2019年北师版数学高考一轮复习 第7章第5节简单几何体的表面积与体积
高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.5 简单几何
第五节 简单几何体的面积和体积
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 了识 自主学习
知识梳理
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝_2_π_r_l___ S圆锥侧＝_π_r_l___ S圆台侧＝π_(_r＋__r_′__)_l_
答案 C
2．(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面 积为( )
A．3π C．2π＋4
B．4π D．3π＋4
解析 由三视图知，该几何体为半圆柱，故其表面积为S侧＋S上底＋ S下底＝(π＋2)×2＋π＝3π＋4。
答案 D
3．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 16
C. 3
14 B. 3 D．6
解析 解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示， 其中上，下底面分别是边长为 1,2 的正方形，且 DD1⊥平面 ABCD， 上底面面积 S1＝12＝1，下底面面积 S2＝22＝4。 又∵DD1＝2，∴V 台＝13(S1＋ S1S2＋S2)h ＝13(1＋ 1×4＋4)×2＝134。
基础自测
[判一判] (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和。( √ ) 解析 正确。多面体的表面积等于侧面积与底面积之和。 (2)锥体的体积等于底面积与高之积。(× )
解析 错误。锥体的体积等于底面积与高之积的13。
(3)球与球的体积之比等于它们半径比的平方。( × ) 解析 错误。球与球的体积之比等于它们半径比的立方。 (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差。( √ ) 解析 正确。简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组 成。 (5)长方体既有外接球又有内切球。( × ) 解析 错误。长方体只有外接球，没有内切球。
高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第2节 简单几何体的表面积与体积学案 文 北师大版-北师大版
第二节 简单几何体的表面积与体积[考纲传真] 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．(对应学生用书第95页)[基础知识填充]1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面 展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3. 名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3[1．正四面体的表面积与体积棱长为a 的正四面体，其表面积为3a 2，体积为212a 3. 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝A ． ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2A ．(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a 的正四面体，其内切球半径R 内＝612a ，外接球半径R 外＝64A ． [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (2)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32A ．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm B [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4， ∴r ＝2(cm)．]3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图721，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )图721A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B ．]4．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．14π [∵长方体的顶点都在球O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为R ， 则2R ＝32＋22＋12＝14. ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫1422＝14π.] 5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图722所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.【导学号：00090233】图722323[由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 的正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝323cm 3.](对应学生用书第96页)简单几何体的表面积(1)某几何体的三视图如图723所示，则该几何体的表面积等于( )图723A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15(2)(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图724所示，则该几何体的表面积是( )【导学号：00090234】图724A ．48＋πB ．48－πC ．48＋2πD ．48－2π(1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S ＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A ．[规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅲ)如图725，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图725A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图726，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图726A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)B (2)A [(1)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B ．(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR2＝17π.故选A ．]简单几何体的体积(1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π(2)(2017·全国卷Ⅱ)如图727，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )图727A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(1)C (2)B [(1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥而得到的，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π，V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B ．法二：(估值法)由题意，知12V圆柱＜V 几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B ．][规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． 2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[变式训练2] (1)(2018·唐山模拟)一个几何体的三视图如图728所示，则其体积为( )图728A ．π＋2B ．2π＋4C ．π＋4D ．2π＋2(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图729所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.【导学号：00090235】图729(1)A (2)2 [(1)该几何体为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积V ＝12×2×1×2＋12π×12×2＝2＋π.故选A ．(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2.]多面体与球的切、接问题(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3B [由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10，要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，则r ＝2. 此时2r ＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大．由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.][母题探究1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积． [解] 将直三棱柱补形为长方体ABEC A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC A 1B 1E 1C 1的外接球， 所以体对角线BC 1的长为球O 的直径． 因此2R ＝32＋42＋122＝13， 故S 球＝4πR 2＝169π.[母题探究2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积． [解] 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AFO 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[变式训练3] (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144πD ．256π(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) 【导学号：00090236】 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4(1)C (2)B [(1)如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ABC ＝V C AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ABC 最大为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π. 故选C ．(2)设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. ∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B ．]。
高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积课件理北师大版
1．体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( A )
A．12π
B．332π
C．8π
D．4π
1．体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( A )
A．12π
B．332π
C．8π
D．4π
2．(易错题)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 _________． 解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱 和 一 个 棱 台 组 成 ， 其 表 面 积 S ＝ 3×4×2 ＋ 2×2×2＋4×2 2×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2 ＝72＋16 2． 答案：72＋16 2
②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a． (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R， 则 2R＝ a2＋b2＋c2． (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1．
必明易错 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及 几何体的结构特征认识不准易导致失误． 3．易混侧面积与表面积的概念．
V＝43πR3
2．几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各__面__面__积__之__和__． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是___矩__形____、____扇__形___、 ___扇__环____；它们的表面积等于___侧__面__积__与底面面积之和．
二级结论 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a；
高三数学一轮复习 8-5简单几何体的面积与体积 北师大版
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第二章 函数与基本初等函数
(理)若一个底面边长为 26，侧棱长为 6的正六棱柱 的所有顶点都在一个球的球面上，则此球的体积为 ________．
[答案] 4 3π [解析] 由已知可得此正六棱柱的最长的体对角线， 即球的直径为 2 3， ∴V 球＝34·π·( 3)3＝4 3π.
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下 面 的 长 方 体 的 表 面 积 为 10×8×2 ＋ 10×2×2 ＋
8×2×2－2×2＝228.
故共有360.选C.
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第二章 函数与基本初等函数
3．(2009·陕西)若正方体的棱长为 2，则以该正
方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
()
2
2
3
2
A. 6
B. 3
C. 3
D.3
1．(2010·福建文)若一个底面是正三角形的三棱柱的
正视图如图所示，则其侧．面．积．等于( )
A. 3
B．2
C．2 3
D．6
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第二章 函数与基本初等函数
[答案] D [解析] 本题主要考查三视图，侧面积等知识．
原几何是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱， 则S侧＝3×2×1＝6.
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∴∠S＝2Lπl×360°＝2π2×π 4×360°＝90°.
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第二章 函数与基本初等函数
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的 AM， 其值为 AM＝ x2＋16(0≤x≤4)． ∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)． (2)绳子最短时，在展开图中作 SR⊥AM，垂足为 R，则 SR 的长度为顶点 S 到绳子的最短距离． 在△SAM 中，∵S△SAM＝12SA·SM＝12AM·SR，
高考数学一轮复习： 第7章 立体几何 第5节 简单几何体的表面积与体积
第五节 简单几何体的表面积与体积[考纲传真] (教师用书独具)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．(对应学生用书第117页)[基础知识填充]1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3[(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)棱长为a 的正四面体，其高H ＝63a ，则其外接球半径R ＝34H ，内切球半径R ＝14H .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )(5)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (6)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．32cm B [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4， ∴r ＝2(cm)．]3．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12πB ．323πC ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A ．]4．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图751所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )图751A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3A [由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体， 所以该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A ．]5．已知某几何体的三视图如图752所示，则该几何体的体积为________．图752163π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为π×22×2－13π×22×2＝163π.](对应学生用书第118页)简单几何体的表面积(1)(2018·石家庄一模)某几何体的三视图如图753所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图753A ．48B ．54C ．64D ．60(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图754，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图754A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)D (2)A [(1)根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．][规律方法] 简单几何体表面积的求法 1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.必须还原出直观图.2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. 3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )图755A ．48＋4πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．72＋6πD [由三视图可得该几何体是棱长为4的正方体截去底面是边长为2的正方形、高为4的长方体，再补上14个底面圆半径为2、高为4的圆柱，则该几何体的表面积为16×2＋2(12＋π)＋8×2＋14×2π×2×4＝72＋6π，故选D.]简单几何体的体积(1)(2017·全国卷Ⅱ)如图756，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )图756A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)(2018·深圳二调)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图757所示，则该几何体的体积为( )图757A ．24B ．48C ．72D ．96(1)B (2)B [(1)法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.法二：(估值法)由题意知，12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.(2)由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中C ，G 均为长方体对应边的中心，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为V ＝12×6×4×4＝48，故选B.][规律方法] 简单几何体体积问题的常见类型及解题策略 1若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. 2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. 3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的底面积和高，一般不需画直观图.[跟踪训练] (1)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为( )【导学号：79140239】A ．3B ．32C ．1D ．32(2)(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图758，则该几何体的体积为________．图758(1)C (2)2＋π2 [(1)由题意可知，AD ⊥平面B 1DC 1，即AD 为三棱锥A B 1DC 1的高，且AD ＝32×2＝3， 易求得S △B 1DC 1＝12×2×3＝3，所以VA B 1DC 1＝13×3×3＝1.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.]与球有关的切、接问题(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3B [由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.故选B.]1．若本例中的条件变为“直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．[解] 将直三棱柱补形为长方体ABEC A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC A 1B 1E 1C 1的外接球， 所以体对角线BC 1的长为球O 的直径． 因此2R ＝32＋42＋122＝13， 故S 球＝4πR 2＝169π.2．若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解] 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt△AFO 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 与球有关的切、接问题的求解方法1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体①利用2R ＝a 2＋b 2＋c 2求R . ②确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解.3一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱.同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B ．3π4C ．π2D ．π4(2)(2018·深圳二调)已知三棱锥S ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB ＝8，SC ⊥平面ABC ，SC ＝6，则三棱锥的外接球的表面积为( )【导学号：79140240】A ．64πB ．68πC ．72πD ．100π(1)B (2)D [(1)设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.(2)由于△ABC 是直角三角形，则对应的截面圆的圆心为AB 的中点，截面圆半径r ＝4，且球心就在过截面圆的圆心且垂直于截面的直线上，且球心到平面ABC 的距离等于SC 的一半，故三棱锥的外接球的半径R ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，故三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝100π，故选D.]。
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积课件
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
1
考 纲 了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求 导 学 记忆公式)。
2
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
3
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
□ □ □ S圆柱侧＝ 1 _2_π_r_l__ S圆锥侧＝ 2 _π_r_l _ S圆台侧＝ 3 _π_(r_＋__r_′__)l
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则SS12＝__________。
解析：(1)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M。又AM＝
1 2
BC
＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝
522＋62＝123。
1 2
＋4×2×2＝8π＋
16，故选A。
答案：(1)A (2)A
20
►名师点拨 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积。若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用 公式求解。 (2)求组合体的体积。若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则 常用转换法、分割法、补形法等进行求解。 (3)求以三视图为背景的几何体的体积。应先根据三视图得到几何体的点拨 以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法 (1)恰当分析给出的三视图。 (2)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。 (3)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。
17
通关特训1 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几 何体的表面积是( )
高三一轮复习数学第7章第5节简单几何体的表面积与体积
C．144π D．256π 【解析】 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意
知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球 1 的半径最大，故其半径r＝2×(6＋8－10)＝2. 故选B.
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1 2 (2)如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90° ，∴S△AOB＝2R . ∵VOABC＝VCAOB，而△AOB的面积为定值， ∴当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大， 1 1 ∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为 3 × 2 R2×R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.
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【解析】 由三视图可知，该几何体是一个以棱长为2的正方体，挖去一 个以该正方体的中心为顶点，以该正方体的上底面为底面的棱锥后得到的几何 1 2 20 体，所以该几何体的体积V＝2 －3×2 ×1＝ 3 ，故选A.
3
【答案】 A
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2．(2015· 全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视 图如图756，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
【答案】 C
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攻考向·三级提能
空间几何体的表面积
1.(2015· 北京高考)某三棱锥的三视图如图753所示，则该三棱锥的表面积 是( )
A．2＋ 5 C．2＋2 5 B．4＋ 5 D．5
图753
高三一轮总复习
【解析】 作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，
连接SD.在三棱锥SABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三 角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝ 5 ，AC＝BC＝
2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件文
解析 根据三视图画出该空间几何体的立体图：
S△ABC＝12×2×2＝2； S△ABD＝12× 5×1＝ 25；
S△CBD＝12× 5×1＝ 25； S△ACD＝12×2× 5＝ 5，所以 S 表＝S△ABC＋S△ABD＋S△CBD＋S△ACD ＝2＋ 25＋ 25＋ 5＝2 5＋2.故选 C.
(2)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位： cm)，则该几何体的表面积是___7_2____cm2，体积是___3_2____ cm3.
冲关针对训练
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底面
的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
()
A．π
B.34πຫໍສະໝຸດ π C.2π D.4解析 设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R＝1，
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．
将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部 分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加 上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积 V＝π×32×4 ＋π×32×6×12＝63π.故选 B.
2．(2017·山西五校 3 月联考)《九章算术》是我国古代 内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍， 下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高一丈，问它的体积是多少？” 已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸 上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为( )
3．(2018·河南中原名校联考)如图，四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体，四棱锥 S－ABCD 是高为 1 的正四棱锥，若点 S，A1，B1，C1，D1 在同一个球面上，则 该球的表面积为( )
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(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. 6 3 (3)棱长为 a 的正四面体，其高 H＝ a，则其外接球半径 R＝ H，内切球半 3 4 1 径 R＝ H. 4
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[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( (2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( (3)球的体积之比等于半径比的平方．( ) ) ) )
A．17π B．18π C．20π D．28π
图 754
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(1)D (2)A [(1)根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积 S 1 1 1 ＝6×3＋ ×6×4＋2× ×3×5＋ ×6×5＝60，故选 D. 2 2 2
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1 (2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的 ，得到的几 4 4 3 1 4 3 28 何体如图．设球的半径为 R，则 πR － × πR ＝ π，解得 R＝2.因此它的表 3 8 3 3 7 3 2 2 面积为 ×4πR ＋ πR ＝17π.故选 A．] 8 4
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[跟踪训练] (2018· 合肥第一次质检)一个几何体的三视图如图 755 所示(其中主 视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为(
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5．已知某几何体的三视图如图 752 所示，则该几何体的体积为________．
图 752
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16 π 3
2
[ 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为
1 16 2 π×2 ×2－ π×2 ×2＝ π.] 3 3
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[规律方法] 简单几何体表面积的求法 1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各 元素之间的位置关系及数量.必须还原出直观图. 2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. 3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
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)
)
(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(
(5)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( 3 (6)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R＝ a.( 2
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[答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
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A．12π C．8π
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A [设正方体棱长为 a，则 a3＝8，所以 a＝2. 所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3，所以球 的表面积为 4π·( 3)2＝12π，故选 A．]
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4．(2017· 浙江高考)某几何体的三视图如图 751 所示(单位：cm)，则该几何体 的体积(单位：cm3)是( )
2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底 面圆的半径为( A．1 cm C．3 cm ) B．2 cm 3 D． cm 2
B [S 表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr· 2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4， ∴r＝2(cm)．]
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3．(2016· 全国卷Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积 为( ) 32 B． π 3 D．4π
图 751
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π A． ＋1 2 3π C． ＋1 2
π B． ＋3 2 3π D． ＋3 2
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A [由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥 的一半与一个底面为直角边长是 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的 组合体， 所以该几何体的体积 1 1 1 1 π 2 V＝ × π×1 ×3＋ × × 2× 2×3＝ ＋1. 3 2 3 2 2 故选 A．]
(对应学生用书第 118 页) 简单几何体的表面积
(1)(2018· 石家庄一模)某几何体的三视图如图 753 所示(在网格线中， 每 个小正方形的边长为 1)，则该几何体的表面积为( )
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图 753 A．48 C．64 B．54 D．60
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(2)(2016· 全国卷Ⅰ)如图 754， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 28π 圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( 3 )
第 第五节
章
立体几何
简单几何体的表面积与体积
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[考纲传真] 式．
(教师用书独具)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公
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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练
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(对应学生用书第 117 页) [基础知识填充] 1．多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面， 所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之 和，表面积是侧面积 与底面面积之和．
2
体积 V＝ Sh V＝ 1Sh 3 1 V＝ (S 上＋S 下＋ S上S下)h 3
4 V ＝ π R3 3
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[知识拓展] 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
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2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 侧面展开 图 侧面积 公式 圆锥 圆台
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝ πrl
பைடு நூலகம்
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
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3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 表面积 S 表面积＝S 侧＋2S 底 S 表面积＝S 侧＋S 底 S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 S＝4πR