幂函数、指数函数、对数函数专练习题(含答案)

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第2章函数概念基本初等函数29课指数函数对数函数幂函数配套练习(苏教版必修1)

第29课指数函数、对数函数、幂函数分层训练：1、设f(log 2x)=2x (x>0)，则f(3)的值是( )2、若0<b<1，且log a b<1，则( ) A.0<a13、某工厂去年总产值为a ，计划今后5年内每年比前一年增长10%，则这5年的最后一年该厂的总产值是( ) 4565)a此数据满足的规律，其中最接近的一个( ) A.v=log 2tB.v=t 21logC.v=212-tD.v=2t －25、已知函数y=log a (3－ax)在[0，1]上是减函数，则a 报值范围是( ) A.(0，1) B.（1,3） C.(0，3) D.[3，+∞)6、下列结论正确的是( ) A.y=x－3的定义域为RB.y=31x 的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0} C.y=21x 的定义域为(0，+∞)D.y=21-x的定义域为(0，+∞)7、函数f(x)=*)(112N m x m m ∈++的奇偶性为_____________.8、已知f(x)=(m 2+m)122--m m x，当m 取什么值时，(1)f(x)为正比例函数；(2)f(x)为反比例函数；拓展延伸：9、已知f(x)=|lgx|，若当0<a<b<c 时，f(a)>f(c)>f(b)，试证：0<ac<1第29课指数函数、对数函数、幂函数1、B2、D3、B4、C5、B6、D7、奇函数8、解：（1）由题意⎩⎨⎧-≠≠±=⇒⎩⎨⎧-≠≠=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--1031100220112222m m m m m m m m m m m 且且所以31±=m 时，f(x)是正比例函数(2)由题意⎩⎨⎧-≠≠==⇒⎩⎨⎧-≠≠=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--102010020112222m m m m m m m m m m m m 且或且所以m=2时，f(x)是反比例函数。

专题幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)

专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b 1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b 0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a 1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a 0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。

第6章幂函数、指数函数和对数函数【压轴题型专项训练】(解析版)

2021-2022学年高一数学单元复习过过过【压轴题型专项训练】第6章幂函数、指数函数和对数函数一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•迎泽区月考）若函数()log (2)(0a f x ax a =->，1)a ≠在区间(1,3)内单调递增，则a 的取值范围是A ．2[3，1)B ．(0，2]3C ．3(1,)2D ．3[,)2+∞【答案】B【解析】令log a y t =，2t ax =-，0a > 2t ax ∴=-在(1,3)上单调递减()log (2)(0a f x ax a =-> ，1)a ≠在区间(1,3)内单调递增∴函数log a y t =是减函数，且()0t x >在(1,3)上成立∴01(3)230a t a <<⎧⎨=-⎩ 203a ∴<故选B ．2．（2020•扬州模拟）设方程22|log |1xx = 的两根为1x ，212()x x x <，则A ．10x <，20x >B ．101x <<，22x >C ．121x x >D ．1201x x <<【答案】D【解析】若22|log |1x x = 即21|log |2xx =在同一坐标系中同时坐出函数12xy =与2|log |y x =的图象如下图所示由图象可得1213122x x <<<<故答案A ，B 错误且11121log 2xx =⋯①，2221221log log 2x x x ==-⋯②①-②得12112211log ()022xx x x -=> 故1201x x <<故选D ．3．（2020•陆良县一模）已知函数2()(||1)1f x ln x x =+++，则使得()(21)f x f x >-的x 的取值范围是A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．(1,)+∞D ．1(,)3-∞【答案】A【解析】函数2()(||1)1f x ln x x =+++为定义域R 上的偶函数，且在0x 时，函数单调递增，()(21)f x f x ∴>-等价为(||)(|21|)f x f x >-，即|||21|x x >-，两边平方得22(21)x x >-，即23410x x -+<，解得113x <<；∴使得()(21)f x f x >-的x 的取值范围是1(3，1)．故选A ．4．（2020•沈阳模拟）已知1x 是方程23xx ⋅=的根，2x 是方程2log 3x x =的根，则12x x 的值为A ．2B ．3C ．6D ．10【答案】B【解析】方程23x x ⋅=可变形为方程32x x =，方程2log 3x x =可变形为方程23log x x=，1x 是方程23x x ⋅=的根，2x 是方程2log 3x x =的根，1x ∴是函数2x y =与函数3y x =的交点横坐标，2x 是函数2log y x ==与函数3y x=的交点横坐标，函数2x y =与函数2log y x =互为反函数，∴函数2log y x =与函数3y x =的交点横坐标是函数2x y =与函数3y x=的交点纵坐标．又3y x=图象上点的横纵坐标之积为3，123x x ∴=故选B ．5．（2020•遂川县模拟）已知函数212()log ()f x x ax a =--的值域为R ，且()f x 在(3,1--上是增函数，则a 的取值范围是A ．02aB ．942a -- C ．40a -<<D ．0a <【答案】A【解析】当0a >时，△240a a =+ ，解得0a 或4a - ，()f x 在(3,1--上是增函数，∴内层函数2x ax a --在(3,1-上是减函数12a21()|0x x ax a =-- ．即2a - ，且2a 综上知实数a 的取值范围是02a 故选A ．6．（2020•大连模拟）若()||,0,()()2()2a bf x lgx a b f a f b f +=<<==，则b 的值所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】01()||01lgxlgx lgx x f x lgx lgxlgx lgx x >>⎧⎧===⎨⎨-<-<⎩⎩故()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，且()0f x >．由0a b <<，f （a ）f =（b ）得01a <<，1b >，故lga lgb -=，即0lga lgb lgab +==，1ab =．∴12a b+>=，∴02a b lg +>由()2(2a b f b f +=得22(22a b a b lgb lg lg ++==，所以2(2a b b +=由1ab =得214()b b b =+，令g （b ）214()b b b=-+，则g （3）0>，g （4）0<，故(3,4)b ∈故选C ．7．（2020春•秦州区期末）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -< 时，3()f x x =．若函数()()log ||a g x f x x =-恰有6个不同零点，则a 的取值范围是A ．1(7，1](55⋃，7]B ．1(5，1](53⋃，7]C ．1(5，1](33⋃，5]D ．1(7，1](35⋃，5]【答案】A【解析】首先将函数()()log ||a g x f x x =-恰有6个零点，这个问题转化成()log ||a f x x =的交点来解决．数形结合：如图，(2)()f x f x +=，知道周期为2，当11x -< 时，3()f x x =图象可以画出来，同理左右平移各2个单位，得到在(7,7)-上面的图象，以下分两种情况：（1）当1a >时，log ||a x 如图所示，左侧有4个交点，右侧2个，此时应满足log 51log 7a a < ，即log 5log log 7a a a a < ，所以57a < ．（2）当01a <<时，log ||a x 与()f x 交点，左侧有2个交点，右侧4个，此时应满足log 51a - ，log 71a <-，即log 5log log 7a a a a -> ，所以157a -< ，解得：1175a < ，综上所述，a 的取值范围是：57a < 或1175a < ，故选A ．8．（2020•齐齐哈尔三模）设函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[a ，]b D ⊆使()f x 在[a ，b]上的值域为[a ，b]，那么就称()y f x =为“成功函数”．若函数2()log ()(0xa g x a t a =+>，1)a ≠是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．1[0,4D ．1(0,)4【答案】D【解析】依题意，函数2()log ()(0x a g x a t a =+>，1)a ≠在定义域上为单调函数，当0t =时，()2g x x =不满足条件②，当20.()x a t log a t x >+=有两个不相等的实数根，即2log ()log x x a a a t a +=，则2x x a t a +=，令x a m =-，则20m m t -+=，△140t =->，解得14t <，∴结合题意，得：104t <<，故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021秋•岳麓区月考）已知互不相等的三个实数a ，b ，c 都大于1，且满足a alga lglgc lg c b⋅=⋅，则a ，b ，c 的大小关系可能是A ．a b c <，0lgb >，0lgc >；且a a lga lglgc lg c b⋅=⋅，对于A 选项，若a b c <<，则01a c <<，01a b <<，所以0a lg c <，0alg b<，能满足题意；对于B 选项，若b c a <<，则1a c >，1a b >，所以0a lg c >，0alg b >，能满足题意；对于C 选项，若a c b <<，则01a c <<，01a b <<，所以0a lg c <，0alg b <，能满足题意；对于D 选项，若b a c <<，则01a c <<，1a b >，所以0a lg c <，0alg b>，不能满足题意．故选ABC ．10．（2021•湖南模拟）已知lgxa x=，lgyb y=，lgyc x=，lgxd y=，且1x ≠，1y ≠，则A ．x ∃，(0,)y ∈+∞，使得a b c d <<<B ．x ∀，(0,)y ∈+∞，都有c d=C ．x ∃，(0,)y ∈+∞，且x y ≠，使得a b c d ===D ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1【答案】BD【解析】由题意得，2lga lg x =，2lgb lg y =，lgc lgx lgy =⋅，lgd lgx lgy =⋅，x ，(0,)y ∈+∞，都有c d =，B 正确．A ，C 错误；假设a ，b ，c ，d 中最多一个大于1，若10x >，10y >，则a a >，1b >，1c >，1d >，假设不成立，故D 正确．故选BD ．11．（2021秋•江苏月考）已知函数()(1)xf x a a =>，()()()g x f x f x =--，若12x x ≠，则A ．1212()()()f x f x f x x =+B ．1212()()()f x f x f x x +=C ．11221221()()()()xg x x g x x g x x g x +>+D ．1212()()()22x x g x g x g ++【答案】AC【解析】因为函数()(1)x f x a a =>是单调增函数，所以1()()()()x x x x g x f x f x a a a a-=--=-=-为单调增函数，所以121212()()()x x f x f x a f x x +⋅==+，选项A 正确；又12121212()()()x x x x f x f x a a a f x x ⋅+=+≠=，选项B 错误；因为11122122[()()][()()]x g x x g x x g x x g x ---112212[()()][()()]x g x g x x g x g x =---1212()[()()]x x g x g x =--，12x x ≠，所以12x x >时，12()()g x g x >，11122122[()()][()()]0x g x x g x x g x x g x --->，所以11221221()()()()x g x x g x x g x x g x +>+，选项C 正确；因为函数()x x g x a a -=-为R 上的单调增函数，且图象关于原点对称，以2a =为例，画出函数()22x x g x -=-的图象，如图所示：所以不满足1212()()(22x x g x g x g ++，选项D 错误．故选AC ．12．（2020秋•绍兴期末）已知函数()log (1)(0a f x x a =->，且11)()(||)a g x f x ≠=，2()|()|g x f x =，3()|(||)|g x f x =A ．函数1()g x ，2()g x ，3()g x 都是偶函数B ．若111212()()()g x g x a x x ==<，则214x x ->C ．若212212()()()g x g x a x x ==<，则12111x x +=D ．若313233341234()()()()()g x g x g x g x x x x x ===<<<，则123411110x x x x +++=【答案】CD【解析】选项A ：因为2()|log (1)|a g x x =-的定义域为(1,)+∞，不关于原点对称，所以不是偶函数，故A 错误，选项B ：因为1()log |1|a g x x =-，当1x >时，由111212()()()g x g x a x x ==<可得：21a x a =+，同理可得11a x a =--，所以2122a x x a -=+，当12a =时，2124x x -+<，故B 错误，选项C ：当|()|f x a =时，有()f x a =或a -，则11a x a -=+，21a x a =+，(0)a >，所以121212111121(1)(1)2a a a a a a a a x x a a a a x x x x a a a a ----+++++++====++++，故C 正确，选项D ：由313233341234()()()()()g x g x g x g x x x x x ===<<<，设31()1g x =，则11x a =--，211x a =--，311x a=+，41x a =+，所以1231111,,111a ax a x a x a =-=-=+++，4111x a =+，所以则123411110x x x x +++=，故D 正确，故选CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021春•乌海期末）已知函数2()|log |f x x =，若f （a ）f =（b ）且a b <，则21a b+的取值范围为．【答案】(3,)+∞【解析】函数2()|log |f x x =，且f （a ）f =（b ），22log log a b ∴=-，即22log log 0a b +=，即1ab =，又a b < ，01a ∴<<，212a ab a+=+，2y a a=+ 在(0,1)上单调递减，∴2213a a+>+=，故答案为：(3,)+∞．14．（2020•贾汪区模拟）若直角坐标平面内的两个不同点M 、N 满足条件：①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对”)，已知函数32log (0)()4(0)x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，此函数的“友好点对”有．【答案】2对【解析】根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+，则函数24(0)y x x x =-- 的图象关于原点对称的函数是24(0)y x x x =- 由题意知，作出函数24(0)y x x x =- 的图象及函数3()log (0)f x x x =>的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即()f x 的“友好点对”有：2个．故答案为：215．（2020•衡水二模）如图，已知过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数2log y x =图象交于C ，D 两点，若//BC x 轴，则四边形ABCD 的面积为．23【解析】设点A 、B 的横坐标分别为1x 、2x 由题设知，11x >，21x >．则点A 、B 纵坐标分别为81log x 、82log x ．因为A 、B 在过点O 的直线上，所以818212log x log x x x =，点C 、D 坐标分别为1(x ，21log )x ，2(x ，22log )x．由于BC 平行于x 轴知2182log log x x =，即得21221log log 3x x =，321x x ∴=．代入281182log log x x x x =得3181181log 3log x x x x =．由于11x >知81log 0x ≠，3113x x ∴=．考虑11x >解得1x ．于是点A的坐标为，log即A ，162log3)B ∴21log 3)2，C 21log 3)2，D 23log 3)2．∴梯形ABCD 的面积为11()(22S AC BD BC =+⨯=2221log 3log 3)333+⨯=．故答案为：2log 33．16．（2020•沈河区模拟）设函数2()(1)f x lg x ax a =+--，给出下列命题：（1）()f x 有最小值；（2）当0a =时，()f x 的值域为R ；（3）当0a >时，()f x 在区间[2，)+∞上有单调性；（4）若()f x 在区间[2，)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4a - ．则其中正确的命题是．（写上所有正确命题的序号）．【答案】（2）（3）【解析】21u x ax a =+-- 的最小值为21(44)04a a -++ ∴函数()f x 的值域为R 为真命题，故（2）正确；但函数()f x 无最小值，故（1）错误；若()f x 在区间[2，)+∞上单调递增，则2,42102a a a -+-->且解得3a >-，故（3）正确，（4）错误；故答案为：（2）（3）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2020秋•宁县期末）已知函数4()1(0,1)2xf x a a a a =->≠+且(0)0f =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数()(21)()x g x f x k =+⋅+有零点，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >⋅-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a =->≠+，由4(0)102f a =-=+，求得2a =，故42()1122221x x f x =-=-⋅++．（Ⅱ）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =+⋅+=+-+=-+有零点，则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，求得1k <．（Ⅲ）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >⋅-恒成立，即212221x x m ->⋅-+恒成立．令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++在(1,2)t ∈上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴ ．18．（2020秋•越秀区期末）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠．（1）若120x x <<，试比较12(2x x f +与12()()2f x f x +的大小，并说明理由；（2）若1a >，且(A t ，())f t ，(2B t +，(2))f t +，(4C t +，(4))(2)f t t + 三点在函数()y f x =的图象上，记ABC ∆的面积为S ，求()Sg t =的表达式，并求()g t 的值域．【答案】设12121212()()()()2222a a a log x log x x x f x f x x x K f log ++++=-=-12()2a a x x log log log +=-=1>，12(0)x x <<．（1）对a 进行讨论：当1a >时，0K >，1212()()()22x x f x f x f ++>；当01a <<时，0K <，1212()()()22x x f x f x f ++<；（2）分别过A 、B 、C 作x 轴垂线交x 轴于M 、N 、P ，所以S 等于两梯形面积和与大梯形面积之差，2111(2)4()(()(2))2((2)(4))2(()(4))42log (2)log ()l og (4)()(1)222(4)(4)a a a a a t S g t f t f t f t f t f t f t t t t log log t t t t +==++⋅++++⋅-++⋅=+--+==+++，(2)t ；()g t 的值域为4(0,())3a log．19．（2020秋•西湖区期中）已知函数2()log (1)(01a f x a x =->+且1)a ≠．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）当01a <<时，判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由2101x ->+，可得1x <-或1x >，()f x ∴的定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞；(21()log (1log )11a a x f x x x -=-=++ ，且(111()log log (log ()()111a a a x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+；()f x ∴在定义域上为奇函数．（2）当01a <<时，()f x 在(1,)+∞单调递减，任取1x ，2x 且121x x <<，12121211211(1)(1)()()()()log ()121(1)(1)a a a x x x x f x f x log log x x x x ---+-=-=+++-；由121212(1)(1)(1)(1)2()0x x x x x x -+-+-=-<，1212(1)(1)01(1)(1)x x x x -+∴<<+-，又01a <<，1212(1)(1)log ()0(1)(1)a x x x x -+∴>+-则12()()f x f x >，()f x ∴在(1,)+∞单调递减；（3）假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +；由0m n <<，又log 1log 1a a n m +<+，即log log a a n m <，01a ∴<<．由（2）知：()f x 在(1,)+∞单调递减，()f x ∴在(,)m n 单调递减，∴1()()111()()11a a a a m f m log log m m n f n log log n n -⎧==+⎪⎪+⎨-⎪==+⎪+⎩，即m ，n 是方程1log log 11a a x x x -=++的两个实根，即11x ax x -=+在(1,)+∞上有两个互异实根；于是问题转化为关于x 的方程2(1)10ax a x +-+=在(1,)+∞上有两个不同的实数根，令2()(1)1g x ax a x =+-+，则有2(1)40112(1)0a a a a g ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得03a <<-故存在实数(0,3a ∈-，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +．20．（2020秋•南昌期末）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ，都有|()|f x M 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[0，)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax ax x x +-=----，即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．（2）由（1）得：121()log 1x g x x +=-，而112212()log log (111x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增，所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3-，1]-，所以|()|3g x ，故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3，)+∞．（3）由题意知，|()|5f x 在[0，)+∞上恒成立，5()5f x - ，1116(()4()424x x x a --- ．∴1162(42()22x x x x a -⋅-⋅- 在[0，)+∞上恒成立．∴11[62()][42()]22x x x x max min a -⋅-⋅- 设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t=-，由[0x ∈，)+∞，得1t ．易知()P t 在[1，)+∞上递增，设121t t < ，21121212()(61)()()0t t t t h t f t t t ---=>，所以()h t 在[1，)+∞上递减，()h t 在[1，)+∞上的最大值为h （1）7=-，()p t 在[1，)+∞上的最小值为p （1）3=，所以实数a 的取值范围为[7-，3]．21．（2021秋•金山区期中）已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x=（1）如果[1x ∈，2]，求函数()[()1]()h x f x g x =+的值域；（2）求函数()()|()()|()2f xg x f x g x M x +--=的最大值．（3）如果对任意[1x ∈，2]，不等式2()()f x f k g x > 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）令2log t x =，则()3f x t =-，()g x t =，222()(42log )log 2(1)2h x x x t =-=--+ ．[1x ∈ ，2]，[0t ∴∈，1]，故当1t =时，()h x 取得最大值为2，当2t =时，函数取得最小值为0，()h x ∴的值域为[0，2]．（2）函数(),()()()()|()()|()(),()()2g x f x g x f x g x f x g x M x f x f x g x ⎧+--==⎨<⎩，2()()3(1log )f x g x x -=- ，∴当(0x ∈，2]时，()()f x g x 2()log M x x =．当(2,)x ∈+∞时，()()f x g x <2()32log M x x =-．即22log ,02()32log ,2x x M x x x <⎧=⎨->⎩ ．当02x < 时，()M x 最大值为1；当2x >时，()1M x <．综上：当2x =时，()M x 取到最大值为1．（3）对任意[1x ∈，2]，不等式2()()f x f k g x > 恒成立，即222(34log )(3log )log x x k x -->．[1x ∈ ，2]，[0t ∴∈，1]，(34)(3)t t kt ∴-->对一切[0t ∈，1]恒成立．①当0t =时，k R ∈．②当(0t ∈，1]，9415k t t <+-，9()415h t t t=+- 在(0，1]上是减函数，()2min h t ∴=-，(1t =时），2k ∴<-．综述，k 的取值范围为(,2)-∞-．22．（2020秋•东湖区期中）已知函数()f x为对数函数，并且它的图象经过点3)2，函数2()[()]2()3g x f x bf x =-+在区间上的最小值为h （b ），其中b R ∈．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()y g x =的最小值h （b ）的表达式；（3）是否存在实数m 、n 同时满足以下条件：①4m n >>；②当h （b ）的定义域为[n ，]m 时，值域为2[n ，2]m ．若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）()f x的图象经过点32，∴32f =，即3log 2a =∴33222a ==，即22()log (0)a f x x x =∴=>（2）设2()log t f x x ==，16x ，∴22log log 16x ∴1()42f x ，即142t 则222()23()3y g t t bt t b b ==-+=-+-，1(4)2t ，对称轴为t b =①当12b <时，()y g t =在1[,4]2上是增函数，113(24min y h b ==-②当142b 时，()y g t =在1[,]2b 上是减函数，在(b ，4]上是增函数，2()3min y h b b ==-③当4b >时，()y g t =在1[,4]2上是减函数，min y h =（4）198b =-综上所述，2131,4213,42198,4minb b y b b b b ⎧-<⎪⎪⎪=-⎨⎪->⎪⎪⎩ （3）4m n >> ，[b n ∈，]m ，h ∴（b ）198b =-．h （b ）的定义域为[n ，]m ，值域为2[n ，2]m ，且h （b ）为减函数，∴22198198m n n m⎧-=⎨-=⎩两式相减得8()()()m n m n m n -=-+，m n > ，0m n ∴-≠，得8m n +=，但这与“4m n >>”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在.。

高一数学幂函数、指数函数和对数函数练习题(含答案)

高一数学幂函数、指数函数和对数函数练习题1、下列函数一定是指数函数的是（）Ａ、12+=x y B 、3x y = C 、x y -=3 D 、x y 23⋅=2、已知ab >0，下面四个等式中，正确命题的个数为（） ①lg （ab ）=lg a +lg b ②lg b a =lg a －lg b ③b a b a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1ab A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知x =2+1，则lo g 4（x 3－x －6）等于（）A ．23 B ．45 C ．0 D ．21 4、已知m >0时10x =lg （10m ）+lg m 1，则x 的值为（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－15、下列图像正确的是（）A B C D6、若log a b ·log 3a =5，则b 等于（）A ．a 3B ．a 5C ．35D ．537、5、已知031log 31log >>b a ，则a 、b 的关系是（） A ．1＜b ＜a B ．1＜a ＜b C ．0＜a ＜b ＜1 D ．0＜b ＜a ＜1 8、若函数)1,0(1≠>-+=a a m a y x 的图象在第一、三、四象限内，则（）A 、1>aB 、1>a 且0<mC 、010><<m a 且D 、10<<a9、函数x y -=1)21(的单调递增区间是（） A 、),(+∞-∞ B 、),0(+∞ C 、),1(+∞ D 、)1,0(10、如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<< 11、下列函数中既是偶函数又是（） A ． B ． C ． D ．12、函数R x x x y ∈=|,|，满足（）A ．奇函数是减函数B ．偶函数又是增函数C ．奇函数又是增函数D ．偶函数又是减函数13、若01<<-x ，则下列不等式中成立的是（）A 、 x x x 5.055<<-B 、 x x x -<<55.05C 、x x x 5.055<<-D 、 x x x 555.0<<-14、下列命题中正确的是（） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限15、若2<x ，则|3|442x x x --+-的值是_____ _____.16、满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______ _______。

高中数学章末质量检测四幂函数指数函数和对数函数湘教版必修第一册

章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a>0，则a 14 ·a －34等于( ) A ．a －12B ．a －316C ．a 13 D ．a2．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．()0，1B ．()1，2C ．()2，3D ．()3，43．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，534．设a ＝log 20.3，b ＝30.2，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a5．函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－1的单调递增区间为( )A ．(]－∞，0B ．[)0，＋∞C ．()－1，＋∞D ．()－∞，－16．函数f(x)＝e x ＋1|x|（e x－1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝52，lg 2＝0.301 0，则x 的值约为( )A ．1.322B ．1.410C ．1.507D ．1.6698．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0ln()x ＋1，x>0 ，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．若函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 10．下列说法正确的是( ) A ．函数f ()x ＝1x在定义域上是减函数B ．函数f ()x ＝2x－x 2有且只有两个零点C ．函数y ＝2|x |的最小值是1D ．在同一坐标系中函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称11．已知函数f ()x ＝log a x ()a >0，a ≠1图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( ) A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若x >1，则f (x )>0 D ．若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.12．已知函数f (x )＝2x＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．) 13．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)22m mx+的图象不经过原点，则实数m 的值为________．14．已知3a＝5b＝A ，且b ＋a ＝2ab ，则A 的值是________．15．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].若函数g (x )＝ax ＋m－3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．16．已知函数f (x )＝3|x ＋a |(a ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，则实数a 的值为________；若f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求下列各式的值： (1)31log 43＋2log 92－log 329(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋π0＋log 223－log 416918.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋3)－2x 3＋4x 的图象在[－2，5]内是连续不断的，对应值表如下：(2)从上述对应填表中，可以发现函数f (x )在哪几个区间内有零点？说明理由．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)若函数f (x )在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之和为6，求实数a 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3，求3x ＋3－x的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x－1). (1)求函数f (x )的定义域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求f (x )的值域．21．(本小题满分12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型：①f (x )＝0.03x ＋8，②f (x )＝0.8x＋200，③f (x )＝100log 20x ＋50，x ∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.(1)若函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，求实数m 的取值范围； (2)若函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，若x ∈(0，1]时，2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0恒成立，求实数t 的取值范围．章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数1．解析：a 14·a －34＝1344a -＝a －12.故选A. 答案：A2．解析：设f (x )＝2x －1＋x －5，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数y ＝2x －1与y ＝x 在R 上都是递增函数，所以f (x )在R 上单调递增，故函数f (x )＝2x －1＋x －5最多有一个零点，而f (2)＝22－1＋2－5＝－1<0，f (3)＝23－1＋3－5＝2>0，根据零点存在定理可知，f (x )＝2x －1＋x －5有一个零点，且该零点处在区间(2，3)内．故选C. 答案：C3．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥05－3x >0，解得1≤x <53，则函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53.故选C. 答案：C4．解析：a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝30.2>30＝1，c ＝0.30.2<0.30＝1，且0.30.2>0，∴b >c >a . 故选D. 答案：D5．解析：令t ＝x 2－1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 为单调递减函数，且函数t ＝x 2－1在(]－∞，0上递减，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1的单调递增区间为(]－∞，0.故选A. 答案：A6．解析：由题意，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －x＋1|－x |（e －x －1）＝e x （e －x ＋1）|－x |（e －x －1）e x ＝e x＋1|x |（1－e x）＝－f (x )，即f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →＋∞时，e x＋1e x －1→1，1|x |→0，即x →＋∞时，e x＋1|x |（e x－1）→0，可排除D ，故选C. 答案：C7．解析：∵2x＝52，∴x ＝log 252＝lg 5－lg 2lg 2＝1－2lg 2lg 2＝1－2×0.301 00.301 0≈1.322.故选A. 答案：A8．解析：作出y ＝||f （x ）的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|，则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对任意x <0恒成立，所以a ≥－2，综上－2≤a ≤0.故选D. 答案：D9．解析：当α＝－1时，幂函数y ＝x －1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A 不符合；当α＝1时，幂函数y ＝x ，符合题意；当α＝2时，幂函数y ＝x 2的定义域为R 且为偶函数，C 不符合题意；当α＝3时，幂函数y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，D 符合题意．故选BD.答案：BD10．解析：对于A ，f ()x ＝1x在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B ，函数f ()x ＝2x－x 2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C ，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确；对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，命题正确．故选CD.答案：CD11．解析：由题2＝log a 4，a ＝2，故f (x )＝log 2x . 对A ，函数为增函数正确．对B, f (x )＝log 2x 不为偶函数．对C ，当x >1时， f (x )＝log 2x >log 21＝0成立．对D ，因为f (x )＝log 2x 往上凸，故若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立．故选ACD. 答案：ACD12．解析：易知函数f (x )＝2x＋log 2x 在(0，＋∞)为增函数，由f (a )f (b )f (c )<0, 则f (a )，f (b )，f (c )中为负数的个数为奇数，对于选项A ，B ，C 可能成立．故选ABC. 答案：ABC13．解析：由函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m 是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2；当m ＝－1时，f (x )＝x －1，图象不经过原点，满足题意；当m ＝2时，f (x )＝x 8，图象经过原点，不满足题意；所以m ＝－1. 答案：－114．解析：由 3a＝5b ＝A ，得a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 当a ＝b ＝0时，A ＝1，满足条件．当ab ≠0时，由b ＋a ＝2ab ，即1a ＋1b＝2，将a ，b 代入得：1log 3A ＋1log 5A ＝2，即log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A ＝15，所以A ＝15或1. 答案：15或115．解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]. 当a >1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝0，f （0）＝log a 1＝－1，无解；当0<a <1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝－1，f （0）＝log a 1＝0，解得a ＝13.∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m－3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13m－3≤0，解得m ≥－1，即m 的取值范围是[－1，＋∞). 答案：[－1，＋∞)16．解析：(1)∵f (x )＝f (2－x )，取x ＝0得，f (0)＝f (2)， ∴3|a |＝3|2＋a |，即|a |＝|2＋a |，解得a ＝－1；(2)由(1)知f (x )＝3|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥1，31－x ，x <1，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∵f (x )在[m ，＋∞)上单调递增， ∴m ≥1，m 的最小值为1. 答案：－1 117．解析：(1)原式＝14＋(log 32－log 329)＝14＋2＝94；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＋log 223－log 243 ＝49＋1＋log 212 ＝49. 18．解析：(1)由题意可知a ＝f (－2)＝log 2(－2＋3)－2·(－2)3＋4·(－2)＝0＋16－8＝8，b ＝f (1)＝log 24－2＋4＝4.(2)∵f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0， ∴函数f (x )分别在区间(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内有零点．19．解析：(1)f (x )＝2x为R 上的增函数，则f (x )在区间[a ，2a ]上为增函数， ∴f (x )min ＝2a，f (x )max ＝22a，由22a ＋2a ＝6，得22a ＋2a －6＝0，即2a ＝－3(舍去)，或2a＝2，即a ＝1； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3，则21x ＝3，即1x ＝log 23＝lg 3lg 2＝1lg 2lg 3＝1log 32，则x ＝log 32， ∴3x ＋3－x＝3log 32＋3－log 32＝2＋12＝52.20．解析：(1)∵f (x )＝log 4(4x－1)， ∴4x－1>0解得x >0，故函数f (x )的定义域为(0，＋∞). (2)令t ＝4x－1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴t ∈[1，15]， ∴y ＝log 4t ∈[0，log 415]， ∴f (x )∈[0，log 415]，即函数f (x )的值域为[0，log 415].21．解析：(1)由题意符合公司要求的函数f (x )在[3 000，9 000]为增函数，且对∀x ∈[3 000，9 000]，恒有f (x )≥100且f (x )≤x5.①对于函数f (x )＝0.03x ＋8，当x ＝3 000时，f (3 000)＝98＜100，不符合要求； ②对于函数f (x )＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；③对于函数f (x )＝100log 20x ＋50在[3 000，10 000 ]，显然f (x )为增函数，且当x ＝3 000时，f (3 000)>100log 2020＋50≥100；又因为f (x )≤f (9 000)＝100log 209 000＋50<100log 20160 000＋50＝450；而x 5≥3 0005＝600，所以当x ∈[3 000，9 000]时，f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5min . 所以f (x )≤x5恒成立；因此，f (x )＝100log 20x ＋50为满足条件的函数模型． (2)由100log 20x ＋50≥350得：log 20x ≥3，所以x ≥8 000，所以公司的投资收益至少要达到8 000万元．22．解析：(1)因为函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以a 12＝3，解得a ＝3，则f (x )＝3x，因为x ∈(0，2)，故1＜3x＜9，11 令t ＝3x ，则1＜t ＜9，函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，即函数G (t )＝－3t ＋10－m 在区间(1，9)内有零点，所以G (1)·G (9)＜0，即(7－m )(－17－m )＜0，解得－17＜m ＜7，所以实数m 的取值范围为(－17，7)；(2)由题意可得，函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝3xf （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝3－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝3x －g （x ）＋h （x ）＝3－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＝3x －3－x 2h （x ）＝3x＋3－x 2，因为2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0，所以t ≤ln h 2（x ）g （x ）＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－x 223x －3－x 2＝ln （3x －3－x ）2＋42（3x －3－x ），设a ＝3x －3－x ，因为0＜x ≤1，且a ＝3x －3－x 在R 上为单调递增函数，所以0＜a ≤83，所以t ≤ln a 2＋42a ＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ，因为a ＋4a ≥2a ·4a ＝4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝2时取等号，所以t ≤ln 2，故实数t 的取值范围为(－∞，ln 2].。

数学专题指对幂比较大小必刷100题

专业专心专注µ专题指对幂比较大小必刷100题1任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1已知a =53-12，b =log 25，c =log 37，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a【答案】D【解析】因为a =53 -12=3512<1，b =log 25>log 24=2，1=log 33<c =log 37<log 39=2，所以b >c >a 故选：D2已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ,b ,c 大小顺序为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】D 【解析】∵a =ln 1π<ln1=0，b =e 13>e 0=1，0=log π1<c =log π3<log ππ=1，∴b >c >a .故选：D .3已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ,b ,c 大小顺序为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】D 【解析】因为a =ln 1π<ln1=0，b =e 13>e 0=1，c =log π3∈0,1 所以b >c >a 故选：D【点睛】本题考查的是对数、指数幂的比较，较简单.4设a =34-34，b =432，c =log 232，则a ，b ，c 的大小顺序是A.b <a <c B.c <a 1,且4334<432=b ,又c =log 232<log 22=1.故c <a 2-b=log12b，而2a=log12a，∴log12a>log12b，∴a<b．又12c=log2c且12 b=log12b，由图象可知c>1，0<b<1，故a<b<c，故选D．考点：利用函数图象比较大小.6若a=0.20.8，b=0.80.2，c=1.10.3，d=lg0.2，则a，b，c，d的大小关系是()A.c>b>a>dB.c>a>b>dC.b>c>a>dD.a>c>b>d【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：0.20.2>0.20.8，1.10.3>1.10=1由幂函数的单调性知：0.80.2>0.20.2，所以c>1>b=0.80.2>0.20.2>0.20.8=a>0，又由对数函数的单调性可知：d=lg0.2<lg1=0综上有：c>b>a>d.故选：A7设a=log3π，b=2log32，c=4ln1e，则a，b，c大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】解：因为ln1e<ln1=0，所以0<4ln1e<40=1，即0<c<1，又2log32=log322=log34>log3π> log33=1，即b>a>1，所以b>a>c；故选：B8已知5a=2,b=ln2,c=20.3，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b【答案】B【解析】由5a=2⇒a=log52=log54<log55⇒a<12，由ln e2>ln4>ln e⇒1>b>12，c=20.3>1，所以c>b>a，故选：B9已知a=454.1,b=45 -0.9,c=54 0.1，则这三个数的大小关系为()A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【答案】B第2页共31页专业专注专心专业专心专注【解析】b =45-0.9=540.9，因为y =54x在R 上单调递增﹐则b >c >1，又a =454.1<45=1.故b >c >a .故选：B .10若a =225,b =325,c =12 25,d =1325，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A.a >b >c >dB.b >a >d >cC.b >a >c >dD.a >b >d >c【答案】C【解析】解：a =225>20=1,b =325>30=1,c =1225<12=1,d =1325<13=1，另外a b =225325=2325<23=1，则b >acd =12 251325=3225>32=1，则c >d故b >a >c >d 故选：C .11已知a =12-0.8，b =log 1223，c =40.5则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.a b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b【答案】B【解析】由3a =2可得，a =log 32=ln2ln3，因为ln3>1>ln2>0，所以ln2ln3<ln2<1，又因为c =20.3>20=1，所以c >b >a .故选：B .13已知a =43，b =log 34，c =3-0.1，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b【答案】A 【解析】因为a =43=log 3343，343 3=34=81>43=64，所以log 3343>log 34，即a >b .第3页共31页又因为b=log34>log33=1，c=3-0.1<30=1，即b>c，所以a>b>c.故选：A14设0<x<π2，记a=lnsin x，b=sin x，c=esin x，则比较a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a 【答案】A【解析】因为0<x<π2，所以b=sin x∈0,1，a=lnsin x<0，c=e sin x>1，所以a<b<c，故选：A15若a=2 23，b=323，c=1223，d=13 23，则a，b，c，a的大小关系是()A.a>b>c>dB.b>a>d>cC.b>a>c>dD.a>b>d>c 【答案】C【解析】∵23>0∴幂函数y=x23在0,+∞上单调递增，又∵3>2>12>13>0，∴323>223>1223>13 23，∴b>a>c>d故选：C.16已知a=0.31.7，b=1.70.3，c=log0.31.7，则a，b，c的大小关系为() A.a<c1.70=1所以0<a<1<b；根据对数函数的性质知，log0.31.7<log0.31=0，所以c<0；所以a，b，c的大小关系是c<a<b.故选：C.17已知a=log262，b=log3142，c=232，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【答案】A【解析】解：c=232>20=1，0<a=log262<log22=12，12=log33<log3142=b<1，∴a<b<c.故选：A．18已知a=1.20.5，b=0.51.5，c=22，则这三个数的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a第4页共31页专业专注专心专业专心专注【答案】D【解析】因为a =1.20.5>1.20=1，所以a >1.因为b =0.51.5<0.51=12，所以0<b <12.而c =22，所以12<c <1，故b <c <a .故选D .19已知a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a 0，所以a >c ，所以c <a log 22=1，∴b >1，∵0<0.40.3<0.40=1，∴0<c <1，∴a <c b >aB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a【答案】D【解析】因x ∈(e -1,1)，且函数y =ln x 是增函数，于是-1<a <0；函数y =2x 是增函数，-1<ln x <0<-ln x <1，而12ln x=2-ln x ，则1<12ln x<2，12<2ln x <1，即12<c <1c >a 故选：D22已知a =log 32,b =15 35,c =13-23，则a ,b ,c 的大小关系是()A.a 13 0=1, 因此b <a <c故选：B 第5页共31页23设a=4323,b=43 34,c=32 34，则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a 【答案】C【解析】因为函数y=43x在R上是增函数，所以43 23<43 34，即a<b，又因为函数y=x34在(0,+∞)上是增函数，所以4334<32 34，所以b<c，故a<b<c.故选：C24已知a=ln12020+20192020，b=ln12021+20202021，c=ln12022+20212022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 【答案】A【解析】构造函数f x =ln x+1-x，f x =1x-1=1-xx，当0<x<1时，fx >0，f x 单调递增，所以f12020>f12021>f12022，a>b>c.故选：A25已知a=log35,b=1213,c=log1316，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【解析】c=log1316=log36，因为函数y=log3x在0,∞上单调递增，所以log33=1<a=log35<log36<log1316=c，因为函数y=12x在R上单调递减，所以b=12 13<12 0=1，所以c>a>b故选：D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量(通常找0和1)进行比较.26已知1<1a<1b,M=a a,N=a b,P=b a，则M,N,P的大小关系正确的为()A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M 【答案】B【解析】解：∵1<1a<1b，∴0<b<a<1，∴指数函数y=a x在R上单调递减，∴a b>a a，即N>M，又幂函数y=x a在0,+∞上单调递增，∴a a>b a，即M>P，∴N>M>P，第6页共31页专业专注专心专业专心专注故选：B .27已知a =sin3，b =log 3sin3，c =3sin3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】C 【解析】因为π2<3<π，所以a =sin3∈0,1 ，b =log 3sin3<log 31=0，c =3sin3>30=1，所以c >a >b .故选：C28设a =315，b =153，c =log 315，则a ，b ，c 的大小关系为().A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.c 0,3>0，则315>30>153>0，对数函数y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，0<15<1，则log 315<log 31=0，所以有315>15 3>log 315，即c <b <a .故选：D 29已知e a =π，2b =3，c =sin2021∘，则a ，b ，c 大小关系为()A.c <a <bB.c log 222=32，又c =sin2021∘=sin 5×360∘+221∘ =sin221∘<0，所以c <a b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】D【解析】b =log 4232=log 43<log 44=1，所以0<a 103 log 55=103>1，所以c >b >a .故选：D31已知a =log 31.5，b =log 0.50.1，c =0.50.2，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b第7页共31页。

专题24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习

（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N ．
3、对数式与指数式的互化
x loga N a x N
对数式
指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1,
2
3
10 49 5 3
3
3
47
10．化简
（1）
2
5 3
0
22
2
1 4
1
2
1
0.01 2
4
3
（2） 3 8 4 3 2 3 2 3
16
【答案】（1）；（2）-2.
15
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】
1
1
（1）原式 1
当 x 0 时， 0 y 1 ；
当 x 0 时， 0 y 1 。
当 x 0 时， y 1。
在 , 上是增函数。在 , 上是减函数。
11．函数 y 3 x 的大致图像是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【分析】根据函数的最大值排除 A B D 可得答案. 【详解】
因为 | x | 0 ，所以 y 3|x| 30 1，排除 A B D.
log a M N log a M log a N
16．已知 a log3 2 1 ，则 2a （）
专题 24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题（解析版）
幂函数图像及性质分析
y1 x

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1. 函数f (x )＝x21-的定义域是A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.（－∞，0）D.（－∞，＋∞） 2. 函数x y 2log =的定义域是A.(0,1］B. (0,+∞)C. (1,+∞)D.[1,+∞) 3. 函数2log 2y x =-的定义域是A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)4. 若集合{|2},{|1}xM y y N y y x ====-，则M N ⋂=A.}1|{≥y yB.}1|{>y yC.}0|{>y yD.}0|{≥y y5. 函数y = -11-x 的图象是6. 函数y =1－11-x , 则下列说法正确的是 A.y 在(－1,+∞)内单调递增 B.y 在(－1,+∞)内单调递减 C.y 在(1,+∞)内单调递增D.y 在(1,+∞)内单调递减7. 函数0.5log (3)y x =-的定义域是A. (2,3)B. [2,3)C.[2,)+∞D. (,3)-∞ 8. 函数xx x f 1)(+=在]3,0(上是 A.增函数 B.减函数C.在]10，（上是减函数，]31[，上是增函数D.在]10，（上是增函数，]31[，上是减函数 9. 的定义域是函数 )2(x lg y -=A.(-∞，+∞)B.(-∞，2)C.(-∞，0] D(-∞，1]10. 的取值范围是则若设函数o xx x x x f ,1)f(x 0)(x )0(,12)(o >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)(1,,-1)D.(- )(0,,-2)C.(- )B.(-1, )1,1.(A +∞∞+∞∞+∞-11. 21||x y =函数A.是偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减12. 的定义域是函数xx x y -+=||)1(00}|D.{ -1}0|C.{ 0}|B.{ }0|.{≠≠<<>x x x x x x x x x A 且13. 函数12log (32)y x =-的定义域是A.[1,)+∞B.23(,)+∞C.23[,1]D.23(,1]14. 下列四个图象中，函数xx x f 1)(-=的图象是15. 设A 、B 是非空集合，定义A ×B={x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}.已知A={x |y =22x x -},B={y |y =2x ,x >0},则A ×B 等于 A.［0,1)∪(2,+∞) B.［0,1］∪［2,+∞) C.［0,1］ D.［0,2］16. 设a =20.3,b =0.32,c =log3.02，则A a ＞c ＞b B.a ＞b ＞c C. b ＞c ＞a D. c ＞b ＞a 17. 已知点33(在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是 A.()3f x x = B.3()f x x = C.2()f x x -= D.1()()2x f x =18. 已知幂函数αx x f =)(的部分对应值如下表：x 121 )(x f122则不等式1)(<x f 的解集是 A.{}20≤<x x B.{}40≤≤x x C.{}22≤≤-x x D.{}44≤≤-x x19. 已知函数的值为），则，的值域为)1(0[93)(2f a ax x f x∞+--+=A.3B.4C.5D.6指数函数习题一、选择题1．定义运算a ⊗b ＝⎩⎨⎧aa ≤b b a >b，则函数f (x )＝1⊗2x 的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2) 4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3 B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥55．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值是________．8．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y＝2的定义域、值域和单调区间．11．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a -2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（） A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、351 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）A 、13 B C D6、函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称7、函数(21)log x y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是（）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<< 10、2log 13a <，则a 的取值范围是（） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（）A 、12log (1)y x =+ B 、2log y =C 、21log y x = D 、2log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的二、填空题13、若2log 2,log 3,m na a m n a+=== 。

14、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是。

15、2lg25lg2lg50(lg2)++=。

16、函数)()lgf x x=是（奇、偶）函数。

三、解答题：（本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、已知函数1010()1010x xx xf x---=+，判断()f x的奇偶性和单调性。

18、已知函数222 (3)lg6xf xx-=-，(1)求()f x的定义域；(2)判断()f x的奇偶性。

19、已知函数2328()log1mx x nf xx++=+的定义域为R，值域为[]0,2，求,m n的值。

123456789101112131415 A D D C C C B C DD BC D A A 16171819BBDB2. 函数x y 2log =的定义域是2log x ≥0，解得x ≥1，选D3. 函数2log 2-=x y 的定义域是2log 2x -≥0，解得x ≥4，选D. 6. 令x －1=X ,y －1=Y ,则Y =－X1. X ∈(0,+∞)是单调增函数，由X =x －1,得x ∈(1,+∞)，y =1－11-x 为单调增函数,故选C. 15. ∵A=［0,2］,B=(1,+∞),∴A ×B={x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}=［0,1］∪(2,+∞). 指数函数答案1.解析：由a ⊗b ＝⎩⎨⎧aa ≤b b a >b得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎨⎧2xx ≤0，1x >0.答案：A2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )．若x <0，则3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 答案：C4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，则u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，所以函数u (x )在(1,2)上单调递增，则u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3. 答案：B5. 解析：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，所以⎩⎨⎧a >13－a >0a 8－6>3－a×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，.当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2，当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1，综上，12≤a <1或1<a ≤2.答案：C.7. 解析：当a >1时，y ＝a x在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32.答案：12或328. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]9. 解析：如图满足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数有意义，则只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，则t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254，∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，此时x ＝－32，t min ＝0，此时x ＝－4或x ＝1.∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52.∴函数y ＝2341()2x x --+的值域为[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知，当－4≤x ≤－32时，t 是增函数，当－32≤x ≤1时，t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝1()2在[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数．∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]．11. 解：令a x ＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时，y max ＝(1a＋1)2－2＝14.∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13.12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二：(1)同法一．(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.对数与对数函数同步练习参考答案13、12 14、{}132x x x <<≠且由301011x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩解得132x x <<≠且 15、216、奇，)(),()1lg(11lg)1lg()(222x f x f x x xx x x x f R x ∴-=-+-=-+=++=-∈且为奇函数。

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