江苏省常州高级中学2019-2020学年度上学期期中高一数学
江苏省常州市武进区礼嘉中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题
江苏省常州市武进区礼嘉中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。
3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,4,6A =，{}2,6,7B =，则AB 的子集个数为 （ ）.1A .2B .4C .8D2．函数lg(3)y x =-的定义域为 （ ）().1,3A [).1,3B ().3,C +∞ [).1,D +∞3． 已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，则((3))f g = （ ）.4A .1B .3C .9D4．函数)10(1)(1≠>+=+a a ax f x 且的图象恒过定点A ，则A 的坐标为 （ ）().0,1A .B ()1,1- ().1,2C - )2,0.(D5．函数()24xf x x =+-的零点所在的区间为 （ ）().0,1A ().1,2B ().2,3C ().3,4D6. 函数lg 1y x =-+的大致图象为 （ ）A B C D 7．若幂函数)(x f y =的图象经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛33,3P ，则=)9(f （ ） .9A 91.B 3.C 31.D8．已知 2.513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 3b =，132c =，则 （ ）.Ab a c << a b c B <<. b a c C <<. b c a D <<.9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，12)(-=xx f ，则=)16(log 21f （ ）15.16A 1615.-B 15.-C 15.D10.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒时弓箭距地面的高度为x 米，可由25x at t =-确定. 已知射箭3秒时弓箭离地面高度为135米，则弓箭能达到的最大高度为 （ ）.135A 米 .160B 米 .175C 米 .180D 米11．已知函数)(x f 的定义域为R ，对于任意的x ∈R ，都满足)()(x f x f =-，且对于任意的(]0,,∞-∈b a ，当b a ≠时，都有0)()(<--ba b f a f ，若)(l g )2(x f f <-，则实数x 的取值范围是 （ ）1.,100A ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ()1.,100,100B ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛100,1001.C ()1.0,100,100D ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．已知函数(),()y f x y g x ==，两者的定义域都是I .若对于任意I x ∈,存在0x ，使得)()(),()(00x g x g x f x f ≥≥且)()(00x g x f =，则称)(),(x g x f 为“兄弟函数”.已知函数2()2(,)f x x px q p q =++∈R ， x x x x g 4)(2+-=是定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31上的“兄弟函数”，那么函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31上的最大值为 （ ）.3A 34.3B 52.9C .13D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若集合[]2,1A =-， {}0B x x m =+≥，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为 .14．已知函数()f x 在R 上为偶函数，且0x ≥时，3()2,f x x x =-+则当0x <时，()f x = .15．已知函数2()24f x ax x =+-在(),1-∞上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是.16．已知a ∈R ,函数22340()20.x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，若对于任意的[)+∞-∈,4x ，x x f ≤)(恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）（1）已知2a ≤1214-⎛⎫⎪⎝⎭； （2）求值：3log 2693log 10(lg 2lg 3)+log 27-+⋅+.18. （本小题满分12分）设U =R ，{}{}22,0,41A x a x a a B x x =-<<+>=-≤≤. （1）若2a =，求()UA B ð；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数()121x mf x =--是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）求证：函数()f x 在()0,+∞上是单调增函数.20.（本小题满分12分）甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元.甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类推，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.（1）分别写出在甲、乙两商场购买x 双运动鞋所需费用的函数解析式()f x 和()g x . （2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少?21. （本小题满分12分）已知函数()()(1)f x x a x a =-⋅-∈R . （1）当5a =时,作出函数()f x 的图象；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]3,4上有最小值8，若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①)(x f 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，)(x f 的值域也是[],m n ， 则称[],m n 是该函数的“优美区间”． （1）求证：[]0,2是函数21()2f x x =的一个“优美区间”． （2）求证：函数6()4g x x=+不存在“优美区间”． （3）已知函数xa x a a x h y 221)()(-+==（0,≠∈a R a ）有“优美区间”[],m n ，当a 变化时，求出m n -的最大值．数学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.A4.C5.B6.D7.D8.A9.C 10.D 11.D 12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.[)2+∞， 14.32x x -++ 15.[]1,0- 16.[]0,4三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 解：（1）()222a a -=- 又()22,20,222a a a a≤-≤∴-=-分()33333a a +=+分 121244-⎛⎫= ⎪⎝⎭分=75∴原式分（2）31log 21=3+lg 6lg 6⋅原式（）332+=10分18．（本小题满分12分） 解：（1）[]4,1B =- ∴(,4)(1,)2U B =-∞-+∞ð分2a =()0,43A ∴=分 ∴()()1,46U A B =ð分 （2）A B A =7B A∴⊆分24921a a -<-⎧∴⎨+>⎩分61a a >⎧∴⎨>-⎩11分 612a ∴>分19．（本小题满分12分）（1）法一：解：定义域为{}0x x ≠，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-对于定义域内的任意x 恒成立.1122121x x m m -∴-=-+--分 221221x x xm m⋅∴=-+-- 22(12)x x m m ∴⋅=+-()()2210x m ∴+-=，4分该式对于定义域中的任意x 都成立，∴20m +=即26m =-分法二：定义域为{}0x x ≠，()f x 是奇函数，(1)(1)f f ∴-=-，11112121m m-∴-=-+--，解得23m =-分检验：当2m =-时，221()12121x x x f x -+=-=---，定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 1221()()2121x x x x f x f x --++-=-==---()f x ∴是奇函数.6分（2）证明：在()0,+∞内任取1212,,x x x x <，21121212222(22)()()112121(21)(21)x x x x x x f x f x -----=--+=----9分120x x <<122121,210,220x x x x ∴-->->11分 12()(),()f x f x f x ∴<∴在()0,+∞上单调递增.12分20．（本小题满分12分） 解：（1）由800-2440x ≥可得当118x ≤≤且x N *∈时，去甲商场购买的单价为（80020x -）元，当18x >且x N *∈时，去甲商场购买的单价为440元.去乙商场购买单价一直为80075%600⨯=元.2分(8020),118,()440,18.x x x x N f x x x x N **⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩且且 4分()600()g x x x N *=∈5分注：（1）定义域中没有写x N *∈总共扣1分.（2）如果学生写的是”018x ≤≤且x N ∈”也对. （2）当18x >且x N *∈时，()()f x g x <；6分当118x ≤≤且x N *∈时，由(80020)6000x x x -->解得110x ≤<且x N *∈；8分由(80020)6000x x x --=解得10x =；9分由(80020)6000x x x --<解得10x >且x N *∈10分综上：当110x ≤<且x N *∈时，0y >； 当10x =时，0y =；当10x >且x N *∈时，0y <.11分答：（1）(8020),118,()440,18.x x x x N f x x x x N **⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩且且 ，()600()g x x x N *=∈.（2）若单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.12分21. （本小题满分12分） 解：（1）当5a =时，(5)(1),5,()5(1)(5)(1), 5.1x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨---<⎩分5分注：图像弯曲细微有误扣1分，四个关键点()()()()5,01,0，，3,4，0,-5有漏画总扣1分（2）假设存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]3,4上有最小值8，[]()(1)3,4f x x a x x =--∈1 当3a ≤时，2221(1)()()(1)(1)24a a f x x a x x a x a x +-⎛⎫=--=-++=--⎪⎝⎭， 对称轴方程为12a x +=，1322a a +≤∴≤∴()f x 在[]3,4上单调递增 min ()(3)2(3)f x f a ∴==-2(3)81a a ∴-=∴=-6分2 当34a <<时，()08f a =<∴()f x 不可能有最小值8（舍去）8分3 当4a ≥时，2221(1)()()(1)(1)24a a f x a x x x a x a x +-⎛⎫=--=-++-=--+⎪⎝⎭对称轴方程为12a x +=，15422a a +≥∴≥ ①当517222a +≤≤即46a ≤≤时，min ()(4)3(4)f x f a ==- 203(4)83a a ∴-=∴=，又20463a a ≤≤∴=舍去. 10分②当1722a +>即6a >时，min ()(3)2(3)f x f a ==-2(3)87a a ∴-=∴=.综上：1a =-或7a =.12分22. （本小题满分12分）解：（1）212y x =在区间[]0,2上单调递增．1分又(0)0f =，(2)2f =，∴值域为[]0,2，∴区间[]0,2是2()f x x =的一个“优美区间”.2分（2）设[],m n 是已知函数定义域的子集．0≠x ，[]()0,,m n ⊆-∞或[](),,0m n ⊆+∞，∴函数6()4g x x=+在[],m n 上单调递减．3分若[],m n 是已知函数的“优美区间”，则64(1)64(2)n mm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4分由(1)(2)-得66n m m n -=-6()n m n m mn -∴=-，n m >6mn ∴=6n m∴= 代入(1)等式不成立，∴函数6()4g x x=+不存在优美区间. 6分（3）设[],m n 是已知函数定义域的子集．0≠x ，[]()0,,m n ⊆-∞或[](),,0m n ⊆+∞，∴函数xa a a x a x a a y 222111)(-+=-+=在[],m n 上单调递增．7分若[],m n 是已知函数的“优美区间”，则⎩⎨⎧==n n h mm h )()(8分∴m 、n 是方程x xa a a =-+211，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根． 012>=amn ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2>-+=∆a a a ， 即1>a 或3-<a 10分n m -==11分∴当3=a 时，m n -取最大值332.12分。
2019-2020学年江苏省常州市高三(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含答案)
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又由当 0x1 时， f (x) 4x(1 x) ，
则 f (1 ) 4 1 (1 1 ) 1；
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故答案为：1． 6．设函数 f (x) cos x( 0) ，将 y f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象
4 与原图象重合，则 的最小值等于 8 ． 【解答】解：函数 f (x) cos x( 0) ，将 y f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，
an1 an
a12 q2(n1)1 a12 q 2n1
q2 ，结果是不为零的常数，所
以④正确； 所以本题正确的应选①②④．
9．已知函数 f (x) x3 3x c(x R) ，若函数 f (x) 恰有一个零点，则实数 c 的取值范围是
( ， 2) (2 ， ) ．
( 15 ) 3 33
5 ． 3
故答案为： 5 ． 3
8．已知数列{an} 是等比数列，有下列四个命题：
①数列
{|
an
|}
是等比数列；②数列
1 an
是等比数列；
③数列 lg(an2 ) 是等比数列；④数列{an an1} 是等比数列．
其中正确命题的序号为 ①②④ ．
22 ．
【解答】解：设底面边长为 a ，则高 h SA2 ( 2a )2 24 a2 ，
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所以体积 V 1 a2h 1 24a4 1 a6 ，
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设 y 24a4 1 a6 ，则 y 96a3 3a5 3a3 (32 a2 ) ； 2
①数列
常州高级中学2019年-2020年第一学期高三年级数学期中模拟试卷
江苏省常州高级中学高三年级第一学期期中测试卷1. 已知集合}{4321、、、=A ，}{6420、、、=B ,则=⋂B A2. 若复数z 满足i*z=1+2i(其中i 为虚数单位),则z 的模为3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11S =13，3086=+a a ，则1a 的值为4. 上图是一个算法的流程图，则输出的n 为5. 如图，已知长方体棱长为1，点P 在1AA 上任意一点，则四棱锥P -11B BDD 的体积为6. 已知实数0,>y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则z=y x +2的最大值为 7. 在平行四边形ABCD 中，AB=3,AD=1,∠BAD=60°，若CE ⋅则2的值为 8. k ,4,9)2(3122则实数两点，若相交于）圆（直线==-+-+=AB B A y x kx y9. []_______2121-,4)()()32sin(2)(的最大值为，则π，π且，若π已知x x x f x f x x f -∈-=⋅-=10. _____2201010)6,0(程为切于原点的圆的标准方且与圆：过点=+++y x y x A11. ___________2a )()()()(=-+==则只有一个零点，上单调函数，若函数是已知奇函数x a f x f x g R x f y12. 的最大值为，则若的对边分别为中，在△A C b a c b a C B A ABC tan 0cos 3,,,,,=+,,,0442:13_______22成等比数列，则满足：内的点圆的中点为轴截得的弦被、已知圆PB PN PA P C N AB x y x y x C ⋅=-+-+的取值范围个不同实数解，则实数有且仅有的方程、若关于3)2(22142x x e x ae x a x -=---二、解答题1、(本题满分14分)的值求为垂足，若）设（的大小求角且的对边分别为中，在△AC AD c b D BC AD A B b c A b c b a C B A ABC ⋅==⊥-=,3,2,2).1(.tan )2(tan ,,,,,16、(本题满分14分)ABCCEF CC BB EF AB C A F E AC A C C AA ABC C C AA ABC C B A 平面平面平面的中点，求证、分别是，是菱形，侧面底面中，侧面如图，斜三棱柱⊥︒=∠⊥-)2(//)1(;.60,11111111111117、(本题满分14分)如图，某市有一天东西走向的公路l 现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路，l 、m 欲在建一条公路PQ ，Q P ,分别在公路的l 、m 上（点Q P ,分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切。
江苏省常州市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷(I)卷
江苏省常州市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·广东月考) 已知集合，则下列式子表示正确的有（）① ；② ；③ ；④ .A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）设函数，，则（）A . 0B . 38C . 56D . 1123. （2分） (2017高一上·长春期中) 若全集U=R集合A={x|1＜x≤3}，则∁UA=（）A . {x|x＜1或x≥3}B . {x|x≤1或x＞3}C . {x|x＜1或x＞3}D . {x|x≤1或x≥3}4. （2分）(2017·芜湖模拟) 设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|x2≤4}，则A∪B=（）A . [﹣2，+∞）B . （1，+∞）C . （1，2]D . （﹣∞，+∞）5. （2分）下列函数与相等的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·埇桥期中) 下列函数图象中，函数y=ax（a＞0且a≠1），与函数y=（1﹣a）x的图象只能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·大同期中) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . y=1，y=x0B . y=lgx2 ， y=2lgxC .D .8. （2分） (2017高一下·杭州期末) 函数f（x）=log2（x+2）的定义域是（）A . [2，+∞）B . [﹣2，+∞）C . （﹣2，+∞）D . （﹣∞，﹣2）9. （2分） (2019高三上·和平月考) 已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为（）A . -3B . 0C . 3D . 610. （2分）下列各式成立的是（）A . =B . （）2=C . =D . =11. （2分）设，则f[f(2)]的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 312. （2分） (2019高一上·成都期中) 若函数，则使不等式有解时，实数的最小值为（）A . 0B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·雨花期中) 已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2019高二下·平罗月考) 设有两个命题：p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}；q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．15. （1分）幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则α=________．16. （1分） (2016高一上·苏州期中) 已知函数f（x）= ，则f[f（）]的值是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高三上·佛山月考) 已知 , .（1）若 ,判断函数在上的单调性；（2）设 ,对 ,有恒成立,求的最小值18. （10分） (2016高一上·迁西期中) 求下列各式的值：（1） +（2）．19. （10分） (2016高一上·南京期中) 某旅游景区的景点A处和B处之间有两种到达方式，一种是沿直线步行，另一种是沿索道乘坐缆车，现有一名游客从A处出发，以50m/min的速度匀速步行，30min后到达B处，在B处停留20min后，再乘坐缆车回到A处．假设缆车匀速直线运动的速度为150m/mm．（1）求该游客离景点A的距离y（m）关于出发后的时间x（mm）的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）做出（1）中函数的图象，并求该游客离景点A的距离不小于1000m的总时长．20. （5分） (2016高一上·西城期末) 已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．21. （5分） (2017高一上·徐汇期末) 已知全集为R，集合A={x| ≤0}，集合B={x||2x+1|＞3}．求A∩（∁RB）．22. （10分）设集合．（1）若，试判断集合与的关系；（2）若，求实数组成的集合．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
2022-2023学年江苏省常州高级中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省常州高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{0，1}，集合B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1，3]B ．（1，3]C ．{﹣1，2，3}D ．{﹣1，0，2，3}2．已知函数f （x ）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x （x +1），则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣12B ．12C ．9D ．﹣93．若x ，y 为实数，则x ＞y 是x 2＞y 2的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)={3x +1，x ＜2，x 2+ax ，x ≥2，若f(f(23))=−6，则实数a ＝（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣6D ．65．如果函数f （x ）对任意实数a ，b 满足f （a +b ）＝f （a ）f （b ），且f （1）＝2，则f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+⋯+f(2022)f(2021)=（ ）A ．2022B ．2024C ．2020D ．20216．已知函数f （x +1）是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （2），c ＝f （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．已知a ＞0，b ∈R ，若x ＞0时，关于x 的不等式（ax ﹣1）（x 2+bx ﹣4）≥0恒成立，则b +4a的最小值是（ ） A ．4B ．2√3C ．4√2D ．4√38．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2﹣bx +c ＞0的解集为（1，2），解关于x 的不等式cx 2﹣bx +a ＞0”有如下解法：解：ax 2﹣bx +c ＞0⇒a ﹣b （1x）+c （1x）2＞0，令y =1x ，则y ∈(12，1)，所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为(12，1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c＜0的解集为（﹣2，﹣1），求关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1＜0的解集是（）A．(12，1)B．(−1，−12)C．(−∞，−1)∪(−12，+∞)D．(−∞，12)∪(1，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高一(上)期中数学试卷 727(解析版)
2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<5}，则A∩B=()A. {x|2<x≤3}B. {x|3<x<5}C. {x|3≤x<5}D. {x|2<x<7}2.函数y=√x−3x−7的定义域为()A. (3,+∞)B. [3,+∞)C. (3,7)⋃(7,+∞)D. [3,7)⋃(7,+∞)3.已知函数f(x)={x 2,x⩽0,1−2x,x>0,则f(f(−1))=()A. 1B. 5C. −1D. −54.函数f(x)=a x(a>0,a≠1)满足f(2)=81，则f(12)的值为()A. ±13B. ±3 C. 13D. 35.在区间(0,2)上不是增函数的是()A. y=2x+1B. y=3x2+1C. y=2xD. y=x2+3x+26.设a=log37，b=23.3，c=0.8，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. a<c<b7.log223+log26等于()．A. 1B. 2C. 5D. 68.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,√2)，则f(4)=()A. 2B. 12C. √22D. 2√29.函数f(x)=a x−1a(a>0,a≠1)的图象可能是()A. B.C. D.10.已知函数f(x)=3x+x−12的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z)，则n的值是()A. −2B. −1C. 0D. 111. 已知函数g(x)=f(x)−x 是偶函数，且f(3)=4，则f(−3)=( )A. −4B. −2C. 0D. 412. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若满足f(2log 3a )>f(−√2)，则a 的取值范围是( ) A. (−∞,√3) B. (0,√3) C. (√3,+∞) D. (1,√3) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合 M={2,m }，集合 N={2m,2}，且 M=N ，则实数 m 的值为 ________ ． 14. 已知f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x(1+x)，则f(−2)= ______ ．15. 已知点A(3,1)和B(−4,6)在直线3x −2y + m =0的两侧，则m 的取值范围是_________． 16. 若函数f(x)={x 3−3x +1−a,x >0,x 3+3x 2−a,x ≤0恰有3个零点，则a 的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数f(x)为奇函数，当x ≥0时，f(x)=√x ，g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0，(1)求当x <0时，函数f(x)的解析式；(2)求g(x)的解析式，并证明g(x)的奇偶性．18. 设全集U =R ，集合A ={x|x >2}，B ={x|ax −1>0,a ∈R}．(1)当a =2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．19. 已知二次函数f(x)=x 2+bx +c 的图像经过点(1,3)，且函数f(−12+x)=f(−12−x)．(1)求f(x)的解析式．(2)已知t <2,g(x)=[f(x)−x 2−3]⋅|x|，求函数g(x)在[t,2]的最大值和最小值．20.小王投资1万元、2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元．为了预测投资资金x(万元)与收益y(万元)之间的关系，小王选择了甲模型y=ax2+bx+c和乙模型y=pq x+r．(1)根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a，b，c，p，q，r的值；(2)若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好⋅21.已知函数f(x)=x2+2x+a，x∈[1,+∞).x(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值;2(2)若对任意的x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．22.已知命题p：函数f(x)=x3+ax+5在区间(−2,1)上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 直接利用交集定义求解即可． 【解答】解：集合A ={x |3≤x <7}，B ={x |2<x <5}， 则A ∩B ={x |3≤x <5}， 故选C ． 2.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的定义域，利用分式函数和根式函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则需{x −3≥0x −7≠0,解得x ≥3且x ≠7， 即函数的定义域为．故选D ． 3.答案：C解析：【分析】本题考查了分段函数求值问题，属于基础题.先求出f (−1)=1，再求f (1)即可． 【解答】解：已知函数f(x)={x 2,x ⩽0,1−2x,x >0,则f(f(−1))=f (1)=1−2×1=−1． 故选C ． 4.答案：D解析：【分析】由已知条件得f(x)=9x ，由此能求出f(12)=912=3．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数性质的合理运用． 【解答】解：∵函数f(x)=a x (a >0,a ≠1)满足f(2)=81， ∴a 2=81，解得a =9， ∴f(x)=9x ， ∴f(12)=912=3． 故选：D ．5.答案：C在(−∞,0)和(0,+∞)都是递减的，故选C．解析：函数y=2x6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．【解答】解：1<log37<2，b=23.3>2，c=0.8<1，则c<a<b，故选B．7.答案：B解析：【分析】本题考查了对数运算性质，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．【解答】×6)=log222=2．解：原式=log2(23故选B．8.答案：A解析：因为幂函数y=f(x)的图象经过点(2,√2)，所以幂函数的解析式为：f(x)=x12，则f(4)=412= 2.故选A．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数f(x)恒过点(−1,0)是关键，属于基础题．先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点(−1,0)，问题得以解决．【解答】解：当0<a<1时，函数f(x)=a x−1为减函数，a为增函数，当a>1时，函数f(x)=a x−1a且当x=−1时，f(−1)=0，即函数f(x)恒过点(−1,0)，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题考查了函数零点存在性定理，属于基础题．函数f(x)=3x+x−12在R上是增函数且连续，由函数零点的判定定理可求得．【解答】解：易知函数f(x)=3x+x−12在R上是增函数且连续，f(0)=1−12=12，f(−1)=13−1−12=−76，故f(0)·f(−1)<0，所以函数在(−1,0)上存在唯一零点x0，因为x0∈(n,n+1)(n∈Z)，故n=−1；故选B．11.答案：B解析：解：函数g(x)=f(x)−x是偶函数，可知g(3)=g(−3)，可得f(3)−3=f(−3)+3，即4−3=f(−3)+3，f(−3)=−2．故选：B．利用函数的奇偶性，真假求解函数值即可．本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.答案：B解析：解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，则其在区间[0,+∞)上递减，f(2log3a)>f(−√2)⇔f(2log3a)>f(√2)⇔2log3a<√2，即log3a<12，解可得0<a<√3；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在区间[0,+∞)上递减，则f(2log3a)>f(−√2)可以转化为2log3a<√2，变形可得log3a<12，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键．13.答案：0解析：【分析】本题考查了集合相等．利用集合相等计算得结论．解：因为集合M={2,m},集合N={2m,2}，且M=N，所以m=2m，解得m=0．因此实数 m 的值为0．故答案为0．14.答案：−6解析：【分析】利用函数是奇函数，得到f(−2)=−f(2)，利用f(2)和f(−2)的关系进行求值．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f(−2)转化为f(2)是解决本题的关键．【解答】解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(−2)=−f(2)，∵当x≥0时，f(x)=x(1+x)，∴f(−2)=−f(2)=−6．故答案为−6．15.答案：−7<m<24解析：【分析】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，是基础题．【解答】解：因为点(3,1)和点(−4,6)在直线3x−2y+m=0的两侧，所以(3×3−2×1+m)[3×(−4)−2×6+m]<0，即：(m+7)(m−24)<0，解得−7<m<24，故答案为−7<m<24．16.答案：(−1,0)∪[1，4)解析：【分析】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点，分类讨论思想，难度中档．解：函数f(x)={x 3−3x +1−a,x >0,x 3+3x 2−a,x ≤0的图象如下图，y =f(x)的零点即为函数y =f(x)图象与函数y =a 的交点个数，结合图象可知，函数y =f(x)恰有3个零点，则(−1,0)∪[1，4)． 故答案为(−1,0)∪[1，4)．17.答案：解：(1)设x <0，则−x >0，此时有f(−x)=√−x ． 又∵函数f(x)为奇函数， ∴f(x)=−f(−x)=−√−x ． ∴当x <0时，f(x)=−√−x ． ∴f(x)={√x,x ≥0−√−x,x <0；(2)函数g(x)解析式为g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0={√x,x ≥0√−x,x <0，g(x)的定义是R ，关于原点对称，当x >0时，−x <0，g(−x)=√−(−x)=√x =g(x)， 当x <0时，−x >0，g(−x)=√−x =g(x)， 综上所述，函数g(x)为偶函数．解析：(1)设x <0，则−x >0，结合已知与函数是奇函数可得x <0时的解析式，则答案可求； (2)由已知结合(1)写出分段函数解析式，然后利用奇偶性的定义证明g(x)的奇偶性． 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数奇偶性的判断方法，是中档题．18.答案：解：(1)当a =2时，解不等式2x −1>0得x >12∴B =(12,+∞)…(2分)∴A ∩B =(2,+∞)∩(12,+∞)=(2,+∞)…(4分) (2)①当a <0时，解不等式ax −1>0得x <1a ∴B =(−∞,1a )，此时B ⊆A 不成立 …(6分)②当a =0时，不等式ax −1>0没有实数解 ∴B =⌀，此时B ⊆A 成立 …(8分) ③当0<a ≤12时，1a ≥2，解不等式ax −1>0得x >1a ∴B =(1a ,+∞)，此时B ⊆A 成立 …(10分)④当a >12时，1a <2，解不等式ax −1>0得x >1a ∴B =(1a ,+∞)，此时B ⊆A 不成立 …(12分)综上所述，实数a 的取值范围是0≤a ≤12…(14分)解析：(1)求出A ，B ，即可求出A ∩B ；(2)分类讨论，利用B ⊆A ，即可求实数a 的取值范围．本题考查集合的关系与运算，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19.答案：解：(1)∵f(−12+x)=f(−12−x)，∴二次函数f(x)=x 2+bx +c 的对称轴方程为x =−12， 即−b2=−12，∴b =1，又∵二次函数f(x)=x 2+bx +c 的图象经过点(1,3) ∴1+b +c =3，解得c =1，∴函数f(x)的解析式为f(x)=x 2+x +1； (2)由(1)知，g(x)=(x −2)⋅|x|={x 2−2x,x ≥0−x 2+2x,x <0={(x −1)2−1,x ≥0−(x −1)2+1,x <0,∴当x ∈[t,2]时，g(x)max =0，当1≤t <2，g(x)min =g(t)=t 2−2t ， 当1−√2≤t <1，g(x)min =−1，当t <1−√2，g(x)min =g(t)=−t 2+2t ， ∴g (x )max =0,g (x )min ={t 2−2t,1≤t <2−1,1−√2≤t <1−t 2+2t,t <1−√2．解析：本题考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值的方法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．(1)因为函数f(−2)=f(1)，可得二次函数的对称轴为x =−12，由此可得b 值；再由函数图象过点(1,13)求出c 值，从而求出f(x)的解析式．(2)由题意可得g(x)=(x −2)|x|，讨论t 的范围，结合图象求出g(x)在[t,2]上的最值；20.答案：解：(1)①若选择甲模型，由题意有{a +b +c =44a +2b +c =99a +3b +c =16，解得{a =1b =2c =1,②若选择乙模型，由题意有{pq +r =4pq 2+r =9pq 3+r =16，解得{ p =12514q =75r =−172；(2)由(1)知甲模型为y =x 2+2x +1，乙模型为y =12514×(75)x −172，若选甲模型，当x =4时，y =25； 若选乙模型，当x =4时，y =12514×(75)4−172=25.8，由25.2万与25万较接近，故选择甲模型较好．解析：本题考查了函数模型的应用，属于中档题． (1)利用代入法求解函数解析式； (2)比较甲乙收益即可得到结论．21.答案：解：(1)当a =12时，f(x)=x +12x +2，x ∈[1,+∞)，设任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1<x 2， 则f(x 2)−f(x 1)=(x 2−x 1)(1−12x 1x 2).∵1≤x 1<x 2，∴x 2−x 1>0，2x 1x 2>2，∴0<12x1x 2<12，1−12x1x 2>0，∴f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2). ∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=72．(2)对任意的x ∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，等价于对任意的x ∈[1,+∞)，x 2+2x +a >0恒成立． 设y =x 2+2x +a ，x ∈[1,+∞)，则函数y =x 2+2x +a =(x +1)2+a −1在区间[1,+∞)上是增函数， ∴当x =1时，y 取得最小值，最小值为3+a ．∴当y min =3+a >0时，函数f(x)>0在区间[1,+∞)上恒成立，解得a >−3， 即实数a 的取值范围为(−3,+∞).解析：本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略．第11页，共11页 (1)a =12时，函数为f(x)=x +12x +2，f(x)在[1,+∞)上为增函数，故可求得函数f(x)的最小值(2)问题等价于f(x)=x 2+2x +a >0，在[1,+∞)上恒成立，通过求函数的最值，从而可确定a 的取值范围．22.答案：解：命题p ：函数f(x)=x 3+ax +5在区间(−2,1)上不单调，若命题p 的否定为：函数f(x)=x 3+ax +5在区间(−2,1)上单调，f(x)的导数为f′(x)=3x 2+a ≥0或≤0在区间(−2,1)上恒成立．由3x 2+a ≥0可得−a ≤3x 2的最小值，即有−a ≤0，即a ≥0；由3x 2+a ≤0可得−a ≥3x 2在区间(−2,1)上恒成立，由3x 2<12，即有−a ≥12，即a ≤−12；综上可得，a ≥0或a ≤−12．解析：本题考查命题的否定，考查函数的导数的运用：判断单调性，考查转化思想的运用，以及运算能力，属于中档题．求出命题的否定，求出f(x)的导数可得f′(x)=3x 2+a ≥0或≤0在区间(−2,1)上恒成立．运用二次函数的最值求法，即可得到所求a 的范围．。
江苏省常州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题
绝密★启用前江苏省常州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{A =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________． 2．已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 3．已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．4．已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．5．设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．6．设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________． 7．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝________． 8．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：…………○…※※请…………○…①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________．9．已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．10．已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =，则当该棱锥的体积最大时，它的高为________．11．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 12．已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________． 13．已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________．14．设函数()2x x f x a a x -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10ax e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．二、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ； （2）求证：DE CD ⊥．16．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．…………装………○……___________姓名…………装………○……（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值． 17．已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围．18．已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．19．如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；（2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围． 20．设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数． （1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值；（2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+；（3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．0或3 【解析】 【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m =m 的值．【详解】 ∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，∴m ＝3或m =解得：m ＝0或3或1（舍去）． 故答案为：0或3 【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．[2,4] 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1）， 则有﹣1≤x ﹣3≤1，解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]； 故答案为：[2,4]． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式． 4．35 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可． 【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35． 【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5．1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论． 【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=， 故f （92-）1=，故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键． 6．8 【解析】 【分析】 函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 【详解】 f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期， 所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8． 【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型．7．－3【解析】∵sinα＋cosα∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.∵α为第二象限角且sinα＋cosα， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α8．①②④ 【解析】【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断． 【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④ 【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数． 9．(,2)(2,)-∞-+∞【解析】 【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围． 【详解】 f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，， 函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0，解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞ 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10．【解析】 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值． 【详解】设底面边长为a ，则高h ==V 13=a 2h=设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a ＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a ＝此时h ==故答案为： 【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题． 11．4π【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ， 得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]， 由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 12．3- 【解析】 【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3- 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13．12-+【解析】 【分析】结合切线长定理，设出P A ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则P A ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB =|PA |•|PB |cos2α=（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x +-12，∴当且仅当x 2=“＝”，故PA •PB 的最小值为12故答案为：12-+【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14．10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可 【详解】()()+2=x x f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()'ln 222ln 20x x fx a a a a -=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10a x ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题 15．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ． 【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点， 又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点， 又∵D 为1BB 的中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥ 又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1， 则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD,故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 16．（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可 （2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可 【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得4sin 5ADC ∠==由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角，即角B 为锐角，由5sin 13B =，得12cos 13B ==则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，即335331365AD =，解得25AD =， （2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=， 则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题 17．（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围．试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18．（1）证明见解析（2）1122n n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明 （2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=， 则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭， 即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈）， （3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19．（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可（2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可 【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==， 又在直角三角形ABE 中，8AE ==，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时）， 乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时），由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤， 所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值， 且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=， 则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值， 且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤， 由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤ 即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题20．（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明 （3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解 【详解】（1）()1xf x e -=-，则()x f x e '-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+（2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+， 令()1x g x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+， 所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意， 当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+， 由题设0x ≥，此时有()0f x ≥， 当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-， 则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ， ()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+， 则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
江苏省常州市高级中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
【点睛】本题考查了解分式不等式，意在考查学生的计算能力.
5.若函数 则 ( ）
A。 B. 2C。 D。 —2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入数据计算得到答案.
【详解】 ， .
故选: 。
【点睛】本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算能力。
6。要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位长度B。 向右平移 个单位长度
C。 向左平移 个单位长度D。 向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
将所给函数化为 ,根据三角函数相位变换原则可得结果.
【详解】
只需将 的图象向左平移 个单位长度即可得到 的图象
故选：
【点睛】本题考查三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对 的变化量的变换，遵循“左加右减"原则。
【答案】BC
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到函数周期，单调性,对称，得到答案.
【详解】 ，画出函数图像，如图所示：
故函数的最小正周期为 ，关于 对称，区间 上单调递减。
且函数 的图象与函数 的图象不关于直线 对称。
故选： .
【点睛】本题考查了函数的周期，单调性，对称，意在考查学生的对于函数知识的综合应用。
故选： .
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2。若 , ，则 的坐标为( ）
A。 B。 C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算直接得到答案.
【详解】 .
故选： .
【点睛】本题考查了向量的坐标运算,意在考查学生的计算能力。
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高一数学
(本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟)
一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分.
1. 已知集合 A = {1，2，4，6} ，B = {2，6，7}，则 A ∩ B 的子集个数为
A. 1
2
A. 5
B. − 5
C. −15
D. 15
16
16
()
10.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒 a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒时弓箭距
地面的高度为 x 米，可由 x = at − 5t2 确定. 已知射箭 3 秒时弓箭离地面高度为 135 米，则弓箭能达到的最大
高度为
()
18. (本小题满分 12 分)
设 U = R，A = {x|2 − a < x < 2 + a，a >} ，B = {x| − 4 ⩽ x ⩽ 1} .
(1)
若
a
=
2,
求
A
∩
( ∁U
) B；
(2) 若 A ∪ B = A，求实数 a 的取值范围.
期中考试系列试卷 第 2 页 (共 4 页)
19. (本小题满分 12 分)
f (lg x)，则实数 x 的取值范围是
()
期中考试系列试卷 第 1 页 (共 4 页)
(
)
A. −∞， 1
(
100 )
C. 1 ，100
100
(
)
B. −∞， 1 ∪(100， + ∞)
(
10)0
D. 0， 1 ∪(100， + ∞)
100
12. 定义在 I 上的函数 y = f (x)与y = g(x). 若对于任意的 x ∈ I，存在 x0，使得 f (x) ⩾ f (x0)，g(x) ⩾ (x0)且 f (x0) =
g(x0)，则称[y
=
f (x)，y ]
=
g(x)
为“兄弟图数”.
已知函数
f (x)
=
x2 + 2px + q(p，q []
∈
R)，g(x)
=
x2 − x + 4 x
是
定义在区间 1 ，3 上的“兄弟函数“，那么函数 y = f (x) 在区间 1 ，3 上的最大值为
()
3
3
A. 3
B. 34
C. 52
a
=
(
1 3
)2.5
，b
=
log
1 2
3，c
=
2
1 3
,
则
A. b < a < c
B. c < b < a
C. 3 C. c < a < b
x
D.
-2
O
D. 1 3
D. a < c < b
x
()
()
9. 已知函数 y = f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f (x) = 2x − 1, 则 f (log 1 16) =
实数 a 的值范围是
.
三. 解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分. 请在答题卡指定区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
17. (本小题满分 10 分)
(1)
已知
a
⩽
2,
√ 化简： (a
−
2)2
+
√ 3 (a
+
3)3
+
(
1
)−
1 2
；
4
(2) 求值：3−log3 2 + log6 10 · (lg 2 + lg 3) + log9 27．
B. (1，2)
C. (2，3)
6. 函数 y = − lg |x + 1| 的大致图象为
y
y
y
D. 8
D. (0，2)
()
D. (3，4)
()
()
y
O
2
x
-2
O
x
A.
B.
C.
O
2
( √)
7. 若幂函数 y = f (x) 的图象经过点 P 3， 3 ，则 f (9) =
3
A. 9
B. 1
9
8.
已知
B. 2
C. 4
√ 2. 函数 y = x − 1 + g(3 − x) 的定义域为
A. (1，3)
B. (1，3]
C. (3， + ∞)
3. 已知函数 y = f (x) 与 y = g(x) 分别由下表给出，则 f (g(3)) =
x
1
2
3
f (x)
4
3
9
x
2
g(x)
2
D. 8 D. [1， + ∞)
A. 135 米
B. 160 米
C. 175 米
D. 180 米
11. 已知函数 y = f (x) 的定义域为 R，对于任意的 x ∈ R，都满足 f (−x) = f (x)，且对任意的 a, b ∈ (−∞，0]，当
a ̸= b 时，都有
f (a) − f (b) a−b
< 0，若
f (−2) <
3
4
1
3
2019.11 () ()
A. 4
B. 3
C. 1
4. 函数 f (x) = ax+1 + 1(a > 0 且a ̸= 1) 的图象恒过定点 A，则 A 的坐标为
A. (0，1)
B. (−1，1)
C. (−1，2)
5. 函数 f (x) = 2x + x − 4 的零点所在的区间为
A. (0，1)
.
15. 已知函数 f (x) = ax2 + 2x − 4 在 (−0，1) 上是单调递增函数，则实数 a 的值范围是
.
x2 + 3x + a − 4， x ⩽ 0
16. 已知 a ∈ R，函数 f (x) = −x2 + x − 2a，
， 若对于任意的 x ∈ [−4， + ∞)， f (x) ⩽ |x| 恒成立，则 x>0
期中考试系列试卷 第 3 页 (共 4 页)
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) = |x − a| · (x − 1)(a ∈ R). (1) 当 a = 5 时，作出函数 y = f (x) 的图象； (2) 是否存在实数 a，使得函数 y = f (x) 在区间 [3，4] 上有最小值 8, 若存在求出实数 a 的值；若不存在，请 说明理由.
已知函数
f (x)
=
m 2x − 1
−1
是ห้องสมุดไป่ตู้函数.
(1) 求实数 m 的值；
(2) 求证：函数 y = f (x) 在 (0， + ∞) 上是单调增函数.
20. (本小题满分 12 分) 甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为 800 元。甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买 一双售价为 780 元，买两双每双售价为 760 元，依次类推，每多买一双则所买各双售价都再减少 20 元，但 每双售价不能低于 440 元；乙商场一律按标价的 75% 销售。 (1) 分别写出在甲、乙两商场购买 x 双运动鞋所需费用的函数解析式 f (x) 和 g(x)； (2) 某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？
D. 13
3
9
二. 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 若集合 A = [−2，1]，B = {x|x + m ⩾ 0} ，且A ⊆ B，则实数 m 的取值范围是
.
14. 己知函数 y = f (x) 在 R 上为偶函数、且 x ⩾ 0 时， f (x) = x3 − x + 2， 则当 x < 0 时， f (x) =