成都七中高一上学期期末考试数学试题及答案

高一上学期期末考试数学试题
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 若{}32，
M
{}54321，，，，，的个数为：则M
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8 2. 函数2
()lg(31)1f x x x
=
+-的定义域是：
A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B. 1,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭ C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比是：
A ．
ππ221+ B. ππ441+ C. ππ21+ D. π
π
41+ 4. 下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是：
A.2
y x = B.12y x = C.13
y x = D.3
y x -=
5. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二角后，下列命题正确的是：
A. BC AB ⊥
B. BD AC ⊥
C. ABC CD 平面⊥
D. ACD ABC 平面平面⊥
6. 已知函数2
()4,[1,5)f x x x x =-∈，则此函数的值域为：
A. [4,)-+∞
B. [3,5)-
C. [4,5]-
D. [4,5)- ()()x 1 2 3 4 5 6
7
()f x
123.5 21.5 －7.82 11.57 －53.7 －126.7 －129.6
那么函数()f x 在区间[]1,6上的零点至少有：
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个 8. 若函数()f x 在R 上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是：
A.()()34f f <
B.()()34f f <--
C.()()34f f --<-
D.()()34f f ->- 9. 已知直线l 在x 轴上的截距为1，且垂直于直线x y 2
1
=
，则l 的方程是： A. 22+-=x y B. 12+-=x y C. 22+=x y D. 12+=x y 10. 若两直线k x y 2+=与12++=k x y 的交点在圆42
2
=+y x 上，则k 的值是：
A. 51-或1-
B. 51-或1
C. 3
1
-或1 D. 2-或2 二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中的横线上.
11. 圆台的上，下底面积分别为ππ4,，侧面积为π6，则这个圆台的体积是
12. 对于函数23
4
1()2
x x y -+=的值域
13. 若平面α∥β平面，点,25,48,,,,==∈∈CD AB D B C A 且点βα又CD 在平面β内
的射影长为7，则AB 于平面β所长角的度数是
14. 若((1
1
2,2a b --=+=，则()
()2
2
11a b --+++的值是
三、 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15（本小题满分12分） 若02x ≤≤，求函数12
4325x x y -=-•+的最大值和最小值.
16（本小题满分12分）
求过点()1,2-A ,圆心在直线x y 2-=上，且与直线01=-+y x 相切的圆的方程.
17（本小题满分14分）
已知函数x
x x f 2)(+
=.
（1）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明：函数)(x f 在
[
)
+∞,2内是增函数.
18（本小题满分14分）
（本小题14分）如图，棱长为1的正方体
1111D C B A ABCD -中，
（1）求证：DB D B AC 11平面⊥; (2) 求三棱锥1ACB B - 的体积.
19．（本小题满分12分）
某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1％，若最初时含杂质2％，每过滤一次可使杂质含量减少
1
3
，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ B
1
D D A
1
A 1
B 1
C C
（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） 20．（本小题满分16分） 已知函数()()()lg 10x x
f x a b a b =->>>.
（1）求()y f x =的定义域；
（2）在函数()y f x =的图像上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； （3）当,a b 满足什么关系时，()f x 在()1,+∞上恒取正值.
一. B D A C B D B C A B
二. 11.
π337 12. ,2⎛-∞ ⎝
⎦ 13.
30 14. 23 三. 15. 解：原式可变形为1
2
44
325x
x y -=•-•+， (2分)
即()()21
2325022
x x y x =
•-•+≤≤ (4分) 令2x
t =，则问题转化为()2135142
y t t t =-+≤≤ （6分）
将函数配方有()()2
1131422
y t x =-+≤≤ （8分）
根据二次函数的区间及最值可知：
当3t =，即23x
=时，函数取得最小值，最小值为1
2
. （10分） 当1t =，即0x =时，函数取得最大值，最大值为5
2
. （12分） 16. 解：设圆心为()a a 2,-，圆的方程为
()()2
2
2
2r a y a x =++- （2分）
则()()⎪
⎩
⎪
⎨⎧=--=+-+-r a a r a a 212212222 （6分）
解得1=a ，2=
r （10分）
因此，所求得圆的方程为()()2212
2
=++-y x （12分） 17. 解：（1）函数的定义域是()()+∞∞-,00, （1分） )()2
(2)(x f x
x x x x f -=+-=-+
-=- )(x f ∴是奇函数 （5分） （2）设
[)
∞+∈,2,21x x ，且21x x < （6分）
则)2
(2)()(2
21121x x x x x f x f +-+
=- （7分）
（10分） 212x x << ，0,02,0212121>>-<-∴x x x x x x （12分）
)2
)(
()
22()(2
121212121x x x x x x x x x x --=-+-=
)()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-∴即 （13分） 故)(x f 在
[
)
∞，＋2内是增函数 （14分）
18. 解:(1)证明：AC BB ABCD
AC ABCD BB ⊥⇒⎩⎨
⎧⊂⊥11平面平面 （3分）
在正方形ABCD 中，BD AC ⊥, （5分）
DB D B AC 11平面⊥∴ （7分）
(2)61
31111=••=
=∆--ABB ABB C ACB B S CB V V 三棱锥三棱锥 （14分） 19.解：每过滤一次可使杂质含量减少13，则杂质含量降为原来的2
3
，那么过滤n 次后杂
质含量为221003n
⎛⎫
⨯ ⎪⎝⎭
， （2分）
结合按市场要求杂质含量不能超过0.1％，
则有220.1%1003n
⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，即21320
n
⎛⎫≤
⎪⎝⎭， （6分） 则()()lg2lg31lg2n -≤-+， （8分） 故1lg 2
7.4lg 3lg 2
n +≥
≈-， （10分）
考虑到n N ∈，故8n ≥，即至少要过滤8次才能达到市场要求. （12分）
20. 解：（1）由0x
x
a b ->得1x
a b ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
， （2分）
由已知
1a
b
>，故0x >， （3分） 即函数()f x 的定义域为()0,+∞. （4分）
（2）设120,
10,x x a b >>>>> （5分）
1212,,x
x
x
x
a a
b b ∴><则12x
x
b b ->-. （6分） 故1122
0x
x
x
x a b a b
->->， （7分）
()()1122lg lg x x x x a b a b ∴->- （9分）
即()()12f x f x >.()f x ∴在()0,+∞上为增函数. （10分）
假设函数()y f x =的图像上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使直线AB 平行于x 轴，即1212,x x y y ≠=，这与()f x 是增函数矛盾.故函数()y f x =的图像上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴. （11分） （3）由（2）知，()f x 在()0,+∞是增函数，
()f x ∴在()1,+∞上也是增函数. （12分）
∴当()1,x ∈+∞时，()()1f x f >. （13分） ∴只需()10f ≥，即()lg 0a b -≥，即1a b -≥， （15分）
1a b ≥+时，()f x 在()1,+∞上恒取正值. （16分）。