高考试题分类训练专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案

专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案部分1．A 【解析】通解 如图所示，CB11111()()22222=+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB ED DB AD CB AB AC AB AC3144=-u u ur u u u r AB AC ．故选A ． 优解 111()222=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB AD AB AB AC3144=-u u ur u u u r AB AC ．故选A ． 2．B 【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．3．C 【解析】由2BM MA =u u u u r u u u r ，可知||2||BM MA =u u u u r u u u r ，∴||3||BA MA =u u u ru u u r ． 由2CN NA =u u u r u u u r ，可知||2||CN NA =u u u r u u ur ，∴||3||CA NA =u u u r u u u r ，故||||3||||BA CA MA NA ==u u u r u u u ru u u r u u u r ， 连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =u u u r u u u u r ，∴33()BC MN ON OM ==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r，∴23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-ou u u r u u u u r u u u u r ．故选C ．4．A 【解析】由+=-a b a b 两边平方得，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ．5．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．6．B 【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.7．A【解析】由题意得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC +⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u uu r u u u r ， 所以30ABC ∠=o，故选A ．8．C 【解析】由题意，得2(2)20+=+⋅=a a b a a b ，即22⋅=-a b a ，所以cos ,||||⋅<>=a b a b a b 222142-==-a a ，所以23π<⋅>=a b ，故选C ． 9．B 【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||--≥a b a b ，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出22()()+⋅-=-a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ． 10．C 【解析】由题意可得22=a ，3⋅=-a b ，所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b ．故选C ．11．A 【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ．12．A 【解析】由2()10+=a b ①，2()6-=a b ②，①-②得1⋅=a b ．13．B【解析】由题意得cos 26π==，两边平方化简得18=，解得m =14．B 【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r，若S 的表达式中有0个a b ⋅r r ，则2222S a b =+r r ，记为1S ，若S 的表达式中有2个a b ⋅r r ，则22222S a b a b =++⋅r r r r， 记为2S ，若S 的表达式中有4个a b ⋅r r ，则4S a b =⋅r r ，记为3S ，又||2||b a =r r，所以222132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ， 222122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，223()0S S a b -=->r r ，∴321S S S <<，故min 34S S a b ==⋅r r，设,a b r r 的夹角为θ，则22min48||cos 4||S a b a a θ=⋅==r r r r ，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以3πθ=．15．B 【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．16．B 【解析】由于2222||2t t t +=++gb a b a b a ，令222()2f t t t =+⋅+b a b a ，而t 是任意实数，所以可得()f t 的最小值为2222222222224(2)44cos 4sin 1444θθ--===a b ab a b a b b a a ，即22||sin 1θ=b ，则知若θ确定，则||b 唯一确定． 17．C 【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=．解得3k =，选C18．C 【解析】因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅，故选C ．19．D 【解析】由题意，设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，||||(||(1))||PB PC PH PB PB a PB ⋅==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0000||||P B PC P H P B a ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r，于是00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r≥恒成立，相当于(||(1))||PB a PB a -+-u u u r u u u r ≥恒成立， 整理得2||(1)||PB a PB a -++u u u r u u u r ≥0恒成立，只需22(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤即可，于是1a =，因此我们得到2HB =，即H 是AB 的中点， 故△ABC 是等腰三角形，所以AC BC =．P 0P H CBA20．A 【解析】(3,4)AB =-u u u r ，所以||5AB =u u u r，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-u u u r ． 21．A 【解析】AB =（2,1），CD =（5,5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ 22．C 【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标()()1,0,0,1==a b ，又设(),x y =c ，代入1--=c a b1=，又c 的最大值为圆()()22111x y -+-=上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)1．23．D 【解析】因为1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，所以可以A 为原点，分别以1AB u u u r ，2AB u u u u r所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )，则AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u ur ＝(a ，b )，即P (a ，b )． 由|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r|＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP uuu r |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14，即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2<≤所以|OA u uu r |的取值范围是⎝，故选D ．24．B 【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.25．C 【解析】22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=r r r r Q 正确的是C ．26．C 【解析】2222||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ，则||||0=-≠ab a b ，所以,a b 不垂直，A 不正确，同理B 也不正确；||||=-ab a b ，则cos ,1>=-<a b ，所以,a b 共线，故存在实数λ，使得λ=b a ，C 正确；若=b a ，则1λ=，此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ，所以D 不正确． 27．B 【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=1228．D 【解析】∵2(5,2)k -=-a b ，由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=，∴1020k +-=，解得12k =． 29．C 【解析】三角形的面积S=12||sin ,<>a ||b a b ，而=11||||||||sin ,22a b a b a b =<> 30．B 【解析】若a 与b 共线，则有==0mq np -e a b ，故A 正确；因为pn qm =-e b a ，而=mq np -e a b ，所以有≠e e a b b a ， 故选项B 错误，故选B ． 31．12【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c ，且(2)+∥c a b ， 32．1-【解析】依题意m -a b =(1,)m m +-，根据向量垂直的充要条件可得1(1)0()0m m ⨯++⨯-=，所以1m =-．所以124λ⨯=，即12λ=． 33．7【解析】∵(1,3)m +=-a b ，∴()=0+⋅a b a所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．34．2【解析】由题意0⋅=a b ，所以2330m -⨯+⨯=，即2m =．35．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ，1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,则12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，311λ=．36．3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=- 37．3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，由OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r得22OC OA mOA nOB OAOC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即cos(45)45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪=++o o ocos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++o o所以4531cos(45)102102m n αα+++===++oo 所以3m n +=．38．23-【解析】因为(,1),(1,2),x x =+=⊥a b a b ，所以2(1)0x x ++=，解得23x =-． 39．6-【解析】由题意2120m --=，所以6m =-．40．－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-41．9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，所以OA OB •=u u u r u u u r 93||||)(222===•+=+•．42．1【解析】由题意()ln(())==-=-f x x x f x x x ，=x ，解得1a =．43【解析】由题可知，不妨1(1,0)e =u r，21(2e =u u r ，设(,)b x y =r ， 则11b e x ⋅==r r，2112b e x y ⋅=+=r r，所以b =r ，所以3b ==r44．90o【解析】由1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为90o．45．16【解析】∵cos AB AC AB AC A ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，∴由cos tan AB AC A A ⋅=uu u r uuu r ，得23AB AC ⋅=uu u r uuu r ，故ABC V 的面积为11||||sin 266AB AC π=u u u r u u u r ．46．②④【解析】S 有下列三种情况：222221S a a b b b =++++r r r r r ， 2222S a a b a b b b =+⋅+⋅++r r r r r r r ， 23S a b a b a b a b b =⋅+⋅+⋅+⋅+r r r r r r r r r∵222212232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥r r r r r r r r，∴min 3S S =，若a b ⊥r r ，则2min 3S S b ==r ，与||a r 无关，②正确； 若a b r r P ，则2min 34S S a b b ==⋅+r r r ，与||b r 有关，③错误；若||4||b a >r r ，则2222min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=r r r r r r r r ，④正确；若2min ||2||,8||b a S a ==r r r ，则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=r r r r r r∴1cos 2θ=， ∴3πθ=，⑤错误． 47||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ= 48．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=， ∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．49．2【解析1】(4,22)c m m =++r因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅r r r r rr ，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅r r r r r r ，所以||||||||c a c bc a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r rr r r r ， 又||2||b a =r r，所以2c a c b ⋅=⋅r r r r即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒=．【解析2】由几何意义知c r 为以ma r ，b r 为邻边的菱形的对角线向量，又||2||b a =r r，故2m =50．2【解析】g b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2. 51．2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+u u u r u u u r u u u r ,BD BA AD AD DC =+=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．52．712【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o ，且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以1cos1203232AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-ou u u v u u u v u u u v u u u v .由AP BC ⊥u u u v u u u v 得,0AP BC ⋅=u u u v u u u v ,即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v,所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ,即493(1)0λλ---=，解得712λ=． 53．【解析】||||x ===b==||||x b 的最大值为2． 54．12【解析】因为E 为CD 的中点，所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r，因为·1AC BE =u u u r u u u r ， 所以22111·()()1222AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即2111cos60122AB AB -+=ou u u r u u u r ，所以211024AB AB -+=u u u r u u u r ，解得12AB =u u u r ．55．4【解析】如图建立坐标系，则()1,1a =-r， ()6,2b =r ，()1,3c =-r由c a b λμ=+r r r ，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=56．b =r222(2)1044cos 4510a b a b b b ︒-=⇔-=⇔+-=r r r r r rb ⇔=r57．（Ⅰ）⎝⎭（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0xy >，解得1010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故,1010⎛ ⎝⎭c =.即与2+a b同向的单位向量的坐标为⎝⎭．（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,0cos 3θ-⋅-⋅===-b a a b a a58．98-【解析】2223494a b a b a b -≤⇔+≤+r r r r r r g2294449448a b a b a b a b a b a b +≥≥-⋅⇒+⋅≥-⋅⇔⋅≥-r r r r r r r r r r r r ．59．5[,]66ππ【解析】如图，向量α与β在单位圆O 内，因|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB 上（α∥AB ，且圆心O 到AB 的距离为12），因此夹角θ的取值范围为5[,]66ππ．60．54【解析】由题意知1212(2)()0k ⋅=-+=a b e e e e ，即22112122220k k +--=e e e e e e ， 即22cos 2cos 2033k k ππ+--=，化简可求得54k =．61．1【解析】向量a +b 与向量k a -b 垂直，∴()()0k +⋅=a b a -b ，化简得(1)(1)0k -⋅⋅+=a b ，易知0⋅≠a b ，故1k =． 62．3π【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意有()()22+2⋅-=+⋅-2a b a b a a b b cos θ=-7+2=-6，所以1cos 2θ=，因此0θπ≤≤，所以3πθ=．63．－1【解析】(1,1)m +=-a b ，由()+∥a a c ，得12(1)(1)0m ⨯--⨯-=，所以m =－1．。