%．故答案为：15%．17．（2分）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的内切圆的半径长为3．【解答】解：设△ABC的内切圆为⊙O，切点分别为E，D，F，AD为BC边上的高，∵AB=AC=10，BC=12，∴AD==8，则AD×BC=r（AB+AC+BC）×8×12=r（10+10+12），解得：r=3．故答案为：3．18．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为π．【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=4，∴OC=AB=2，OP=AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•2π•=π．故答案为π．三、解下列方程（每题4分，共16分）19．（16分）解下列方程：（1）2（x﹣3）2=5（2）2x2﹣4x+1=0（3）2x2﹣3x﹣3=0（4）（x﹣3）2﹣x+3=0．【解答】解：（1）（x﹣3）2=，∴x﹣3=±，∴x 1=3+，x2=3﹣．（2）∵a=2，b=﹣4，c=1，∴△=16﹣8=8＞0，∴x==x1=，x2=（3）∵a=2，b=﹣3，c=﹣3，∴△=9+24=33＞0，∴x=x1=，x2=（4）（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0，∴x﹣3=0或x﹣4=0，∴x1=3，x2=4．四、作图题（6分）20．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形．（1）利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹）（2）利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l．（保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．（2）如图直线l，即为⊙O的切线．五、解答题（共42分，其中第21、22、23题各6分，第24、25、26题8分）21．（6分）已知关于x的方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+8x+12﹣a=0有两个不相等的实数根，∴△=82﹣4（12﹣a）=4a+16＞0，∴a＞﹣4；（2）a满足条件的最小值为a=﹣3，此时方程为x2+8x+15=0，解得x1=﹣3，x2=﹣5．22．（6分）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=4．点P、Q分别从点A、B 同时出发，点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则PC=4﹣t，CQ=6﹣2t，根据题意得：×（4﹣t）×（6﹣2t）=××4×6，整理得：t2﹣7t+6=0，解得：t1=1，t2=6．∵6﹣2t≥0，∴t≤3，∴t=1．答：点P运动的时间为1秒．23．（6分）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接DB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∵点E是BC的中点，∴DE=CE=BC，∴∠EDC=∠C，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∴∠ADO+∠EDC=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE；（2）∵AB=8，∠BAC=30°，∴AD=4，阴影部分的面积=﹣×4×2=π﹣4．24．（8分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？【解答】解：设此时销售单价为（80﹣x）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件，根据题意得：（80﹣x﹣40）（50+5x）=3000，整理得：x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵80﹣x≥65，∴x≤15，∴x=10，∴80﹣x=80﹣10=70．答：此时销售单价为70元/件．25．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F 是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB=AC．（2）若BD=11，DE=2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠ABC，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD=ED=2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG=CE，∵BD=11，∴BG=BD﹣GD=11﹣2=9，∴CE=BG=9，∴CD=CD﹣DE=9﹣2=7．26．（8分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA=CB．（1）求点B的坐标；（2）如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线A′O′与⊙P的位置关系，并说明理由．【解答】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠CFO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形FOEC是矩形，∴∠FCE=90°，∴∠ACE+∠ACF=90°由点C（7，7）得：CF=CE=7，∴∠AOC=∠BOC=45°，OF=CE=7，OE=CF=7，∴∠CBA=∠COA=45°，∠CAB=∠COB=45°，∴∠CAB=∠CBA，∴AC=BC，∵点A（0，6），∴OA=6，∴AF=OF﹣OA=7﹣6=1，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙P的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∴∠ACF=∠BCE，在Rt△ACF和Rt△BCE中，，∴Rt△ACF≌Rt△BCE，∴BE=AF=1，∴OB=OE+EB=7+1=8，∴点B（8，0）；（2）直线A′O′与⊙P相切．如图2，由AB是⊙P的直径可知：AB的中点即为圆心P，取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q，∴PR∥OA，PR=OA=3，∵∠AOB=90°，∴∠QRB=90°，∵△A′O′B′由△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到，∴∠OBO′=90°，BO′=BO=8，∵∠AO′B=90°，∴∠BO′Q=90°，即RP⊥A′O′，∴四边形RBO′Q是矩形，∴∠O′QR=90°，RQ=BO′=8，∴PQ=RQ﹣PR=8﹣3=5，∵⊙P的直径AB=10，∴圆心P到直线A′O′的距离等于半径长5，∴直线A′O′与⊙P相切．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。