2.1.1合情推理---归纳推理导学案
探究式导学案7：2.1.1合情推理
4.综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列
的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.
5.分析法:一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，
逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻
2.1.1合情推理
一.知识再现
1.归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)
2.类比推理的定义：由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推测出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索
因的证明方法.
6.反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立
7.数学归纳法：定义:设 是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题 (或 )成立;(2)在假设 成立的前提下，推出 也成立， 对一切正整数都成立.
比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}
的前n项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；
(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．
2．如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立，且 ，则 （）
A．0 B． C． D．
2.1.1合情推理导学案
第01课时2.1.1合情推理（一）学习目标1．了解归纳推理的定义，能利用归纳进行简单的推理，并作出猜想，培养学生的想像能力和逻辑思维能力。
学习过程一、学前准备1．已知一数列的前5项为2，4，6，8，10，你知道数列的第6项及第n项吗？2．你了解医生如何诊断病人的病症、警察如何侦破案件、考古学家如何推断遗址的年代吗？在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。
推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。
二、新课导学◆探究新知（预习教材P70～P71，找出疑惑之处）问题1：二百多年前，德国数学家哥德巴赫在研究自然数时偶然发现：6＝3＋3， 8＝3＋5， 10＝3＋7，12＝5＋7， 14＝7＋7, 16＝5＋11，…，1002=139+863，……于是他大胆地提出了一个猜想。
继续上述过程你能提出一个猜想吗？问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，由此你能得出什么结论?问题3：三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒.由此我们猜想：凸边形的内角和是 .问题4：哥德巴赫猜想的提出过程是一个运用归纳推理的过程。
那归纳推理有何特点？它的作用在哪？归纳推理的思维过程大致分哪几个步骤？问题5：一个口袋里装有许多球，每次从中取出一个球，先后取20次均为白球，由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？应用归纳推理可以发现一般结论，其不足之处是什么？◆应用示例例1．（教材P71例1）已知数列{}na的第1项11a=，且1(1,2,)1nnnaa na+==+，试归纳出这个数列的通项公式。
◆反馈练习1．观察下列式子：2222211,132,1353,13574,135795,=+=++=+++=++++=由上述具体事实你能得出怎样的结论？2．（课本P77练习1）在数列{}na中，11,a=1111()(2)2n nna a na--=+≥，试猜想这个数列的通项公式。
2013-2014学年高二数学1-2导学案：2.1.1合情推理-归纳推理
成立。上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？
【课后巩固】 1 、
2
2 2 3 3 4 4 2 , 3 3 , 4 4 , 若 3 3 8 8 15 15
8
。
b b 8 , ， a a
（ a N , b N ）则 a =
，b =
2、 sin 30 sin 90 sin 150
2 0 2 0 2 0
3 3 2 0 2 0 2 0 ， sin 5 sin 65 sin 125 2 2
观察上述两等式的规律，写出一个一般性的命题，并加以证明。
2 例 1、已知数列｛ an ｝的每一项都是正数， a1 =1,且 a 2 n1 an 1, n 1,2,
试归纳出数列｛ an ｝的一个通项公式。
1
例 2、观察下列式子，归纳出一般的结论： 13 =12 13+23= (1 2) 2 13+23 +33= (1 2 3) 2 13+23 +33+43= (1 2 3 4) 2 结论： … … …
例 3、 观察下面等式,并归纳出一般结论
1 1 2 3 6 1 12 2 2 2 3 5 6 1 12 2 2 3 2 3 4 7 6 1 12 2 2 3 2 4 2 4 5 9 6 12
2 2 2 2 结论： 1 2 3 n
课题：2.1.1 合情推理 班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【学习目标】 （1） 、理解归纳推理的思想； （2） 、能够通过观察一些等式，猜想、归纳出它们的变化规律。 【课前预习】 一、问题情境 1、瑞雪兆丰年：今年下几场大雪，明年就会有大丰收 2、一叶知秋：从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体 3、统计初步中通过样本估计总体：通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验， 进而对整体做出推断。 二、建构新知： 1、前提：当 n=0 时，n2-n+11=11 当 n=1 时，n2-n+11=11 当 n=2 时，n2-n+11=13 当 n=3 时，n2-n+11=17 当 n=4 时，n2-n+11=23 11、11、13、17、23、31 都是质数 结论：对于所有的自然数 n， 的值都是质数 2、前提：
高二数学 教案 2.1.1合情推理导学案人教版_选修2-2 2.1.1合情推理(三)
（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
◆反馈练习
1．如图所示，面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则. 类比以上性质,体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 , 此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ,若 , 则 ( )
第03课时类比推理的理解，知道合情推理的方法和步骤，提升思维水平。
学习过程
一、学前准备
1.三角形的面积为 ， 为
三角形的边长， 为三角形内切圆的半径，利用类
比推理，得到四面体的体积为______________
____________________________________________
2．已知数列 满足 ， （ ），则 的值为， 的值为．
3．（课本P98A4）任取一个正整数，反复进行下述两种运算：
（1）若是奇数，就是该数乘以3再加上1；
（2）若是偶数，就将该数除以2。
你能据此作出什么猜想？
课后作业
1．（课本P98A1）根据下列图案中的圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n个图形有多少个圆圈
2．费马猜想：
法国数学家费马观察到
都是质数，于是他大胆提出了猜想。
请提出你的猜想：
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P75～P77，找出疑惑之处）
1．归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理的推理过程大致是什么？
◆应用示例
例1．（课本P75例4）看图2.1-2所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
学案14：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理学习目标1.了解合情推理的含义及作用．2.理解归纳推理与类比推理的特点及步骤．3.会利用归纳和类比的方法进行推理．新知提炼1．推理(1)定义：根据一个或几个 (或假设)得出一个判断，这种思维方式就是 ．(2)结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做 ；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做 ．(3)分类：推理⎩⎨⎧2．合情推理(1)合情推理①定义：当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．②分类： 和 是数学中常用的合情推理．(2)归纳推理和类比推理自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( )(2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( )(3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )2．数列5，9，17，33，x ，…中的x 等于( )A．47B．65C．63 D．1283．各项都为正数的数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，求数列{a n}的通项公式．题型探究题型一数与式的推理例1(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．(2)已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．方法归纳由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．跟踪训练 1.观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________________________．2．已知数列{a n }满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式a n.题型二归纳推理在几何图形中的应用例2如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N＋)．方法归纳归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练 1.把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是()A．27B．28 C．29 D．302．根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．题型三 类比推理及其应用例3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想．方法归纳类比推理的一般步骤跟踪训练 1.下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”2．已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC 的面积，则S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A BCD 的内切球半径为R ，求三棱锥A BCD 的体积．课堂小结1．利用归纳推理解决问题时，要善于归纳，要对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法，要准确捕捉有用信息并进行分析，大胆猜测，小心验证即可．2．利用类比推理解决问题时一定要注意两类事物的相似性，例如，拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等，但类比推理的结论不一定正确，需要证明．当堂检测1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形2．由数列1，10，100，1000，…，猜测该数列的第n 项可能是( )A ．10nB ．10n －1C ．10n ＋1D ．10n －23．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．4．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有__________．参考答案新知提炼1．推理(1)已知事实 推理(2)前提 结论(3)合理推理 演绎推理2．合情推理(1)②归纳推理 类比推理(2) 部分 所有两类 类似 一致自我尝试1．(1)× (2)√ (3)×2．B3．a n ＝n （n ＋1）2题型探究题型一 数与式的推理例1 解：(1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2，即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22. (2)当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 通过观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n. 跟踪训练 1. (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)【解析】观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．2．解：(1)当n ＝1时，a 2＝2a 1＋1＝2×1＋1＝3，当n ＝2时，a 3＝2a 2＋1＝2×3＋1＝7，同理可得a 4＝15，a 5＝31.(2)由于a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，所以可归纳猜想a n ＝2n －1(n ∈N ＋).题型二 归纳推理在几何图形中的应用例2 15 3n －3[解析] 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2，3，4，5，6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N ＋)． 跟踪训练 1. B【解析】把1，3，6，10，15，21，…依次记为a 1，a 2，…，则可以得到a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，a 6－a 5＝6，所以a 7－a 6＝7，即a 7＝a 6＋7＝28.2．n 2－n ＋1【解析】观察图形的变化规律可得：图(2)从中心点向两边各增加1个点，图(3)从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n 个图从中心点向n 边各增加(n －1)个点，易得答案：1＋n ·(n －1)＝n 2－n ＋1.题型三 类比推理及其应用例3 解：如图(1)，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：c 2＝a 2＋b 2；类比直角三角形的勾股定理，在四面体P DEF 中，如图(2)，猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23(S 、S 1、S 2、S 3分别是四面体P DEF 的面△PEF 、△DEF 、△PFD 、△PDE 的面积)．跟踪训练 1. C【解析】A 错，因为类比的结论a 可以不等于b ；B 错，类比的结论不满足分配律；C 正确；D 错，乘法类比成加法是不成立的．2．解：内切圆半径r ――→类比内切球半径R ，三角形的周长：a ＋b ＋c ――→类比三棱锥各面的面积和：S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ，三角形面积公式系数12 ――→类比三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积V A BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )． 当堂检测1．C【解析】只有平行四边形与平行六面体较为接近．2．B【解析】数列各项依次为100，101，102，103…，由归纳推理可知，选B.3．1∶8【解析】V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 4．f (2n )>n ＋22【解析】通过观察归纳可得f (2n )>n ＋22.。
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
《2.1.1合情推理(2)》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.1合情推理（2）》导学案【学法指导】认真自学，激情讨论，愉快收获.【学习目标】结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【学习重点】了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.【学习难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想.【教学过程】一:回顾预习案●1､类比推理的定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是 的推理.●2､合情推理的定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 ，再进行 ，然后 的推理，我们把它们统称为 . 二 讨论展示案 合作探究，展示点评例1､(1)“鲁班发明锯子”的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.该过程体现了( ).A .归纳推理B .类比推理C .没有推理D .以上说法都不对(2)下面类比推理中恰当的是( )A .“若a ·3=b ·3，则a =b ”类比推出“若a ·0=b ·0，则a =b ”B .“(a +b )c =ac +bc ”类比推出“(a ·b )c =ac ·bc ”C .“(a +b )c =ac +bc ”类比推出“a ＋b c =a c +b c (c ≠0)”D .“(ab )n =a n b n ”类比推出“(a +b )n =a n +b n ”(3)下列推理正确的是( )A .“若33a b ⋅=⋅，则a b =”类比推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =”B .“若()a b c ac bc +=+”类比推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C .“若()a b c ac bc +=+” 类比推出“a ba b c c c+=+ (c ≠0)” D .“n n a a b =n （b ）” 类比推出“n n a a b +=+n （b ）(4)下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形､等腰三角形､等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n -3)·180° A .①② B .①③④ C .①②④ D .②④(5)下列说法中正确的是( ).A .合情推理是正确的推理B .合情推理就是归纳推理C .归纳推理是从一般到特殊的推理D .类比推理是从特殊到特殊的推理例2､(1)在数列1，1，2， 3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是__________.(2)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC =12(a +b +c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”.(3)在平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________.例3､课本78页练习第3题.例4､课本83页A 组第2题例5､课本84页习题第3题.。
高中数学《合情推理》导学案
2.1.1合情推理1．归纳推理(1)概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由□05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理．(3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些□11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由□13特殊到□14特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)，则可归纳猜想{a n}的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．(3)等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是__________．答案(1)a n＝2n＋1(n∈N*)(2)65(3)b2n＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N*)探究1 数列中的归纳推理例1已知数列{a n}的首项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝1， 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12，当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13，当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{a n }的通项公式是a n ＝1n .[解法探究] 此题有没有其他解法呢？ [解] 因为a n ＋1＝a n 1＋a n ，即1a n ＋1＝1a n ＋1，所以1a n ＋1－1a n＝1，又a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为1的等差数列．所以1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n . 拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为________．答案2n n ＋1解析 因为a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，所以a 2＝13，所以S 2＝13×4＝43，同理，可得S3＝64，S4＝85，归纳可得，S n＝2nn＋1.探究2 几何中的归纳推理例2定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a)，(b)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[解析]从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A，B，C，D分别表示什么图形，即可研究(a)，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A是一条竖直线段，B是一个正方形，C是一条水平线段，D是一个圆．所以(a)中的图形应为B*D，(b)中的图形应为A*C.故选B.[答案] B拓展提升归纳推理在几何中应用的关键在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．【跟踪训练2】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用含n的数学表达式表示)．答案512(n－2)(n＋1)解析 由图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1.由f (n )－f (n －1)＝n －1，得f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…，f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)．又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2， 化简、整理，得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)． 探究3 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．[解析] 等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[答案] T 8T 4 T 12T 8拓展提升类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d ′(d 与d ′相似或相同)．【跟踪训练3】 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有通项满足b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N*)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则通项满足d n ＝________(n ∈N *)的数列也是等比数列．答案nc 1c 2c 3…c n解析 由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n .探究4 几何中的类比推理例4 平面几何里有“设直角三角形ABC 的两直角边分别为a ，b ，斜边上的高为h ，则1a 2＋1b 2＝1h 2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为a ，b ，c ，平面BCD 上的高为h ，则________”．[解析] 如图所示，设A 在底面的射影为O ，连接BO 并延长交CD 于E .连接AE ，由AB ⊥AC ，AB ⊥AD 得AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AE .设AE ＝h 1，在Rt △ABE 中，由已知可得1a 2＋1h 21＝1h 2.又易证CD ⊥平面ABE ，∴CD ⊥AE .在Rt △ACD 中有1h 21＝1b 2＋1c 2，∴1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2.[答案] 1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2 拓展提升解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形 点 直线 边长 面积 三角形 线线角 空间图形 直线平面面积体积四面体面面角【跟踪训练4】 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB ，AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2＋AC 2＝BC 2.若三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案 S 2△BCD ＝S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB解析 在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方，类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中，有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是，归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A解析 由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2答案 C解析观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n＋2.故选C.3．请仔细观察，运用合情推理，写在下面横线上的数最可能的是1,1,2,3,5，________，13.答案8解析从第三项起，每一项是它前两项的和，根据这个规律，应填写的数字是8.4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________．答案球心距离相等的两截面的面积相等解析由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆．5．已知数列{a n}满足a n＋1＝12－a n(n∈N*)，a1＝0，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，猜测{a n}的通项公式．解由a n＋1＝12－a n和a1＝0，得a2＝12－0＝12，a3＝12－12＝23，a4＝12－23＝34，a5＝12－34＝45.观察以上5项，猜测{a n}的通项公式为a n＝n－1n.A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 2．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13， f (1)＝2，则f (2019)等于( ) A ．13 B ．2 C.132 D.213 答案 C解析 ∵f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2， ∴f (3)＝13f (1)＝132，f (5)＝13f (3)＝2， f (7)＝13f (5)＝132，f (9)＝13f (7)＝2，…，∴f (2019)＝132.选C.3．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形答案 C解析 类比空间中的平行六面体，平面中有平行四边形． 4．下面使用类比推理，得出正确结论的是( )A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类比出“(a＋b)n＝a n＋b n”答案 C解析A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成立．5．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.xa＋yb＋zc＝1 B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析因为在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴、y轴上的截距分别为a，b”，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa ＋yb＋zc＝1.6．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足a si nπ5＋b cosπ5a cosπ5－b si nπ5＝t an8π15，则ba＝()A．4 B.15 C．2 D. 3 答案 D解析将已知式变形，则有a si n π5＋b cosπ5a cos π5－b si nπ5＝a t anπ5＋ba－b t anπ5＝t anπ5＋ba1－ba t anπ5＝t an8π15，类比正切的和角公式，即t an(α＋β)＝t an α＋t an β1－t an αt an β，可知只有当b a ＝t an π3＝3时，上式成立．二、填空题7．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.答案 a ＋b <210(a >0，b >0且a ≠b ，a ＋b ＝20)解析 观察题目所给的不等式，归纳可得出两根号下的两数之和为20.8．等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系：________.答案 b 4＋b 8>b 5＋b 7解析 在等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，∴{a n }是各项均为正数的递增数列，∵4＋6＝3＋7，且a 4·a 6>a 3·a 7，∴在等比数列{b n }中，b n >0，q >1，则{b n }为各项均为正数的递增数列． 又∵4＋8＝5＋7，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.9．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2n π2n ＋1－2＝________. 答案 43n (n ＋1)解析 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和，因此答案为43n (n ＋1)． 三、解答题 10．已知数列{a n }的第一项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)归纳猜想这个数列的通项公式．解 (1)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，得a 2＝13， a 3＝a 21＋2a 2＝15，a 4＝a 31＋2a 3＝17，a 5＝a 41＋2a 4＝19. (2)由a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19，可归纳猜想a n ＝12n －1(n ∈N *)． B 级：能力提升练11．过△ABC 边AB 上任一点O 分别作OA 1∥AC ，OB 1∥BC ，与BC ，AC 分别交于点A 1，B 1，则OA 1AC ＋OB 1BC 为定值1.试写出类比到空间的结论．解 如图1所示，这个命题的正确性很容易由相似三角形的性质推出，也不难用“面积法”证得定值为1，类比到空间，则有：如图2所示，过四面体VABC 的面ABC 上任一点O ，分别作OA 1∥VA ，OB 1∥VB ，OC 1∥VC ，其中A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面的交点，则OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值1.12．我们知道12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n(n－1)2.类比上述推理方案写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．解记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，S k(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋n k(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，…n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.。
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2.1.1合情推理-----归纳推理
【学习目标】
知识与技能：
1.理解归纳推理的概念；
2.能利用归纳推理进行简单推理；
3.了解归纳推理在数学发现中的作用。
过程与方法：
让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生的积极参与，亲身经历归纳推理定义的获得过程，培养学生归纳推理的思想。
情感态度与价值观：
通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识，了解数学文化的积极态度。
【重点与难点】
重点：归纳推理的概念及应用。
难点：归纳推理的应用。
【学习过程】
一、创设情景，引入课题
国际标准IQ测试题
1.观察规律：1，8，27，（）.
2.下面四项中哪一个应填在“XOOOOXXOOOXXX”的后面. （）
A. XOO
B. OO
C. OOX
D. OXX
二、探究（一）
阅读教材P22-23例1前,并思考以下几个问题
1.什么是推理?
2.人们在日常活动和科学研究中经常使用哪两种推理?
3.哥德巴赫猜想的内容是什么?
4.你能说出哥德巴赫猜想提出的经历过程吗?
5. 铜、铁、铝、金、银是否导电？由此猜想一切金属都具有怎样的特性？
6. 由某类事物的_________具有某些特征,推出该类事物的_________都具有这些特征的推理,或者由_________概括出_________的推理,称为_________ (简称归纳).简言之,归纳推理是由_____到_____，由______到_____.
三、探究（二）
例1：观察下列图可以发现： 1=21， 1+3=4=22， 1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24， 1+3+5+7+9=25=25，
……
由上述具体的事实能得出一个怎样的结论？
归纳推理的一般步骤：
（1）__________________________________； （2）__________________________________； （3）__________________________________.
练习：已知数列{}n a 的第1项11=a ，且n
n
n a a a +=+11（n =1 , 2 , …)，试归纳出这个数列的通项公式.
四、课堂小结
通过本堂课的学习,你有什么收获?
五、当堂检测
1.三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此猜想凸多边形的内角和是__________
2.下面?处应是什么样的图形?
A B C D
3．在数列{}n a 中，01=a ，221+=+n n a a ，则猜想n a 是( )
A. 21
22
n -- B. 22n - C. 121n -+ D. 124n +-
五、作业
1.教材P30 练习1，2
2.上网查找资料“哥尼斯堡七桥猜想”。