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初三数学分式
初三数学：分式【基础知识回顾】 一、分式的概念若A ，B 表示两个整式，且B 中含有 那么式子 就叫做公式【名师提醒：①：若 则分式无意义②：若分式=0，则应 且 】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变。
1、= = （m≠0）2、分式的变号法则= 3、 约分：根据 把一个分式分子和分母的 约去叫做分式的约分。
约分的结果必须是 分式4、通分：根据 把几个异分母的分式化为 分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的 【名师提醒：①最简分式是指② 约分时确定公因式的方法：当分子、分母是单项式时，公因式应取系数的 应用字母的 当分母、分母是多项式时应先 再进行约分 ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的 相同字母分母中有多项式时仍然要先 通分中有整式的应将整式看成是分母为 的式子 ④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】三、分式的运算：1、分式的乘除 ①分式的乘法：.=②分式的除法：= = 2、分式的加减①用分母分式相加减：±= ②异分母分式相加减：±= =【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为 法来做，其实质是 的过程②异分母分式加减过程的关键是 】3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即()m =1、分式的混合运算：应先算 再算 最后算 有括号的先算括号里面的。
2、分式求值：①先化简，再求值。
②由值的形式直接化成所求整式的值③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中 【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入 】 【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1 （2012•宜昌）若分式有意义，则a 的取值范围是（ ）A ．a=0B ．a=1C ．a≠-1D ．a≠0 对应训练1．（2012•湖州）要使分式有意义，x 的取值范围满足（ ）A ．x=0B ．x≠0C ．x ＞0D ．x ＜0 考点二：分式的基本性质运用例2 （2012•杭州）化简得 ；当m=-1时，原式的值为 ．对应训练2．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（ ） A ． B ． C ． D ． 考点三：分式的化简与求值 例3 （2012•南昌）化简：． 例4 （2012•安徽）化简 的结果是（ ） A ．x+1 B ．x-1 C ．-x D ．x ABABa m a m ⋅⋅a mb m÷÷b a-bb a dcb a ÷dcb a cab a dcba21a +1x216312m m --223aa b 23a a a -22 a b a b ++222a ab a b --2211a a a a a --÷+211x xx x +--例5 （2012•天门）化简 的结果是（ ）A ．B ．C ．D ． 例6 （2012•遵义）化简分式，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．对应训练3．（2012•河北）化简的结果是（ ） A ． B ． C ． D ．2（x+1）4．（2012•绍兴）化简可得（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2012•泰安）化简= ． 6．（2012•资阳）先化简，再求值：，其中a 是方程x 2-x=6的根．考点四：分式创新型题目例7 （2012•凉山州）对于正数x ，规定，例如：，，则 ． 对应训练7．（2012•临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算． 【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•潍坊）计算：2-2=（ ） A ．BC ．D ．4 2．（2012•德州）下列运算正确的是（ ）A B ．（-3）2=-9 C ．2-3=8 D ．20=03．（2012•临沂）化简的结果是（ ） A ． B ． C ． D ．4．（2012•威海）化简的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题5．（2012•聊城）计算： ． 6．（2011•泰安）化简：的结果为 ． 三、解答题7．（2012·济南）化简：． 221(1)11x x -÷+-21(1)x +21(1)x -2(1)x +2(1)x -222()1121x x x xx x x x --÷---+22111x x ÷--21x -321x -21x -111x x --21x x -21x x --221x x x +-221x x x--22()2-24m m mm m m -÷+-2221(1)11a a a a a --÷---+1()1f x x =+11(4)145f ==+114()14514f ==+111(2012)(2011)(2)(1)()()()220112012f f f f f f f ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=1001n n =∑201211(1)n n n ==+∑1414-2=4(1)22a a a +÷--2a a +2a a +2a a -2a a -24(1)42aa a +÷=--22()224x x xx x x -÷+--2121224a a a a a --+÷--8．（2012•烟台）化简：．的整数解．12．（2012•莱芜）先化简，再求值：÷，其中a=﹣3．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•嘉兴）（-2）0等于（ ）A ．1B ．2C ．0D ．-2 2．（2012•云南）下列运算正确的是（ ）A ．x 2•x 3=6B ．3-2=-6C ．（x 3）2=x 5D ．40=1 3．（2012•泰州）3-1等于（ ）A ．3B ．C ．-3D ．4．（2012•嘉兴）若分式的值为0，则（ ）A ．x=-2B ．x=0C ．x=1或2D ．x=1 6．（2012•义乌市）下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．（2012•仙桃天门潜江江汉）化简的结果是（ ）A ．B ．C ． （x+1）2D ．（x ﹣1）28．（2012•钦州）如果把的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）A ．不变B ． 扩大50倍C ． 扩大10倍D ．缩小到原来的二、填空题9．（2012•宁夏）当a 时，分式有意义． 10．（2012•台州）计算的结果是 ． 11．（2012•天津）化简的结果是 ． 12．（2012•山西）化简的结果是 ． 14．（2012•镇江）若，则的值为 ． 15．（2012•温州）若代数式的值为零，则x= ．16．（2012•赤峰）化简= ．三、解答题17．（2012•泰州）化简：． 222844(1)442a a a a a a+--÷+++13-131+2x x -0.220.77a b a b a b a b ++=--3223x y x x y y =1a b b a -=--123c c c +=12a +yxy x÷221(1)(1)x x x ---22211221x x x x x x x--+-++g m n+221112a a a a a---÷+19．（2012•珠海）先化简，再求值：，其中．21．（2012•益阳）计算代数式的值，其中a=1，b=2，c=3．22．（2012•孝感）先化简，再求值：，其中，．23．（2012•绥化）先化简，再求值：．其中m是方程x 2+3x-1=0的根．数式的符号．25．（2012•重庆）先化简，再求值：，其中x 是不等式组的整数解．26．（2012•铁岭）先化简，在求值：，其中x=3tan30°+1．27．（2012•本溪），28．（2012•北京）已知，求代数式的值．21()(1)1x x x x x-÷+--ac bca b a b---22()a b ab b a a a--÷-1a =1b =235(2)362m m m m m -÷+---。
九年级分式.doc
＝
＝
＝
解法二：
＝
＝
当x=2时，原式＝ ＝4
2、先化简 ，然后请你给a选取一个合适的值，再求此时原式的值．
解题思路：本题有三个步骤：（1）化简；（2）取值；（3）求值．此类题以开放题的形式出现，字母的取值范围很广，比如，在本题中，为a选取合适的值时．存在许多种选法，一般地，取易于计算的值，但要考虑分式的分母不为零．即a≠±2．
1．取各分式的分母中系数最小公倍数；
2．各分式的分母中所有字母或因式都取到；
3．相同字母（或因式 ）的幂取指数最大的；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
题型二：分式的基本性质、约分、通分、化简
1、约分：
解题思路：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
【变式训练】1.分式 与 的最简公分母是_________。
2.（1）如果把分式 中x和y都扩大10倍，那么分式的值（）
A.扩大10倍B.缩小10倍C.扩大2倍D.不变
（2）下面各式正确的是（）
②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值;
③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。
初三数学分式
2、321--x x +（413++y y ）2=0，求代数式132123--+y x 的值 3、a 2-4a+9b 2+6b+5=0,求b a 11- 4、已知：x+y+z=0、求x(3)11()11()11++++++yx z z x y z y 的值。
5、已知X+X 1=3，求1X X X 242++的值。
6、已知yx z y x z y x 25432,432-++==求的值。
三：知识新授1、分式的乘除运算法则？分式的乘方、乘除乘方混合运算。
分式的加减运算法则？例1：（1）、32493b c c b ∙；（2）、)8(5122y x a xy -÷；（3）、a a a a 21222+∙-+；（4）、41441222--÷+--a a a a a 练习1：（1）、xb ay by x a 2222∙；（2）、222222x b yz a z b xy a ÷；（3）、63128422-∙-a ab b a a ；（4）、)(22b a a ab ab a +÷-+ 例2、（1）、（223)2ab （2）、)()()(4425mn m n n m -÷-∙ 练习2、（1）、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∙+÷+--963)3(44182222x x x x x x x （2）、x x x x x x x -++∙+÷+--3)2)(3()3(444622 例3、（1）、x x x 473+- （2）、ba b a b a b a +-+++3 练习3、（1）、222x c x b x a -+ （2）、y x x y x y -+- 例4、（1）、22212)(21)(2x y y x y x xy -+--+ （2）、x x x x 231632710--+-- 练习4、（1）、a b b b a a 234325--++ （2）、xy y y x y x 2324-+-+ 例5、（1）、23---x x x x （2）、a a -+-21442 （3）、112++-a a a 练习5、（1）、12914+--x x （2）、37952++-x x （3）、ba b b a ++-22 过关：（1）、x x x x x x x x -÷+----+4)44122(22 （2）、2224442yx x y x y x y x y y x x +÷--+∙-2、整数指数幂的运算及负整数指数幂的运算；科学计数法的表示方法。
(完整版)初中分式及分式方程100道计算题.doc
(21)
1
x2
(22)
x 1
x
1
x
3
4
(24)
1－x１
(23)
x
x－２＝2－x－３
x 2
4
标准文档
实用文案
(25)
2x
4
x
2
1
(26)
6
5
4x
x
3
x
1
2
2x
4
2
x
x
(27)
３
＋
１
＝３
(28)
２x－２
１－x
1
3x
3x
1
12
(30) .
1
1
=0
(29)
3x
3x
11 Βιβλιοθήκη x2-1x
2
x x2
1
标准文档
实用文案
实用文案
（21）（22）
（23）
3b2
bc
(
2a)
a2
6a 9 3
a
a2
16a
2a2
b
（24）
4 b2
2
b
3a 9
x 2
x2
6x 9
3
2
4
（25）
·
（26）
x2y
y
x
x 3
x
2
4
x
xz
yz
（27）
x2
－x－1
（28）a2
3
a
11
x
1
a2
1
a
1
标准文档
实用文案
（29）
2b2
（30）
九年级分式与分式方程讲义
分式与分式方程【知识点精讲】:1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】例1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+例2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =+例3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．教师寄语：例4．解下列方程（1）013522=--+xx x x（2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【中考真题在线】：1. （2011安徽，15，8分）先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2．2. （2011江苏扬州，19（2）,4分）（2）xx x 1)11(2-÷+3. （2011浙江衢州，17（2）,4分）化简：3a b a ba b a b-++--.4. （2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．5. （2011福建泉州，19，9分）先化简，再求值2221x xx x x +⋅-，其中2x =．6. （2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值.221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中7. （2011湖南邵阳，18，8分）已知111x =-，求211x x +--的值。
中考数学 分式及分式方程
分式及分式方程一、知识讲解要点1 分式的概念：形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子, B 叫做分式的分母.要点2 在分式中，分母的值不能是零，如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式aS 中，a ≠0要点3 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 要点41、分式的值为0分式的值若想为零，必须保证分式有意义，所以要求分子为零而分母不为零。
2．若分式的值为正，则分子、分母同号（同为正或同为负），即： 若0a b >，则00a b >⎧⎨>⎩或00a b <⎧⎨<⎩3．若分式的值为负，则分子、分母异号（一正一负），即：若0a b <，则00a b >⎧⎨<⎩或00a b <⎧⎨>⎩要点5：分式的运算分式的乘法法则分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 符号表示：．说明： （1）分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘。
（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的分子相乘作为C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=积的分子，分母不变，当然能约分的要约分。
分式的除法法则分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．符号表示：．分式的乘方几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。
法则：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别乘方。
符号表示：（为正整数）。
同分母分式的加减法则同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；符号表示：．异分母分式的加减法则异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．符号表示：要点5分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
初三中考数学复习-分式与分式方程
典例 3
把分式
x
，
x y
y x y
，
2 x2 y2
的分母化为 x2-y2 后，各分式的分子之和是
A．x2＋y2＋2 C．x2＋2xy−y2＋2
B．x2＋y2-x＋y＋2 D．x2−2xy＋y2＋2
3．下列分式中，是最简分式的是
xy A． x2
x y C． x2 y2
B． 2 2x 2y
D． 2x x2
典例 5 某工厂生产一种零件，计划在 20 天内完成，若每天多生产 4 个，则 15 天完成且还多生产 10 个．设 原计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为
7
A．
20x 10 x4
15
C． 20x 10 15 x
B．
20x 10 x4
15
D． 20x 10 15 x
典例 6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用 700 元购进甲、乙两种商品 260 个，其中甲种商品比乙种商
品少用 100 元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高 20%，那么乙种商品单价是
A． 2 元
B． 2.5 元
C． 3 元
D． 5 元
5．某单位向一所希望小学赠送 1080 本课外书，现用 A，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用 B 型包
装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 6 个；已知每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱可多装 15 本课外书．若
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减．
用式子表示为： a c ad bc ad bc ． b d bd bd bd
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
中考复习分式整式化简求值初三
一.教学目标：1、分式的化简求值,理解分式的化简步骤,以及在化简过程中的注意事项2、整式的化简求值,了解整式化简的步骤,以及在化过程中的注意事项1.教学重难点：1分式的约分和通分化简以及化简过程中的方法技巧2整式幂的运算,合并同类项以及化简过程中的方法技巧分式的化简求值一、分式的概念一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫作分式．分式会AB中A叫作分子,B叫作分母．注意：1判断一个式子是否为分式,关键是看分母中是否有字母．2分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母,如12,2x是整式,而2x是分式．3分式有无意义的条件：①若0B≠,则分式AB有意义；②若0B=,则分式AB无意义．4分式的值为零的条件：若{00A B=≠,则分式A B的值为零,反之也成立．二、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变．用式子表示是：A A MB B M⋅=⋅,()0A A MMB B M÷=≠÷,其中A,B,M是整式．课题分式整式的化简求值学生姓名年级初三日期注意：1分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质,可以在不改变分式的值的条件下,对分式作一系列的变形．2当分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子或分母用括号括上．再将分子与分母同乘或除以相同的整式．三、约分、最简分式及通分的概念1．约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫作分式的约分．说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式,找公因式的方法：1当分子和分母都是单项式时,先找出它们系数的最大公约数,再确定相同字母的最低次幂,它们的乘积就是分子与分母的公因式．2当分子、分母是多项式时,先将分子、分母因式分解,把分子、分母化为几个因式的积后,再找出分子、分母的公因式．约分应注意一定要把公因式约尽,还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时,要用分子、分母的公因式去除整个多项式,不能只除某一项,更不能减去某一项．例如2233a x a b x b+=+是错误的． 2.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式,关键是确定其分子与分母是否有公因式1除外．分式的约分,一般要约去分子和分母的所有公因式,使所得结果成为最简分式或整式．注意：1最简分式与小学学过的最简分数类似．2最简分式是对一个独立的分式而言的,最大的特点是只有一条分数线．形如322x y ++,233ax y ++的分式都不是最简分式． 3.通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．4最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积,叫作最简公分母．注意：确定最简公分母的一般方法：1如果各分母都是单项式,确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母,连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母．学科网2如果各分母都是多项式,就要把它们分解因式,再按照分母是单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去求．方法技巧归纳方法技巧 一应用分式概念解题的规律1．分式的判别方法 根据定义判定式子A B 是否为分式要注意两点：一是A ,B 都是整式,二是B 中含字母且0B ≠．判断一个代数式是否为分式,还应注意不能把原式变形如约分等,而只能根据它的最初形式进行判断．如根据()()()()22222a b a b a b a b a b a b +---==++,判定()222a b a b -+不是分式,这是错误的． 2．对分式有无意义或值为0的条件判断二分式基本性质的应用分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据,正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键．利用分式的基本性质可将分式恒等变形,化简分式,简化计算等．1．约分参考三12．通分参考三3三分式值的特殊情况拓展1．分式的值为1或1-的讨论 若分成()10A B B =≠,则A B =,反之也成立；若分式()10A B B=-≠,则A 与B 互为相反数,反之也成立．2．分式的值为正数的讨论分式的值为正数时,分式的分子与分母同号,利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围．3．分式的值为负数的讨论分式的值为负数时,分式的分子与分母异号,利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围．4．分式的值为整数的讨论若分式的值为整数,则分母必为分子的约数,利用这一关系可对分母进行讨论．四、分式的乘除法分式的乘除法与分数的乘除法类似,法则如下：1乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,用式子表示是：a c a c b d b d⋅⋅=⋅． 2除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,用式子表示是：ac ad a d b d b c b c⋅÷=⋅=⋅． 3分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方,用式子表示是：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭n 是正整数．注意：1法则中的字母a ,b ,c ,d 所代表的可以是单项式,也可以是多项式． 2运算的结果必须是最简分式或整式．五、分式的加减法1．同分母分式加减法的法则与同分母的分数加减法类似,同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减． 用式子表示是：a b a b c c c ±±=． 注意：1“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是多项式时,应将各分子加括号,括号不能省略,2运算结果必须化为最简分式或整式．2．异分母分式加减法的法则与异分母的分数加减法类似,异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减． 用式子表示是：ac ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=． 六、分式的混合运算分式的混合运算的顺序是：先乘方,再乘除,最后算加减；遇到括号,先算括号内的；在同级运算中,从左向右依次进行．注意：1实数的运算律对分式同样适用,注意灵活运用,提高解题的质量和速度．2结果必须化为最简分式或整式．3分子或分母的系数是负数时,要把“－”提到分数线的前边．4对于分式的乘除混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算,分子、分母是多项式时,可先将分子、分母分解因式,再相乘．方法技巧归纳方法技巧 一分式的乘除法及乘方运算的解题技巧1．分式的乘除法分式的乘除运算可以统一成乘法运算,分式的乘法一般情况下是先约分再相乘,这样做省时简单易行,又不易出错；当除式或被除式是整式时,可以看作分母是1的式子,然后再按分式的乘除法则计算．2．分式的乘方做分式乘方时,一是注意养成先确定结果的符号,再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序,先乘方,再乘除,最后加减．二分式加减运算的解题技巧 分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的,分为同分母加减法和异分母加减法,所不同的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多,它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用．分式加减运算需要运用较多的基础知识,运算步骤增多,符号变换复杂,解题方法灵活多样．三分式化简、求值的解题技巧分式的化简、求值问题,一是化简要求值的分式,只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件,化到最简后,再考虑代入求值． 四分式混合运算的解题技巧分式的混合运算,除了掌握运算顺序外,在运算过程中,可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算简化,值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式．五分式通分的解题技巧分式的加减运算,分同分母分式相加减和异分母分式相加减,对于异分母分式的加减法,有时直接通分会很繁琐,我们可以根据式子的特点,灵活的采用不同的方法通分,从而起到事半功倍的效果．1．分组通分2．逐项通分3．公式()11111n n n n =-++的运用 核心考点 分式的化简求值分式化简求值是中考的热点,常以解答题的题型进行考查,主要考查分式的运算能力．在考查时经常运用分式的基本性质进行运算,解题时要充分运用分式运算法则进行求解．经典示例化简分式：2223442x x x x x ---+-÷234x x --,并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x 的值代入求值．答题模板第一步,化简：化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变．第二步,运算：由已知条件,根据分式的基本性质,适当把分式进行变形,使变形后的分式出现已知条件的形式,然后把已知条件代入变形后的分式,来求分式的值． 第三步,求解：分式的化简求值题,关键是要准确地运用分式的运算法则,然后代入求值．四步,反思：查看关键点、易错点,要注意分清运算顺序,先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算．．模拟训练先化简,再求值：22214()244a a a a a a a a +--+÷--+,其中011(3)()2a -=π+. 1．2017·湖南常德先化简,再求值：243133x x x x -+---22212322x x x x x -+--+-,其中x =4． 2．2017·湖北襄阳先化简,再求值：2111()x y x y xy y +÷+-+,其中x 52,y 5－2.3．2017·吉林某学生化简分式21211x x ++-出现了错误,解答过程如下： 原式=12(1)(1)(1)(1)x x x x ++-+-第一步 =12(1)(1)x x ++-第二步 =231x -．第三步 1该学生解答过程是从 步开始出错的,其错误原因是 ； 2请写出此题正确的解答过程．4．先化简,再求值：22124)(1)442a a a a a a a -+-÷--+-,其中a 满足不等式组7223a a ->⎧⎨>⎩的整数解.5．先化简,再求值：221a a +－2142a a +÷1－2414a a +,其中a 是不等式x －413x -＞1的最大整数解．6．已知1A x +－3B x -＝5(1)(3)x x x ++- 其中A ,B 为常数,求A 2 018B 的值． 整式的化简求值一、整式的概念1．单项式和多项式1单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独一个数或字母也叫做单项式,如0,1,a …2单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；3单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数； 注①单个字母的系数是1,如a 的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或1,如ab 的系数是1,a 3b 的系数是1． 4多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；5多项式的项：在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项；6多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；学科网 7常数项：代数式中不含字母的项叫做常数项,如6x 22x 7中的常数项是7． 2. 同类项多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项所有常数项也看做同类项．3．合并同类项1定义：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变． 2理论依据：逆用乘法分配律．3法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变．注①如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0；②不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上；③只要不再有同类项,就是最后结果,结果还是代数式．（4）合并同类项的步骤：第一步：观察多项式中各项,准确找出同类项,项数比较多时,不同的同类项可以给出不同的标记；第二步：利用乘法的分配律,把同类项的系数加在一起用小括号,字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果．4．去括号法则去括号规律要准确理解,去括号应对括号的每一项的符号都予以考虑,做到要变都变；要不变,则谁也不变；法则顺口溜：去括号,看符号,是“+”号,不变号；是“-”号,全变号．另外,括号内原有几项去掉括号后仍有几项．注如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．二、整式的计算1．整式的加减法整式的加减实质上就是合并同类项,若有括号,要先用“去括号法则”去掉括号,然后合并同类项．注1两个整式相减时,减数一定要先用括号括起来；2整式加减的最后结果中：不能含有同类项；一般按照某一字母的降幂或升幂排列；不能出现带分数,带分数要化成假分数．2．幂的运算1同底数幂的乘法同底数幂运算法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即()m n m n a a a m n +⋅=、为正整数m 、n 均为正整数．学科网推导公式：同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即 ()m n p m n p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数．底数互换关系 22()()n n a b b a -=- ,2121()()n n b a a b ++-=--注同底数幂的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数相加,所得的和作为积的指数．在进行同底数幂的乘法运算时,如果底数不同,先设法将其转化为相同的底数,再按法则进行计算．2幂的乘方的运算性质运算性质： 幂的乘方,底数不变,指数相乘,即()m n mn a a =m 、n 均为正整数． 注幂的乘方的底数是指幂的底数,而不是指乘方的底数.指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开．3积的乘方的运算性质运算性质：积的乘方,把积中各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即：()n n n ab a b =n 为正整数．补充：()p m n mp np a b a b = m 、n 、p 是正整数．注运用积的乘方法则时,数字系数的乘方,应根据乘方的意义计算出结果．运用积的乘方法则时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式．3．整式的乘除1 单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.注计算时要运用乘法交换律,乘法结合律2单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘,因单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加注运用乘法分配律转化成单项式乘单项式3多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘里一个多项式的每一项,再把所得的积相加．4．乘法公式1完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2, ab2=a22ab+b2解读：()222首尾首首尾尾,公式中的a、b可以是单独的数字,字母,单+=+⨯⨯+2项式或多项式2平方差公式：a+bab=a2b2核心考点整式的化简求值1．整式化简求值在广东省中考中,在解答题部分,大多以先化简再求值的题型出现,要求熟悉乘法公式的特点,看清项数及公式形式中的a、b,准确进行计算；2．要准确认识平方差和完全平方公式,可以结合面积法证明这两个公式,这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3．在化简求值时要注意：当字母是负数时,代入后应加上括号；当字母是分数时,遇到乘方也要加括号．经典示例先化简,再求值：2()()2a b a b a +-+,其中1a =,2b =．答题模板第一步,计算：利用整式乘法和除法法则或乘法公式进行展开．第二步,化简：利用整式的加减法法则合并同类项化简． 第三步,求值：把字母的值代入化简结果计算．第四步,反思：反思回顾,查看关键点、易错点,对结果进行估算,检查规范性． 模拟训练1.计算：(3)(1)(2)a a a a +-+-．2. 先化简,再求值．()()223234(1)(2)x x x x x +---+-,其中3x =-．1．2017·浙江宁波先化简,再求值：2215x xx x ,其中32x . 2．2017·湖南怀化先化简,再求值：2212112a a a a a ,其中21a .3．2017·江苏无锡计算：a +ba ﹣b ﹣aa ﹣b4．2017·浙江嘉兴化简：(2)(2)33m m m m +--⨯． 5．2017·河南先化简,再求值： 2(2)()()5()x y x y x y x x y ++-+--,其中21x =,21y =．。
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辅导讲义学员编号： 年 级：初三 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 分式的基本考点分式中考常考题型 分式综合提升教学目标 授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理 知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六:分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db c a d c b a ∙∙=∙ 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为cc ∙∙=∙=÷b da db a dc b a② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛知识点七:列分式方程基本步骤① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。
注意检验 ⑤ 答—答题。
二、同步题型分析题型1 例1 :若分式21a+有意义，则a的取值范围是（）A．a=0 B．a=1 C．a≠-1 D．a≠0 思路分析：根据分母不等于0列式即可得解．解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠-1．故选C．例2：若分式12x-无意义，则实数x的值是____________．思路分析：根据分母不等于0列式即可得解．解：∵分式有意义，∴x-2≠0，∴x≠2．例3：若分式3621xx-+的值为0，则（）A．x＝－2 B．x＝－12C．x＝12D．x＝2解：∵分式为0，∴3x-6=0,2x+1≠0∴x＝2故选D题型2：例1 化简216312mm--得；当m=-1时，原式的值为．思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出(4)(4)3(4)m mm+--，约分后得出43m+，把m=-1代入上式即可求出答案．解：216 312 mm--=(4)(4)3(4)m mm+--=43m+。
当m=-1时，原式=143-+=1，故答案为：43m+，1．例2 化简：2211a aa a a--÷+．思路分析：将分式221aa a-+的分子、分母因式分解为(1)(1)(1)a aa a+-+，再把分式的除法变为乘法进行计算即可．解：原式=1(1)(1)(1)a a aa a a-+-÷+=1(1)(1)(1)a a aa a a-+⨯+-=-1．例3：化简211x xx x+-- 的结果是（ ） A ．x+1 B ．x-1 C ．-x D ．x思路分析：将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．解：211x xx x +-- 211x xx x =--- 21x xx -=-(1)1x x x -=- =x ， 故选D ．题型3：例1 ：化简211x xx x+-- 的结果是（ ） A ．x+1 B ．x-1 C ．-x D ．x思路分析：将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．解：211x xx x +-- 211x xx x =--- 21x xx -=-(1)1x x x -=- =x ，例2.先化简，再求值：21422++--a a a ，其中3=a 。
解：原式21)2)(2(2++-+-=a a a a222121+=+++=a a a当2=a 时，原式52232=+=例3：进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:【关键词】分式方程的实际应用【答案】解：设原来每天加固x 米，根据题意，得926004800600=-+xx ． 去分母，得 1200+4200=18x （或18x =5400） 解得 300x =． 检验：当300x =时，20x ≠（或分母不等于0）． ∴300x =是原方程的解． 答：该地驻军原来每天加固300米．三、课堂达标检测检测题1:要使分式1x有意义，x 的取值范围满足（ ）A ．x=0B ．x≠0C ．x ＞0D ．x ＜0 思路分析：∵分式有意义，你们是用9天完成4800米长的大坝加固任务的? 我们加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍． 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.∴分母为零， ∴x ≠0 故选C ．检测题2：化简221(1)11x x -÷+- 的结果是（ ） A ．21(1)x + B ．21(1)x - C ．2(1)x + D ．2(1)x - 思路分析：将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果． 解：221(1)11x x -÷+- =1211(1)(1)x x x x +-÷++- =1(1)(1)1x x x x -+-+ =2(1)x -． 故选D 。
检测题3：化简分式222()1121x x x x x x x x --÷---+，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值． 思路分析：先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．解：原式=2(1)(1)[](1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x +--⨯-+-+-=22(1) (1)(1)(1)x x x x x x -⨯-+- =1xx +， 由于当x=-1或x=1时，分式的分母为0， 故取x 的值时，不可取x=-1或x=1， 不妨取x=2， 此时原式=22213=+． 检测题4：3 解分式方程311323162x x -=--． 解：去分母，得 3(31)213x --=． 解得 2x =．经检验，2x =是原方程的解． ∴原方程的解是2x =．检测题5 ：某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得 1800x ·90%=1800x +4解得x =36 经检验x =36是原方程的根 ∴x +4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x 人，则根据题意得1800x +4=180090x %解得x =50 ，经检验x =50是原方程的根∴90x % =45 答：1班有50人，2班有45人一、专题精讲例1：使分式12-x x有意义，则x 的取值范围是（ ） A.21≥x B.21≤x C. 21>x D.21≠x 【答案】D2.化简：22142a a a +--． 【答案】（2）解：原式 =()()21222a a a a -+--()()()()222222a a a a a a +=-+-+- ()()()()()2222222a a a a a a a -+=+--=+-12a =+.3．先化简，再求值：21422++--a a a ，其中3=a 。
【答案】解：原式21)2)(2(2++-+-=a a a a222121+=+++=a a a当2=a 时，原式52232=+=二、专题精讲1.若分式3621x x -+的值为0，则（ ） A ．x ＝－2 B ．x ＝－12 C ．x ＝12D ．x ＝2【答案】D 2.（2）解方程：1x x +＋1x x-＝2 【答案】)1(2)1)(1(2+=-++x x x x x ， x x x x 221222+=-+，x 21=-，21-=x ．经检验，原方程的解是21-=x ． 3． 分式方程112x =-的解是 . 【答案】 x =3；4.（2）解方程：123-=x x ．【答案】x x 233=- 3=x ．经检验：3=x 是原方程的解． 所以原方程的解是3=x ．三、专题精讲1． 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是Ａ．203525-=x x Ｂ．x x 352025=- Ｃ．203525+=x x Ｄ．xx 352025=+ 【答案】C2．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得方程 ． 分式方程【答案】()()12030012030120%120180301.2x x x x-+=++=或 3．先化简，再求值：1112221222-++++÷--x x x x x x ，其中12+=x ． 【答案】解：原式=11)1()1(2)1)(1(22-+++÷-+-x x x x x x=11)1(2)1()1)(1(22-+++⋅-+-x x x x x x =11)1(22-+--x x x =)1(2-x x ． 当12+=x 时，原式=422+．三、学法提炼1、专题特点：1.紧密的贴切中考考点。