2015-2016年河南新乡市高一(上)数学期末试卷及答案(理科)

2015-2016学年河南省新乡市高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（5.00分）函数y=x的定义域为（）A．{x|x≠0}B．{x|x≥0}C．{x|x＞0}D．R3．（5.00分）已知直线l经过点P（0，0），Q（﹣1，），则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°4．（5.00分）函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）5．（5.00分）已知m，n，l为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β6．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B． C．D．7．（5.00分）设a=e，b=log0.29，c=lnπ（e为自然对数的底数），则a，b，c 的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．（5.00分）在△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°．以AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A．12πB．16πC．D．9．（5.00分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0．则下列条件中一定能使得l1∥l2成立的是（）A．m=4 B．m=0 C．m=4或m=﹣4 D．m=4且n≠﹣210．（5.00分）已知函数f（x）为定义在[0，3]上的减函数，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A．[0，1]B．（1，2]C．[，2]D．（1，3]11．（5.00分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）12．（5.00分）+2log510+log50.25的值为．13．（5.00分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为长方形，它们所在的平面互相垂直，且AB=AQ=AD，E为BC的中点，则异面直线BQ与AE所成的角大小为．14．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f（2015）+f（2016）的值为．15．（5.00分）已知经过点M（﹣5，0）的直线l与圆x2+（y+1）2=25相切，那么直线l的方程为．三、解答题（共6小题，满分70分）16．（10.00分）已知函数f（x）=log2（3+x）+log2（3﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求f（﹣1），f（1）的值；（3）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．17．（12.00分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，且△ABE 是以∠BAE为直角的等腰直角三角形，O为BE中点，且CO⊥CD，CO=a，AB=a．（1）证明：CD⊥平面AOC；（2）若侧面ABE⊥底面BCDE，且四棱锥A﹣BCDE的体积为36，求a的值．18．（12.00分）在x轴上求一点P，使以点A（1，2）、B（3，4）和点P为顶点的三角形的面积为10．19．（12.00分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N．（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需要说明理由）；（2）求证：直线MN∥平面BDH；（3）求二面角B﹣DH﹣C的平面角的大小．20．（12.00分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．21．（12.00分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与y轴的正半轴交于点M，直线l1：y=2x+1被圆O所截得的弦长为，圆O上相异两动点A，B所在的直线l2的方程为y=kx+m，且满足直线MA与直线MB的斜率之积为．（Ⅰ）求实数r的值；（Ⅱ）试探究直线AB是否经过定点，若经过，请求定点的坐标；若不经过，请说明理由．2015-2016学年河南省新乡市高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={1，2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B=∅，B={1}，B={2}，B={1，2}．∴满足条件的集合B有4个．故选：D．2．（5.00分）函数y=x的定义域为（）A．{x|x≠0}B．{x|x≥0}C．{x|x＞0}D．R【解答】解：∵y=x=，∴要使原函数有意义，则x≥0．即函数y=x的定义域为{x|x≥0}．故选：B．3．（5.00分）已知直线l经过点P（0，0），Q（﹣1，），则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．∴tanθ==﹣，∴θ=120°，故选：C．4．（5.00分）函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【解答】解：f（1）=2﹣6＜0，f（2）=4+ln2﹣6＜0，f（3）=6+ln3﹣6＞0，f（4）=8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．（5.00分）已知m，n，l为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【解答】解：A．当m与n相交时，α∥β成立，当m与n不相交时，α∥β不成立，故A错误，B．若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故B错误，C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n成立，故C正确，D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故D错误，故选：C．6．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B． C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，圆柱的底面半径为1，高为2，故底面积为：π，侧面积为4π，半圆锥的底面半径为1，高为，故母线长为2，故侧面积为：π+，故组合体的表面积为：π+4π+π+π+=，故选：A．7．（5.00分）设a=e，b=log0.29，c=lnπ（e为自然对数的底数），则a，b，c 的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵0＜a=e＜1，b=log0.29＜0，c=lnπ＞1．∴b＜a＜c．故选：A．8．（5.00分）在△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°．以AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A．12πB．16πC．D．【解答】解：AC==5，∴△ABC的斜边AC上的高为=．则旋转而成的几何体为两个同底的圆锥的组合体，它们的底面半径为，它们的高度之和为5．∴几何体的体积V=π×（）2×5=．故选：C．9．（5.00分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0．则下列条件中一定能使得l1∥l2成立的是（）A．m=4 B．m=0 C．m=4或m=﹣4 D．m=4且n≠﹣2【解答】解：∵两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，l1∥l2，∴两条直线分别化为：，y=﹣x+，∴，解得m=4，n≠﹣2．故选：D．10．（5.00分）已知函数f（x）为定义在[0，3]上的减函数，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A．[0，1]B．（1，2]C．[，2]D．（1，3]【解答】解：f（x）为定义在[0，3]上的减函数；∴由f（2x﹣1）＜f（1）得：；解得1＜x≤2；∴实数x的取值范围为（1，2]．故选：B．11．（5.00分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（）B．[]C．（） D．（]【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）12．（5.00分）+2log510+log50.25的值为π．【解答】解：log510+log50.25=π﹣2+log5100+log50.25=π﹣2+log525=π﹣2+2=π故答案为：π．13．（5.00分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为长方形，它们所在的平面互相垂直，且AB=AQ=AD，E为BC的中点，则异面直线BQ与AE所成的角大小为60°．【解答】解：∵四边形ABCD和ADPQ均为长方形，它们所在的平面互相垂直，且AB=AQ=AD，E为BC的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=AQ=AD=1，则B（1，0，0），Q（0，0，1），A（0，0，0），E（1，1，0），=（﹣1，0，1），=（1，1，0），设异面直线BQ与AE所成的角为α，则cosα=|cos＜＞|===，∴α=60°．∴异面直线BQ与AE所成的角为60°．故答案为：60°．14．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f（2015）+f（2016）的值为4033．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣x）=，f（0）=1，∴f（x）+f（﹣x）=2，∴f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f（2015）+f（2016）=2016×2+f（0）=4033，故答案为：403315．（5.00分）已知经过点M（﹣5，0）的直线l与圆x2+（y+1）2=25相切，那么直线l的方程为x=﹣5或12x﹣5y+60=0．【解答】解：圆x2+（y+1）2=25的圆心坐标为（0，﹣1），半径r=5，斜率不存在时，此时过点M（﹣5，0）的切线方程为x=﹣5；设切线的斜率为k，由切线过（﹣5，0），得到切线方程为：y=k（x+5），即kx﹣y+5k=0，则有圆心到切线的距离d==r=5，解得k=，所以切线方程为：12x﹣5y+60=0，综上，所求切线的方程为x=﹣5或12x﹣5y+60=0．故答案为：x=﹣5或12x﹣5y+60=0．三、解答题（共6小题，满分70分）16．（10.00分）已知函数f（x）=log2（3+x）+log2（3﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求f（﹣1），f（1）的值；（3）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．【解答】解：（1）由对数式有意义可得3+x＞0且3﹣x＞0，解得﹣3＜x＜3，故定义域为（﹣3，3）；（2）代值计算可得f（﹣1）=log22+log24=1+2=3，f（1）=log24+log22=2+1=3；（3）函数f（x）为偶函数，下面证明，对任意x∈（﹣3，3），f（﹣x）=log2（3﹣x）+log2（3+x）=f（x），由偶函数的定义可得f（x）为偶函数．17．（12.00分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，且△ABE 是以∠BAE为直角的等腰直角三角形，O为BE中点，且CO⊥CD，CO=a，AB=a．（1）证明：CD⊥平面AOC；（2）若侧面ABE⊥底面BCDE，且四棱锥A﹣BCDE的体积为36，求a的值．【解答】（1）证明：∵AB=AE，BO=EO，∴AO⊥BE，∵BE∥CD，∴AO⊥CD，∵CO⊥CD，CO∩AO=O，∴CD⊥平面AOC；（2）证明：∵侧面ABE⊥底面BCDE，AO⊥BE∴AO⊥底面BCDE，∵△ABE，AB=AC=a，∠BAE为直角，∴BE=，AO=a，∵四棱锥A﹣BCDE的体积为36，==36，∴V A﹣BCDE∴a=6．18．（12.00分）在x轴上求一点P，使以点A（1，2）、B（3，4）和点P为顶点的三角形的面积为10．【解答】解：依题意设，，直线AB的方程是．（3分）在△PAB中，设AB边上的高为h，则，（7分）设P（x，0），则P到AB的距离为，所以，（10分）解得x=9，或x=﹣11．（11分）所以，所求点的坐标是（9，0），或（﹣11，0）．（12分）19．（12.00分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N．（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需要说明理由）；（2）求证：直线MN∥平面BDH；（3）求二面角B﹣DH﹣C的平面角的大小．【解答】解：（1）由一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图作出该正方体，得到字母F，G，H的位置如图所示．证明：（2）连结BD，设O为BD中点，∵BM=MC，BO=OD，∴OM，又HN，∴OM HN，∴四边形OMNH为平行四边形，∴MN∥OH，又∵MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，∴MN∥平面BDH．解：（3）∵HD⊥平面ABCD，∴HD⊥DB，且HD⊥DC，∴∠BDC为二面角B﹣DH﹣C的平面角，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC=45°，∴二面角B﹣DH﹣C的平面角为45°．20．（12.00分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21．（12.00分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与y轴的正半轴交于点M，直线l1：y=2x+1被圆O所截得的弦长为，圆O上相异两动点A，B所在的直线l2的方程为y=kx+m，且满足直线MA与直线MB的斜率之积为．（Ⅰ）求实数r的值；（Ⅱ）试探究直线AB是否经过定点，若经过，请求定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l1：y=2x+1被圆O所截得的弦长为，∴圆心O（0，0）到直线l1：y=2x+1的距离为d==，∴r=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+y12=1，x22+y22=1，设直线AB：y=kx+m，代入x2+y2=1∴（1+k2）x2+2kmx+m2﹣1=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=，y1y2=，∵k MA•k MB=∴•==解得m=2+，∴直线AB过定点（0，2+）．综上：直线AB过定点（0，2+）．。