平面向量的概念+加减法运算
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也扮演着重要的角色。
平面向量的加法和减法是其中最基本的运算，本文将对这两个运算进行详细的解析和说明。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的和向量c的坐标为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的和向量c的坐标为(2+4, 3+(-1))，即c(6, 2)。
这意味着向量a和向量b的和向量c的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的加法，我们可以得到两个向量的合力向量。
合力向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
这在物理学中有着重要的应用，例如计算物体在斜面上的合力。
二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量的减法可以通过向量的加法和取负得到。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的差向量d可以表示为d = a - b = a+ (-b)，其中(-b)表示向量b的负向量，即(-b) = (-b₁, -b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的差向量d可以表示为d = a - b = (2, 3) + (-4, 1) = (-2, 4)。
这意味着向量d的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的减法，我们可以计算两个向量之间的距离和方向。
例如，若向量a表示一个物体的位移，向量b表示一个参考点的位置，那么向量d就表示物体相对于参考点的位移。
三、应用举例1. 平面向量的加法应用举例假设有一个飞机从A地飞往B地，然后从B地飞往C地。
平面向量的运算
平面向量的运算平面向量在数学中是一种重要的概念，它们被广泛应用于几何学、物理学等领域。
平面向量的运算是平面向量的基本操作，包括加法、减法、数量乘法（或标量乘法）和向量乘法（或点乘、叉乘）等。
下面将分别对这些运算进行详细介绍。
一、平面向量的加法平面向量的加法定义简单，即对应元素相加。
假设有两个平面向量A和A，它们的加法表示为：A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)其中，A₁和A₂分别为向量A的两个分量，A₁和A₂分别为向量A的两个分量。
通过按照上述规则进行相应的运算，可以得到向量的和。
二、平面向量的减法平面向量的减法类似于加法，即对应元素相减。
假设有两个平面向量A和A，它们的减法表示为：A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)其中，A₁和A₂分别为向量A的两个分量，A₁和A₂分别为向量A的两个分量。
通过按照上述规则进行相应的运算，可以得到向量的差。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是一个向量与一个标量（实数）的乘法。
假设有一个平面向量A和一个标量A，它们的数量乘法表示为：AA = (AA₁, AA₂)其中，A₁和A₂分别为向量A的两个分量。
通过按照上述规则进行相应的运算，可以得到向量与标量的乘积。
四、平面向量的向量乘法平面向量的向量乘法分为点乘和叉乘两种情况。
点乘，也称为数量积或内积，是两个向量相乘后再求和得到一个标量的运算。
假设有两个平面向量A和A，它们的点乘表示为：A·A = A₁A₁ + A₂A₂其中，A₁和A₂分别为向量A的两个分量，A₁和A₂分别为向量A的两个分量。
点乘的结果是一个标量。
叉乘，也称为向量积或外积，是两个向量相乘后得到一个新向量的运算。
假设有两个平面向量A和A，它们的叉乘表示为：A×A = (A₂A₃ - A₃A₂, A₃A₁ - A₁A₃, A₁A₂ - A₂A₁)其中，A₁、A₂和A₃分别为向量A的三个分量，A₁、A₂和A₃分别为向量A的三个分量。
4.1.2平面向量的概念及加减法
A
E
B
A
E
B
2、填空： 填空：
AB + BC = CB + BA = OE + ED =
AB + BE + ED =
AE + FC + EF =
AB + BC + CD + DE + EF =
3、如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD 相交于点O，设 OA = a ， = b ，试用 a ，b 表 OB 示下列向量。
方向相同， 方向相同，长度相等的两个向量 相等向量： 相等向量： 方向相反， 方向相反，长度相等的两个向量 相反向量： 相反向量：
平行向量： 平行向量： 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量
D C
D E C F B
A
B
A
区别与联系
长度 相等向量 互为相反向量 平行向量 相等 相等 无关 向量相等或相反 方向 相同 相反 相同或相反 向量平行 向量平行
不平行向量相加
OB = a + b
b a
A
a
O
b
B
a+b
平行向量相加： 已知： 平行向量相加： 已知： a b
a b
O
求： a + b
A
a
b
B
a+b a b
O
a + b = OA + AB = OB
B
a
A
a+b
a + b = OA + AB = OB
零向量： 零向量： 长度为零的向量
记作： 记作： 0 方向： 方向： 任意的 大小： 大小： a = 0
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算在平面向量的运算中，加法与减法是最基本的运算法则。
平面向量加法与减法的定义及运算规则如下：一、平面向量的定义在平面上，向量是由大小和方向确定的箭头表示，具有大小和方向的量。
平面向量用字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的加法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→放置在平面上的A点，使得它们有相同的起点，然后从A点指向D点，得到一个新的向量AD→。
AD→就是AB→与CD→的和，表示为AB→+CD→。
2. 运算规则：a) 加法的交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→b) 加法的结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)c) 零向量的定义：零向量是指大小为0的向量，用0→表示，对于任意向量AB→，有AB→ + 0→ = AB→d) 反向向量的定义：对于任意向量AB→，存在一个与之方向相反但大小相等的向量，称为其反向向量，用-AB→表示，有AB→ + (-AB→) = 0→三、平面向量的减法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→取反，然后按照向量加法的规则，得到AB→ + (-CD→)，表示为AB→ - CD→。
2. 减法的运算规则：a) 减法的定义：AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)b) 减法的性质：AB→ - CD→ ≠ CD→ - AB→，减法不满足交换律。
四、示例分析1. 平面向量加法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ + CD→ = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j2. 平面向量减法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ - CD→ = (3i + 4j) - (-2i + 5j) = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j五、平面向量的运算性质1. 平面向量加法满足交换律和结合律，即满足整个群论的要求。
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示，如果两点分别为A和B，那么向量AB通常用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
向量的大小记为|→AB|。
三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起，将向量→CD的终点放在向量→AB的终点，这样得到的向量就是→AB + →CD。
2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB的起点放在→CD的终点，将向量→AB的终点放在→CD的起点，这样得到的向量就是→AB - →CD。
3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设向量→AB，实数k，那么k→AB的大小为|k|×|→AB|，方向与→AB相同（当k > 0）或相反（当k < 0）。
4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积（又称点积、内积）定义为|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。
5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积（又称叉积、外积）定义为一个新的向量→E，其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ，方向垂直于→AB和→CD所在的平面，符合右手法则。
四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，用平面向量可以表示力的大小和方向；在几何学中，可以用平面向量表示线段的长度和方向。
总结：平面向量是用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。
平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法平面向量是数学中一个重要的概念，它可以表示平面上的位置和方向。
在进行平面向量的运算时，加法和减法是两个最基本的操作。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法的定义、性质和运算规则。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的箭头，它可以表示平面上的位移或者方向。
平面向量通常用有向线段来表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量常用小写字母加上有向线段的箭头来表示，例如：AB →。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有平面向量AB → 和CD →，它们的加法定义为：AB → + CD → = AD →。
即将向量AB → 的起点和向量CD → 的终点相连得到的向量AD → 就是它们的和向量。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有平面向量AB → 和CD →，它们的减法定义为：AB → - CD → = AD →。
即将向量AB → 的起点和向量CD → 的终点相连得到的向量AD → 就是它们的差向量。
四、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意两个向量AB→ 和CD →，有AB → + CD → = CD → + AB → 和(AB → + CD →) + EF → = AB → + (CD → + EF →)。
2. 零向量是一个特殊的向量，它表示大小为0的向量。
对于任意向量AB →，有AB → + 0 → = AB →。
3. 平面向量的减法可以转化为加法，即AB → - CD → = AB → + (-CD →)，其中-CD → 表示向量CD → 的反向大小相等的向量。
4. 如果两个向量的大小相等，并且方向相反，则它们相互抵消，和向量为零向量。
即如果AB → = -CD →，则AB → + CD → = 0 →。
5. 平面向量的加法和减法可以通过图形法或坐标法进行计算。
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是表示平面上的有向线段的数学工具，常用于描述位移、速度、力等物理量。
在平面向量的运算中，加法和减法是最基本的操作。
1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的和为向量A(A₁,A₂)，即：A = A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的差为向量A(A₁, A₂)，即：A = A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)在进行平面向量的加减运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。
具体操作如下：1. 给出需要进行加减运算的向量A和向量A的坐标表示。
2. 将两个向量的对应坐标进行相加（或相减），得到新的坐标。
3. 根据得到的新坐标，构造新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）。
4. 最后，将新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）的坐标表示写出，即完成了平面向量的加减运算。
补充说明：1. 在计算过程中，要注意坐标的顺序，确保符号对应正确。
2. 加法运算和减法运算可以通过相互转化来进行，即：A + A = A - ( - A)3. 若有多个向量进行加减运算，可以采用逐步进行的方法，先进行第一对向量的运算，然后将得到的结果与下一个向量进行运算，依次类推。
4. 在实际问题中，应用到向量加减运算时，可以结合图像进行解释和计算，更直观地理解向量的运算规律。
通过以上步骤，我们可以完成平面向量的加减运算。
在实际应用中，平面向量的加减运算常常用于解决平面几何和物理学中的问题，如位移、速度、力的合成分解等。
总结：平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
通过计算向量的各个坐标，然后进行相应的加减操作，我们可以得到最终的结果。
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是解决空间中物理量的运算问题的一种有效工具。
而对平面向量进行加减运算是解决实际问题的基础。
下面我们将介绍平面向量的加减运算的基本原理及相关例题。
一、平面向量的定义在二维平面上，平面向量可以表示为有方向和大小的箭头，通常用有向线段来表示。
平面向量的起点表示为点A，终点表示为点B，记作向量AB，即AB→。
二、平面向量的表示平面向量可以使用坐标系表示。
在平面直角坐标系中，向量AB的坐标表示为(AB的横坐标, AB的纵坐标)。
例如，向量AB的坐标为(3,4)，则表示向量AB的横坐标为3，纵坐标为4。
三、平面向量的加法1. 平面向量的加法定义设有两个平面向量AB→和CD→，它们的和向量记为AB→+ CD→，其定义为：以向量AB→的起点为起点，以向量CD→的终点为终点所得到的向量。
2. 平面向量的加法运算根据平面向量的加法定义，我们可以进行向量的加法运算。
例如，向量AB→的坐标为(3, 2)，向量CD→的坐标为(1, 5)，则向量AB→+ CD→的坐标为(3+1, 2+5)，即(4, 7)。
四、平面向量的减法1. 平面向量的减法定义设有两个平面向量AB→和CD→，它们的差向量记为AB→- CD→，其定义为：以向量AB→的起点为起点，以向量CD→的终点为终点所得到的向量。
2. 平面向量的减法运算根据平面向量的减法定义，我们可以进行向量的减法运算。
例如，向量AB→的坐标为(5, 3)，向量CD→的坐标为(2, 1)，则向量AB→-CD→的坐标为(5-2, 3-1)，即(3, 2)。
五、平面向量加减运算的性质1. 交换律：对于任意的平面向量AB→和CD→，有AB→+ CD→ = CD→+ AB→。
2. 结合律：对于任意的平面向量AB→、CD→和EF→，有(AB→+ CD→) + EF→ = AB→+ (CD→+ EF→)。
3. 加法逆元：对于任意的平面向量AB→，存在一个向量-AB→，使得AB→+ (-AB→) = (0, 0)，称为零向量。
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引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向
伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同
方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
F1
M
C
EO
图1
F2
M
F
EO
图2
F1 F
F2
F=F1+F2
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
a
b
则 OB a b
a
A
b
a
B
O
ab
三角形法则
思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形
法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？
a
a
b
（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
规定：0 a a 0 a
当向量 a、b不共线时，和向量的长度| a b | 与向量 a、b的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
a
三角形的两边之和大于第三边
当向量a、b不共线时有 | a b || a | | b |
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
2.1向量的基本概念
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
B（终点）
A（起点）
1 几何表示法： 有向线段（ 起点、方向、长度 ）
2 字母表示法： a ，b AB
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。
记作 |AB| 或 | a |
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
B
l
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
向量加法、减法运算及 其几何意义
知识回顾
1. 向量与数量有何区别 数?量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b 规定：0 = 0
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
A
以同一点O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与b的和a b,即
a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
a
A
文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行 四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
向量加法的三角形法则：
首
a
C
尾
相
ab
接
b
b
A
a
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
作 OA a ，AB b ，
）
3.若|a|>|b| ，则a > b
注:向量不能比较大小
• 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， • 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，
“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法
是错误的.
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如： a
平行向量又叫做共线向量
2．两个特殊向量：
零向量---长度度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）
2.向量的模是一个正实数。（
指方向表示向量的方向。
A
B
2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终
点字母表示.
如 a , AB
3. 什么叫相等向量向量?
长度相等,方向相同的向量相等.
(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向 量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.)
引入1： 香港
上海 台北
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( )
A．0 B. 1
D
C
C. 2
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
D. 3
C
D
当b ≠ 0时成立。
A
B
B
A
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段 表示
符号表示法： a ，b AB
长度（模）
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
作 OA a ，OB b ，
以OA、OB为邻边作 OACB
b a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
C
O ab
b
B
平行四边形法则
尝试练习二：