【北京特级教师】2014-2015学年人教A版数学必修4课后练习：平面向量基本定理及坐标表示 一
人教A版高中数学必修4课后习题 第二章 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课后篇巩固探究1.四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故四边形是平行四边形.根据向量加法和减法的几何意义可知,该平行四边形的对角线相等,故为矩形.2.已知ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则EF ⃗⃗⃗⃗ =( )A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-c.3.下列不能化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗项中,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选D.4.如图,点D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,则 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =0B.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗ =0D.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FC⃗⃗⃗⃗ =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以A 项正确.5.平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形,因为m,n 的长度相等,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以ABCD 是矩形,故△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.6.若四边形ABCD 为正方形,且边长为2,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.7.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b.8.如图,在正六边形ABCDEF 中,与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 . ①CF ⃗⃗⃗⃗ ;②AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③BE⃗⃗⃗⃗⃗ ; ④DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑤CE ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⑥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑦AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE⃗⃗⃗⃗⃗ .ACDF 是平行四边形,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为四边形ABDE 是平行四边形, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .综上知与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是①④.9.已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|的值为 .,在平面内任取一点A,作AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,以AD,AB 为邻边作▱ABCD, 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BD⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b. 由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.过点B 作BE ⊥AD 于点E,过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F. 因为AB=BD=2,所以AE=ED=12AD=12.在Rt △ABE 中,cos ∠EAB=AEAB=14.易知∠CBF=∠EAB,所以cos ∠CBF=14. 所以BF=BC·cos∠CBF=1×14=14.所以CF=√154. 所以AF=AB+BF=2+14=94.在Rt △AFC 中,AC=√AF 2+CF 2=√8116+1516=√6,所以|a+b|=√6.√6 10.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12,求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴四边形ABCD 为平行四边形. 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴▱ABCD 为菱形.∵cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=π3,∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3, |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 11.如图,在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.(1)当a,b 满足什么条件时,a+b 与a-b 所在的直线互相垂直? (2)a+b 与a-b 有可能为相等向量吗?为什么?AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b.若a+b 与a-b 所在的直线互相垂直,则AC ⊥BD. 因为当|a|=|b|时,四边形ABCD 为菱形,此时AC ⊥BD, 故当a,b 满足|a|=|b|时,a+b 与a-b 所在的直线互相垂直. (2)不可能.因为▱ABCD 的两对角线不可能平行,所以a+b 与a-b 不可能为共线向量,更不可能为相等向量.。
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2014-2015年数学必修4平面向量（期末复习）一．基本概念1.向量： ．2.平行向量： ．3.相等向量：b a =⇔ ；相反向量：b a-=⇔4.两个非零向量a 、的夹角：作 =a ； =b ； 叫做a 与b的夹角。
5.坐标表示：i 、j分别是 ，若=a则 叫做a的坐标。
6.向量a 在方向上的投影：设θ为a 、的夹角，则一． 基本运算：三、基本定理、公式：1． 平面向量基本定理：若1e 与2e，则对平面内的任意一个向量a，一对实数1λ、2λ；使得=a____________________ 2． 向量的模：a＝ ＝ ；a 与b夹角：=θcos _________ = _____________3． 向量平行：a ∥b⇔_________________ ⇔__________________ ；向量垂直：a ⊥b⇔_________________ ⇔_________________4． 中点坐标公式：_________________ 四、复习题1、在下列命题中，正确命题的个数为 ．①a ·0＝0；②0·a＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （→b ·→c ）+=-，则0=b ；⑤→a ·→b -→b ·→a =→0；⑥1===→→→c b a ，且→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a 与→c 是模相等且同向或反向的两个向量⑦ a ·b ＝０，则a 与b中至少有一个为0； 2、化简下列各式：（1）)(CD AB -－)(BD AC -= ；（2）MP MN -－QM QN += ； （3）BA CO BO OC OA -+++= ． （4）)(++)(++=__________3．已知平面内三点A （-1，0），B （x ，6），P （3，4），且−→−AP =λ−→−PB ，x 和λ的值分别为( ) A ．-7，2 B ．5，2 C ．-7，52 D ．5，524、向量a ，6=10=-的取值范围是 ．56=8=10=-=+ ． 6、已知=1e +2e ，=２1e －2e ，则向量+2与2－（ ）A 、一定共线B 、一定不共线C 、仅当1e 与2e 共线时共线D 、仅当1e =2e 时共线A BDM C7、已知OA＝1e ，＝2e1==．∠AOB ＝︒1205=， 且OC 平分∠AOB ，用1e ，2e 表示OC = ． 8、已知∆ABC 顶点A （―1，12-），B （2，3）及重心坐标G （1，12），则顶点C 的坐标为__________9．已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且2PA OP =，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是1032==，且4=⋅b a ，则向量b 在向量a 上的投影为 ．11、已知|a |=3，|b |=4，且|a －b ，则a 与b的夹角为 ．12．已知|→a |=|→b |，→a⊥→b ，且（→a +→b ）⊥（k →a -→b ），则k 的值是( )A ．1B ．-1C ．0D ．-213．已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____________________14、ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，(12)=，.若q p //，则C ∠角的大小为（ ） Ａ6πＢ3π Ｃ2π Ｄ32π 15、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）,P 为一动点，及t +=， （1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。
人教A版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习
人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒C时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.例4、 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.例5、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ，∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例8、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则= (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜｜+｜｜(2)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
新课标人教A版数学必修4全部课件：平面向量的练习题
9 设 a，是两个不同的向量，已 b
知 AB ＝ 2 a＋ k b， ＝ a＋ 3 b CB k。 8
CD ＝ 2 a－ b，若 A ， B ， D 三点共线，求实数
10 平行四边形 ABCD 中， M ， N 分别为 DC 、 BC 的中点， 已知 AM ＝ c， ＝ d，用 c， 表示 AB ， 。 AN d AD AB ＝ 2 3
3 如图，已知 AM ＝ AB ， AN ＝ AC ，求证：MN ＝ BC 3 3 1 3 4 △ ABC 中， ＝ AB ， DE ∥ BC , 与边 AC 相交于 E ,△ ABC AD 4
的中线 AM 与 DE 相交于 N ，设 AB ＝ a， ＝ b，用 a， 表示 DN 。 AC b
A
M N
y B
A
o x
28 .如图 AOE 和 BOE 都是边长为 1的等边 三角形，延长 OB 到 C ，使 | BC | t ( t 0 ).
y A
连 AC 交 BE 于 D . （1）用 t 表示 OC 的坐标 ; . （ 2）求 OD 和 EC 所成的角的大小 . .
O
E
x
D
B
C
29 .已知四边形 ABCD ， AB | | AD | ， | | BC | | CD | .试用向量方法证明它的 对角线互相垂直 30 .如图，已知； 两条
3 , 5 , 求 A 1 , B 1 , C 1
2 ,3 , 3 , 7 , 4 , 5
ABCD ， AB ， AD 边长分别为 1， 2 0
24 .已知平行四边形
A 60 ，求 AB CD AC DB AD BC
25 .已知 O 0， ， A 1， ， B 3， ， C 在线段 OB 上，向量 0 2 5 63 105 OA BA AC 与 OB 垂直，求 C 。 ， 34 34
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)
高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |.2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →|＝_____________________.1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－124.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.考点一 向量的模及夹角问题 例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．举一反三1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2C. 2D.22(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．考点二 两向量的平行与垂直问题 例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ； (3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.举一反三2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .考点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．举一反三3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·＝3，且cos B ＝35，求cos C .1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．62．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )A ．－6B ．－3C ．3D ．63.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150° 4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为 ( )A.135B.655C.65D.136．(2010·湖南长沙一中月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值．11．(14分)(2011·济南模拟)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值．答案1．(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2 a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22 a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．B [|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2.] 3．D [由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．－2解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×(－6)＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 举一反三1 (1)C [∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b ) ＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ， ∴|c |的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠－2解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题思路 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直． (2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b . 由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.举一反三2 (1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题思路 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.举一反三3 解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－1010.课后练习区 1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.] 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.] 4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．B [因为a·b ＝|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉， 所以，a 在b 上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655.] 6.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．(－1,0)或(0，－1)解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1， 有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115.故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分) (2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(6分) 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(8分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分) 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分) 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝85， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分) 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝725.………………………………………………(14分)。
人教A版高中数学必修4课后习题 第二章 2.5.1 平面几何中的向量方法
第二章平面向量2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法课后篇巩固探究1.已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗|=12×√32+√32×121×1=√32,所以∠ABC=30°,故选A.2.已知A,B,C,D 四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD 为( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为梯形.3.在△ABC 中,设O 是△ABC 的外心,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠BAC=( ) A.30° B.45° C.60° D.90°AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以O 也是△ABC 的重心.又因为O 是△ABC 的外心,所以△ABC 是等边三角形,故∠BAC=60°.4.在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D 为AC 中点,则cos ∠BDC=( ) A.-725B.725C.0D.12,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-4),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4). 又∠BDC 为DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, ∴cos ∠BDC=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-9+165×5=725.5.已知△ABC 的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15B.15C.-65D.653OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5OC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以9OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+24OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=25OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 因为A,B,C 在圆上, 所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 代入原式得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-15(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-15(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-15.6.在△ABC 中,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC 的形状为( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a 2-c 2=0,a 2=c 2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC 是等边三角形.7.已知A,B,C 是单位圆上的三点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中O 为坐标原点,则∠AOB= .,由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得四边形OACB 为边长为1的菱形,且∠AOB=120°.8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P (1,12),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=74.9.如图所示,在等腰直角三角形ACB 中,∠ACB=90°,CA=CB,D 为BC 的中点,E 是AB 上的一点,且AE=2EB.求证:AD ⊥CE.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-13|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+13|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2. 因为CA=CB,所以-13|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+13|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,故AD ⊥CE. 10.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠B=90°,D 是BC 边的中点,BE ⊥AD,垂足为E,延长BE 交AC 于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0), 则D(1,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2). 设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BF ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),由题设BF ⃗⃗⃗⃗ ⊥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BF ⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=23.所以BF ⃗⃗⃗⃗ =(43,23).所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,23).又DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),所以cos ∠ADB=DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√55, cos ∠FDC=DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√55, 又∠ADB,∠FDC ∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题(4)
2.1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1.【题文】下列各量中不是向量的是（ ） A ．浮力 B ．风速 C ．位移D ．密度2．【题文】在下列判断中，正确的是( )①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤3．【题文】若AB AD =且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形4．【题文】已知：如图，D ，E ，F 依次是等边三角形ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量AD 共线的向量有（）A ．个B ．个C ．个D ．个5．【题文】下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个6．【题文】给出下列说法：①AB 和BA 的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④0=0；⑤AB CD >，其中正确说法的个数是( )A. B. C. D.7．【题文】若四边形ABCD 是矩形，则下列说法中不正确的是 （ ） A ．AB 与CD 共线B ．AC 与BD 共线C ．AD 与CB 是相反向量 D ．AB 与CD 的模相等8.【题文】下列说法正确的是( )A ．有向线段AB 与BA 表示同一向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量C ．零向量与单位向量是平行向量D ．对任一向量，aa是一个单位向量 二、填空题9．【题文】如图，正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有个（含AB ）．10.【题文】给出下列四个条件：①=a b ；②=a b ；③与的方向相反；④0=a 或0=b ，其中能使a b 成立的条件有________．11．【题文】下列说法中，正确的是 ． ①向量AB 的长度与BA 的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是相等向量，则A、B、C、D能构成平行四边形．三、解答题12．【题文】如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中：（1）找出与向量EF相等的向量；（2）找出与向量DF相等的向量．13．【题文】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC 的中点，求证：向量DE与FG共线．14．【题文】如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：（1）与向量CD共线的向量；（2）与向量DF的模相等的向量；（3）与向量DE相等的向量.2.1平面向量的实际背景及基本概念参考答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】根据向量的定义，从大小和方向两个方面考虑，可知密度不是向量．考点：平面向量的概念.【题型】选择题【难度】较易2．【答案】D【解析】由零向量与单位向量的概念知①③⑤正确．考点：零向量与单位向量.【题型】选择题【难度】较易3．【答案】C【解析】四边形ABCD中，∵BA CD=，∴BA CD，且BA CD=，∴四边形ABCD是平行四边形.又AB AD=，∴平行四边形ABCD是菱形.考点：相等向量.【题型】选择题【难度】较易4．【答案】C【解析】∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴AD∥EF ，∴与向量AD共线的向量有AB，FE，EF，DA，BA，BD，DB，共7个．考点：共线向量.【题型】选择题【难度】较易5．【答案】A【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故①错误；长度为的向量叫零向量，故②正确；通过平移能够移到同一条直线上的向量叫共线向量，故③错误；零向量的方向是任意的，故④错误；共线向量方向相同或相反，⑤正确；平行向量方向相同或相反，故⑥错误，因此②与⑤正确，其余都是错误的，故选C.考点：相等向量，共线向量.【题型】选择题【难度】一般6．【答案】B【解析】①正确，AB与BA是方向相反、模相等的两个向量；②错误，方向不同包括共线反向的向量；③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；④错误，是一个向量，而为一数量，应为0=0；⑤错误，向量不能比较大小.只有①正确，故选B.考点：向量的有关概念.【题型】选择题【难度】一般7．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD且AB CD=，AD CB，∴AB 与CD共线，且模相等，AD与CB是相反向量，∵AC与BD相交，∴AC与BD不共线，故B错误.考点：共线向量，相等向量.【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】C【解析】向量AB 与BA 方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当=0a 时，aa无意义，故A 、B 、D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．考点：平行向量;单位向量. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9． 【答案】10【解析】正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有,,,,,,,,,AB BA OC CO OF FO CF FC DE ED ，共10个． 考点：平行向量. 【题型】填空题 【难度】较易 10.【答案】①③④【解析】因为与为相等向量，所以a b ，即①能够使a b 成立；=a b 并没有确定与的方向，即②不能够使ab 成立；与方向相反时，a b ，即③能够使a b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以0=a 或0=b 时，a b 能够成立．故使a b 成立的条件是①③④.考点：平行向量. 【题型】填空题 【难度】一般11． 【答案】①【解析】对于①，向量AB 与BA 互为相反向量，长度相等，正确；对于②，因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，所以②错误；对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，所以③错误； 对于④，向量AB 与向量CD 是相等向量，则A 、B 、C 、D 可能在同一直线上，则A 、B 、C 、D 四点不一定能构成平行四边形，所以④错误．综上，正确的是①． 考点：平面向量的概念. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）,BD DA （2）,BE EC【解析】（1）∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点， ∴EFBA ，且12EF BA =，又D 是BA 的中点， ∴EF BD DA ==，∴与向量EF 相等的向量是,BD DA .（2）∵D ，F 分别为BA ，AC 的中点， ∴DFBC ，且12DF BC =， 又E 是BC 的中点，∴DF BE EC ==， ∴与向量DF 相等的向量是,BE EC ． 考点：共线向量.【题型】解答题【难度】较易13．【答案】详见解析【解析】证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE BC，∴四边形DBCE是梯形．又∵F，G分别是DB，EC的中点，∴FG是梯形DBCE的中位线，∴FG DE.∴向量DE与FG共线．考点：向量共线.【题型】解答题【难度】一般14．【答案】（1）,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC（2）,,,,FD AE EA EB BE（3）,CF FA【解析】根据三角形中位线的性质及共线向量及相等向量的概念即可得到：（1）与向量CD共线的向量为,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC．（2）与向量DF的模相等的向量为,,,,FD AE EA EB BE．（3）与向量DE相等的向量为,CF FA．考点：相等向量，平行向量. 【题型】解答题【难度】一般。
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学科：数学
专题：平面向量基本定理及坐标表示
题1：
题面：已知把向量(1,1)a
=→
向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量b ，则b 的坐
标为 ． 题2：
题面：已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-， 如果//c d ，那么 ( )
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向 题3：
题面：已知a →
与b →
是两个不共线向量，且向量a →
+λb →
与－(b →
－3a →
)共线，则λ=
题4：
题面：在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点 A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为___________. 题5：
题面：若平面向量,
a b →→
满足||1a b +=→→，a b +→→平行于x 轴，(2,1)b =-→
，
则a =→
. 题6：
题面：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AC
AE AF λμ=+→
→→
－－－，
其中λ，μ∈R ，则λ+μ= _________. 题7：
题面：给定两个长度为1的平面向量OA →
－－和OB →
－－，它们的夹角为120°. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →
－上变动.
若OC x OA y OB =+→
→
→
－－－－－－其中,x y R ∈，则x y +的最大值是________.
题8：
题面：在ABC ∆中，D 在线段BC 上，2,BD DC AD m AB n AC ==+→→→→→
－－－－－， 则m
n
= . 题9：
题面：某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
课后练习详解
题1： 答案：(1，1)．
详解：根据向量相等的概念，向量(1,1)a
=→
在平面内无论如何平移，只要平移过程中模不变，
且方向不发生变化，得到的向量与原向量都是相等的向量，相等的向量坐标相等，所以，向量(1,1)a
=→
向右平移两个单位，再向下平移一个单位后，得到的向量(1,1)b =→
故答案为(1，1)． 题2： 答案： D ．
详解： ∵a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B .
若1k =-，则c =－a +b ()1,1=-，d =－a +b =(1,－1)=－(－1,1) ， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D . 题3： 答案：13
-
详解：由已知向量a →
+λb →
与－(b →
－3a →
)共线，得a →
+λb →
=－k (b →
－3a →
) ∴λ=－k ，3 k =1，解得11,33
k λ==- 题4：
答案：(0，－2)．
详解：平行四边形ABCD 中，OB OD OA OC +=+→
→
→
→
－－－－－－－－
∴OD OA OC OB =+-→
→
→
→
－－－－－－－－＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2) 即D 点坐标为(0，－2) ． 题5：
答案： (－3，1)
详解：因为平面向量,a b →→
满足||1a b +=→
→，a b +→→
平行于x 轴，
所以(1,0)a
b +=→
→
或(－1,0)，则(1,0)(2,1)(1,1)a =--=-→
或(1,0)(2,1)(3,1)a =---=-→
. 题6： 答案：
43
. 详解：设BC b =→
→
－、BA a =→
→
－则12AF b a =-→
→→
－ ， 12
AE b a =-→→→－ ，AC b a =-→→→－
代入条件得2433
u u λλ==∴+=.
题7： 答案： 2
详解： 设AOC α∠=
OC OA xOA OA y OB OA
OC OB xOA OB y OB OB
⎧∙=∙+∙⎪⎨⎪∙=∙+∙⎩→→→→→→→→→→→→
－
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
即01cos 21cos(120)2
x y x y
αα⎧
=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩
∴0
2[cos cos(120)]cos 2sin()2
6x y π
ααααα+=+-=+=+≤
所以x y +的最大值是2
题8： 答案：
12
． 详解：AD AB BD =+→
→
→
－－－，32
BC BD DC BD =+=→
→
→
→
－－－－，
32
AC AB BC AB BD =+=+→→→→
→
－－－－－，代入AD m AB n AC =+→→→－－－：
3()2
AB BD m AB n AB BD +=++→
→
→
→
→
－－－－－，
合并同类项有：3
(1)(1)02
m n AB n BD +-+-=→
→→－－
因为AB BD 与→→
－－不共线，所以m +n －1=0且3
2
n －1=0 解得：21
,33
n m ==，所以m n =12．
题9：
答案：实际风速是2a 的西北风．
详解：设a →
表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，
无风时此人感到风速为-a →，设实际风速为v →
， 那么此时人感到的风速为v a -→→
， 设OA →
－= -a →
，OB →
－= -2a →
∵PO →
－+OA →
－－=PA →－∴PA →
－=v a -→→
，这就是感到由正北方向吹来的风速， ∵PO →
－+OB →
－－=PB →－ ∴PB →
－=
2v a -，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由
东北方向吹来的风速就是PB ，
由题意：∠PBO = 45︒， PA ⊥BO ， BA = AO
从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风．。