北师大版数学(理)提升作业：10.3二项式定理(含答案)

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课时提升作业(六十七)
一、选择题
1.(1+)4的展开式的第3项是( )
(A)2(B)4 (C)4(D)12
2.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,a k(1≤k≤11,k ∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是( )
(A)1 (B)5 (C)6 (D)11
3.(2012·重庆高考)(+)8的展开式中常数项为( )
(A)(B)(C)(D)105
4.(2013·衡水模拟)(2-)8展开式中不含x4项的系数的和为( )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
5.设(1+x)n=a0+a1x+…+a n x n,若a1+a2+…+a n=63,则展开式中系数最大的项
是( )
(A)15x2(B)20x3(C)21x3(D)35x3
6.(2013·安康模拟)在二项式(+x)n的展开式中,各项的系数和比各项的二项式系数和大992,则n的值为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
7.(2013·晋江模拟)(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,
则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
(A)2 (B)-1 (C)-2 (D)1
8.若(3x+)n的展开式中各项系数的和为1024,则展开式中含x的整数次幂的项共有( )
(A)2项(B)3项(C)5项(D)6项
9.(2013·合肥模拟)若(x2+ax+1)6(a>0)的展开式中x10的系数是66,则
sinxdx的值为( )
(A)1+cos2 (B)1-sin2
(C)1-cos2 (D)1+sin2
10.(能力挑战题)(1-2x)2014=a0+a1x+…+a2014x2014(x∈R),则++…+
的值
为( )
(A)2 (B)0 (C)-1 (D)-2
二、填空题
11.(2012·上海高考)在(x-)6的二项展开式中,常数项等于.
12.(2013·西安模拟)如果(3x2-)n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为.
13.(2012·大纲版全国卷)若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.
14.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,且a1+a2+…+=29-n,则n= .
三、解答题
15.(能力挑战题)已知(1+x+mx2)10的展开式中x4的系数大于-330,求m 的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.T 3=T2+1+1=()2=1
2.
2.【解析】选C.由二项式定理,得
a1=,a2=,a3=,
a 4=,a5=,a6=,a7=,…,
a 10=,a11=,
因为a1<a2<a3<a4<a5<a6>a7,且数列a1,a2,a3,…,a k是一个单调递增数列,所以k的最大值是6.
3.【思路点拨】先写出通项,再令x的指数为零即可求解.
【解析】选B.二项展开式的通项为
T k+1=()8-k()k=()k x4-k,
令4-k=0,解得k=4,
所以()4=,选B.
4.【解析】选B.∵(2-)8展开式中各项的系数的和为(2-)8=1,
展开式的通项为28-r(-)r,
∴x4项为20(-)8,即x4项的系数为1.
∴不含x4项的系数的和为1-1=0.
【变式备选】(2013〃黄山模拟)已知二项式(x-)n展开式中的第5项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之和为( )
(A)32 (B)16 (C)64 (D)128
【解析】选 C.依题意知,二项式(x-)n展开式中的第5项是T5=〃x n-4〃(-)4=〃x n-6,又其第5项是常数项,于是有n-6=0,得n=6,因此其展开式中各项的二项式系数之和为26=64.
5.【解析】选B.令x=1,则(1+1)n=++…+=64.∴n=
6.
故(1+x)6的展开式中系数最大的项为T4=x3=20x3.
6.【思路点拨】注意区分二项展开式中各项的系数,与二项式系数,同时注意992=31×32.
【解析】选B.由题意,得4n-2n=992,
即(2n)2-2n-992=0,
(2n-32)(2n+31)=0,
∴2n=32,∴n=5.
7.【解析】选C.∵(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11, ∴令x=-1得,2×(-1)9=a0+a1+a2+…+a11,
即a0+a1+a2+…+a11=-2.
【方法技巧】求展开式中的系数和的方法
一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.
8.【解析】选B.令x=1,则22n=1024,∴n=5.
T r+1=(3x)5-r()r
=〃35-r.
含x的整数次幂即使为整数,r=0,r=2,r=4,有3项.
9.【解析】选C.由题意可得(x2+ax+1)6的展开式中x10的系数为+a2,
故+a2=66,∴a=2.
故sinxdx=sinxdx=(-cosx)=1-cos2.
10.【思路点拨】可用赋值法,分别令x=0和x=可得结果.
【解析】选C.令x=0;则a0=1;
令x=,则a0+++…+=0.
∴++…+=-1.
故选C.
【变式备选】已知0<a<1,则方程a|x|=|log a x|的实根个数为n,且(x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则a1=( )
(A)9 (B)-10 (C)11 (D)-12
【解析】选A.如图,作出y=a|x|,y=|log a x|(0<a<1)的图
象,知有两个交点,故n=2.
∴(x+1)2+(x+1)11=[(x+2)-1]2+[(x+2)-1]11,
故a1为含(x+2)1项的系数.
又T r+1=(x+2)n-r(-1)r,
n=2时,T r+1=(x+2)2-r(-1)r,
含(x+2)1项的系数为-=-2.
n=11时,含(x+2)1项的系数为(-1)10=11,
∴a1=11+(-2)=9.
11.【解析】二项展开式的通项为
T r+1=x6-r(-)r=(-2)r x6-2r,
令6-2r=0,得r=3,所以常数项为
T4=(-2)3=-160.
答案:-160
12.【解析】由展开式的通项公式,得T r+1=(3x2)n-r〃(-)r=〃3n-r〃(-2)r〃x2n-5r.
由题意,得2n-5r=0,n=r(r=0,1,2,…,n-1,n).故当r=2时,正整数n取得最小值,最小值为5.
答案:5
【变式备选】设(x-)6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是.
【解析】对于T r+1=x6-r()r=(-a)r
3
6r
2
x ,
B=(-a)4,A=(-a)2.
∵B=4A,a>0,∴a=2.
答案:2
13.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同,即=,所以n=8,所以展开式的通项为T r+1=x8-r()r=x8-2r.令8-2r=-2,解得r=5,所以T6=()2,所以的系数为=56.
答案:56
14.【解析】易知a n=1.令x=0得a0=n,所以a0+a1+…+a n=30.
又令x=1,有2+22+…+2n=a0+a1+…+a n=30,
即2n+1-2=30,所以n=4.
答案:4
15.【解析】因为(1+x+mx2)10=[1+x(mx+1)]10
=1+x×(mx+1)+x2(mx+1)2+x3(mx+1)3+x4(mx+1)4+…
+x10(mx+1)10.
由此可知,上式中只有第三、四、五项的展开式中含有x4项,其系数分别为:
m2,m,.
由已知,得m2+m+>-330.
化简整理,得m2+8m+12>0,即(m+2)(m+6)>0.
所以m>-2或m<-6,故m的取值范围是
(-∞,-6)∪(-2,+∞).
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