1.2.2正弦、余弦定理应用
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。
在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。
一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。
这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。
进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。
因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。
2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。
根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。
计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。
它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。
二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
1.2.2正弦、余弦定理应用——测量高度
解RtV ABD, 得BD=ABsinBAD=
27.3cos 5001/ sin 54040 / BD= sin(54040/ 5001/ )
BC cos sin . sin( )
27.3cos 5001/ sin 54040/ 177(m) 0 / sin(4 39 )
CD BD BC 177 27.3 150(m)
答：山的高度约为150米。
例5 如图1.2-6 一辆汽车在一条水平的公路 上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶 D在西偏北150的方向上，行驶5 km后到达B处， 测得此山顶在西偏北250的方向上，仰角为80，求 此山的高度CD.
分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长。 解：在△ABC中, ∠BCA=900+ β , ∠ABC=900-α, ∠BAC= α -β, ∠BAD=α. 根据正弦定理得：
BC AB , 0 sin( ) sin(90 )
BC sin(900 ) BC cos AB , sin( ) sin( )
弦定理可得：
a sin AC , sin( - )
AB AE h AC sin h a sin sin h sin( - )
例4 如图1.2-5 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α=54040', 在塔底C处测得A处的俯角 β=5001' 。已知铁塔BC部分的高为27.3m, 求出山 高CD（精确到1 m）。
CD=BCtanDBC BC tan8 1047(m)
0
答:山的高度大约为1047米。
小结
正弦、余弦定理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ应用：
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用鉴于题目为"余弦定理与正弦定理的应用"，本文将探讨以余弦定理和正弦定理为基础的数学应用，展示它们在解决几何问题中的重要性和实用性。
一、余弦定理的应用余弦定理是三角学中的基本定理之一，它描述了一个三角形的边与角之间的关系。
余弦定理的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2ab·cosC其中，a、b为三角形的两边，C为这两边间的夹角，c为三角形的对边。
1. 三角形边长的计算利用余弦定理，我们可以根据已知的角度和两边长度，计算出第三边的长度。
这对于解决实际问题具有重要意义。
例如，在导航中，我们可以通过已知两个位置和与之相对应的夹角，计算两地之间的距离。
2. 计算三角形的角度除了计算边长，余弦定理还可以用于求解三角形内的角度。
当我们已知三角形的三边时，可以利用余弦定理求解其中一个角的度数。
这在地质勘探、天文学等领域中具有广泛应用。
二、正弦定理的应用正弦定理也是解决三角形问题中常用的定理之一。
正弦定理描述了一个三角形的边与角之间的关系。
正弦定理的数学表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为对应的角。
1. 钝角三角形的侧边和角度计算当三角形中存在一个钝角时，可以利用正弦定理计算该三角形的边长和角度。
这对于建筑设计、航海测量等领域具有实际应用。
例如，在房屋设计中，当一个空间的角度不为90度时，我们可以利用正弦定理计算出相应的边长和其他角度的大小。
2. 解决无直角的三角形问题正弦定理的另一个重要应用是解决不含有直角的三角形问题。
在实际生活和工程中，我们常常遇到不能直接利用余弦定理求解的三角形问题。
在这种情况下，正弦定理提供了一种可行的解决方法。
总结：余弦定理和正弦定理是数学中重要的定理，它们的应用广泛，涵盖了多个领域。
通过利用余弦定理和正弦定理，我们可以计算三角形的边长和角度，解决实际问题，满足测量和设计的需求。
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
正弦定理余弦定理应用举例
。 三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
【变式练习3】 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲 船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处，此时两船相距20海里．当 甲船航行20分钟到达A2处时，乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙 船每小时航行多少海里？
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货 轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45° ，∠ABC＝ 90° ＋30° ＝120° ，∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° ，AB＝ 30×0.5＝15(n AB ， sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2＋ 6 ∴AC＝ ＝ ×15(n sin15° ＝ 2 sin∠ACB mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45° ， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)． ∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile. mile)．由正弦定理，得 AC sin∠ABC ＝
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。
本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。
一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。
它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。
例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。
通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。
同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。
通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。
例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。
通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。
由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。
正弦定理和余弦定理综合应用
BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理在三角学及相关领域中具有广泛的应用，通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题。
以下是关于正弦定理和余弦定理的应用的详细探讨。
一、正弦定理的应用正弦定理是三角学中的一个基本定理，它表达了三角形中任意一边与其对应的角的正弦值之间的关系。
正弦定理在实际应用中具有广泛的用途，以下是几个具体的应用示例：1. 航海与测量：在航海和大地测量中，正弦定理被用来计算地球上两点之间的距离。
由于地球表面可以近似为一个球体，因此可以通过测量两点的纬度和经度，利用正弦定理计算出两点之间的实际距离。
2. 电气工程：在电气工程中，正弦定理被用来分析交流电路中的电压、电流和电阻之间的关系。
通过正弦定理，我们可以推导出各种电气元件（如电阻、电容和电感）的等效电路模型，从而简化电路分析。
3. 通信与信号处理：在通信和信号处理领域，正弦定理被用来分析信号的频谱特性和传输特性。
通过正弦定理，我们可以将复杂的信号分解为一系列正弦波的组合，从而更容易地理解和处理信号。
二、余弦定理的应用余弦定理是另一个重要的三角定理，它表达了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边夹角的余弦值乘以这两边乘积的2倍。
余弦定理同样具有广泛的应用，以下是几个具体的应用示例：1. 几何学：在几何学中，余弦定理被用来解决与三角形边长和角度相关的问题。
例如，在已知三角形的两边及其夹角时，我们可以利用余弦定理求出第三边的长度。
此外，余弦定理还可以用于判断三角形的形状（如锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）以及求解三角形的内角。
2. 物理学：在力学中，余弦定理被用来求解连接杆件的长度和角度问题。
例如，在机器人学和机械设计中，我们需要确定各个杆件之间的相对位置和角度，以便实现预期的运动轨迹。
余弦定理可以帮助我们解决这个问题。
此外，余弦定理还在许多其他领域中得到应用，如航空航天、土木工程、计算机图形学等。
在这些领域中，余弦定理通常被用来求解与空间几何和三维变换相关的问题。
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1.2.2解斜三角形
学习目的：
1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；
2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；
3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 学习重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法
学习难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 课堂过程：
一、复习引入：
上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，
要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决
二、讲解范例：
应用二：测量高度
例1 如图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点。
设计一种测量建筑物高度AB 的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直接测量建筑物的高。
由解直角三角形的知识，只要能测出一点C 到建筑物的顶部A 的距离CA ，并测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出建筑物的高。
所以应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长。
解：选择一条水平基线HG , 使H 、G 、B 三点在同一条直线上，由在H, G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为α，β，CD=a. 测角仪器的高为h, 那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得：
sin sin()
a AC β
αβ=
-
sin asin sin =
sin(-)
AB AE h AC h h
ααβ
αβ=+=++
例2 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′, 在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′ 。
已知铁塔BC 部分的高为27.3m, 求出山高CD （精确到1m ） 分析：根据已知条件，应该设法计算出AB 或AC 的长
解：在△ABC 中, ∠BCA=90°+ β , ∠ABC=90°-α, , ∠BAC= α -β, ∠BAD=α. 根据正弦定理得：
C E
D βG H A
B
A
α
,sin()sin(90)
BC AB
αββ=-+ 0sin(90)cos AB ,sin()sin()
BC BC ββαβαβ+==--
cos sin Rt ABD, BD=ABsin BAD=
sin()
BC βα
αβ∠-解得V 0/0/
0/0/
cos sin 27.3cos501sin5440BD=sin()sin(5440501)BC βααβ=-- 0/0/
0/27.3cos501sin5440177()sin(439)
m =≈
17727.3150()CD BD BC m =-≈-≈
答：山的高度约为150米。
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.
分析：要测出高CD, 只要测出高所在的 直角三角形的另一条直角边或斜边的长， 根据已知条件，可以计算出BC 的长
0000
ABC A 15, C=251510∠=∠-=解：在中，V BC
sin AB
C
=根据正弦定理可得：sinA 0
sin 5sin15BC 7.4524()sin sin10AB A km C ==≈
CD=BCtan tan81047()DBC BC m ∠≈≈ 答:山的高度大约为1047米。
例4 据气象台预报，距S 岛300 ｋｍ的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 ｋｍ的速
度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的
地区将受到台风的影响 问：S 岛是否受其影响? 若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由
分析：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤27O 这一不等式是否有解的判断，则需表示
SB ，可设台风中心经过ｔ小时到达B
β
αB
D
C A
815250
D C
B A
点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB
解：设台风中心经过ｔ小时到达B点，
由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°
在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°，
由余弦定理得：
SB2
＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos SAB
＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3O t cos6O°
若S岛受到台风影响，则应满足条件
｜SB｜≤27O 即SB2≤27O2
化简整理得ｔ2－1Oｔ＋19≤O
解之得 5－6≤ｔ≤5＋6
所以从现在起，经过5－6小时S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束持续时间：
(5＋6)－（5－6）＝26小时
答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－6）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为26小时
三、课堂练习：
1海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北6O°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?
答案：不会触礁
2直线AB外有一点C，∠ABC＝6O°，AB＝2OO ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A向B行
驶，同时摩托车以5O公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小
答案：约13小时
四、小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力
五、课后作业：课本19页习题1.2A组第5—8 题。