第九章 扭转(H).PPT
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工程力学.第九章 扭 转
上海应用技术学院
二、极惯性矩与抗扭截面系数
I p A dA
2
10
d
Wp
Ip R
1、实心圆截面
O
D
I p A dA 0 2 d
2 R 3
1 2
R
4
D
4
32
∴ I p
Wp
D
Ip R
4
单位：m4，cm4，mm4。
Ip
32
D
3
单位：m3，cm3，mm3。
上海应用技术学院
1
T1 MC
2
2
T3
B MB
3
D
T2
B
C
(3) 绘制扭矩图
6
MB
T1 = –4.775 kN· m T2 = –9.55 kN· m
MC
MA
MD
T3 = 6.336 kN· m
B
C
A
6.336
D
T
C B 4.775 9.55 CA 段为危险截面：
上海应用技术学院
+
-
A
D
x
| T |max = 9.55 kN· m
Ti li GI p
i
15
(rad/m)
在工程上限制 ，使其不超过许用扭转角 [ ]：
max
Tmax GI p
∵ ：rad/m， [ ]：º /m ∴
max
T GI p 180
(/m)
对一般传动轴： [ ] = (0.5~1.0) º /m 对精密机械的轴： [ ] = (0.25~0.50) º /m
二、极惯性矩与抗扭截面系数
I p A dA
2
10
d
Wp
Ip R
1、实心圆截面
O
D
I p A dA 0 2 d
2 R 3
1 2
R
4
D
4
32
∴ I p
Wp
D
Ip R
4
单位：m4，cm4，mm4。
Ip
32
D
3
单位：m3，cm3，mm3。
上海应用技术学院
1
T1 MC
2
2
T3
B MB
3
D
T2
B
C
(3) 绘制扭矩图
6
MB
T1 = –4.775 kN· m T2 = –9.55 kN· m
MC
MA
MD
T3 = 6.336 kN· m
B
C
A
6.336
D
T
C B 4.775 9.55 CA 段为危险截面：
上海应用技术学院
+
-
A
D
x
| T |max = 9.55 kN· m
Ti li GI p
i
15
(rad/m)
在工程上限制 ，使其不超过许用扭转角 [ ]：
max
Tmax GI p
∵ ：rad/m， [ ]：º /m ∴
max
T GI p 180
(/m)
对一般传动轴： [ ] = (0.5~1.0) º /m 对精密机械的轴： [ ] = (0.25~0.50) º /m
《工程力学》(扭转)
解：⑴ 计算外力偶矩
MA
9549
PA n
9549 4 500
76.4N m
MB
9549
PB n
9549 10 500
191N m
MC
9549
PC n
9549 6 500
114.6N m
⑵ 计算轴各段的扭矩
1-1： Mx (F) 0 :
解得： T1 76.4N m
2-2： Mx (F) 0 :
空心轴内径 di 0.9d0 0.9 76.3 68.7mm
⑶ 确定空心轴与实心轴的重量比
W空心 W实心
76.32 68.72 53.52
0.385
§9-7 圆轴扭转变形与刚度条件
一、圆轴扭转变形
1. 单位长度dx的扭转角度
d T dx
GIP 2. 相距l 两截面的相对扭转角
T dx
(140) 2 80 109 3.0 105 1012
1.17 102 rad
AC AB BC 1.50 102 (1.17 102 ) 0.33 102 rad
⑵ 校核轴的刚度
max
Tmax GIP
TAB GIP
180 180
80 109 3.0 105 1012
工程力学
Engineering Mechanics
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第九章 扭转 §9-1 引言
·受力特点 杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。
d T
dx GIP
《扭转》PPT课件
T
O
O
其中： A0 r02
Gg
……剪切胡克定律 （线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
另外有：
G
E （2 1
）
扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力 a
b
Me
1、变形几何关 系g
Me
T
g
O2
g
dj
T
dx
a
dx
b
g
dj
dx
2、物理关系(剪切虎克定律)
Gg
Gg
G
dj
dx
3、力学关系
mA
mB
mC
l
l
解： 1．扭转变形分析
AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m
设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
AB
T1l GI
(180 N m)(2m)
(80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m4 )
1.50 10 2 rad
BC
T2l GI
AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：
d
dx
T1 GI
(80
10 9
180 N m Pa)(3.0 105
10 12
m4
)
180 π
0.430 /m θ
该轴的扭转刚度符合要求。
圆轴扭转时横截面上的剪应力
例2:
已知：N＝7.5kW, n=100r/min,许用切应力＝
32ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Wp
d 3
16
Ip
32
D4 d 4
D4 (1 4 )
扭转PPT精选文档
l
16
T=m
T ( 2A0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
17
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
D
D 4
32
0.1D 4
24
b. 对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
5
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x T
m
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。
6
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
´
a
b
´
c
d
dx
4. 与 的关系：
LR
R L
13
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
14
三、剪应力互等定理：
a
mz 0
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A
B O
16
T=m
T ( 2A0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
17
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
D
D 4
32
0.1D 4
24
b. 对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
5
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x T
m
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。
6
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
´
a
b
´
c
d
dx
4. 与 的关系：
LR
R L
13
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
14
三、剪应力互等定理：
a
mz 0
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A
B O
第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计ppt课件
C
上的切应力与其作用面的面积相乘后组成一绕z轴的
力偶，其力偶矩为dydzdx。
dy
x
▪ 为了保持微元的平衡，在微元与纵截面对应的一对 B 面上，必然存在切应力τ′，这一对面上的切应力也
组成一个力偶矩为 'dxdzdy的力偶。这两个力偶的 z
力偶矩大小相等、方向相反，才能使微元保持平衡。
dz
dx D
▪ 圆轴扭转时的强度设计准则为
其中为许用切应力。
对于脆性材料
对于韧性材料
大连大学
44
9.4.2 扭转强度设计
许用切应力与材料的许用正应力之间存在一定的关系。 对于脆性材料 对于韧性材料
如果设计中不能提供值时，可根据上述关系由值求得值。
大连大学
45
9.4.2 例题9-4 汽车主传动轴
▪ 已知：汽车发动机将功率通过主传动 轴AB传给后桥，驱动车轮行驶。设主 传动轴所承受的最大外力偶矩为Me＝ 1.5kN·m，轴由45号钢无缝钢管制成， 外直径D＝90mm，壁厚δ＝2.5mm，
＝60MPa。
▪ 试:
1．试校核主传动轴的强度；
2 . 若改用实心轴，在具有与空心轴相 同的最大切应力的前提下，试确定实 心轴的直径；
3 . 确定空心轴与实心轴的重量比。
大连大学
46
9.4.2 例题9-4 汽车主传动轴
▪ 解： 1. 校核空心轴的强度 根径据与已外知直条径件之， 比主传动轴横截面上的扭矩Mx＝Me＝1.5kN·m，轴的内直
上将只有扭矩一个内力分量。
B
D ▪ 不难看出，圆轴受扭后，将
产生扭转变形（twist
deformation），圆轴上的每
A'
工程力学第九章扭转PPT课件
.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
静力学和材料力学课件第九章 扭转(H)
B
C
C'
d dx
第九章 扭
转
1.变形几何关系
d γ dx
2.物理关系
G
d G dx
max
O
d ? dx
第九章 扭
转
3.静力学关系
d 2 T dA G dA A A dx d G 2 dA dx A
第九章 扭
转
M1
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
A
75
M 2 50 M 3
C
500
B
750
A B
T1l1 2.5 103 750 103 7.55 103 rad GI P1 80 109 754 1012 32
T2l2 1.5 103 500 103 15.28 103 rad GI P 2 80 109 504 1012 32
1、实验
D
t
D / t 20
第九章 扭
转
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕
圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭
转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
a d
b c
B、正应力不存在性
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
2n P M M 60
扭矩和扭矩图
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
P P M 9 549 ( N m) 9.55 (kN m) n n
弹性力学第九章柱形杆的扭转和弯曲
zx G 1
2ab2 x
x2
y2
2 y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
• 最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
m
ax
2Ga1
2ba
• B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
A O
r
Bx
当b<<a
yb 2
max |
zx
yb 2
| 3T ab2
(5)
二 任意边长比的矩形截面杆的扭转 在狭长矩形截面扭杆应力函数(1)的基础上，加上修正项F1，即
F(x,y)b42 y2F1(x,y)
(6)
函数F应满足方程
，将2式F(6)代入2，得到F1满足方程
2 F1 x2
2 F1 y 2
0
(7)
另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转函数
柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——横截面翘曲变形不受限制 约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法 自由扭转的位移 1. 2.翘曲假设
位移解法基本方程
u yz v xz
w(x,y)
设单位长度相对扭转角为
将
(a2 b2)T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
翘曲位移为
u
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
yz
v
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
xz
w(a2a3bb32G)T xy
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第九章 扭 转
ad bc
a
d
b
c
C、切应力大小
t 很小
切应力沿壁厚均匀分布
各点情况相同
各点应力相同
横截面上内力系对 O 点的力矩为：
2rt r 2r2t
T
设该截面的扭矩为 T，则：
O
T 2r2t
T
2r 2t
第九章 扭 转
二、切应力互等定理
M 0
( tdx)dy (tdy)dx 0
a
MB
MC
T2
B
C
MD
T3 M D 5.10(kN m)
D
T3
第九章 扭 转
3. 画扭矩图
T1 3.82(kN m) T2 7.64(kN m) T3 5.10(kN m)
MB B
MC
C
n
A
MA
MD
D
T (kN m)
3.82 7.64
5.10
x
第九章 扭 转
思考题
图示两种布置方式， 何者更为合理？
第九章 扭 转
MB
MC
n
MD
例题1
B
C
A
D
MA
已知：n=300r/min，主动轮A输入功率PA =400KW，三个从动 轮输出功率分别为PB =120KW ，PC =120KW , PD =160KW。
试画轴的扭矩图。
第九章 扭 转
解： 1. 计算外力偶矩
MB
MC
n
MD
B
C
A
D
MA
MA
9549
PA n
第9章 扭 转
※ 扭转的概念和实例 ※ 扭矩和扭矩图 ※ 纯剪切 ※ 圆轴扭转时的应力 ※ 圆轴扭转时的变形
第九章 扭 转
§9-1 扭转的概念及实例
第九章 扭 转
§9-1 扭转的概念及实例
第九章 扭 转
第九章 扭 转
F F
m
m
受力特点: 一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线 的外力偶。
若功率 P 以马力为单位，则：
M 7024 P (N m) 7.02 P (kN m)
n
n
第九章 扭 转
二、扭矩与扭矩图 1、扭矩
M 0 M T 0
T M
n
T——横截面上的内力，称为扭矩。
符号：用右手螺旋法则用矢量表示扭矩若矢量方向与横截面 外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。
2、扭矩图 扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。
变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算
P M M 2n
60
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
M 9 549 P (N m) 9.55 P (kN m)
n
n
MB B
MC
C
n
A
MA
MD
D
第九章 扭 转
MB B
MC
C
nMD
D
A
MA
T (kN m)
3.82 7.64
T (kN m)
3.82 7.64
第九章 扭 转
MB B
5.10
x
MB B
x
MC
C
n
A
MA
MD
D
MC
nMD
C
D
A
MA
11.46
§9.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1、实验
第九章 扭 转
dx
O1
O2
R
a
d d
b
c
A
D
B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O1
dx
O2
1、几何方面
R
a
b A
d
d
c d'
D c'
tan
dd ad
d
dx
D'
B
C
C'
d
dx
第九章 扭 转
1.变形几何关系
γ
d
dx
2.物理关系
G
max
O
第九章 扭 转
G
d
dx
d ?
dx
3.静力学关系
T
A dA
G d 2dA
A dx
G d 2dA
dx A
令:
Ip
2dA
A
极惯性矩
d T
dx GI p
G
d
dx
T
Ip
第九章 扭 转
G
d
dx
T
O dA
max
TR Ip
令:
Wt
Ip R
抗扭截面系数
T
O dA
max
T
Wt
G
d
dx
T
Ip
max
IP ? Wt ?
第九章 扭 转
IP 与 Wt 的计算
实心轴 ：
I p
2dA 2
A
D 2
3d
D4
0
32
Wt
Ip R
D3
16
第九章 扭 转
d
o
D
空心轴 ：
I p
2dA 2
A
D
2 d
2
3d
(D4 d 4)
32
D4 (1 4 )
32
其中:
d
D
Wt
Ip R
Ip D
(D4 d 4)
16D
D3
16
(1 4 )
2
第九章 扭 转
D
t
D / t 20
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕 圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭 转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
B、正应力不存在性
扭转过程中，圆筒的周边 线形状、大小、相邻周边线的 距离都不变， →无线应变（轴 相或周相） →无正应力
d
b
c
在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在， 且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，且它们的方向 或者都指向公共棱边，或者都背向公共棱边。这个关系即切 应力互等定理。
第九章 扭 转
三、剪切胡克定律
M 2r 2t
m
r
l
实验表明:
M
G
G —— 切变模量
当切应力不超过材料的剪切比 例极限时,切应变与切应力成正比.
d
o
d D
圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
塑性材料扭转破坏
强度条件
第九章 扭 转
max
T
Wt
[ ]
§9.5 圆轴扭转时的变形
一、圆轴扭转时的变形
d T
dx GI p
d T dx
GI p
l T dx
0 GI p
Tl
GI p
GIp —— 抗扭刚度
若两截面之间 T 值发生变化或 IP 分段变化，则应分段计算 各段的扭转角，然后再叠加，得：
9549 400 300
1.27 104 (N m)
同理可得：
M B MC 3.82103(N m) M D 5.10103(N m)
第九章 扭 转
2. 计算扭矩
MB
M 0 T1 MB 0
B
T1 MB 3.82(kN m) MB
同理可得：
MC
C
T1
n
A
MA
MD
D
T2 M BM C 7.64(kN m)
第九章 扭 转
n
Tili
i1 GI pi
二、圆轴扭转的刚度条件
d T
dx GI p
—— 单位长度扭转角
max
Tmax GI p
[ ]rad / m
工程表达形式：
max
Tmax GI p
180
第九章 扭 转
m
G E
2(1 )
§9.4 圆轴扭转时的应力
一、实验与假设
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 扭转平面假设：各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。
第九章 扭 转
二、圆轴扭转时的应力
AD BC
AD B C O2
dx 第九章 扭 转
ad bc
a
d
b
c
C、切应力大小
t 很小
切应力沿壁厚均匀分布
各点情况相同
各点应力相同
横截面上内力系对 O 点的力矩为：
2rt r 2r2t
T
设该截面的扭矩为 T，则：
O
T 2r2t
T
2r 2t
第九章 扭 转
二、切应力互等定理
M 0
( tdx)dy (tdy)dx 0
a
MB
MC
T2
B
C
MD
T3 M D 5.10(kN m)
D
T3
第九章 扭 转
3. 画扭矩图
T1 3.82(kN m) T2 7.64(kN m) T3 5.10(kN m)
MB B
MC
C
n
A
MA
MD
D
T (kN m)
3.82 7.64
5.10
x
第九章 扭 转
思考题
图示两种布置方式， 何者更为合理？
第九章 扭 转
MB
MC
n
MD
例题1
B
C
A
D
MA
已知：n=300r/min，主动轮A输入功率PA =400KW，三个从动 轮输出功率分别为PB =120KW ，PC =120KW , PD =160KW。
试画轴的扭矩图。
第九章 扭 转
解： 1. 计算外力偶矩
MB
MC
n
MD
B
C
A
D
MA
MA
9549
PA n
第9章 扭 转
※ 扭转的概念和实例 ※ 扭矩和扭矩图 ※ 纯剪切 ※ 圆轴扭转时的应力 ※ 圆轴扭转时的变形
第九章 扭 转
§9-1 扭转的概念及实例
第九章 扭 转
§9-1 扭转的概念及实例
第九章 扭 转
第九章 扭 转
F F
m
m
受力特点: 一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线 的外力偶。
若功率 P 以马力为单位，则：
M 7024 P (N m) 7.02 P (kN m)
n
n
第九章 扭 转
二、扭矩与扭矩图 1、扭矩
M 0 M T 0
T M
n
T——横截面上的内力，称为扭矩。
符号：用右手螺旋法则用矢量表示扭矩若矢量方向与横截面 外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。
2、扭矩图 扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。
变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算
P M M 2n
60
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
M 9 549 P (N m) 9.55 P (kN m)
n
n
MB B
MC
C
n
A
MA
MD
D
第九章 扭 转
MB B
MC
C
nMD
D
A
MA
T (kN m)
3.82 7.64
T (kN m)
3.82 7.64
第九章 扭 转
MB B
5.10
x
MB B
x
MC
C
n
A
MA
MD
D
MC
nMD
C
D
A
MA
11.46
§9.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1、实验
第九章 扭 转
dx
O1
O2
R
a
d d
b
c
A
D
B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O1
dx
O2
1、几何方面
R
a
b A
d
d
c d'
D c'
tan
dd ad
d
dx
D'
B
C
C'
d
dx
第九章 扭 转
1.变形几何关系
γ
d
dx
2.物理关系
G
max
O
第九章 扭 转
G
d
dx
d ?
dx
3.静力学关系
T
A dA
G d 2dA
A dx
G d 2dA
dx A
令:
Ip
2dA
A
极惯性矩
d T
dx GI p
G
d
dx
T
Ip
第九章 扭 转
G
d
dx
T
O dA
max
TR Ip
令:
Wt
Ip R
抗扭截面系数
T
O dA
max
T
Wt
G
d
dx
T
Ip
max
IP ? Wt ?
第九章 扭 转
IP 与 Wt 的计算
实心轴 ：
I p
2dA 2
A
D 2
3d
D4
0
32
Wt
Ip R
D3
16
第九章 扭 转
d
o
D
空心轴 ：
I p
2dA 2
A
D
2 d
2
3d
(D4 d 4)
32
D4 (1 4 )
32
其中:
d
D
Wt
Ip R
Ip D
(D4 d 4)
16D
D3
16
(1 4 )
2
第九章 扭 转
D
t
D / t 20
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕 圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭 转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
B、正应力不存在性
扭转过程中，圆筒的周边 线形状、大小、相邻周边线的 距离都不变， →无线应变（轴 相或周相） →无正应力
d
b
c
在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在， 且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，且它们的方向 或者都指向公共棱边，或者都背向公共棱边。这个关系即切 应力互等定理。
第九章 扭 转
三、剪切胡克定律
M 2r 2t
m
r
l
实验表明:
M
G
G —— 切变模量
当切应力不超过材料的剪切比 例极限时,切应变与切应力成正比.
d
o
d D
圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
塑性材料扭转破坏
强度条件
第九章 扭 转
max
T
Wt
[ ]
§9.5 圆轴扭转时的变形
一、圆轴扭转时的变形
d T
dx GI p
d T dx
GI p
l T dx
0 GI p
Tl
GI p
GIp —— 抗扭刚度
若两截面之间 T 值发生变化或 IP 分段变化，则应分段计算 各段的扭转角，然后再叠加，得：
9549 400 300
1.27 104 (N m)
同理可得：
M B MC 3.82103(N m) M D 5.10103(N m)
第九章 扭 转
2. 计算扭矩
MB
M 0 T1 MB 0
B
T1 MB 3.82(kN m) MB
同理可得：
MC
C
T1
n
A
MA
MD
D
T2 M BM C 7.64(kN m)
第九章 扭 转
n
Tili
i1 GI pi
二、圆轴扭转的刚度条件
d T
dx GI p
—— 单位长度扭转角
max
Tmax GI p
[ ]rad / m
工程表达形式：
max
Tmax GI p
180
第九章 扭 转
m
G E
2(1 )
§9.4 圆轴扭转时的应力
一、实验与假设
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 扭转平面假设：各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。
第九章 扭 转
二、圆轴扭转时的应力
AD BC
AD B C O2
dx 第九章 扭 转