高中数学 培优作业+知识讲解 含答案3.2不等式一元二次不等式及其解法

高中数学培优作业【教学过程】（1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．（2）探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式250x x -<的解集呢？ 探究：①二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120, 5x x == 二次函数有两个零点：120, 5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． ②观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当0x <，或5x >时，函数图象位于x 轴上方，此时，0y >，即250x x ->； 当05x <<时，函数图象位于x 轴下方，此时，0y <，即250x x -<； 所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题．（3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：20ax bx c ++>，或20ax bx c ++< (0)a >．一般地，怎样确定一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集呢？组织学生讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：①抛物线与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况；②抛物线2y ax bx c =++的开口方向，也就是a 的符号． 总结讨论结果：①抛物线 2y ax bx c =++(0)a >与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程20ax bx c ++=的判别式24b ac ∆=-三种取值情况(0∆>，0∆=，0∆<）来确定．因此，要分二种情况讨论．②0a <可以转化为0a >分0∆>，0∆=，0∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<(0)a >的解集．设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为1212x x x x ≤、且，24b ac ∆=-，例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集.解：因为0∆=，方程24410x x -+=的解是1212x x ==．所以，原不等式的解集是12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭．评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->． 解：整理，得2230x x -+<.因为0∆<，方程2230x x -+=无实数解， 所以不等式2230x x -+<的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅.评述：将2230x x -+->转化为2230x x -+<的过程注意符号的变化，这是解题关键之处，讲课要放慢速度．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)． 解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：20A a x b x c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第1题 【板书设计】【教学后记】课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（1）课前预习学案【知识准备】1．我们把 ，并且 不等式，称为一元二次不等式．2．不等式30ax +>的解集是 ．3．若将不等式20x bx c -++>的二次项系数化为正数，则不等式化为 ． 【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式． 2．探究方程的根与二次函数的零点的关系． 3．探究不等式250x x -<的解集． 【提出疑惑】1．不等式250x x -<与250x x ->的解集之间有什么关系？规律是什么？ 2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点为例进行探究．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？课内探究学案【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式． 【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++<(0)a >？ 2．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a <？ 【合作探究】1．探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固． 例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集． 变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)． 例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．【反思总结】解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：20A a x b x c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根120x x x <=，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第1题课后练习与提高1．与不等式(3)(5)0x x +-<的解集相同的是（ ）A ．3050x x +>⎧⎨-<⎩B ．3050x x +<⎧⎨->⎩C ．5030x x ->⎧⎨+<⎩D ．3050x x +>⎧⎨->⎩2．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x >，则关于x 的不等式2023ax bx x +>--的解集为（ ）A ．{|213}x x x -<<->或B ．{|321}x x x -<<->或C ．{|123}x x x -<<>或D ．{|13}x x <-<或3．集合{}2540A x x x =-+≤，{}2560B x x x =-+≥，则A B = （ ） A ．{|1234}x x x ≤≤≤≤或 B ．{|1234}x x x ≤≤≤≤且 C ．{1, 2, 3, 4} D ．{|4123}x x x -≤≤-≤≤或4．已知集合{}2320U x x x =-+≥，{}31A x x x =><或，则U C A = ． 5．不等式2228x x ≤-<的正整数解集为 ． 6．解下列不等式① (1)(3)52x x x --<-； ② 22(11)3(1)x x x +≥+)；③ 2(21)(3)3(2)x x x +-+＞ 答案：1．A 2．C 3．A 4．{|231}x x x ≤≤=或 5．{3}6．① {|24}x x x <>或；② 3{|1}2x x ≤≤；③ ∅课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（2）授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想．【教学重、难点】重点：熟练掌握一元二次不等式的解法难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 （2）一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到21139.520180x x +>移项整理得：2971100x x +->显然0>△，方程2971100x x +-=有两个实数根，即1288.94, 79.94x x ≈-≈．所以不等式的解集为{}|88.94, 79.94x x x <->或．在这个实际问题中，0x >，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.评述：注意体会三个“二次”之间的关系． 变式训练：课本第80页练习2例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到222206000x x -+>移项整理，得211030000x x -+<因为1000=>△，所以方程211030000x x -+=有两个实数根1250, 60x x ==．由二次函数的图象，得不等式的解为：5060x <<． 因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用． 变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．解：令2()28f x x x a =-+-由A B ⊆，及二次函数图象的性质可得(1)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即12809680a a -+-≤⎧⎨-+-≤⎩，解之得95a -≤≤． 因此a 的取值范围是95a -≤≤．评述：留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系． 变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题．进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系． 【板书设计】【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题【教学后记】课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（2）课前预习学案【知识准备】1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？【预习内容】课本第78-79页．1．尝试解答课本P78-79两个例题．2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤．3．探究下面题目的解法例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．不等式250x x -<的解集．【提出疑惑】1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？2．解答应用题需要注意些什么？课内探究学案【学习目标】1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．【提出问题】1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？2．一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++>(0)a <的解集具有什么关系？【合作探究】1．例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．变式训练：课本第80页练习22．例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．3．补充例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题．【反思总结】1．熟练掌握一元二次不等式的解法；2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题课后练习与提高1．若不等式20ax x a ++<（0a ≠）无解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1122a a ≤-≥或B ．12a <C ．11 22a -≤≤D ．1 2a ≥ 2．关于x 的不等式21mx mx m ++<的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(, 0)-∞B ．4(, 0)(, )3-∞+∞ C ．(, 0]-∞ D ． 4(, 0](, )3-∞+∞ 3．(上海高考题)设全集U =R ，2{|560}A x x x =-->，{||5|}B x x a =-＜ (a 是常数)，且11∈B ，则（ ）A ．()U C AB =R B ．()U AC B =RC ．()()U U C A C B =RD ．A B =R4．若2()40f x ax ax =--<恒成立，则实数a 的取值范围是 ．5．若210ax bx +-<的解集为{|12}x x <<－，则a =________，b =________． 6．已知22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0, 2]上的最小值是3，求a 的值．。