高一数学上学期期中试卷及答案
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.若，则下列选项正确的是( )A. B. C. D.3.命题：“”为真命题，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.4.下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是单调递减的是( )A. B. C. D.5.已知集合，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.6.函数的图象大致形状是( )A. B.C. D.7.红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙墙长，其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口不需材料，共用该种环保材料12m，则可围成该活动区的最大面积为( )A. B. C. D.8.若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则( )A. B. 若，则或C. 函数在上单调递减D. 函数在上的值域为10.下列叙述中正确的是( )A.设，则“且”是“”的必要不充分条件B. “”是“关于x的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件C. 命题“”的否定是：“”D. 函数的定义域A为R的子集，值域，则满足条件的有3个11.关于函数的相关性质，下列正确的是( )A. 函数的图象关于y轴对称B. 函数在上单调递减C. 函数在上单调递减D. 函数的最小值为0，无最大值12.已知函数，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，M为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是( )A. “函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件B. 若定义在R上的奇函数有上界，则该函数是有界函数C. 若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数D. 若函数且在区间上为有界函数，且一个上界为2，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年喀什市高一数学第一学期期中质量监测试卷附答案解析
2024-2025学年喀什市高一数学第一学期期中质量监测试卷时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.下列元素的全体不能组成集合的是（）A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程210x -=的实数解D.周长为10的三角形2.下列关系中正确的是（）A.{0}=∅B.{(,)}{(,)}a b b a ⊆C.{0,1}{(0,1)}⊆ D.{0}∅⊆3.下列元素与集合的关系判断正确的是（）A.0∈NB.π∈QC.∈QD.－1∉Z4.已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{2,1,0,1,2}--5.满足“闭合开关1K ”是“灯泡R 亮”的充要条件的电路图是（）A. B. C. D.6.已知a b >，c d >，且c ，d 均不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A.ad bc >B.ac bd >C .a cb d->- D.a c b d+>+7.若0x >，则40x x+>的最小值为（）A.0B.1C.2D.48.一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（）A.30k -<<B.30k -≤<C.3k <- D.0k <二、多选题（每小题5分，共20题，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错得得0分）9.已知集合A={2，3}，B={x|mx-6=0}，若B ⊆A ，则实数m 可以是（）A.3或2B.1C.0D.-110.下列说法中正确的有（）A.不等式a b +≥恒成立B.存在a ，使得不等式12a a+≤成立C.若0a >，0b >，则2b a a b+≥ D.若a ，b 为实数，则222a b ab+<11.如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（）A.c ＜0B.b 2﹣4ac ＜0C.x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值D.图像的对称轴是直线x ＝312.取整函数：[]x =不超过x 的最大整数，如[1.2]1=，[2]2=， 1.22[]-=-.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（）A.R x ∀∈，[2]2[]x x =B .R x ∃∈，[2]2[]x x =C.x ∀，R y ∈，[][]x y =，则1x y -<D.R x ∀∈，1[][2]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦三、填空题（每小题5分，共20题）13.集合{}04A x x =∈<<N 的子集个数__________.14.“实数的平方大于等于0”用符号表示为__________.15.不等式2101x x -<+的解集是_______．（结果用集合或区间表示）16.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．四、解答题（共70分）17.比较下列各题中两个代数式的大小：（1）226x x ++与(3)(1)x x +-；（2）222xy ++与2(22)x y +-.18.写出下列命题的否定,并判断它们的真假：(1)a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根；(2)每个正方形都是平行四边形；(3)m N N ∃∈；(4)存在一个四边形ABCD ，其内角和不等于360 .19.求下列不等式的解集：（1）2144x x -；（2）214450x x -+≤；（3）26100x x ++>；（4）(2)(3)1x x x x +>-+.20.已知全集{}4,1,0,1,2,4U =--，{}|03M x x =∈≤<Z ，{}220N xx x =--=∣（1）求M N ⋂；（2）求()U M N ð：（3）求()()U UM N ⋃痧.21.已知0x >，0y >，且141x y+=，求x y +的最小值.22.某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x （单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C （单位：万元）与设备占地面积x 之间的函数关系为()20(0)5C x x x =>+，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y （单位：万元）.（1）要使y 不超过7.2万元，求设备占地面积x 的取值范围；（2）设备占地面积x 为多少时，y 的值最喀什市2024-2025学年第一学期期中质量监测试卷高一数学时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.下列元素的全体不能组成集合的是（）A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程210x -=的实数解D.周长为10的三角形【答案】B 【解析】【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A 正确；地球上的小河流不满足集合元素的确定性，即没有标准说多小的河流算小河流，故B 错误；方程210x -=的实数解是1x =±，可以构成一个集合，故C 正确；周长为10的所有三角形可以构成一个集合，故D 正确；故选：B.2.下列关系中正确的是（）A.{0}=∅B.{(,)}{(,)}a b b a ⊆C.{0,1}{(0,1)}⊆D.{0}∅⊆【答案】D 【解析】【分析】由集合中元素的属性逐个判断即可.【详解】对于A ，{}0是单元素集合，元素为0，而∅是空集，二者不相等，故A 错误；对于B ，(,),(,)a b b a 当a b ≠表示不同的点，故(){}(){},,,a b b a 在a b ≠时不相等，故错误；对于C ，{}0,1的元素为0,1，而(){}0,1的元素为点()0,1，二者没有包含关系，故错误；对于D ，空集为任何一个集合的子集，故{}0∅⊆正确；故选：D3.下列元素与集合的关系判断正确的是（）A.0∈NB.π∈QC.∈QD.－1∉Z【答案】A 【解析】【分析】根据元素和集合的关系逐一判断即可.【详解】0是自然数，π是无理数，不是有理数，1-是整数，根据元素和集合的关系可知，只有A 正确；故选：A4.已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{2,1,0,1,2}--【答案】A 【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】根据集合交集中元素的特征，可得{0,2}A B ⋂=，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．5.满足“闭合开关1K ”是“灯泡R 亮”的充要条件的电路图是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据物理知识，结合充分条件、必要条件的概念分析可得答案.【详解】对于A ，“闭合开关1K ”是“灯泡R 亮”的充分不必要条件；对于B ，“闭合开关1K ”是“灯泡R 亮”的必要不充分条件；对于C ，“闭合开关1K ”是“灯泡R 亮”的充要条件；对于D ，“闭合开关1K ”是“灯泡R 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件，属于基础题.6.已知a b >，c d >，且c ，d 均不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A.ad bc >B.ac bd >C.a c b d ->-D.a c b d+>+【答案】D 【解析】【分析】通过举出反例可以判断ABC 是错误的.【详解】解：当2,1,1,1a b c d ====-时，ad bc <，A 错误；当2,1,1,2a b c d ==-=-=-时，ac bd <，B 错误；当2,1,1,1a b c d ====-时，a c b d -<-，C 错误；根据不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不发生改变，可得D 正确.故选：D.7.若0x >，则40x x+>的最小值为（）A.0B.1C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式求解．【详解】∵0x >，∴44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，故选：D ．8.一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（）A.30k -<<B.30k -≤<C.3k <-D.0k <【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立可得20k <且0∆<，列式运算求解即可.【详解】因为一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则220Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩，解得30k -<<，所以k 的取值范围为30k -<<.故选：A.二、多选题（每小题5分，共20题，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错得得0分）9.已知集合A={2，3}，B={x|mx-6=0}，若B ⊆A ，则实数m 可以是（）A.3或2B.1C.0D.-1【答案】AC 【解析】【分析】本题先根据题意判断B 是A 的子集，有3种可能性，再分情况讨论即可.【详解】当m=0时，方程mx-6=0无解，B=⌀，满足B ⊆A ;当m ≠0时，B=6m ，因为B ⊆A ，所以6m=2或6m=3，解得m=3或m=2．【点睛】本题考查集合的基本关系求参数，是基础题.10.下列说法中正确的有（）A.不等式a b ab +≥恒成立B.存在a ，使得不等式12a a+≤成立C.若0a >，0b >，则2b aa b+≥ D.若a ，b 为实数，则222a b ab+<【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，对于不等式a b ab +≥，1a b ==-时，a b ab +<，所以A 选项错误.B 选项，当1a =-时，122a a+=-<，所以B 选项正确.C 选项，0a >，0b >，则2b a a b +≥=，当且仅当,b aa b a b==时等号成立，所以C 选项正确.D 选项，当1a b ==时，222a b ab +=，所以D 选项错误.故选：BC11.如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（）A.c ＜0B.b 2﹣4ac ＜0C.x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值D.图像的对称轴是直线x ＝3【答案】CD 【解析】【分析】由20ax bx c ++=的两根分别为1,5，结合韦达定理以及二次函数的性质判断即可.【详解】因为二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像经过点A （1，0），B （5，0），所以20ax bx c ++=的两根分别为1,5.由图可知，0a >，由韦达定理可知150ca=⨯>，即0c >，故A 错误；由图可知，该二次函数与x 轴有两个交点，即240b ac ∆=->，故B 错误；由韦达定理可知，6b a -=，即该二次函数的对称轴为32b x a=-=，即在x ＝3时函数y ＝ax 2+bx +c 取最小值，故CD 正确；故选：CD12.取整函数：[]x =不超过x 的最大整数，如[1.2]1=，[2]2=， 1.22[]-=-.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（）A.R x ∀∈，[2]2[]x x =B.R x ∃∈，[2]2[]x x =C.x ∀，R y ∈，[][]x y =，则1x y -<D.R x ∀∈，1[][2]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】判断特称命题正确，只要举出例子即可，判断全称命题错误，也只要举出例子即可.可以用特殊值法，举例判断.【详解】对于A ，根据新定义“取整函数”的意义知[2]2[]x x =不一定成立，如x 取1.5，[2]3x =，2[]2x =，故A 错误；对于B ，x 取1，[2]2x =，2[]2x =，B 正确；对于C ，设(,01)x n a n Z a =+∈≤<，(,01)y m b m Z b =+∈≤<，若[][]x y =，则n m =，因此1x y a b a -=-≤<，故C 正确；对于D ，设(,01)x n a n a =+∈≤<Z ，当00.5a ≤<时，[21]2x n x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，[2]2x n =，所以1[][2]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，当0.51a ≤<时，1[]12x x n n ⎡⎤++=++⎢⎥⎣⎦，[2][22]21x n a n =+=+，所以1[][2]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，即D 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20题）13.集合{}04A x x =∈<<N 的子集个数__________.【答案】8【解析】【分析】分析可知集合{}1,2,3A =，进而可求子集的个数.【详解】因为集合{}{} 041,2,3A x x =∈<<=N ，共3个元素，所以集合A 的子集个数为328=.故答案为：8.14.“实数的平方大于等于0”用符号表示为__________.【答案】2R,0x x ∀∈≥【解析】【分析】根据全称量词命题的知识确定正确答案.【详解】“实数的平方大于等于0”用符号表示为：2R,0x x ∀∈≥.故答案为：2R,0x x ∀∈≥.15.不等式2101x x -<+的解集是_______．（结果用集合或区间表示）【答案】1(1,)2-【解析】【分析】不等式2101x x -<+的解集，即为不等式()()2110x x -+<的解集，根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】解：不等式2101x x -<+的解集，即为不等式()()2110x x -+<的解集，解得112x -<<，所以不等式2101x x -<+的解集是1(1,)2-.故答案为：1(1,)2-.16.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．【答案】254【解析】【分析】设直角三角形的斜边为c ，直角边分别为a ，b ，根据勾股定理，以及基本不等式的性质进行求解即可．【详解】设直角三角形的斜边为c ，直角边分别为a ，b ，由题意知c 5=，则22a b 25+=，则三角形的面积1S ab 2=，2225a b 2ab =+≥，25ab 2∴≤，则三角形的面积112525S ab 2224=≤⨯=，当且仅当a=b=522取等即这个直角三角形面积的最大值等于254，故答案为254．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查三角形面积的计算，利用基本不等式的性质结合勾股定理，三角形的面积公式是解决本题的关键．四、解答题（共70分）17.比较下列各题中两个代数式的大小：（1）226x x ++与(3)(1)x x +-；（2）222x y ++与2(22)x y +-.【答案】（1）226(3)(1)x x x x ++>+-（2）()222222x y x y ++>+-【解析】【分析】利用作差法求解即可.【小问1详解】因为()22226(3)(1)262390x x x x x x x x ++-+-=++-+-=>，所以226(3)(1)x x x x ++>+-；【小问2详解】因为()()()222222221210x y x y x y ++-+-=-+-+>，所以()222222x y x y ++>+-.18.写出下列命题的否定,并判断它们的真假：(1)a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根；(2)每个正方形都是平行四边形；(3)m N N ∃∈；(4)存在一个四边形ABCD ，其内角和不等于360 .【答案】(1)a R ∃∈,一元二次方程210x ax --=没有实根,假命题.(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题.(3)m N N ∀∈，假命题.(4)任意四边形ABCD ,其内角和等于360°,真命题.【解析】【分析】根据特称命题，全称命题的否定的书写规律来写，并逐一判断真假.【详解】(1)a R ∃∈,一元二次方程210x ax --=没有实根,假命题，因为240a ∆+>=，方程恒有根；(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题，因为任何正方形都是平行四边形；(3)m N N ∀∈，假命题，因为0m N =∈1N =∈；(4)任意四边形ABCD ,其内角和等于360 ,真命题.【点睛】本题考查特称命题，全称命题的否定，是基础题.19.求下列不等式的解集：（1）2144x x -；（2）214450x x -+≤；（3）26100x x ++>；（4）(2)(3)1x x x x +>-+.【答案】（1）7|24x x ⎧⎫-≤≤⎨⎩⎭（2）{|59}x x ≤≤（3）R （4）{|1x x >或12x <-}.【解析】【分析】（1）由题得24140x x +-≤，再写出不等式的解集；（2）先因式分解，再写出不等式的解集；（3）配方即得不等式的解集；（4）化简得2210x x -->，再写出不等式的解集.【详解】解：（1）由2144x x -得24140x x +-≤.方程24140x x +-=的根为1,21211157,,2884x x x -±-±====-.∴原不等式的解集为7|24x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）21445(5)(9)0x x x x -+=--，∴原不等式的解集为{|59}x x ≤≤；（3）22610(3)11x x x ++=++> ，∴原不等式的解集为R ；（4）将(2)(3)1x x x x +>-+化为2210x x -->，即(21)(1)0x x +->.∴原不等式的解集为{|1x x >或12x <-}.【点睛】本题主要考查不含参的一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知全集{}4,1,0,1,2,4U =--，{}|03M x x =∈≤<Z ，{}220N x x x =--=∣（1）求M N ⋂；（2）求()U M N ð：（3）求()()U U M N ⋃痧.【答案】（1）{}2（2）{}4,4-（3）{}4,1,0,1,4--【解析】【分析】先明确集合M ，N ，根据集合的运算法则求相关集合即可.【小问1详解】{}{}|030,1,2M x x =∈≤<=Z ，{}{}2201,2N xx x =--==-∣，所以{}2M N = .【小问2详解】因为{}1,0,1,2M N ⋃=-，所以(){}U 4,4M N ⋃=-ð.【小问3详解】因为{}U 4,1,4M =--ð，{}U 4,0,1,4N =-ð，所以()(){}U U 4,1,0,1,4M N =--⋃痧.21.已知0x >，0y >，且141x y+=，求x y +的最小值.【答案】9【解析】【分析】根据()14x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭结合基本不等式求解即可.【详解】()144559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y=，即26y x ==时，取等号，所以x y +的最小值为9.22.某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x （单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C （单位：万元）与设备占地面积x 之间的函数关系为()20(0)5C x x x =>+，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y （单位：万元）.（1）要使y 不超过7.2万元，求设备占地面积x 的取值范围；（2）设备占地面积x 为多少时，y 的值最小？【答案】（1）[11,20]（2）设备占地面积为215m 时，y 的值最小【解析】【分析】（1）由题意得800.2(0)5y x x x =+>+，解不等式7.2y ≤即可得解.（2）将800.2(0)5y x x x =+>+变形为580155x y x +=+-+，再利用基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意得800.2(0)5y x x x =+>+，令7.2y ≤即800.27.25x x ++≤，整理得2312200x x -+≤即()()01120x x ≤--，所以解得1120x ≤≤，所以设备占地面积x 的取值范围为[]11,20.【小问2详解】805800.21117555x y x x x +=+=+--=-=++≥，当且仅当58055x x +=+即15x =时等号成立，所以设备占地面积为215m 时， y 的值最。
高一上册数学期中试卷及答案
高一上册数学期中试卷及答案答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案C D C C A A B B D A二、填空题11.a, b不都等于1 12.1 13.2或3 14.[1，2] 15.9三、解答题16.解：若p真，则y=(2a-6)x在R上单调递减，∴0 2a-6 1, ∴3x2-3ax+2a2+1，则应满足，∴，故a ，又由题意应有p真q假或p假q真.i. 若p真q假，则，a无解.ii. 若p假q真，则，∴若a的取值范围的集合是{a|17.解：(1)∵U={1, 2}，而∴CUA={1}，∴A={2}，即方程x2+px+q=0的两根均为2，由韦达定理知：，∴ .(2)∵y=-4x2+4x+15=-4(x- )2+16，而≤x≤2, ∴7≤y≤16，∴4(x- )2=16-y, ∴x- = , ∴x= +，故原函数的反函数是y= + (7≤x≤16).18.解;(1)由题设条件，得，化简得： .(2)由(1)知，当019.解：∵x2-8x-20 0, ∴(x-10)(x+2) 0,∴x 10或x -2，满足p的x构成的集合记为a，则a={x|x 10或x -2}，又x2-2x+1-a2 0，∴[x-(1-a)][x-(1+a)] 0满足q的x记为集合B.i. 若1-a 1+a即a 0，则b={x|x 1-a或x 1+a}，∵A B，则，∴a≥-3，故-3≤a 0.ii. 若1-a=1+a即a=0，则B={x|x∈R且x≠0}，则此时A B，∴a=0.iii. 若1-a 1+a即a 0，则B={x|x 1+a或x 1-a}，∴，∴a≤3，∴0故综上所述，a的取值范围是-3≤a≤3.法2.由题意，a20即x 10或x -2，即当x 10或x -2时，a2 (x-1)2恒成立，∴a2≤9，故-3≤a≤3.20.解：(1)∵f(1)=3, ∴a=1, ∴f(x)= ，设≤x1(2x1+ )=2(x2-x1)+ =(x2-x1)(2- ), ∵x2 x1≥, ∴x1x2≥x ≥, ∴0 2，∴2- 0又x2-x1 0，∴f(x2)-f(x1) 0, ∴f(x2) f(x1), ∴f(x)在, +∞)上单调递增.(2)∵f(x)=x+b, ∴x2-bx+1=0, ∴|x1-x2|= 又2≤b≤，∴0≤|x1-x2|≤3，故只须当t∈[-1,1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g(t)=tm+m2-2，只须：，∴，∴，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}.21.解：(1)∵y=x2, ∴y≥0又y=x2在[a, b]上的值域是[a, b]，故[a, b] [0，+∞，∴a≥0，故y=x2在[a,b]上单调递增，故有，又a(2)若y=x2+m存在“保值”区间，则应有：i. 若aii. 若b a≥0，则有等价于方程x2-x=-m(x≥0)有两个不相等的根，∴-m=(x- )2- (x≥0)，由图象知：--m≤0, ∴0≤m ，又∵m≠0，∴0综上所述，函数y=x2+m存在保值区间，此时m的取值范围是0本内容由栏目提供。
湖北省四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（ ）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（ ）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）A .B .C .D .5下列说法正确的是（ ）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .{}0,2,3,5,7∅{}02210xx -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x=3y x =2y x =3y x=-22acbc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m+<+a b >11a b<a b >x y >ax by>22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥(,3-∞(],6-∞(,3-∞+(],7-∞8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（ ）A .B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
高一数学第一学期期中试卷(有答案)
高一数学第一学期期中试卷一、选择题（本大题共16小题,每小题3分,共48分）: 1．下列关系正确的是：A ．Q ∈2B ．}2{}2|{2==x x x C ．},{},{a b b a = D ．)}2,1{(∈∅ 2．指数式3x=2写成对数形式，正确的是(A) x = 2log 3 (B) x =3log 2 (C) 3 =2log x (D) 3 = x 2log3.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是4. 函数log (2)1a y x =++的图象过定点 A.（1，2） B.（2，1） C.（-2，1）D.（-1，1）5．若b a ==5log ,3log 22，则59log 2的值是：A ．b a -2B ．b a -2C ．b a 2D ．ba 26．函数3log )(3-+=x x x f 的零点所在的区间是A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞） 7．下列四个函数中，图象关于y 轴对称的是(A) y = 2x (B) y = x 2(C) y = x (D) y =x 18．已知函数()log a f x x =（0,1a a >≠），对于任意的正实数,x y 下列等式成立的是A ．()()()f x y f x f y +=B ．()()()f x y f x f y +=+C ．()()()f xy f x f y =D ． ()()()f xy f x f y =+9. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离．．．．．．，则较符合该学生走法的图是10．某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系的是A. 2ty = B. 22y t =C. 3y t = D. 2log y t =11.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则)]41([f f 的值是A.91B.41 C. 4 D. 912.已知扇形的弧所对的圆心角为540，半径为20cm ，则扇形的周长为 A.π6cm B.60cm C. ()π640+ c m D. 1080cm 13. 三个数a=0.32 , b=log 20.3, C = 20.3之间的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a14. 定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时,1()1f x x =+,则)21(f 等于 A.23 B. -23 C.2 D. -215．点P 从()1,0出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为.A 12⎛- ⎝⎭ .B 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ .C 1,2⎛- ⎝⎭ .D 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭16. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是 A ．)1()23()2(-<-<f f f B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)2()1()23(f f f <-<-二、填空题（本大题共7小题,每小题3分,共21分）：17.计算390sin =18.函数),1(ln 22+∞==在与函数x y x y 上增长较快的一个函数是 。
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嘉兴市第一中学第一学期期中考试高一数学试题卷满分[ 100]分，时间[120]分钟 2013年11月一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各组对象能构成集合的是（▲）．A．参加2013年嘉兴一中校运会的优秀运动员B．参加2013年嘉兴一中校运会的美女运动员C．参加2013年嘉兴一中校运会的出色运动员D．参加2013年嘉兴一中校运会的所有运动员2．已知全集，集合，则为（▲）．A． B． C． D．3．如图，U是全集，M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（▲）．A．（MB．（MC．（M P）（C U S）D．（M P）（C U S）4．下列四组函数中表示相等函数的是（▲）．A． B．C． D．5．下列四个图像中，是函数图像的是（▲）．A、（3）、（4）B、（1）C、（1）、（2）、（3）D、（1）、（3）、（4）6．下列函数中，不满足的是（▲）．A． B． C． D．7．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（▲）．A．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－52B．⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞{}0,1,2,3,4U={}{}1,2,3,2,4A B==BACU)({}1,2,4{}2,3,4{}0,2,4{}0,2,3,4SP)SP)2()()f x xg x x==与2()11()1f x x xg x x=+⋅-=-与2()ln()2lnf x xg x x==与33()log(0,1)()xaf x a a ag x x=>≠=与(2)2()f x f x=()f x x=-()f x x=()f x x x=-()1f x x=-C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞ 8．已知则有（ ▲ ）．A ．B ．C ．D ．9．设，且，则（ ▲ ）． A ．． 10 C ． 20 D ． 100 10．已知，则的取值范围是（ ▲ ）． A 、 B 、 C 、 D 、 11．下列命题中，正确的有（ ▲ ）个．①符合的集合P 有3个；②对应既是映射，也是函数；对任意实数都成立；④．（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 12．已知实数a<b<c,设方程的两个实根分别为，则下列关系中恒成立的是（ ▲ ）．A ．B ．C ．D ． 二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13．化简 ▲ ．14．已知，则 ▲ ．0.91.71.7,0.9,1,a b c ===a b c <<a c b <<b a c <<b c a <<25a bm ==112a b+=m =2log 13a<a ()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}{},,a P a b c ≠⊂⊆1,,:1A RB R f x y x ==→=+(),nm n N +=∈a log log log a a a M MN N=0111=-+-+-cx b x a x )(,2121x x x x <c x b x a <<<<21c x b a x <<<<21c b x x a <<<<2121x c b x a <<<<31log 63-=()224(1)1(1)1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩()()1f f =15．已知，求▲ ．16．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝ ▲ ．17．下列说法正确的是 ▲ ．（只填正确说法的序号） ①若集合，，则；②函数的单调增区间是；③若函数在，都是单调增函数，则在上也是增函数；④函数是偶函数．18．给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） ；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．则= ▲ ．三、解答题:本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知函数的定义域为集合，． （1）求集合；（2）若，求的范围．20．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图．21．求值：（1）； 321+=x =-+---+-xx x x x x x 22212112{}1A y y x ==-{}21B y y x ==-{(0,1),(1,0)}A B =-()122log 23y x x =--(),1-∞()f x (),0-∞[0,)+∞()f x (),-∞+∞2112x y x x -=++-(3)n ≥()f n {}1,2,,21n -1,21nA A ∈-∈(3)f 213)(++-=x x x f A }|{a x x B <=A B A ⊆a 321lg5(lg8lg1000)(lg 2)lglg 0.066++++（2）．22．设函数, （1）求证：不论为何实数总为增函数;（2）确定的值，使为奇函数及此时的值域．23．设函数在上是奇函数，且对任意，都有，当时，．（1）求的值；（2）若函数，求不等式的解集．24．设，其中且． （1）已知，求的值得；（2）若在区间上恒成立，求的取值范围．()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---+2()21x f x a =-+a ()f x a ()f x ()f x ()f x (3,3)-,x y ()()()f x f y f x y -=-0x <()0,(1)2f x f >=-(2)f ()(1)(32)g x f x f x =-+-()0g x ≤)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=0>a 1≠a (4)1f a =a ]4,3[++a a 1)(≤x f a嘉兴市第一中学2013学年第一学期期中考试高一数学 参考答案及评分标准一、选择题（共12题，每题3分，共36分）1.D2.C3.C4.D5.D6.D7.B8.D9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 13.14. 15.3 16.{0} 17.③④ 18．5 解 （1）设集合，且A 满足（a ），（b ）．则．由于不满足（b ），故．又 都不满足 （b ），故． 而集合满足（a ），（b ），所以． 三、解答题（共6题，共46分）19. 解：(1)由题意得，，即A=(－2,3]；（2）.20. 解：(1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2，则y ＝－2(x －3)2＋4，当x <－2时，即－x >2，又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝－2×(－x －3)2＋4，即f (x )＝－2×(x ＋3)2＋4.所以函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式为f (x )＝－2×(x ＋3)2＋4.21101{}31,2,,21A ⊆-1,7A A ∈∈{}()1,,72,3,,6m m =3A >{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7,{}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,74A >{}1,2,4,6,7(3)5f =⎩⎨⎧>+≥-0203x x 32≤<-∴x 3,>∴⊆a B A(2)函数f (x )的图象如图，21.（1）1；（2）. 22. （1），，. .（2）假设存在实数函数是奇函数，因为的定义域为，所以，所以. 此时，则，所以为奇函数. 即存在实数使函数为奇函数．.23.（1）在中，令，代入得：，所以；（2）在上是单调递减，证明如下：设，则，所以即. 所以在上是单调递减；21)12)(12()22(2122122)()(2121122121++-=+-+=-<x x x x x x x f x f x x ，则任取0120120222221212121>+>+<-<∴<x x x x x x x x ，，又，即， )()(0)()(2121x f x f x f x f <<-∴，即总为增函数为何值，不论)(x f a ∴a ()221x f x a =-+()f x R ()010f a =-=1a =()22112121x x x f x -=-=++()()21122112x xx xf x f x -----===-++()f x 1a =()f x ,0212212110,121021221)(<+-<-<+<∴>+>+-=xx xx x x f ，，， )1,1()(-∈∴x f ()()()f x f y f x y -=-2,1x y ==(2)(1)(1)f f -=(2)2(1)4f f ==-()f x ()3,3-1233x x -<<<120x x -<1212()()()0f x f x f x x -=->12()()f x f x >()f x ()3,3-24. （1）. （2） ． 由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增.①若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为．在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或．结合得． ②若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得．211202log 1log 2log )4(===∴=+=a a a a a a f a a a ，，即， 22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x a x 3>a a 33>+23<a 53(3)(2)022a a a +-=->225()()24a a g x x =--]4,3[++a a 10<<a )(x f ]4,3[++a a )(x f ]4,3[++a a )992(log )3(2+-=+a a a f a ]4,3[++a a 1)(≤x f 1)992(log 2≤+-a a a a a a ≥+-9922275+≥a 275-≤a 10<<a 10<<a 231<<a )(x f ]4,3[++a a )(x f ]4,3[++a a )16122(log )4(2+-=+a a a f a ]4,3[++a a 1)(≤x f 1)16122(log 2≤+-a a a a a a ≤+-1612220161322≤+-a a 4411344113+≤≤-a易知，所以不符合． 综上可知：的取值范围为．2344113>-a (0,1)。