江苏省高三数学上学期12月月考试题
江苏省G4联盟(苏州中学、扬州中学、盐城2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题
G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022－2023学年第一学期12月联合调研高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{－1，0}，B＝{x|－2＜x＜0}，则A∩B＝A．{－1} B．{－1，0} C．{x|－2＜x＜0} D．{x|－2＜x≤0}2．若复数z的共轭复数z满足i⋅z＝4＋3i（其中i为虚数单位），则z z⋅的值为A7B．5C．7D．25 3．下图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是A．城镇人口与年份星现正相关B．乡村人口与年份的相关系数r接近1C．城镇人口逐年增长率大致相同D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势4．函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为A．B．C．D．5．若椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为A．13B．33C．23D636．南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a ，盆地半径为b （0＜b ＜a ），根据如上事实，可以抽象出的不等关系为A 33322a ba b+<B 22a ba b+< C ．22222a b a b ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．33322a b a b ++⎛⎫<⎪⎝⎭7．在数列{a n }中，()()111sin sin 10n n n n a a a a ++-⋅+=，则该数列项数的最大值为 A ．9B ．10C ．11D ．128．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，CA ＝2，点P 在该三角形的内切圆上运动，若AP mAB nAC =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最小值为A ．518B ．13C ．718D ．49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则 A ．114a b+≤B ．2222a b+≥C ．log 2a ＋log 2b ≤－2D ．1sin sin 2sin2a b +≤ 10．已知函数()x a a x f x e e --=+，()x a a x g x e e --=-，则 A ．函数y ＝g （x ）有且仅有一个零点B ．f ′（x ）＝g （x ）且g ′（x ）＝f （x ）C ．函数y ＝f （x ）g （x ）的图象是轴对称图形D ．函数()()g x y f x =在R 上单调递增11．乒乓球（tabletennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p （0≤p ≤1），实际比赛局数的期望值记为f （p ），下列说法正确的是 A ．三局就结束比赛的概率为p 3＋（1－p ）3B ．f （p ）的常数项为3C ．1435f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1．G 为PC的中点，M 为平面PBD 上一点下列说法正确的是 A ．MG 的最小值为36B ．若MA ＋MG ＝1，则点M 的轨迹是椭圆C ．若156MA =M 的轨迹围成图形的面积为12π D ．存在点M ，使得直线BM 与CD 所成角为30°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在6x x ⎛- ⎝的展开式中，常数项为 ．14．如图，将绘有函数()sin 2f x M πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭（M ＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，此时A ，B 10φ＝ ．15．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前n 项和，进而可利用该法求数列{（2n －1）⋅3n }的前n 项和S n ，其操作步骤如下： 由于S n ＝1×31＋3×32＋…＋（2n －1）⋅3n ，()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅，从而()()21232323213n n n S n +=--⨯++⨯+-⋅，所以()1133n n S n +=-⋅+，始比如上方法可求数列{n 2⋅3n }的前n 项和T n ，则2T n ＋3＝ ．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝2x ．若对任意x ∈[1，3]，不等式f （x ＋a ）≤f 2（x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在数列{a n }中，a ＝1，其前n 项和S n 满足2S n ＝（n ＋1）a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）若m 为正整数，记集合22n nn a a m a ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤的元素个数为b m ，求数列{b m }的前20项和．18．（本小题满分12分）在轴截面为正方形ABCD 的圆柱中，M ，N 分别为弧AD ，弧BC 的中点，且在平面ABCD 的两侧．（1）求证：四边形ANCM 是矩形； （2）求二面角B －MN －C 的余弦值．19．（本小题满分12分）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N 个字脱落．（1）若N ＝3，用随机变量X 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X 的分布列及期望；（2）若N ＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率． 20．（本小题满分12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2． （1）若2CD DB =，2AD CB ⋅=，求A ； （2）若23C B π-=，求△ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线C 1：y 2＝4x 上，圆C 2：（x －2）2＋y 2＝r 2（0＜r ＜2）．（1）若r ＝1，Q 为圆C 2上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线m ，n 与圆C 2相切，分别交抛物线C 1于A ，B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 22．（本小题满分12分）若对实数x 0，函数f （x ），g （x ）满足f （x 0）＝g （x 0）且f ′（x 0）＝g ′（x 0），则称()()()00,,f x x x F x g x x x <⎧⎪=⎨⎪⎩≥为“平滑函数”，x 0为该函数的“平滑点”．已知()323122x f x ax x x =-+，g （x ）＝bx ln x ． （1）若1是平滑函数F （x ）的“平滑点”， （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点P （2，t ）可作三条不同的直线与函数y ＝F （x ）的图象相切，求实数t的取值范围；（2）对任意b ＞0，判断是否存在a ≥1，使得函数F （x ）存在正的“平滑点”，并说明理由．G4联盟—苏州中学、扬州中学、常州中学、盐城中学2022-2023学年第一学期12月联合调研高三数学答案及其解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 2．【答案】D【解析】4334i z i z i ⋅=+⇒=-，所以25z z ⋅= 3．【答案】B【解析】因为乡村人口与年份望负线性相关关系，所以r 接近－1，故选B 4．【答案】D 5．【答案】C【解析】由题意得22245109436b b a a a ⎧⎧==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以226c a b =-=，故椭圆离心率为23c e a == 6．【答案】D 7．【答案】C 【解析】()()()()()()11112111cos cos sin sin sin 2n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++--+--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⋅+==-21sin 10n a =，所以{}2sin n a 为等差数列，公差为110，所以()2211sin sin 1110n a a n =+-⨯≤，所以110n -211sin 111a n -⇒≤≤≤，故选C 8．【答案】B【解析】()m n AP mAB nAC m n AB AC m n m n ⎛⎫=+=++⎪++⎝⎭，由P 在内切圆上，故APm n m n AB AC m n m n +=⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，则11cos 16A =，所以BC 边上高为15h =圆半径15r =，故由平行线等比关系，可得213h r m n h -+=≥，故选B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BCD 【解析】选项A ，应该是114a b+≥，B ：22221a ba b+++≥，B 正确；C ：222log log 2log 22a ba b ++=-≤，C 正确；D ：1sin sin 2sincos 2sin 222a b a b a b +-+=⋅≤，D 正确；答案为BCD 10．【答案】ABD【解析】AB 正确，因为()f x 关于x a =轴对称，()g x 关于(),0a 中心对称，故()()f xg x 为中心对称图形，C 错误：而()()()()()220'g x f x q x f x B x ⎡⎤-=>⎢⎥∠⎣⎦或根据一般得分离常数变形可知D 正确；答案为：ABD 11．【答案】ABD 【解析】 显然A 正确；()()()()()323131223343141151f p p p C p p C p p C p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦()03f =，13328f B ⎛⎫=⇒ ⎪⎝⎭，D 正确； 求导或根据()f p 关于12对称，且p 越极端，越可能快结束，有11412352--≤，得1435f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：ABD 12．【答案】ABC 【解析】A 选项判断：应用等体积法，可()()min min 11223MG AG =≥，A 正确； B 选项：因为面PBD 不与AG 垂直，也不平行，故轨迹不可能时圆，即为椭圆，B 正确； C 选项判断：设MH ⊥面PBD ，H ∈面PBD ，2151612MA HM =⇒=，故C 正确；D 选项判断：由于CD 与面PBD 夹角θ满足1sin 23θ=>，故[],6πθπθ∉-，D 错误； 综上所述，答案为ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】15【解析】展开式的通项为()()36621661rr rr Tr C x C x x --+⎛==- ⎝，当31602r -=，4r =时，为常数项15 14．【答案】56π【解析】如图，因为()f x 的周期为242T ππ==，所以22T CD ==，22TCD ==，所以22AB AC BC +22410M =+=解得3M =所以()32f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()3032f ϕ==，1sin 2ϕ=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=或56π，又因为函数()f x 在y 轴右侧单调递减，所以56πϕ=． 15．【答案】()2113n n n +-+⋅【解析】2122213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⋅① 222321313233n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅②②－①()()()222222322123123233133n n n T n n n +⎡⎤=-+-⋅+-⋅++--⋅+⋅⎣⎦()()3321333532133n n n n +=--⋅+⋅++-⋅+⋅()()212112333313n n n n n S n S n n n +++=---+⋅=-+⋅=-+⋅所以()212313n n T n n ++=-+⋅16．【答案】[]3,1-． 【解析】()()()()[]2221,3f x a fx f x f x x +==⇒∀∈≤，[]23,1x a a +⇒∈-≤四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 解析：（1）()()()()()111212221212nn n n n n n n n n a S n a a S S n a na n n a na n n---=+⇒=-=+-⇒-=⇒=≥≥11111n n a a a n n -===⇒=- （2）2214222n n a n m m n m a n n ⎛⎫+⇒+⇒-+ ⎪⎝⎭≤≤≤， 因为1422n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2n =时成立， 所以10b =，21b =，当3n ≥，35b =，47b =，59b =，611b =，…，2339b = 所以{}m b 的前20项和为()135739378+++++=．18．（本小题满分12分） 【解析】（1）设轴截面正方形ABCD 边长为2a ，取弧BC 另一侧的中点Q ， 则BC 与NQ 垂直平分，且2BC NQ a ==， 所以四边形BNCQ 为正方形，2BQ NC a ==，因为M 为弧AD 中点，所以MQ AB ∥，四边形ABQM 为矩形， 所以AM BQ ∥，所以AM CN ∥，所以四边形AMCN 为平行四边形， 因为226AN AB BN a =+，2222MN MQ QN a =+=，所以22228AM AN MN a +==，所以AM ⊥AN ，所以四边形ANCM 为矩形； （2）由（1）知，226MB MC MQ QB a ==+=，2BN CN a ==，22MN a =，所以2MNB MNC π∠=∠=所以MNB MNC ∆∆≌，Rt △MBN 斜边MN 上的高626222a a h a==， 作BP ⊥MN ，则CP ⊥MN ，∠BPC 即为二面角B -MN -C 的平面角，6BP CP ==，2BC a =， 在△BPC 中，由余弦定理得222222341cos 233BP CP BC a a BPC BP CP a +--∠===-⨯， 二面角B -MN -C 的余弦值为13- 19．（本小题满分12分） 【解析】（1）随机变量X 的可能取值为0，1，2，12C()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===，随机变量X 的分布列如下表：X 012P110 610 310随机变量X 的期望为()012 1.2101010E X =⨯+⨯+⨯= 法二：随机变量X 服从超几何分布X ～H （3，2，5），所以()26355E X =⨯= （2）设脱落一个“学”为事件A ，脱落一个“好”为事件B ，脱落一个“数”为事件C ，事件M 为脱落两个字M AA BB AB AC BC =++++，()2225110C P AA C ==，()2225110C P BB C ==，()112225410C C P AB C ⋅==，()112125210C C P AC C ⋅==，()112125210C C P BC C ⋅==， 所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为()()()()()()()11413125525P P AA P BB P AB P AC P BC =+⨯+++⨯=+⨯=，法二：掉下的两个字不同的概率为1020.810p -==， 所以标语恢复原样的概率为()110.62p p -+=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）()112123333CD DB AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =⇒=+=+=+-=+ 所以()22212118112cos 233333333AD CB AB AC AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫⋅=+-=--⋅=--⨯⨯=⇒⎪⎝⎭1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=（2）法一：因为23C B π-=，所以562A C π=-，62AB π=-， 因为2c b =，sin 2sinC B =，则5sin 2sin 6262A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得3tan 29A =， 所以22tan332sin 141tan 2AA A ==+ 故面积为133sin 2S bc A == 法二：因为2sin 2sin c b C B =⇒=， 因为23C B π-=， 所以23sin 2sin sin 3B B B B π⎛⎫+=⇒=⎪⎝⎭①， 联立22sin cos 1B B +=②解得3sin 27cos 27B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以3sin 2sin 7C B ==232C B ππ=+> 所以cos 0C <，则2cos 1sin 7C C =-=所以()33sin sin sin cos cos sin 14A B C B C B C =+=+=所以△ABC 的面积为133sin 214ABC S bc A ∆==． 21．（本小题满分12分）【解析】 （1）设()2,2P t t ，则()222212411PQ PC t t --+-≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切， 2241k r k -=+，即()222416160r k k r --+-=，① 设直线AB 为：()()441m x n y -+-=，则与抛物线C 的交点方程可化为： ()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，故：直线AB 恒过()6,7-．22．（本小题满分12分）【解析】 （1）（ⅰ）()21'332f x ax a =-+，()[]'1lng x b x =+， 由题意可知10a -=，且532a b -=， 故解得：1a =，12b =， （ⅱ）进一步()323,122ln ,12x x x x F x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，过点()2,P t 作()F x 的切线，切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x -=-，故题意等价于方程：()()()'2t F x F x x =--有3个不同根，()()()()'2p x F x F x x =--，()()()''2p x F x x =--，代入得1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()p x 单调递减，1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()p x 单调递增，[)2,x ∈+∞时，()p x 单调递减， 故()13,2,ln 228t p x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫∈∈=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ （2）题意等价于：0b ∀>，是否1a ∃≥，使得[]3223ln 221331ln 2x ax x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消a 有：()313212ln 122ln 1x x b x b x ---=-⇒=-，其中由0b >，可得23x e ⎛∈ ⎝， 故题意进一步化简23x e ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()3ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立， 23x e ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+-，()()'83ln q x x x =-， 故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，单调递减，(x e ∈，()q x 单调递增，故：()()10q x q =≥得证，即0b ∀>，31a ≥，使得()F x 存在的“平滑点”．。
2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题(解析版)
2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题一、单选题1．已知集合3|0,2x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}|24,B x x x Z =≤≤∈，则A B =（ ） A ．[]2,3 B ．(]2,3 C ．{}2,3 D ．{}3【答案】D【分析】首先解分式不等式得到{}|23A x x =<≤，再求A B 即可. 【详解】{}3|0,|232x A x x R A x x x -⎧⎫=≤∈⇒=<≤⎨⎬-⎩⎭， {}{}|24,2,3,4B x x x Z =≤≤∈=，所以{}3A B ⋂=. 故选：D2．“m =-2”是“直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为m =-2，所以直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故充分； 当直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行时，24m =， 解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 1: x +2y +2=0与直线l 2: x +2y +1=0平行，当2m =-时，直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故不必要， 故选：A3．已知向量a =(3，2)， b =(2m -1，3)，若a 与b 共线，则实数m =（ ） A ．114B ．5C ．72D ．1【答案】A【分析】利用向量共线的坐标运算计算即可. 【详解】由已知a 与b 共线得()33221m ⨯=⨯-， 解得114m =4．若椭圆22x a +22y b =1(0a b >>)的离心率为32，短轴长为6，则椭圆的焦距为（ ）A ．43B ．8C ．63D ．83【答案】C【分析】根据离心率结合短轴长度，即可求得c ，再求焦距即可. 【详解】因为短轴长度为6，即26b =，故可得3b =；又离心率为22239112b a a=-=-，解得6a =；故可得22227c a b =-=，则33c =，故焦距263c =. 故选：C.5．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=， 则3a =（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，根据已知条件可得出关于1a 、q 的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因此2311a a q ==.故选：C. 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是()f x =（ ）A ．1|1|x - B ．1|||1|x -C ．211x - D ．211x +【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为{|1}x x ≠±， 判断四个选项，只有1|||1|x -和211x -符合，又因为()f x =211x -时，有的函数值是负数，例如1(2)3f =-不符合，所以只有()f x =1|||1|x -成立，故选：B.7．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A ．5:6π B ．6:2πC ．:2πD ．5:12π【答案】B【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径62R a =，利用体积公式，即可求解.【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示， 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2a CC a OC '==， 在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即2222()2a a R +=，解得62R a =， 所以半球的体积为333114266()23322V R a a πππ=⨯=⨯=，正方体的体积为32V a =，所以半球与正方体的体积比为336:6:22a a ππ=，故选B.【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量a b c ，，，满足a =c =1，b =7a c ⋅，=12，若a b +=λc (R λ∈)， 则λ=A ．3B ．2-C ．3或2-D ．3-或2【答案】C【分析】根据题意，利用数量积的运算法则，结合已知条件，即可求得参数λ. 【详解】因为a b +=λc ，故可得b c a λ=-， 两边平方可得：22222b c a a c λλ=+-⋅， 代值可得：271λλ=+-，整理得：260λλ--=， 解得3λ=或2-. 故选：C.9．已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =， 又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<， 同理323ln 2ln 2ln32ln3=<=，即ln 2ln 323<， 所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<， 设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增， 所以c a b <<， 故选：A. 二、多选题10．已知i 为虚数单位，复数z 满足()10z 2i i +=，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为1i 5B ．复数z 的共轭复数为21i 55-C ．复数zD ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限.【答案】CD【分析】根据复数的运算得21z i 55=-+，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()5102i i 1==-，所以()102i i 121z i 2i 2i 555---====-+++，所以复数z 的虚部为15,复数z 的共轭复数为21i 55--,故A ，B 选项错误；复数z复数z 在复平面内对应的点21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故CD 选项正确. 故选：CD11．已知正实数a ，b 满足a +b =2，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ≤1 B ．1a +2bCD ．ln a ln b ≤0【答案】ACD【分析】根据正实数a ，b 满足a +b =2，利用基本不等式逐项判断. 【详解】因为正实数a ，b 满足a +b =2，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；所以1a+()(211212113332222b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当2b aa b=时，等号成立，故B 错误；因为2a b =++，故C 正确；因为ln a ln b 2222ln ln ln ln 20222a b a b ab ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪≤=≤= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确； 故选：ACD12．已知互不相同的两条直线,m n 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=，则//m nB ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊥，βn//， 且m n ⊥，则//αβD ．若m α⊥，βn//， 且//m n ， 则αβ⊥【分析】根据直线与直线，直线与平面和平面与平面的位置关系和特殊图形依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若//m α，n αβ=，则m 与n 的位置关系为平行或异面，故A 错误；对选项B ，若m n ⊥，m α⊥，则n ⊂α或//n α， 又因为n β⊥，所以αβ⊥，故B 正确. 对选项C ，在长方体中，如图所示：满足m α⊥，βn//， 且m n ⊥，此时α与β的位置关系为相交，故C 错误. 对选项D ，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又因为βn//，则存在l β⊂，l α⊥，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：BD13．下列关于L 型椭圆C ：42116y x +=的几何性质描述正确的是（ ）A ．图形关于原点成中心对称B ．44y -≤≤C ．其中一个顶点坐标是()0,2-D ．曲线上的点到原点的距离最大值为2【答案】ACD【分析】根据曲线方程，结合曲线的对称性、范围对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：对方程42116y x +=，用,x y --分别替换,x y ，可知还是同一个方程， 故该图形关于原点成中心对称，A 正确；B ：因为421016y x =-≥，故可得416y ≤，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，故B 错误；C ：令0x =，解得416y =，可得2y =±，故其一个顶点坐标为()0,2-，C 正确；D ：因为()42222211851616y x y y y +=-+=--+，由B 知：[]2,2y ∈-，故可得当2y =±时，22x y +取得最大值422x y +2，即曲线上的点到原点的距离最大值为2，D 正确.【点睛】本题考查由曲线方程研究曲线的性质，重点在于充分利用曲线方程，结合对称性以及范围的求解方法进行细致分析，属中档题. 三、填空题14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：()1,y kx k k R =-+∈，则直线l 被圆C 截得的最短弦长为______________【答案】【分析】根据直线方程求得直线l 恒过的定点，再结合几何关系以及弦长公式即可求得结果.【详解】因为1y kx k =-+，故可得()11y k x -=-， 则直线l 恒过定点()1,1A ，且点()1,1A 在圆C 内； 当且仅当AC 垂直于l 时，直线l 被圆截得的弦长最短，此时圆心C 到直线l 的距离d AC ==故最短的弦长为=故答案为：15．已知cos()4πα+=π(0,)2α∈，则sin α=__________【解析】【详解】试题分析：cos()(0,)sin()424πππααα+=∈∴+=sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】三角函数基本公式16．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P ，乙胜的概率为1-p ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X 的数学期望为_____________ 【答案】97282187【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，求得每局比赛甲胜的概率P ，再由采取7局4胜制得到X 的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其【详解】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827， 且每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p ， 所以()2238127C p p p ⋅⋅-⋅=， 解得 21,133p p =-=，X 的可能取值为：4，5，6，7，则 ()()3333342216212644,53381333243p x C p x C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()323333562121602123206,73337293332187p x C p x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x 的数学期望为：()1664160320972845678124372921872187E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：9728218717．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )= ln x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 【答案】11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】首先根据导数的几何意义得到切线为：()0001ln y x x x x -=-，切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，从而得到()000ln ,0M x x x -，000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得到00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再构造()ln 2ln xg x x x x x=-+，利用导数求解最大值即可. 【详解】设()00,ln P x x ，()1f x x'=，则()001k f x x '==， 则切线l 为：()0001ln y x x x x -=-， 令0y =，解得000ln x x x x =-，即()000ln ,0M x x x -. 切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，令0y =，解得000ln x x x x =+，即000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 设()ln 2ln xg x x x x x=-+， ()()()()22211ln 1ln 2ln 1x x x g x x x x +--'=-++=， 令()0g x '=，解得e x =，则()0,e x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()e,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 为减函数. 所以()()max 1e e eg x g ==+，即t 的最大值为11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可. (1)周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈， 又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，sin 6x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，()[2]g x ∴的值域为. 19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记MNA △的面积为S ，当3S =时求k 的值.【答案】(1)221.43x y += (2)32k =±【分析】（1）根据题意得到24a =，1a c -=，再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，再根据122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. (1)由题意24a =，2a =，则b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-， 联立方程组22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = 因为AMN 的面积为3，可得12||3y y -=，解得32k =±. 20．设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为Sn 满足4Sn =(an +1)2 (1)证明数列{an }为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}3nn a ⋅的前n 项和Tn【答案】(1)证明见解析，21n a n =-(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）直接采用作差法化简可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，变形可得12n n a a --=，可证{an }为等差数列，结合通项公式可求n a ；（2）由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，结合错位相减法化简可求n T .(1)()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，， ()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=-+-，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥，所以数列{}n a 为等差数列，11,1,n a == 21n a n ∴=-；由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，所以()121333213=⨯+⨯++-⋅n n T n ，()()21313233213n n n T n n +=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅，()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-，()122236n n T n +∴-=-⋅-， ()1133n n T n +∴=-⋅+.21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x 与组内女性人数y 统计结果如表: .(1)女性人数与组号x (组号变量x 依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx==-==--∑∑）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X 组，求X 的分布列与期望.【答案】(1)预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 (2)分布列见解析，1.【分析】（1）根据题意，结合已知公式得0.6 1.2y x ∧=+，再解0.6 1.25x +≥即可估计得答案；（2）根据题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可.解：由题可得()11234535x =⨯++++=，51223443,515i i i y x y =++++===∑，522222211234555i i x ==++++=∑．则51522150.6,30.63 1.25i ii i i x y x yb a y b x x x∧∧∧==-===-=-⨯=-∑∑所以0.6 1.2y x ∧=+ 当0.6 1.25x +≥时，193x ≥所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数． (2)解：由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，36395(0)21C C P X === 21633915(1)28C C C P X === 1263393(2)14C C C P X === 33391(3)84C C P X ===则X 的分布列为()1E X ∴=22．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 (1)若1cos 4A =，求BDC 的面积; (2)若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】 (2)6【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =.解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得15sin 4A = 由正弦定理可得sin sin BD ABA ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠ 所以115sin sin 28ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以15sin sin 8CDB ADB ∠=∠=， 因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故27cos 1sin 8CDB CDB ∠=-∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠ 所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以1115315sin 622284BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=(2)解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（ 在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.23．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11C CDD ，且1111122CC CD DD C D ====.(1)证明:11A D ⊥面11CC D D π【答案】(1)证明见解析； (2)34. 【解析】(1)如图在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=， 所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂面11CC D D 所以1DC ⊥平面11AA D D ，因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DC DC D ⋂=，1,DC DC ⊂面11CC D D ， 所以AD ⊥平面11CC D D . (2)连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ， 以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面11CC D D ，所以1A C 在平面11CC D D 内的射影为1D C ， 所以1A C 与平面11CC D D 所成的角为11ACD ∠，即113ACD π∠=，在△1D DC 中，由余弦定理可得：2221112cos120D C DD DC DD DC =+-⨯⨯︒，即21144222122D C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得1DC =在11Rt A CD中，因为1DC =116A D =， 则()10,0,0D ，()16,0,0A，(D，(C ，()10,4,0C ，所以(1D D =，()116,0,0D A =，()116,4,0AC =-，(1AC =- 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =， 则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即060y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令3y =，则0x =，z =(0,3,m =， … 设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =， 则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即640630a b a b -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，所以6cos ,23m n m n m n⋅===⨯故锐二面角1C AA D --24．己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(],1-∞【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x +=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.(1)解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减. 综上，当0m =时，()f x 在R 上单调增；当0m >时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0m <时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. (2)解：由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立 ()2'2ln 1ln (),x xx x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln x h x x e x =+，()()'212xh x x x e x=++， ()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调递增∵()121110,10e h e h e e e⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，即()'00g x =()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调递减；()()()'0,,0,x x g x g x ∈+∞>单调递增()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-， 0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()xm x xe =，则111ln ln m x x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()m x 在()0+∞，上单调增 000011ln,x x e x x ∴=∴=，0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤∴实数a 的取值范围是(],1-∞。
2016届江苏省扬州中学高三12月月考数学试题(解析版)
2016届江苏省扬州中学高三12月月考数学试题一、填空题1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3}A B a A B ==⋃=，则a = ． 【答案】3【解析】试题分析：因为{0,1,3}A B ⋃=，所以a 只能在0，1，3中取值，又根据集合中元素的互异性，所以3a =，所以答案应填：3． 【考点】集合的交集． 2．如果复数()21aiz a R i+=∈+为纯虚数，则z = ． 【答案】2【解析】试题分析：()22+)(2)=12ai a a iz a R i ++-=∈+（为纯虚数，所以2a =-，所以2221i z i+==+，所以答案应填：2．【考点】1、复数的概念；2、复数的运算．3．如图程序运行的结果是 ．【答案】96【解析】试题分析：初始条件1,1a b ==，2i =；运行第一次，2,2a b ==，3i =；运行第二次，4,8a b ==，4i =；运行第三次，12,96a b ==，5i =．满足条件，停止运行，所以输出的96b =，所以答案应填：96． 【考点】程序框图．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 ．【答案】78试卷第2页，总19页【解析】试题分析：四枚硬币的全部的摆法有42=16种，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反反正正反反正，反正正反反正正反，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有16-2=14种，所以概率是147=168P =，所以答案应填：78． 【考点】古典概型． 5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如图），则甲､乙两样本方差中较小的一个方差是 ．【答案】23【解析】试题分析：由茎叶图知，乙的稳定性较好，方差较小，81112+12+20+21=146x ++=，由方差公式可得：22222221=[(814)(1114)(1214)(1214)(2014)(2114)]236δ-+-+-+-+-+-=，所以答案应填：23． 【考点】1、茎叶图；2、方差．6．已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足2312R R R =+，记它们的表面积分别为1S 、2S 、3S ，若1319S S ==，，则2S = ．【答案】4【解析】试题分析：由题意知2141R π=，2349R π=，所以22213169R R π=，即1334R R π=，又221344R R ππ+ 213134[()2]10R R R R π=+-=，所以22134((2)2)10R R R π-=，所以化简得：2244R π=，即24S =，所以答案应填：4．【考点】球的表面．7．经过函数1y x=上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为S ，则S = ． 【答案】2【解析】试题分析：设00(,)M x y ，切线斜率0201()k f x x '==-，所以切线方程0021()y y x x x -=--，分别令0,0x y ==得02y y =，02x x =，所以122S y x ==，所以答案应填：2． 【考点】1、导数的几何意义；2三角形面积． 8．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）的图象如图所示，若2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω= ．【答案】2【解析】试题分析：根据题意26f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又223f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当7x 12π=时，函数有最小值，因此最小正周期为74()123πππ⨯-=，又2T ππω==，所以2ω=，所以答案应填：2．【考点】1、正弦型函数的图象；2、正弦型函数的性质．9．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＝2b ，sinB，则sin2C＝ ．【解析】试题分析：因为sin B =，由正弦定理得：b =，又a b =，所以a b ==，由余弦定理得：2222223cosC 44c c c c +-==，再根据二倍角公式知，2cosC 12sin 2C =-，且022C π<<，所以sin 24C =，所以答案应填：4．【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、余弦的二倍角公式．10．如图，线段AB 的长度为2，点,A B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作等边三角形ABC ，O 为坐标原点，则OC OB ⋅uu u r uur的取值范围是 ．试卷第4页，总19页【答案】(0,3]【解析】试题分析：设BAO θ∠=，则23CA X πθ∠=-, 2OA cos θ=，2OB sin θ=，求得点02Bsin θ（，），点2222233C cos cos sin ππθθθ+--（（），（），所以24s i n 2c o s 213O B s i n s i n πθθθθ⋅=--+ OC （） 2sin(2)16πθ=-+，因为02πθ<＜，所以52666πππθ-<-<，所以12sin(2)26πθ-<-≤，所以OB ⋅ OC 的取值范围是(0,3]，所以答案应填：(0,3]．【考点】1、向量的数量积；2、两角和差的正弦公式；3、正余弦的二倍角公式． 11．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()02A -，，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ．【答案】10【解析】试题分析：设圆心(,)a b ，半径为r ，根据圆C 被x 轴所截得的弦长为2得：22r 1b =+，又切点是()02A -，，所以222r (2)a b =++，且21b a+=，所以解得1,1a b ==-或5,7a b =-=-，从而1r =或2r =1r210r =，所以答案应填：10．【考点】1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程． 12．已知函数()2f x x x =-，则不等式)()1f x f <的解集为 ．【答案】(11)1,)-+∞【解析】试题分析：因为()11f =，当2x ≥时，2()2f x x x =-，解2()21f x x x =-<得：21x ≤<，当2x <时，2()2f x x x =-+，解2()21f x x x =-+≤，即2(1)0x -≥，所以2x <，综上()(1)f x f <的解是1x <+，因此只需1x <且1x ≠，解得1x >-且1x ≠，所以答案应填：(11)1,)-+∞ ．【考点】1、含绝对值函数；2分段函数；3、二次不等式；4、函数的性质．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值的性质，分段函数及不等式的解法，属于难题．本题利用绝对值的性质去掉绝对值号，得分段函数，在定义域不同区域上解关于x 的不等式，得出()(1)f x f ≤的解是1x <1x <且1x ≠，即可，本题对整体思维和运算能力要求较高．13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈L ，则集合A中的元素个数为 ． 【答案】2016 【解析】试题分析： 由[(1)()]n(1)(2)(3)()2m m n m m m m n +++⋅++++++⋅⋅⋅++=知，n(n 2m 1)++＝1007100810072623⨯=⋅，又因为n ，n 2m 1++一奇一偶，所以n 是偶数时，n 的取值为10082，100823⨯，1008223⨯，⋅⋅⋅，1008100723⨯，共有1008种情形，交换顺序又得到1008种情形，所以集合共有2016个元素，所以答案应填：2016． 【考点】1、等差数列求和公式；2、整数奇偶性质；3集合概念．14．实数12310082015,,,x x x x x L L ，满足1230x x x ≤≤≤≤L 1008x ≤≤L 2015x ≤13≤，如果它们的 平方组成公差721007d =的等差数列，当1223x x x x -+-++L 2014|x -2015|x 取最小值时，1008x = ．【解析】试题分析：由题意知1223x x x x -+-++L 2014|x -201521322015201420151|=x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅-=-，又2{}n x 是等差数列，所以2222015117220141441007x x x =+⨯=+，又因为210x ≥，所以22015144x ≥，即20151312x ≥≥，当201512x =时，10x =，2015112x x -=，当201513x =时，15x =，201518x x -=，因为20151x x -取最小值，所以201513x =，15x =，又根据等差中项知2222015110082x x x +=，所以2100897x =，即1008x =，所以答案应填：【考点】1、绝对值的性质；2、等差数列的通项公式；3、等差中项．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值的性质，等差数列的通项公式、等差中项及最值问题，属于难题．本题利用绝对值性质得出20151x x -有最小值时，求1008x ，然后利用等差数列得到2220151144x x =+，通过对1230x x x ≤≤≤≤L 1008x ≤≤L 2015x ≤13≤试卷第6页，总19页的分析，得出2015x 的可能取值，再根据20151x x -有最小值，确定2015x 及1x 取值，从而利用等差中项求解，对思维灵活性要求较高．二、解答题15．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,3，点N的坐标为()cos ,sin x x ωω，其中0ω>，设()x f ⋅=（O 为坐标原点）． （Ⅰ）若2ω=，A ∠为ABC ∆的内角，当()1=A f 时，求A ∠的大小；（Ⅱ）记函数()()y f x x R =∈的值域为集合G ，不等式02<-mx x 的解集为集合P ．当G P ⊆时，求实数m 的最大值．【答案】（Ⅰ）11412A A ππ==或；（Ⅱ）2．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量数量积公式及两角和正弦公式得：()sin f x OM ON x x ωω=⋅=sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又()1=A f ，注意分析角的范围，然后写出角；（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 求得()f x 的值域[]2,2-=G ，因为02<-mx x 的解是12x x x <<的形式，又G P ⊆，所以只需1x ，2x G ∈即可．试题解析：（Ⅰ）由题意()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x x f 3分当()1=A f 时，2132s i n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=Q 或， 12114ππ==∴A A 或．（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，()f x 的值域[]2,2-=G ，又02=-mx x 的解为m x x ==21,0，故要使G P ⊆恒成立，只需[]2,2-∈m ，所以m 的最大值为2．【考点】1、数量积公式；2、两角和正弦公式；3、子集的概念；4、函数值域．16．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）取AA 1的中点F ，连DF ，FE ，根据中点易证线线平行，从而平面DEF ∥平面ABC 1，又因为DE ⊂平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ；（Ⅱ）在菱形中B 1C ⊥BC 1，又B 1C ⊥AB ，易证B 1C ⊥平面ABC 1，再根据面面平行的性质，得：B 1C ⊥平面DEF ，从而证明B 1C ⊥DE ． 试题解析：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点， 所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1， 故DF ∥平面ABC 1． 同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线， 所以平面DEF ∥平面ABC 1．因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1．（Ⅱ）因为三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． 而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ， 因为DE ⊂平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ．【考点】1、线面平行；2、面面平行；3、线面垂直；4、三角形中位线．【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、线线平行、线线垂直和线面垂直，属于中档题．解题时一定要注意得线线平行的常用证明方法，构造中位线和平行四边形是最常用方法．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．A1A1试卷第8页，总19页17．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求总量y （万吨）与x的函数关系为*0,116,)y p x x >≤≤∈N ，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第x 个月的石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）；（Ⅱ）71924m ≤≤． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由区域外前4个月的需求总量为20万吨知50p =，第x 个月共进原油mx ，区域内调出x ，区域外调出，原来库存10吨，所以10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）；（Ⅱ）要求剩余油量不超过油库容量，所以030M ≤≤恒成立，转化为恒成立求参数取值问题，再利用换元法求函数最值即可求解．试题解析：（Ⅰ）由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． （Ⅱ）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立，()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤+⎪⎩N 恒成立，t =，则：114t ≤≤， 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号）， 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）． 答：m 的取值范围是71924m ≤≤． 【考点】1、函数的实际应用；2、含参不等式恒成立；3、换元法；4、二次函数的最值．【方法点晴】本题主要考查的是函数的实际应用问题及利用换元法研究函数的最值、解决恒成立问题，属于难题．解决函数应用题，要仔细审题，找出各部分量之间的关系，写出函数关系，注意实际问题的实际意义，写好定义域，实际问题的最值一般要用均值不等式或二次函数知识求最值，本题通过换元法转化为二次函数，研究最值，从而求得参数的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的，且右焦点F 到左准线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆C 上的任一点00(,)R x y ，从原点O 向圆()()()22200:0R x x y y m m -+-=>引两条切线，设两条切线的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，当12k k 为定值时求m 的值； （2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于,P Q 时，试探究22OP OQ +是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2212412x y +=；（Ⅱ）（1）定值，m =（2）定值，2236OP OQ +=．【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率c e a ==22b c =，又右焦点F 到左准线l 的距离为2a c c+=，解得椭圆C 的方程为2212412x y +=；（Ⅱ）（1）设两条切线方程分别为12,y k x y k x ==，利用圆心到切线的距离等于半径得：m =，化简()2222201001020x m k x y k y m --+-=，同理2k 也适合，知12,k k 是方程()22222000020x m k x y k y m --+-=的两个不相等的实数根，所以由根与系数试卷第10页，总19页的关系得：2201222y mk k x m-=-，又点00(,)R x y 在椭圆上，消元得：220122201122x m k k x m--=-，因为是定值，所以222200122222001112(242)1222x m x m k k x m x m ----+===---，所以22242m m -=，解得m =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，根据（1）121212y y x x ⋅=-，所以2222121214y y x x =，又点在椭圆上，所以221112412x y +=，222212412x y +=，消去12,y y ，得：221224x x +=，从而221212y y +=，所以2236OP OQ +=．试题解析：（Ⅰ）依题意，22c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a c ==则b = 所以椭圆C 的方程为2212412x y +=． （Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为12,y k x y k x ==，m =,化简得()2222201001020x m k x y k y m --+-=，同理()2222202002020x m k x y k y m --+-=．所以12,k k 是方程()22222000020x m k x y k y m --+-=的两个不相等的实数根，22012220y m k k x m-∴=-． 因为220012412x y +=，所以22001122y x =-，所以220122201122x m k k x m --=-． 据2202201122x m t x m--=-,t为定值得：m = （2）由（1）得，1212k k =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212y y x x ⋅=-,所以2222121214y y x x =，因为221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，所以221224x x +=，221212y y +=， 所以2236OP OQ +=．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、直线与圆锥曲线定值问题．19．设函数3()(,,0)3a f x x cx a c a =+∈≠R ．（Ⅰ）若3a =-，函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，求函数()y f x =的零点； （Ⅱ）若2a =，(1)3f '=，)()1g x x m=+．（1）对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立, 求实数m 的最小值； （2）令()x ϕ=若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）1230,x x x ===；（Ⅱ）（1）min1m =；（2）2331-+≤m ．【解析】试题分析：（Ⅰ）当3a =-时，32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+，要研究函数零点需先根据函数值域求c ，对c 分类讨论，研究函数单调性及极值，写出函数值域，再根据值域是[2,2]-求c ；（Ⅱ）（1）由2a =，(1)3f '=得：()323fx x x =+，()221f x x '=+()g x ≤恒成立⇔m x x +-≤+)13(122，特殊化，0=x 时，1≥m ，验证1=m 时，对任意的[]1,1-∈x 成立，所以问题解决．（2） 化简问题得()()12max x x φφ-≥．又()136+≤≤x ϕ，621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ，()()1310max max +==ϕϕ，从而()()12max 1x x φφ-=，利用1≤试题解析：（Ⅰ）当3a =-时，32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+ ① 若0c ≤，则()0f x '≤恒成立，函数()y f x =单调递减，又函数()y f x =在[2,2]-的值域为[2,2]-，(2)2(2)2f f -=⎧∴⎨=-⎩，此方程无解．……2分试卷第12页，总19页② 若0c >，则 （i ，即12c >时，(2)2(2)2f f =⎧⎨-=-⎩，此方程组无解；（ii ，即312c ≤≤时，c=3；（iii ，即3c <时，(2)2(2)2f f -=⎧⎨=-⎩，此方程无解． 由①、②可得，c=3．3()3f x x x ∴=-+的零点为：1230,x x x ==（Ⅱ） 由2a =，(1)3f '=得：()323f x x x =+，()221f x x '=+，又)()1g x x m=+，对任意的[]1,1-∈x()g x ≤恒成立⇔m x x +-≤+)13(122．当0=x 时，1≥m ，又1=m 时，对任意的[]1,1-∈x ,))2221)12121x x x⎡⎤-+=-⎣⎦)()2110x x =--≤，即1=m 时，1)13(122+-≤+x x ，∴实数m 的最小值是1，即min 1m =．（Ⅲ） 法1：由题意可知()()m x x 3max 21≥-ϕϕ，()()2222121121033x x x +-+=-≥Q 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()136122+≥+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； 由（Ⅱ）得：1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立，∴)11)1x x +≤≤+．又因为当[]1,0∈x 时,[]1,01∈-x ，∴)111)(1)1x x -+≤-+．∴()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即()136+≤≤x ϕ，621min=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ，()()1310max max +==ϕϕ， ∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥．∴2331-+≤m ． 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ， 设)22,1(),22,0(),0,(-B A x P ，则()PB PA x +=2)(ϕ，由下图得： (),3min==+AB PB PA ()2622max +=+=+OB OA PB PA ， ∴31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，∴()()613max 21-+=-x x ϕϕm 3≥，1m ∴≤+-．【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、不等式的恒成立；4、函数的零点；5、参数的分类讨论．20．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等 比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使试卷第14页，总19页139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．【答案】（Ⅰ）2,2n n n a n b ==；（Ⅱ）存在1λ=±满足条件；（Ⅲ）137．【解析】试题分析：（Ⅰ）因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立，所以取1,2,3n =，又知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设nb =1(1)n n b λ+-<，问题转化为求n b 的最小值，因0n b >，利用1211n n n b b ++=>知n b 单调递增，求n b 的最小值，再根据1(1)n n b λ+-<求解；（Ⅲ）特殊情况0d =时，成立，当d ＞0时，3911382014201438c c d c d=+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，由等比中项知2391k c c c =，化简得()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k --+-=⇒-=-，整理得：*53383953k N d⨯=+∈-，由120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，所以53530d >->，根据*533853N d⨯∈-，故531,2,19d -=，从而52,51,34d =，所以公差d 的所有可能取值之和为137．试题解析：（Ⅰ）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ． 因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令1,2,3n =分别得114a b =，112220a b a b +=，11223368a b a b a b ++=，又12a = 所以1122332,21648a b a b a b ==⎧⎪=⎨⎪=⎩即22(2)(2)163440(22)(2)48d q d d d q +=⎧⇒--=⎨+=⎩， 得11236d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或2222d q =⎧⎨=⎩，经检验2,2d q ==符合题意，2,63d q =-=不合题意，舍去． 所以2,2n n n a n b ==．法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥，又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，则12n n n b kn b+⋅=+，因为{}n b 为等比数列，则12[(1)](1)()n n b n k n b q b n kn b --+==-+（为常数）， 即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于*n N ∀∈恒成立，202200qk k bq kq b k qb -=⎧⎪∴--+=⎨⎪-=⎩，所以2,0q b ==． 又12a =，所以2k =，故2,2n n n a n b ==． （Ⅱ）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设nb =1(1)n n b λ+-<．∵0n b >，且11n n b b +=>，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切n*∈N 都成立，则 ①当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；② 当n 为偶数时，得min 2()n bb λ-<==λ>．综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，可知存在1λ=±满足条件． （Ⅲ）易知d=0，成立．当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯试卷第16页，总19页()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯，*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩Q ，05353d ∴<-<，531,2,19d ∴-=，52,51,34d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分【考点】1、等差数列通项；2、等比数列通项；3、等比中项；4、数列的单调性；5、恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查的是等差等比数列的通项公式求法，及运用等差等比数列的通项，等比中项，数列的单调性求恒成立问题、公差取值问题，属于难题．解题时一定要注意方法的优化，第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对n 分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差d 的要求，进而得到d 的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．21．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．【答案】A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －12－13 12 ． 【解析】试题分析：由矩阵特征值的特征向量定义知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3 c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，解得关于,c d 方程组，联立即可． 试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2， 即3c －2d ＝－2．解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12 －13 12 ． 【考点】矩阵的运算．22．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 【答案】(0,0)．【解析】试题分析：根据极坐标化普通方程公式得：y ，化曲线的参数方程为普通方程[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组即可． 试题解析：因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，所以直线l的普通方程为y =， 3分又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-， 联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．根据x的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为(0,0)．【考点】1、极坐标；2、参数方程；3、曲线的交点．23．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示x y 的整数部分，如：312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设ξ为随机变量，x ξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求概率(1)P ξ=；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【答案】（Ⅰ）()631168P ξ===；（Ⅱ）分布列见解析，期望1716．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意实数对（x ，y ）共有16种，且每种情况出现的机会均等，所以是古典概型问题，1x y ξ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦的实数对（x ，y ）有6种，所以()631168P ξ===；（Ⅱ）类比1x y ξ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦的概率求法，求出ξ的所有取值为0，1，2，3，4．时的概率，试卷第18页，总19页列出分布列，求其期望．试题解析：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使1x y ξ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦的实数对（x ，y ）有以下6种：()()()()()()1,1,2,2,3,2,3,3,4,3,4,4，所以()631168P ξ===； （Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3，4．0ξ=有以下6种：()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，所以()630168P ξ===；2ξ=有以下2种：()()2,1,4,2，所以()212168P ξ===；3ξ=有以下1种：()3,1，所以()1316P ξ==；4ξ=有以下1种：()4,1，所以()1416P ξ==；所以ξ的分布列为：()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，答：ξ的数学期望为1716．【考点】1、古典概型；2、离散型概率的分布列；3、期望．24．数学运算中，常用符号来表示算式，如0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N +∈．（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n -⋅；（Ⅱ）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]n i in i ni d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤对于*n N ∀∈恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）5[1,]3-．【解析】试题分析：（Ⅰ）因为等差数列的通项公式为n a n =，所以()1202ni ninn n ni a C CC nC ==+++∑ ，由公式11k k n n kC nC --=，可得：122n n n n C C nC +++L 01111()n n n n n C C C ----=+++L ，又01111112n n n n n C C C -----+++=L ，所以问题得证；（Ⅱ）由赋值法，令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑L ，令1x =-，则20[(1)]0nii i a =-=∑，化简0122(41)(41)(4n nn n n nn n n d C C C C C =--+---++L，利用组合数性质(3)1n n d =-+，代入不等式，分离参数，注意对n 的奇偶性讨论．试题解析：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为n a n =，则()0ni i n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++L 01120()(2)n n n n n n n n a C C C C C nC =+++++++L L 因为11k k n n kC nC --=，所以122n n n n C C nC +++L 011111()n n n n n C C C ----=+++L ，所以()0ni i n i a C ==∑1022n n a n -⋅+⋅=12n n -⋅．（Ⅱ）令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑L ， 令1x =-，则20[(1)]0n i i i a =-=∑，所以20nn i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=-，根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n nd C C C C C =--+---++--L 01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+L L(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+，将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-， 当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415()()333t ≤-=；当n 为奇数时，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-；综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-．【考点】1、等比数列前n 项和；2、组合数的性质；3、二项式定理．。
2022-2023学年江苏省盐城中学等四校高三上学期12月联考试题 数学(word版)
16．有一张面积为 的矩形纸片 ，其中 为 的中点， 为 的中点，将矩形 绕 旋转得到圆柱 ，如图所示，若点 为 的中点，直线 与底面圆 所成角的正切值为 ， 为圆柱的一条母线（与 ， 不重合），则当三棱锥 的体积取最大值时，三棱锥 外接球的表面积为___________.
22．已知函数 ．（ 是自然对数的底数）
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，试讨论 在 上的零点个数．（参考数据： ）
2023届高三年级第一学期四校联考
数学试卷参考答案
1．B2．C3．A4．A5．A6．C7．B8．C
解：设 ，则 （不恒为零），
C．圆 的圆心为 ，半径为
D．圆 的圆心为 ，半径为
3．已知向量 ， ， ， ，则下列说法正确的是（）
A．若 ，则 有最小值 B．若 ，则 有最小值
C．若 ，则 的值为 D．若 ，则 的值为1
4．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）
C．当 时，平面 截球O所得截面的周长为
D．当 时，将正四面体ABCD绕EF旋转 后与原四面体的公共部分体积为
江苏省海安高级中学2019届高三上学期12月月考数学试题 Word版含答案
高三年级阶段测试（三）数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则B C A U . 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = . 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .5．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，为 .6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ． 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .11．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=．13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为 .14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ． 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 23x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛= ⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由；（2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ．20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-．（1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．.{}14，2．3．56 4． 1155． y = 6． 1 7． 2 8．3π9． 2310． 2 11． 1a <- 12． 1615-13． 14．135 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD . 16．【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ .所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.17．【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ， 因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t +210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 18．【解析】（1）由题意得2c=，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2 AB x x=-=，易得当20m=时，max||AB=||AB（3）设11(,)A x y，22(,)B x y，33(,)C x y，44(,)D x y，则221133x y+=①，222233x y+=②，又(2,0)P-，所以可设1112PAyk kx==+，直线PA的方程为1(2)y k x=+，由122(2)13y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y可得2222111(13)121230k x k x k+++-=，则2113211213kx xk+=-+，即2131211213kx xk=--+，又1112ykx=+，代入①式可得13171247xxx--=+，所以13147yyx=+，所以1111712(,)4747x yCx x--++，同理可得2222712(,)4747x yDx x--++．故3371(,)44QC x y=+-，4471(,)44QD x y=+-，因为,,Q C D三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y+--+-=，将点,C D的坐标代入化简可得12121y yx x-=-，即1k=.19．【解析】（1）解：由3(1)2nnb+-=，*n∈N，可得12nnbn⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又112n n n n nb a a b a+++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a an a a a an a a a a=++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)k k k a a -++=-， 于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有 133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n n n nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n n n nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n =--+--++-----22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+--111().4123n n -+=-≤20．【解析】（1）ln ()xf x x=，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)； 又21ln '()xf x x-=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ， 所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ． （2）21ln '()(0)-=>xf x x由2()()0f x tf x +>， 得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍；② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解；当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<， 即ln5ln 252t ≤-<，即ln 2ln 525t -<≤-；所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-． （3）2()24ln =-+h x x x x ， 因为221212()()0+-=h x h x x x ，所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=，即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-，令12t x x =，2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->，则2(1)(2)4()22(0)t t t t t t tϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x ，所以21212()2()3x x x x +-+≥， 即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤．因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．（附加题）21．（B ）【解析】由题知，==-1·=⇒所以a=2，b=2，M=.det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1=.21．（C ） 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2c o s s i n 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．22． 【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF . 所以点P 的轨迹是抛物线，焦点为F (1，0)，准线为x=-1.所以轨迹E 的方程为y 2=4x. (2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立 得ky 2-4y+4k+4n=0，所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0，即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23．【解析】(1) 由题意知P2==，即P2的值为.(2) 先排第n行，则最大数在第n行的概率为=;去掉第n行已经排好的n个数，则余下的- n=个数中最大数在第n-1行的概率为=;…故P n=··…·==.由于2n=(1+1)n=+++…+≥++>+=，所以>，即P n>.。
2022届江苏省G4(苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学)高三上学期12月联考数学试题解析
2022届江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）高三上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．2 C ．1 D ．4答案：A根据复数的除法运算可得复数1z i =-+，再根据复数的模长公式可得结果. 解：由()12i z i -=得2i 2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以|||1|z i =-+==故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题.2．若集合{}2370,A x x x x Z =+≤∈，且B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8答案：D解一元二次不等式求集合A ，并列举出A 中元素，再由包含关系求集合B 的个数.解：由题设，{}70,2,1,03A x x x Z ⎧⎫=-≤≤∈=--⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，所以集合B 有328=个. 故选：D ．3．若{}n a 为等比数列，则“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+（s ，t ，p ，*N q ∈）”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件答案：C利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系.解：充分性：若s t p q a a a a =，当1q =时，21s t a a a =，21p q a a a =，此时s t +与p q +不一定相等，不充分．必要性：若s t p q +=+，则2112211s t s t s t a a a qa q -+-+-==，2112211p q p q p q a a a q a q -+-+-==，所以s t p q a a a a =，综上，“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+”的必要不充分条件． 故选：C4．若()*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48答案：C由题知4n =，进而得其展开式的通项公式44214C 2rrr r T x --+=，进而2r =时324T =为常数项.解：解：∵二项式系数最大的项只有第三项， ∴展开式中共有5项，∴4n =．∴41122n x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式第1r +项为()44421441C 2C 2rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴当2r =时，2234C 26424T ==⨯=为常数项.故选：C ．5．已知平面向量a ，b 满足2a =，2b =，a 与b 的夹角为45°，()b a a λ-⊥，则实数λ的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-答案：A根据向量垂直列方程，化简求得λ的值.解：()0b a a λ-=⊥，20a b a λ⋅-=，240λ⋅-=，∴2λ=.故选：A6．已知cos()sin()6παπα-+-=，则cos()3πα-的值（ ）A ．B ．15-C ．15D 答案：C利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得11cos 25αα=，利用辅助角公式得到结果.解：cos()sin()6παπα-+-=3sin 2αα+=11cos 25αα+=1cos()35πα∴-= 1cos()35πα∴-=，故选：C.【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目.7．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．5+D ．3+答案：C【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．解：由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --5CD ==，∴AB 的最大值为5CD =+ 故选：C.【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．8．若不等式()()2e 2ln 12xa x a x ->-+++对()0,x ∈+∞恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞答案：B根据题意，构造函数()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，在利用导数研究函数单调性得当2a ≤时，()g x 在[)0,∞+单调递增，()()00g x g >=满足条件；当2a >时，存在0x ，使得()g x 在[)00,x 上单调递减，进而()()00g x g <=得矛盾，进而得答案.解：解： 因为()2e 2ln 12xa x ax x ->-+++对()0,x ∀∈+∞恒成立，所以()2e 22ln 10xx a x x --++->⎡⎤⎣⎦对()0,x ∀∈+∞恒成立，故令()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，()00g =，()'12e 212e 211x x x g a a x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭2e 21x ax x =--+，()'00g =，()()''2e 12x g x ax -+=，()''02g a =-，()()()2''212e 11x g x a x x ⎡⎤=+-⎣⎦+，当20a -≥时，即2a ≤时，()''0g x ≥，则()'g x 在[)0,∞+单调递增，()()''00g g x ≥=，∴()g x 在[)0,∞+单调递增，∴()()0g x g ≥.0x >时，()()00g x g >=，满足条件．2a >时，()''00g =，x 趋近于+∞时，()''g x 趋近于+∞， ∴()''g x 在[)0,∞+有解，设为0x ．[)00,x x ∈时，()''0g x <，()'g x 在[)00,x 上单调递减，()()''00g x g <=，∴()g x 在[)00,x 上单调递减，∴()()00g x g <=，矛盾 综上：2a ≤， 故选：B ． 二、多选题9．已知定义在R 上的函数()4,Z4,Z x f x x -∈⎧=⎨∉⎩，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．对任意R x ∈，()()4f f x =-D ．()f x 的图象关于直线12x =对称 答案：BCD根据偶函数的定义判断选项A ，B ，根据对称性的定义判断D ，由解析式判断C. 解：解：x ∈Z 时，x -∈Z ，()()4f x f x -=-=．x ∉Z 时，x -∉Z ，()()4f x f x -==．∴()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，A 错，B 对． x ∈Z 时，()4f x =-，4-∈Z ，()()()44f f x f =-=-．x ∉Z 时，()4f x =，4∈Z ，()()()44f f x f ==-．∴()()4f f x =-，C 对．x ∈Z 时，1x -∈Z ，此时()()1f x f x =-．x ∉Z 时，1x -∉Z ，此时()()1f x f x =-．综上：()()1f x f x =-，则()f x 关于12x =对称，D 对． 故选：BCD ．10．已知函数()sin 2f x x x =，则下列说法正确的有（ ） A ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心B ．对任意x ∈R ，函数()f x 满足66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数()f x 在区间()0,π上有且仅有1个零点D ．存在512πθ>-，使得()f x 在()5,Z 12k k k πππθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增 答案：AD化简函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；在()0,x π∈时，解方程()0f x =，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D 选项的正误.解：解：()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2Z 3x k k ππ+=∈，则()26k x k ππ=-∈Z ， 当1k =时，3x π=，所以，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 对；由()2Z 32x k k πππ+=+∈得1226k x πππ=+=，则16k =∉Z ．所以，直线6x π=不是()f x 的对称轴，B 错； 当0πx <<时，72333x πππ<+<，由()2sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得23x ππ+=或2π，解得3x π=或56π，所以，函数()f x 在区间()0,π上有且仅有2个零点，C 错； 对于D 选项，由()222Z 232k x k k πππππ-+<+<+∈，则()5Z 1212k x k k ππππ-+<<+∈， 所以，当51212ππθ-<≤时，()f x 在5,12k k πππθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，D 对．故选：AD.11．已知两个变量y 与x 线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为3 4.5y x =+，且4x =，又增加了2次实验，得到2个数据点()2,11，()6,22，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为y mx n =+（其中m ，R n ∈），则（ ） A ．变量y 与x 正相关 B ．3m <C ． 4.5n <D ．回归直线y mx n =+经过点()4,16.5答案：ABD结合回归直线方程、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 解：设()2,11A ，()6,22B ，由1134AB k =<， 而8个数据点的回归方程3b =，∴03m <<，A ，B 正确． 而10个数据点的4826410x ⨯++==，16.58112216.510y ⨯++==，样品中心()4,16.5，则16.54,16.54m n n m =+=-，03,0412,1240,4.516.5416.5m m m m <<<<-<-<<-<，即4.516.5n <<∴D 正确，C 错． 故选：ABD12．已知实数a ，b 满足等式()2e e 22a bb a -=-，则下列不等式中可能成立的有（ ）A ．0a b <<B ．0b a <<C ．0a b <<D ．0b a <<答案：ACD将已知条件转化为2e 2e 4a b a b +=+，通过构造函数法，结合导数判断出当0b <时，0a b <<，由此判断AB 选项的正确性.当0b >时，对b 取特殊值来判断CD 选项的正确性.解：()2e e 22a bb a -=-，2e 42e a b b a -=-，2e 2e 4a b a b +=+，构造()22e 2e 4e e 2b b b bf b b b b =+--=--，()'22e e 2b b f b =--，当0b <时，()'0f b <，f b 在(),0∞-上递减， ()()00f b f >=，此时2e 2e 4b b b b +>+，∴22e 2e 2b a b a +>+，构造()2e 2xg x x =+，()g x 在R 上递增，∴()()0g b g a a b >⇒<<，A 正确，B 错．当0b >时，()'f b 先负后正，∴f b 先减后增，f b 有正有负，取21e 2e 4a b a =⇒+=+，此时()()21e 2e 41g g a a b =+>+=⇒<=，∴0a b <<有可能，C 正确．取14b =，124e 2e 1a a +=+，()1124111e e 1424g g a a b ⎛⎫=+<+=⇒>= ⎪⎝⎭，∴0a b >>也有可能，D 正确． 故选：ACD 三、填空题13．双曲线22194x y -=的焦点到渐近线的距离为_____________．答案：2解：试题分析：由题意得，双曲线的右焦点0)F ，其中一条渐近线的方程为22303y x x y =⇒-=，所以焦点到渐近线的距离为2d ==． 【解析】点到直线的距离公式及双曲线的性质．14．若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．答案：3-由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a . 解：解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-， 354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=， 8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴数列{}n a 为周期数列，且周期6T =， 又202163365=⨯+，∴202153a a ==-． 故答案为：-3.15．在如图所示的四边形区域ABCD 中，1AB BC ==，2CD =，120B C ∠=∠=︒，现园林绿化师计划在区域外以AD 为边增加景观区域ADM ，当135AMD ∠=︒时，景观区域ADM 面积的最大值为__________．答案：()7214-连AC ，根据已知条件可得90ACD ∠=︒、3AC =，进而求AD ，再由余弦定理、基本不等式求MA MD ⋅的范围，最后应用面积公式求区域ADM 面积的最大值.解：连AC ，BA BC =，120B ∠=︒，∴30ACB ∠=︒，则90ACD ∠=︒，3AC = ∴7AD =在△ADM 中，22227MA MD MA MD ⎛+-⋅⋅= ⎝⎭，∴227222MA MD MA MD MAMD MA MD =++⋅+⋅≥ ∴()7227222MA MD -⋅≤=+，当且仅当MA MD =时等号成立， ()()()72272227211222284MADS---≤⋅⨯==．故答案为：()7214-.四、双空题16．已知在四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是等腰梯形，//BC AD ，若8SD AD ==，6BC =，2AB CD ==，则四棱锥S -ABCD 的体积为__________；它的外接球的半径为__________答案：56341根据锥体体积公式即可计算第一空；结合几何关系得底面ABCD 的外接圆的半径为5，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可． 解：解： ()168172ABCD S =+⨯=， 115678333S ABCD ABCD V S SD -=⋅=⨯⨯=，52AC =，△BCD 外接圆半径为r 圆为设为M ，则5222r =，∴=5r ， 设外接球的球心为O ，半径为R ，则()222225825OM R OM R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴221641OM R ⎧=⎨=⎩，∴R = 五、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623s a a =+．(1)求数列的通{}n a 项公式：(2)若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 答案：(1)2n a n = (2)211334nn n ++-⋅（1）根据11n n n a S S ++=-化简条件可得数列为等差数列，再由()54623s a a =+求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解. (1)()12n n n s s a n N *+=++∈12n n a a +∴-=，{}n a ∴是以2为公差的等差数列，()54623s a a =+352532a a ∴⨯=⨯，即1110(4)6(8)a a +=+， 解得12a =，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=(2)11224na nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2231111111442(123)++++1444414n n n T n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+++++=++ ⎪⎝⎭-211334nn n ++-⋅=. 18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．答案：(1)证明见解析3小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC . 小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小．(1)证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，∴O 是BD 中点，∵E 为棱1DD 的中点，∴1//OE BD ，∵1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴1//BD 平面EAC .(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB =，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-，设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,2n =，设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ， 则1163sin 286AB nAB n θ⋅===⋅⋅， ∴直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值为32．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos sin B A C >．(1)求证：B 为钝角；(2)若△ABC 同时满足下列4个条件中的3个：①2cos A ②3sin C =③2a =；④2c =请证明使得△ABC 存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b 的值．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析，①③④，31b =（1）变形()sin cos sin B A A B >+，整理可得cos 0B <，则可得答案；（2）分析可得①②不可能都成立，则③④均成立，再根据条件利用余弦定理计算可得答案.(1)∵sin cos sin B A C >，∴()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B >+=+，∴sin cos 0A B <，即cos 0B <，∴B 为钝角；(2)∵B 为钝角，∴2A C π+<，即A ，C 均为锐角，则4A π=，3C π=， 若①②均成立，则4A π=，3C π=，此时5122B ππ=<与B 为钝角矛盾， ∴①②不可能都成立，∴③④均成立，∵a c >，∴A C >，只能选①③④．在△ABC 中，由余弦定理得2222242b b +-⋅⋅= 由0b >，解得31b =+．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点()2,3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案：(1)2211612x y += (2)是定值，定值为127- （1）根据已知条件求得,a b ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得,M N 两点的坐标，由此计算出12127k k =-为定值. (1) 由题意知2222212449123c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为：2211612x y +=. (2)设直线l 的方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()4,0A -，()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩， ∴()223418210m y my ++-=，1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++， 直线AP 方程为：()1144y y x x =++， 令163x =得()112834y y x =+， ∴()112816,334y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，同理()222816,334y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，∴()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++ ()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++()22248127318734m m m -==---++为定值．21．AMC 是美国数学竞赛（American Mathematics Competitions ）的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级（相当于高一年级）及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1.5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为1T ，2T ，3T ，4T ，5T ）均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．(1)已知甲只能排除1T ，2T ，3T 中每道题的1个错误选项，若甲决定作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，求甲的总分不低于135的概率；(2)已知乙能排除1T ，2T ，3T 中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项． ①问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的数学期望最大，并说明理由；②在①的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．答案：(1)532(2)①选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，理由见解析；②答案见解析（1）依题意得甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题，分类讨论即可求解结果；（2）①1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>，4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<，即可采用策略作答；②结合二项分布求解即可． (1)前20道题和最后两道共可得分1203123+=分，故1T ，2T ，3T 得分不低于13512312-=分．∴甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题．①若甲只答两题，2213139C 4464P ⎛⎫=⋅⨯= ⎪⎝⎭． ②若甲答对三题，3211464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故甲的总分不低于135分的概率915646432P =+=． (2)①∵1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=> 4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=< 故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ．②前20道题和最后两道乙共可得分：1203123+=分．∴乙的总分的所有可能取值为123，129，135，141()328123327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213124129C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()223122135C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()311141327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴乙总分的概率分布列为22．已知函数()cos x f x e ax x =--，()()g x f x x =-，a R ∈．(1)若()f x 在[)0,∞+上单调递增，求a 的最大值；(2)当a 取（1）中所求的最大值时，讨论()g x 在R 上的零点个数，并证明()g x > 答案：(1)1；(2)2个，证明见解析.（1）求出函数的导数，转化为导函数()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立，再求导求其最小值即可；（2）利用导数分析函数在0,0x x ≤>上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证.(1)由题意可知，()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立，因为()cos 1cos 0x f x e x x ''=+≥+≥，所以()'f x 单调递增，所以(0)10'=-≥f a ，解得a ≤1，所以a 的最大值为1.(2)易知a =1，所以()2cos x g x e x x =--,当x ≤0时，()2sin 1sin 0x g x e x x '=-+≤-+≤，所以g (x )单调递减，当x >0时，()2sin x g x e x '=-+，则()cos 1cos 0x g x e x x ''=+≥+≥，所以()g x '单调递增, 因为(0)10,(1)2sin10g g e ''=-<=-+>，所以存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又(0)0g =，所以0()0g x ,因为2(2)4cos 20g e =-->，所以存在10(,2)x x ∈，使得1()0g x =，所以()g x 有两个零点，又因为002sin 0x e x -+=，所以00000m 0in 0()()2cos 22sin cos x g x g x e x x x x x ==--=---，因为01x <，所以0000()sin cos )4g x x x x >--=+≥π故()g x >.【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.。
江苏省新海高级中学、宿迁中学两校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题(解析版)
2023届高三12月两校联考数学试题试卷满分150分考试时间120分钟一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =≤∣，集合{Z B xx =∈∣且1}x A -∈，则B =（）A.{}2,1,0,1,2--B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解不等式求得集合A ，从而求得集合B .【详解】()()221,1110x x x x ≤-=+-≤，解得11x -≤≤，所以{}|11A x x =-≤≤，对于集合B ，1x A -∈，则111,02x x -≤-≤≤≤，由于Z x ∈，所以B ={}0,1,2.故选：D2.若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且13i z =+，则12z z =（）A.34i 55-- B.34i 55-+C.43i 55-- D.43i 55-+【答案】C 【解析】【分析】由已知可推出23=-+z i ，然后根据复数的除法即可求出.【详解】复数1z 在复平面内对应的点为()3,1，则2z 在复平面内对应的点为()3,1-，所以23=-+z i ，所以()()()()123i 3i 3i3i 3i 3i z z +++==--+-+86i 43i 1055+=-=--.故选：C.3.已知向量()()()2,1,1,1,2,a b c m n ==-=--，且()a b c +∥ ，则mn 的最大值为（）A.1B.2C. D.4【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行得到24m n +=，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】()1,2a b += ，()2,c m n =-- ，()a b c +∥，故()22n m -=-，即24m n +=，当0m ≤，0n >或0n ≤，0m >时，0mn ≤；当0m >且0n >时，24m n +=≥，2mn ≤，当2m n =，即1m =，2n =时等号成立；综上所述：mn 的最大值为2.故选：B4.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A.4B.4C.924D.4【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则13,4,,2 22A B⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线:AB142312422xy--=---，整理为702x y-+=，原点O4=，故选：B5.已知等比数列{}n a的各项均为正数，它的前n项和为n S，且31513,93S a a=⋅=，则5a=（）A.27B.64C.81D.128【答案】A【解析】【分析】由基本量法求得首项1a和公比q可得5a．【详解】设公比为q，则由已知得41121913(1)3a a qa q q⎧⋅=⎪⎨++=⎪⎩，即21134(1)3a qa q⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1313qa=⎧⎪⎨=⎪⎩或134163qa⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），所以4513273a=⨯=．故选：A．6.设a b c===，则（）A.a b c>> B.c a b>>C.c b a>> D.a c b>>【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性，可得答案.【详解】 1.2a b ==>>=，c a =>>=，故c a b >>.故选：B.7.已知直线l 经过抛物线2:4C x y =的焦点F 且与C 交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M ，过M 作与x 轴垂直的直线与抛物线C 的准线交于点N ，设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，则12k k -的最小值为（）A.B. C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】设l 为1y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=，12124,4x x k x x +=⋅=-，化简得12k k -=计算即可.【详解】由题知，抛物线2:4C x y =，开口向上，所以焦点为(0,1)F ，准线为1y =-，设直线l 为1y kx =+，点1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，化简得2440x kx --=，所以216160k ∆=+>，12124,4x x k x x +=⋅=-，因为线段AB 的中点为M ，过M 作与x 轴垂直的直线与抛物线C 的准线交于点N ，所以点N 为(2,1)k -，因为直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，所以12121211,22y y k k x k x k++==--，所以()()()()()()()()()()2212112121212121222212111222222k x x x k y x k y y y k k x k x k x k x k x k x k +--+--+++-=-==------()()()()()22212122121222212444k xx k x x x x k x x k k +-+-==-++--，所以12kk -=+4==，当0k =时，取最小值2，所以12k k -的最小值为2.故选：C【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.8.若直线l 与曲线()sin ,0,3y x x π=∈和曲线e x y =都相切，则直线l 的条数有（）A.1B.2C.3D.无数条【答案】B 【解析】【分析】根据两函数解析式，在同一坐标系下画出函数图象，对两曲线进行求导，利用导函数的几何意义求出斜率的表达式，再根据三角函数和指数函数的值域，即可求出公切线与两曲线的切点位置，进而确定公切线的条数.【详解】如图所示设直线l 与曲线()sin ,0,3y x x π=∈的切点为11(,sin )A x x ，与曲线e x y =的切点为22,()e x B x ，直线l 的斜率k ；所以，(sin )cos y x x ''==，即在点11(,sin )A x x 处的斜率为1cos k x =，e e )(x x y '=='，即在点22,()e xB x 处的斜率为2e x k =，得21cos e xk x ==；又因为[]()21cos 0,1,e 0,xx ∈∈+∞，所以斜率(]21cos e 0,1xk x ==∈由(]1cos 0,1x ∈得，1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或15π2π,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；由(]2e 0,1x∈得，()2,0x ∈-∞；因此，存在11(,sin )A x x ，1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和22,()e x B x ，()2,0x ∈-∞使得21cos e x k x ==，即此时直线AB 即为两条曲线的公切线；同时，存在33(,sin )C x x ，35π2π,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和44(,e )x D x ，()4,0x ∈-∞使得43cos e x k x ==，且42e e x x ≠；所以，直线CD 即为异于直线AB 的第二条曲线的公切线；综上可知，直线l 的条数有2条.故选：B.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线C ：2212y x -=，两个焦点记为12,F F ，下列说法正确的是（）A.12F F =B.渐近线方程为：0x =C.离心率为2D.点M 在双曲线上且线段1F M 的中点为N ，若ON =1MF =【答案】AC 【解析】【分析】根据双曲线的性质判断ABC ，再由中位线定理结合定义判断D.【详解】由题意可知，1,a b c ====，即122F F c ==渐近线方程为：，y =，离心率为62c e a ==，故AC 正确，B 错误；对于D ，当M 位于x 轴上方时，由中位线定理可得，22O F N M ==122MF MF a ==-=，故D 错误；故选：AC10.设函数()πcos (0)10f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在()0,3π有且仅有3个极小值点，则（）A.()f x 在()0,3π上可能有6个零点B.()f x 在()0,3π有且仅有2个极大值点C.ω的取值范围是4923,3010⎛⎤⎥⎝⎦D.()f x 在3π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】先得到πππ,3π101010x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，根据()f x 在()0,3π有且仅有3个极小值点，列出不等式组，求出4923,3010ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，C 正确；数形结合得到932,515ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,3π上有6个零点，A 正确；数形结合得到5923,3010ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,3π上有3个极大值点，B 错误；先得到ππ3ππ,10101010x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，结合4923,3010ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，得到3ππ59π79π,1010100100ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，结合cos y z =在()0,π上单调递减，得到D 正确.【详解】()0,3πx ∈，0ω>，故πππ,3π101010x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，()f x 在()0,3π有且仅有3个极小值点，故(]π3π5π,7π10ω+∈，解得：4923,3010ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，C 正确；当π11133ππ,π1022ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，即932,515ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,3π上有6个零点，A 正确；当(]π3π6π,7π10ω+∈，即5923,3010ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,3π上有3个极大值点，B 错误；3π0,10x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ3ππ,10101010x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为4923,3010ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3ππ59π79π,1010100100ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为79ππ100<，而cos y z =在()0,π上单调递减，故()f x 在3π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上一点，O 是BD 的中点，则（）A.存在棱上的点N ，使得1MN BC ⊥B.四面体111D A B O -的体积为43C.三棱锥11A B D C -的内切球的表面积为12πD.当M 为棱1A A 的中点时，平面11C OD ⊥平面BDM 【答案】ABD【解析】【分析】对A ，取线段AD 上点N 满足AM AN =，根据11//BC AD 结合三角形的性质可得1MN BC ⊥；对B ，根据三棱锥的体积公式求解即可；对C ，根据等体积法求解内切球的半径于表面积即可；对D ，根据线面垂直的判定证明面面垂直即可.【详解】对A ，取线段AD 上点N 满足AM AN =，连接1,MN AD .因为11//D C AB ，且11D C AB =，故四边形11D C BA 为平行四边形，故11//BC AD .因为1111ABCD A B C D -为正方体，故1,AMN DAD 均为等腰直角三角形，故1π4ANM DAD ∠=∠=，故1MN AD ⊥，则1MN BC ⊥，故A 正确；对B ，四面体111D A B O -的体积11111131142323D A B O O D A B V V --==⨯⨯=，故B 正确；对C ，三棱锥11A B D C -为棱长为的正四面体，体积为33118242323-⨯⨯⨯=，且每个面的面积均为(24⨯=，故内切球半径r 满足18433⨯⨯=，解得3r =，故内切球的表面积244ππ3r =，故C 错误；对D ，由题意，因为O 是BD 的中点，且11C D C B =，故1C O BD ⊥.由正方体可得O 也为AC 的中点.则11,2MA AO OC CC ====，故在直角MAO△和直角1OCC 中1MA OCAO CC =，故1MAO OCC ~ ，则1AMO COC ∠=∠，又π2AMO AOM ∠+∠=，故1π2COC AOM ∠+∠=，所以1MO OC ⊥.又MO BD O ⋂=，,MO BD ⊂平面MBD ，故1C O ⊥平面MBD .又因为1C O ⊂平面11C OD ，故平面11C OD ⊥平面BDM ，故D正确；故选：ABD12.已知直线1:l 40mx y m ++=(0)m >与圆22:4O x y +=相交于,A B 两不同的点，与两坐标轴分别交于C ，D 两点，则下列说法正确的是（）A.m的取值范围为0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.AOB S的最大值为C.直线2:40l x my ++=一定与圆相离D.存在m ，使得2CODAOBS S = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离1d r <，即可判断A项；根据2AB =，即可得到AOB S =，进而根据基本不等式即可判断B 项；圆心()0,0O 到直线2:40l x my ++=的距离2d =>，即可判断C 项；假设存在，因为COD △和AOB 都以1d为高，则可推出AB =.联立直线与圆的方程，求出弦长，即可得到关于m 的方程组=2173m =-+<，满足条件，假设成立，即可得到D 项.【详解】圆心()0,0O ，半径2r =，圆心到直线1l的距离1d ==对于A 项，由已知得，应有1d r <，且0m ≠，即2<，整理可得，213m <，解得33m -<<，且0m ≠.又0m >，所以303m <<，故A 项正确；对于B项，因为2AB =，所以AB =，所以112AOB S AB d =⨯⋅d ==因为()2222222111142r d d r d d ⎛⎫-+-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22211r d d -=，即212d =时，等号成立，所以2AOB S ≤ ，故B 项错误；对于C 项，圆心()0,0O 到直线2:40l x my ++=的距离2d =因为213m <，所以22d =>>，所以直线2:40l x my ++=一定与圆O 相离，故C 项正确；对于D 项，设直线1l 与y 轴交于点C ，则()0,4C m -，()4,0D -，则CD ==，1122COD S CD d d =⨯⨯= 又112AOB S AB d =⨯⋅ .假设存在m ，使得2CODAOBS S =，则AB =.联立直线1l 与圆的方程22404mx y m x y ++=⎧⎨+=⎩可得，()2222181640m x m x m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()()()()2222284116416130m m m m ∆=-+-=->，213m <，且21222122811641m x x m m x x m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则A B=====，所以=，整理可得421430m m +-=，解得27m =-+或27m =--.所以，2173m =-+<，满足条件，所以假设成立，故D 项正确.故选：ACD.【点睛】在直线与圆以及直线与圆锥曲线中，遇到判断是否存在的题目时，往往采用假设成立，进而作为已知条件推导，若得出的结论与题目相符，即表示存在，若相矛盾，即不存在.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.现有橡皮泥制作的表面积为4π的球，若将其重新制作成体积不变，高为1的圆锥，则圆锥的侧面积为______.【答案】【解析】【分析】根据等体积法得圆锥的底面半径为2r =，进而计算其侧面积即可.【详解】解：因为橡皮泥制作的表面积为4π的球，所以，该球的半径为1，体积为43π，设重新制作的圆锥的底面半径为r ，因为重新制作的圆锥的高为1，所以，其体积为221141333V r r πππ=⨯==，解得2r =所以，圆锥的侧面积为1222π⨯⨯=故答案为：14.已知θ为第二象限角，且cos 4210πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则tan θ=______.【答案】43-【解析】【分析】利用余弦的倍角公式求出cos242πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后结合诱导公式可得sin θ的值，然后可得答案.【详解】因为cos 4210πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以24cos22cos 142425πθπθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4cos sin 52πθθ⎛⎫-==⎪⎝⎭，因为θ为第二象限角，所以3cos 5θ=-，4tan 3θ=-，故答案为：43-15.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，新海市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为4的圆，圆心到伞柄底端距离为4，阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，新海市的阳光与地面夹角为60 ），若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】利用正弦定理求出椭圆的,a c 即可求离心率.【详解】伞柄底正好位于该椭圆的左焦点，且左焦点到右顶点的距离为，即a c +=在ABC 中，由正弦定理得2,sin(1806045)sin 608a ︒=--所以32124)2222332a ⨯⨯+⨯+=则6226622633c +=-=，所以该椭圆的离心率为2c a ==-故答案为:2.16.如图，ABC 是面积为2的等腰直角三角形，记AB 的中点为1A ，以1CA 为直角边第一次构造等腰11Rt A B C ，记11A B 的中点为2A ，以2CA 为直角边第二次构造等腰22,Rt A B C ⋯ ，以此类推，当第n 次构造的等腰n n Rt A B C △的直角边n CB 所构成的向量与CB同向时，构造停止，则构造出的所有等腰直角三角形的面积之和为______.【答案】255128【解析】【分析】根据规律分析得第n 次构造得n n Rt A B C △得面积为112n -，当360845n ︒==︒时构造停止，由等比数列前n 项公式计算即可.【详解】第一次构造得11Rt A B C 得面积为1，第二次构造得22Rt A B C 得面积为12，第三次构造得33Rt A B C 得面积为14，以此类推，第n 次构造得n n Rt A B C △得面积为112n -，每构造一次，n CB 绕点C 顺时针旋转45︒所以当360845n ︒==︒时构造停止，此时构造出的所有等腰直角三角形得面积之和为82345671112111111125511222222212812⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++++++==-，故答案为：255128四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2sin 2tan c B a c C =+.（1）求B ；（2）若b =，求2a c +的取值范围.【答案】（1）2π3B =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到1cos 2B =-，即可求出2π3B =；（2）利用正弦定理表示出2sin ,2sin cC b B ==，利用三角函数求出最值.【小问1详解】在ABC 中，,,A B C 的对边分别为(),,,2sin 2tan a b c c B a c C =+，由正弦定理得()sin 2sin sin 2sin sin cos C C B A C C=+.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，()()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C ∴=+=++=++2cos sin sin 0B C C ∴+=.∵sin 0C ≠，∴()π1cos ,0,2B B =-∈.2π3B ∴=.【小问2详解】由题意2sin sin sin a b c A B C===，则2sin ,2sin c C b B ==，则π22sin 4sin 3b c B B B ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，由2π3A =，得π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2b c +∈，故2b c +的取值范围为18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*1113,4N n n a S a a n +=-+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设52n n b a =-，求数列{}b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）(3)n na =-（2）21233n n T +=-【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系可得13n n a a +=-，结合等比数列的定义即可求出通项公式；（2）根据n 的奇偶去掉绝对值，整理得21234212222222n n n T a a a a a a -=-+-+-⋯-+()23223333n =+++⋯+，利用等比数列求和公式求解即可．【小问1详解】依题意，()*114N n n S a a n ++=∈，所以()1142n n S a a n -+=≥，两式相减得140n n n a a a ++-=，化简得()132n n a a n +=-≥，又1n =时，1214S a a +=得213a a =-，所以{}n a 是以3-为首项，3-为公比的等比数列，所以13(3)(3)n n n a -=-⨯-=-，【小问2详解】当n 为偶数时，5252(3)5230nnn a -=-⨯-=-⨯<；当n 为奇数时，5252(3)5230nnn a -=-⨯-=+⨯>，所以()()()()()()21234212525252525252n n n T a a a a a a -=---+---+⋯+---()232123421222222223333nn n a a a a a a -=-+-+-⋯-+=+++⋯+()22121313332233132nn n ++--=⨯=⨯=--．19.某学校对男女学生是否喜欢名著阅读进行了调查，调查男女生人数均为()*10,a a ∈N ，统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得2 6.061K ≈男生女生合计喜欢5a 不喜欢4a 合计10a10a附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（1）完成表格并求出a 值；（2）①为弄清学生不喜欢名著阅读的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢名著阅读的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对名著阅读喜欢的人数为X ，求X 的数学期望.【答案】（1）列联表见解析，30；（2）①2021，②()112E X =.【解析】【分析】（1）根据已知条件求出数据，即可补全列联表.根据2K 计算公式即可求出220 6.06199aK =≈，即可求出a ；（2）①由已知9人中男生的人数为4人，女生的人数为5人，根据对立事件即可求出结果；②由已知1110,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布期望公式求解即可得到.【小问1详解】22⨯列联表如下表所示男生女生合计喜欢6a 5a 11a不喜欢4a 5a 9a合计10a10a20a2220(6554)1010119a a a a a K a a a a⨯-⨯=⨯⨯⨯20 6.06199a=≈，所以30a ≈，又*a ∈N ，所以30a =.【小问2详解】①采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢名著阅读的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4人，女生的人数为5人，则从这9人中抽取3人进行面对面交流，全部抽到男生的概率为为3439432C 1321987C21321⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯所以，至少抽到一名女生的概率12012121-=；②由题意知1110,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()111110202E X =⨯=.20.如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，60,ABC EA ∠=⊥ 平面,ABCD EA BF ∥，22AB AE BF ===.（1）证明：//CF 平面ADE ；（2）在棱EC 上有一点M （不包括端点），使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）取AE 的中点G ，证明CFGD 是平行四边形即可证明结论；（2）连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P ，以N 为原点建立空间直角坐标系，求出平面MBD 与平面BCF 的法向量，结合平面的向量夹角公式求出点M 坐标，再利用向量距离公式即可求出点M 到平面BCF 的距离．【小问1详解】证明：取AE 的中点G ，连接,GD GF ，因为BF EA ∥，且12BF AE =，所以//AG BF 且AG BF =，所以四边形AGFB 是平行四边形，所以A GF B ∥，又因为ABCD 是菱形，所以AB DC ，且AB DC =，所以GF DC ∥且GF DC =，所以四边形CFGD 是平行四边形，CF //DG ，又CF ⊄平面,ADE DG ⊂平面ADE ，所以CF //平面ADE ；【小问2详解】连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P//,PN AE EA ⊥ 平面,ABCD PN ∴⊥平面ABCD ，且CN BN ^，∴以N 为原点，,,NC NB NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为5，()()()()()()1,0,2,,1,0,0,0,,1,0,0,0,E B C F A D ---则设()()2,0,2(01),12,0,2CM CE M λλλλλ==-<<∴-，所以()()()()122,0,,1,,0,0,1DM DB BC FB λλ=-===-设平面DBM 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n DM n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()12200x z λλ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，令0,2,12y x z λλ==-=-，得()2,0,12,n λλ=--设平面FBC 的一个法向量为(),,m a b c =，则00m BC m FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00a c ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1b =，得)m =，.15cos ,5m n n m m n ⋅∴==⋅，解得13λ=或1λ=，，又01λ<<Q ，13λ∴=此时1222,0,,,0,3333M CM ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴点M 到平面BCF的距离23323CM m d m⋅===．21.已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>过点(，点()2,1P -在双曲线Γ的渐近线上，点()0,1B ，过P 作直线l 交双曲线Γ于,C D 两点（其中l 不平行于x 轴），直线BC 与x轴交于点M ，直线BD 与x 轴交于点N .（1）求Γ的方程；（2）若2MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y -=（2）(250x y +-++或(250x y --+-=【解析】【分析】(1)根据曲线过点(，且点()2,1P -在双曲线Γ的渐近线上，列出方程，解之即可求解；(2)设():12l y k x -=+，将直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理和2MN =化简整理即可求解.【小问1详解】由题意知2216311,2b a b a -==，可得2,1a b ==，所以Γ的方程为2214x y -=.【小问2详解】设():12l y k x -=+，即21y kx k =++，设点()()1122,,,C x y D x y 联立方程得222114y kx k x y =++⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得：2222(14)(168)(16168)0k x k k x k k --+-++=，由韦达定理得21222122168141616814k k x x k k k x x k ⎧++=⎪⎪-⎨++⎪=-⎪-⎩，()()22221Δ064(21)4141616802102k k k k k k k >⇒++-++>⇒+>⇒>-又2140k -≠ ，12k ∴>-且10,2k k ≠≠.直线111:1y BC y x x -=+，令0y =可得111M x x y =--，直线221:1y BD y x x -=+，令0y =可得221N x x y =--，()()()()()1212121212122112222x x x x x x MN y y k x k x k x x -=-=-=--++++.()()12121222224x x MN k x x x x -=∴=⎡⎤+++⎣⎦ ，即()()22212121224x x k x x x x ⎡⎤-=+++⎣⎦()()22212121212424x x x x k x x x x ⎡⎤+-=+++⎣⎦()()22222222222241616864(21)161683216414141414k k k k k k k k k k k k k ++⎛⎫++++∴+=-++ ⎪---⎝⎭-2643216k k∴+=即24202k k k --=⇒=±12k >- 且10,,22k k k ≠≠∴=±l ∴的方程为：(250x y +-++或(250x y --+-=.22.已知函数()ln x f x x=和()e x x g x =，它们的图像分别为曲线1C 和2C .（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：曲线1C 和2C 有唯一交点；（3）设直线y a =与两条曲线12C C ､共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为123,,x x x ，求证：123,,x x x 成等比数列.【答案】（1）()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系直接求解即可；（2）由题知()()2ln e ln e ex x x x x x x g x f x x x --=-=，进而构造函数()2e ln x h x x x =-，研究其单调性，并结合零点存在性定理证明即可；（3）由题知直线y a =必过曲线1C 和2C 的交点M ，且12301e x x x <<<<<，进而根据12312223ln ln e e x x x x x x a x x ====得1133e ln x x x x =，再结合（1）证明1232e ln x x x =即可.【小问1详解】解：()()2ln 1ln ,x x f x f x x x'-=∴= ，令()0f x '=，则e x =，当()0,e x ∈时，()()0,f x f x '>递增；当()e,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<递减；所以，()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞.【小问2详解】解：()()2ln e ln e ex x x x x x x g x f x x x --=-=，设()2e ln x h x x x =-，则()e 12e ln 2e ln x xx h x x x x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎝'⎪⎭，令()1ln x x xϕ=+，则()22111x x x x x ϕ-'=-=，所以，当()0,1x ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，当()1,x ∈+∞，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以，()min ()11x ϕϕ==，即1ln 1x x +≥，令e e x y x =-，则e e x y '=-，所以，当()0,1x ∈，e e 0x y '=-<，e e x y x =-单调递减，当()1,x ∈+∞，e e>0x y -'=，e e x y x =-单调递增，所以，e e 0x y x =-≥，即e e x x ≥，所以，1e ln e x x x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以，()()12e ln 2e 2e 0x h x x x x x x x ⎛⎫=-+≤-=-< ⎪⎭'⎝，所以()h x 在()0,∞+为减函数，又()()2e11,e e e 0h h ==-<，即()()1e 0h h <，所以，由零点存在定理知，()h x 在()1,e 存在唯一的零点，即方程()()0g x f x -=有唯一解，所以，曲线1C 和2C 有唯一交点.【小问3详解】解：由（1）知max 1()e f x =，同理易知max 1()eg x =，由（2）知，要使直线y a =与两条曲线12C C ､共有三个不同交点，则直线y a =必过曲线1C 和2C 的交点M ，且12301e x x x <<<<<，所以，12312223ln ln e e x x x x x x a x x ====，故有1133e ln x x x x =，因为111122ln lne e e x x x x x x ==，且()12e ,0,e x x ∈，由（1）知()ln x f x x=在()0,e 上递增，所以，12e x x =同理222323ln lne e e x x x x x x ==，且()23e ,e,x x ∞∈+，因为由（1）知()ln x f x x =在()e,+∞单调递减，所以，23e x x =，即32ln x x =，所以，121332e ln x x x x x ==，即123,,x x x 成等比数列.1），（2）得直线y a =必过曲线1C 和2C 的交点M ，且12301e x x x <<<<<，进而证明121332e ln x x x x x ==即可.。
江苏省南京市2021-2022第一学期高三12月联考数学试卷
南京市2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．若复数z 满足 z －·i ＝2+i,其中i 为虚数单位，则z =A ．1+2iB ．1－2iC ．－1+2iD ．－1－2i2．记A ＝{x |log 2(x －1)<2}，A ∩N ＝B ，则B 的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．已知cos θ＝13 ，则sin(2θ＋π2)＝A ．－79B ．79C ．23D ．－234．设a ，b 为非零向量，则“存在负数λ，使得a=λb ”是“a ·b <0”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A 与学生B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有A ．72种B ．36种C ．24种D ．12种6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%-45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系为P =P 0·e －kt (k 为正常数，P 0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤 A ．6小时B ．3小时C ．1.5小时D ．59小时7．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是椭圆E 准线上一点，∠F 1MF 2的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为A ．2124B ． 32C ． 22D ．2848．已知a ＝sin 13，b ＝13，c ＝1π则A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7在这次射击中，下列说法正确的是 A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差大B ．甲成绩的众数比乙成绩的众数大C ．甲的成绩没有乙的成绩稳定D ．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大10．已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x [1，＋∞)时，f (x )＝x 3，则 A ．f (0)＝0B ．对任意的正实数a ，都有f (a +4a )≥f (4)C ．f (1＋x )为偶函数D ．不等式f (x+1)<f (3)的解集为(-1,3)11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足P A=2PB ，则 A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8 B ．△PAB 面积最大时P A=26 C ．∠P AB 最大时，P A=26 D ．P 到直线AC 距离最小值为42512．在底面棱长为2侧棱长为23的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 为AC 1的中点，BD →=λBC →(0≤λ≤1),则以下结论正确的是A ．当λ=12时，A 1D →=12AB →+ 12AC →－AA 1→ B ．当λ=12时，AB 1//平面A 1C 1DC ．存在λ使得DE ⊥平面A 1B 1CD ．四面体E －ABC 外接球的半径为153三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知(x ＋ay )3的展开式中含x 2y 项的系数为6．则实数a 的值为 ▲ ．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为4，则a = ▲ ．15．若一个等差数列{a n }满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式a n ＝ ▲ ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3(tanA+tanB)=tanA cosB +tanB cosA ，则a +bc= ▲ ；c =4，D 为AB 的中点且CD =33 ，则△ABC 的面积为 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t (t ＞0)倍，得到y ＝g(x )的图象．若π4为函数y ＝g(x )的一个零点，求t 的最大值．Ox y 第17题2π3 5π618．（本题满分12分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/kg）3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．19.（本题满分12分）在①6S n=a n2+3a n－4；①a n=2a n-1－3n+5;两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{a n}和等比数列{b n}，数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝2b2－1．a3=b3＋2，_______.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{a n}和{b n}中的所有项分别构成集合A，B，将A①B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的前70项和.20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为33，求三棱锥M﹣ACB体积．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．（1）若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；第20题（2）在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足AN BN ＝AMBM ? 若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x +a +b sin x －1的图象在原点处的切线方程为y =2x ． (1)求函数y ＝f (x )的解析式． (2)证明：f (x )≥2x ．。
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一、填空题1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则AB 等于 ．2．已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ．3．抛物线22y x =的准线方程为 ． 4．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则)c o s (απ-的值是 ．5.设函数f (x )＝12cos(ωx ＋φ)，对任意x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，若函数g (x )＝3sin(ωx ＋φ)－2，则g (π3)的值为_________．6.“N M >”是“N M 22log log >”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).7.若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为___. 8.设函数f (x )在(0,＋∞)内可导，且f (e x)＝x ＋e x，则f (1)＝__________．9．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为_________.10.在边长为1的正ABC ∆中，向量,x =,y =0,0>>y x ，且,1=+y x 则⋅的最大值为________.11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且),()3(x f x f =+当)0,2(-∈x 时，,2)(xx f = 则=++)2013()2014()2015(f f f _________.12. ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．13．已知抛物线214y x =和21516y x =-+所围成的封闭曲线，给定点),0(a A ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 .14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ．二、解答题： 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形. （1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD. CDEF16. (本小题满分14分) 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ， b ，c ，且满足(2a －c )cosB ＝b cosC ，求函数f (A )的取值范围．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：222b y x =+相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；（3）若OP⊥OQ，求点Q 的纵坐标t 的值.18. (本小题满分16分)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。
如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段D D CC B B AA 1111,,,关于坐标轴或原点对称，线段B B 1的方程为[]b a x x y ,,∈=，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行。
有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点)0,25(a M -处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N )0,25(a 测得汽笛声的时刻晚s 1（设海面上声速为s am /）。
若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积） （I ）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？（II ）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。
19．（本小题满分16分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（1）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （2）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（3）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）20.(本小题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ． （1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数 学Ⅱ (附加题)1.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a M 112的一个特征值是3，求直线032=--y x 在M 作用下的直线方程.2.已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．3．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若x y为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．4.已知nx )211(+展开式的各项依次记为).(),(),...,(),(121x a x a x a x a n n +设函数 =)(x F ).()1()(...)(3)(2)(1321x a n x na x a x a x a n n +++++++（1） 若)(),(),(321x a x a x a 的系数依次成等差数列，求正整数n 的值； （2） 求证：],2,0[,21∈∀x x 恒有.1)2(2|)()(|121-+≤--n x F x F n高三数学质量检测试卷参考答案及评分标准 2015.121．{}1,2 2．5 3．81-=y 4．55- 5.－2 6.必要不充分 7.24± 8.2 9．57 10.83- 11.0 12. (3－)π 13.5(,4)214．92．【解析】易知d =0，成立． 当d >0时， d a d a a 5320142014531154-=⇒=+=d )k (d )k (a a k 5420145454-+=-+=[][]2014201454201438535420145320141254⨯=-+-=-+-==d )k ()d (d )k ()d (a a a k []20143854201438⨯=-+-)d k ()d ()k (d )k (d )k (d )k (1073854010738542-=-⇒=-+--107385438107383854⨯-=-⇒⨯-=-k )d (d d kd*N dd d )d (d d k ∈-⨯+=-⨯+=-⨯-⨯+-=-⨯-=3853385438533854381073838543854381073854又⎩⎨⎧>>-⇒>-=-=038038535320141d d )d (d a 38380<-<∴d381,2,19d ∴-=， 37,36,19d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为92．15．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD，又∵AB⊥AE，∴AE⊥CD 又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD 、CF ⊂平面CDEF ，∴AE⊥平面CDEF ，又∵AE ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE⊥平面CDEF………7分 （2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD又∵AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴AB//平面CDEF 又∵AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF又∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF//平面A BCD.………14分17.（1）⎪⎩⎪⎨⎧==121c a c …………2分∴c =1，a =2，∴3=b ，∴椭圆方程为13422=+y x …………4分 （2）设),(00y x P ，则)20(13402020<<=+x y x PM=0202020202134333x x x y x =--+=-+，………………6分。